苏科版中考数学冲刺专项第5讲.第二轮复习之函数图像上点的存在性问题中的特殊三角形和特殊四边形 教师版

这是一份苏科版中考数学冲刺专项第5讲.第二轮复习之函数图像上点的存在性问题中的特殊三角形和特殊四边形 教师版，共13页。
`  中考说明：函数图象上因动点产生的特殊三角形（包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形）. 解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.  【例1】         如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】       由等腰三角形两腰相等，线段可分别充当“腰”与“底”的角色，分别以、为圆心，以的长为半径画圆与对称轴的交点，以及线段的垂直平分线与对称轴的交点为点. 【解析】       存在符合条件的点由，，∴①当时，②当时，，③当时，连接，过作对称轴的垂线，由勾股定理可得．综上所述，符合条件的点的坐标为，，，. 【例2】         如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），在抛物线上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，请用尺规作出所有符合条件的点，并求出以为直角边时点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】       由直角三角形一个角为直角，可充当直角边和斜边的角色，当为直角边，分别过、两点作线段的垂线，与抛物线的交点即为点；当为斜边，以为直径所画的圆与抛物线的交点即为点.【解析】       存在符合条件的点，所有符合条件的点如图所示：由，可知，，∴坐标为由，易得，的解析式为，联立可得解得或（舍）可得坐标为．综上所述，以为直角边时点的坐标为，. 【例3】         如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），设为轴正半轴上的一个动点，请在抛物线上求一点，使得为等腰直角三角形.【分析】       线段可以充当“斜边”和“直角边”的角色．当为直角边时，又存在两种情况：或．因此，共有种情况．【解析】       ⑴当为直角边时，或．若，则与或重合，∴，．若，则，分别作与的角平分线交抛物线于两点，即为，直线与直线解析式分别为、，分别与抛物线解析式联立，可得坐标为，坐标为．⑵当为斜边时，，点坐标同上．综上所述，所求的点坐标为，，，. 中考说明：函数图象上因动点产生的特殊四边形（包括平行四边形、梯形）问题.解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.  【例4】         已知抛物线：   ⑴ 求抛物线的顶点坐标.   ⑵ 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线    的解析式.   ⑶ 如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是     否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存                                                         在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.            （2013南平）【解析】（1）依题意　 ∴，　 ∴顶点坐标是（2，2）  （2）根据题意可知y2解析式中的二次项系数为 且y2的顶点坐标是（4，3）∴y2＝－，即：y2＝ （3）符合条件的N点存在如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则∥，且∴，作轴于点A，轴于点B∴，则有（AAS）　　∴∵点P的坐标为（4,3）∴……10分∵点N在抛物线、上，且P点为、的最高点　　∴符合条件的N点只能在轴下方①点N在抛物线上，则有：解得：或 ②点N在抛物线上，则有：解得：或∴符合条件的N点有四个：
【例5】         如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴交于点，设为抛物线上一个动点，则以点、、、为顶点的四边形能否是梯形？若能，请求出所有符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由.【分析】       由梯形为一组对边平行，另一组对边不平行.可分别过、、作对边的平行线与抛物线相交，当过、两点作平行线时，所形成的四边形恰为平行四边形，需舍去．【解析】       存在这样的点使得以点、、、为顶点的四边形是梯形．当过、两点作平行线时，所形成的四边形恰为平行四边形，需舍去.当过作的平行线，与抛物线的交点即为，此时，四边形与均为梯形，如图.由的解析式为，与联立，可得，．   【例6】         如图，在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，与轴交于点，将△沿翻折后，点落在点处．⑴求点、的坐标；⑵求经过、、三点的抛物线的解析式；⑶若抛物线的对称轴与交于点，点为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点． ①当四边形为等腰梯形时，求出点的坐标；②当四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．（昌平一模）     【解析】       ⑴ 如图所示，∵点关于轴的对称点为，与轴交于点，∴⊥轴于，，． ∴．∴，由题意可知 ， ．过点作轴于，轴于，∴．在中，，．由矩形得．∵点在第四象限，∴． ⑵ 设经过、、三点的抛物线的解析式为．依题意得 解得 ∴此抛物线的解析式为． ⑶ ∵，∴点为抛物线的顶点．∴直线为抛物线的对称轴，交于，由题意可知 ，，∴，∴，∴，∴是等边三角形，．∴．①当点在上时，四边形为等腰梯形．∵，与不平行，∴四边形为梯形．要使梯形为等腰梯形，只需满足．∵，∴点在上．由、求得直线的解析式为．又∵点在抛物线上，∴． 解得（与点重合，舍）．∴点横坐标为．由、求得直线的解析式为．∵点在上，∴ ，∴． ②当点在上时，四边形为平行四边形，点在点的上方，且，解得，（与点重合，舍）此时点坐标为． 综上所述，当时，为等腰梯形；当时，为平行四边形．  
训练1.             如图，抛物线的顶点为，与轴相交点，与轴交于两点（点在点的左边）．⑴求抛物线的解析式；⑵连接，，，试证明为直角三角形；⑶若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（广东湛江）【解析】       ⑴ 解得，所以抛物线的解析式为；⑵ 因为，可得，所以有所以，所以为直角三角形；⑶ 可知，下面需要分类讨论：情况一：线段为所求四边形的对角线，因为平行四边形的对角线互相平分，点在对称轴上，点在抛物线上，且点、关于对称轴对称，故要平分线段，故点为顶点满足条件.情况二：线段为所求四边形的边，则且假设存在这样的点，设，所以，要使以四点为顶点的四边形为平行四边形，只需要，即，所以或，因此点的坐标为或.综上所述，符合条件的点为：，，. 
训练2.             已知：抛物线与轴有两个不同的交点．⑴求的取值范围；⑵当为整数，且关于的方程的解是负数时，求抛物线的解析式；⑶在⑵的条件下，若在抛物线和轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长．（顺义一模）                      【解析】       ⑴ ，依题意，得∴的取值范围是且．  ①  ⑵ 解方程，得．∵方程的解是负数，∴．  ∴．      ②  综合①②，及为整数，可得．∴抛物线解析式为． ⑶ 如图，设最大正方形的边长为，则、两点的纵坐标为，且由对称性可知：、两点关于抛物线对称轴对称．∵抛物线的对称轴为：．∴点的坐标为． ∵点在抛物线上，∴．整理，得．∴，（舍）∴．   题型一  存在问题中的三角形  巩固练习【练习1】   在如图的直角坐标系中，已知点，，将线段绕点按逆时针方    向旋转至．⑴求点的坐标；⑵若抛物线经过点．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点（点除外），使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（重庆綦江）      【解析】       ⑴ 过点作轴，垂足为，在和中，由已知有，,而，∴，又∵，且由已知有，∴，∴，，∴点的坐标为⑵ ①∵抛物线经过点，∴，解得∴抛物线的解析式为.② i) 当为直角顶点时 ，延长至点，使,则是以为直角边的等腰直角三角形,如果点在抛物线上,则满足条件，过点作轴, ∵，，∴，∴，,∴可求得的坐标为，经检验点在抛物线上，因此存在点满足条件；ii）当点为直角顶点时，过点作直线，在直线上分别取，得到以为直角边的等腰直角和等腰直角，作轴于点，同理可证∴，，可得点的坐标为，经检验点在抛物线上,因此存在点满足条件．同理可得点的坐标为，经检验点不在抛物线上．综上：抛物线上存在点，两点，使得和是以为直角边的等腰直角三角形．  题型二  存在问题中的四边形  巩固练习【练习2】   如图，已知抛物线过点，，与轴交于另一点．⑴求抛物线的解析式；⑵若在第三象限的抛物线上存在点，使为以点为直角顶点的直角三角形，求点的坐标；⑶在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（山东烟台）  【解析】       ⑴ 把，代入中，得解得∴抛物线的解析式为⑵ 令，得解得，∴点∵∴为等腰直角三角形．∴过点作轴，垂足为．∵，∴，所以可设点则有，∴，（舍）所以点坐标为．⑶ 由⑵知，当为直角梯形一底时，由图象可知点不可能在抛物线上，若为直角梯形一底，为直角梯形腰时，∵，∴直线的解析式为∵直线，且∴直线的解析式为联立方程组得得解得（舍），∴，，即点∴符合条件的点的坐标为．