苏科版中考数学冲刺专项第8讲.第二轮复习之几何三大变换 教师版

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【例1】         如图所示，是等边三角形，的边、、交各边分别于、、、、、．已知，且，求证：．

【解析】      要证，只需证明，而已知，

但、、并不是一个三角形的三条边，不妨设法平移线段、、成为一个三角形．如图所示，过作的平行线交过所作的的平行线于点，可知是平行四边形．

故，．

又因为，

所以是等边三角形．

从而，

故，且．

因此是平行四边形，

则，且．

因为，

则，

由勾股定理的逆定理可得．

由于，即；，即，

故，即．

【例2】 在中，，，，点、、分别为、、    上的动点，求的最小周长．

【解析】      当点固定时，分别作点关于、的对称线段、，应用上面结论可得，

∵，∴是等腰直角三角形，，

故，

当最小时，即为的高，且、、、四点共线，

的周长最小为．求高如图所示．

最小周长为．（此三角形即为著名的垂足三角形）

【例3】 如图，已知，且．求证：是等腰三     角形．

【解析】      延长到，使得，连接．

∵，

∴，

即．

∵，

∴，

∵，∴，

∴，，

∵，∴，

∴，∴，∴是等腰三角形．

【例4】 在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B．

    （1）求∠BAO的度数；

    （2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点                                           Q在AD上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．

   求证：PF＝PQ ；

   （3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若                P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．

【解析】（1）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．

∴A（－6，0），B（0，6）．

∴OA=OB．

∴

在△AOB中，．

∴．

（2）在等腰直角三角形APD中，

，DA=DP，．

∴DP⊥AD于D．

由（1）可得．

∴．

又∵PG⊥x轴于G，

∴PG = PD．

∴．

∴．

∴．

即．

又∵PQ⊥PF，

∴．

∴．

在△PGF和△PDQ中，

∴△PGF≌△PDQ(ASA)．

∴PF=PQ．

（3）答：OP⊥DP，OP＝DP．

证明：延长DP至H，使得PH=PD．

∵P为BE的中点，

∴PB=PE．

在△PBH和△PED中，

∴△PBH≌△PED（SAS）．

∴BH=ED．

∴．

∴BH∥ED．

在等腰直角三角形ADE中，

AD=ED，．

∴AD=BH，.

∴DE∥x轴，BH∥x轴， BH⊥y轴．

∴．

由（1）可得 OA=OB．

在△DAO和△HBO中，

∴△DAO≌△HBO（SAS）．

∴OD=OH，∠5=∠6．

∵,

∴.

∴在等腰直角三角形△DOH中，

∵DP=HP，

∴OP⊥DP，.

∴．∴OP=PD．

【例5】 某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

●操作发现：

在等腰中，，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中于点，于点，是的中点，连接和，则下列结论正确的是              （填序号即可）．

①；②；③整个图形是轴对称图形；④．

●数学思考：

在任意中，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连接和，则与具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；

●类比探究：

在任意中，仍分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连接和，试判断的形状．

答：                    ．

(2013江西)

【解析】       ●操作发现：①②③④

●数学思考：

答：，，

先证；

如图2，分别取、的中点、，

连接，，，，

∵是的中点，

∴，．

∴，

同理可证，

∵，

同理可得，

∴，

又∵，

∴．

同理可得，

∴，

即，又，，

∴（SAS），

∴，

再证：

证法一：∵，

∴，

即．

又∵，

∴，

∴，

其中

∴．

即；

证法二：如图2，与交于点，

∵，

∴，

又∵，

即．

∵，

又∵，

∴，

∴，

即；

●类比探究

答：等腰直角三角形．

（评分说明：仅答等腰三角形或仅答直角三角形的不得分）

【例6】         在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E．

（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；

（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；

（3）如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．

【解析】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴, BC=．

∵BD平分∠ABC，

∴. 

∴DA=DB．

 ∵DE⊥AB于点E．

∴AE=BE=．

∴BC=BE.

∴△BCE是等边三角形.

（2）结论：AD = DG＋DM．

（3）结论：AD = DG－DN．

理由如下：

延长BD至H，使得DH＝DN .

由（1）得DA=DB，．

∵DE⊥AB于点E．

∴．

∴．

∴△NDH是等边三角形．

∴NH=ND，．

∴．

∵,

∴.

即.

在△DNG和△HNB中，

∴△DNG≌△HNB（ASA）．

∴DG=HB.

∵HB=HD＋DB=ND＋AD,

∴DG= ND＋AD.

∴AD = DG－ND.

训练1.     如图，在中，，点在上，且，在上，且，与相交于．求证：．

【分析】      由45°角想到等腰直角三角形，所以平移使其过点或点，或者平移使其过点或点，将离散的线段集中在特殊三角形中，就能解决问题．

【解析】      方法一：如图1，分别过、作、的平行线相交于点，连结，可得到弦图模型的全等、平行四边形以及等腰直角三角形，从而可证

方法二：如图2，分别过点、点作平行线，可得、平行四边形、等腰直角三角形．

方法三四：如图3，4，分别过、点作平行线．

训练2.     如图所示，在四边形中，，，求证：

(1) ；

(2) .

【解析】(1) 以为对称轴将翻折到的位置，则由可知在上，

且，.

将平移到的位置，则由可知在的延长线上，

且，

，

因此是一个等腰梯形，

所以，

于是.

(2) 由(1)可得，

即，

而由及勾股定理可得，

故.

训练3.      ⑴ 如图，是等边内一点，若，，，求的度数．

⑵ 如图，是等边外一点，若，，，求的度数．

⑶ 如图所示，是等边内部一点，，，，求的边长．

【解析】      只要学过勾股定理的同学，看到，， 都会想到直角三角形．我们用旋转变换把三条边集中到同一个三角形中．

⑴ 如图，过点作，，连接，．（等于将沿点逆时针旋转）．

，，，．

∴，，

⑵ 以为边向四边形的外面作正，则，，

∴，，，∴，．

⑶ 将绕点逆时针旋转，得到．

连接，则，，

，，

故是等边三角形，

从而，．

在中，，，，

故，．

过点作，交的延长线于点，

则，，

．

因此，在中，．

题型一  平移变换 巩固练习

【练习1】   ⑴ 如图，三角形的底边长厘米，边上的高是厘米，

将该三角形以每秒厘米的速度沿高的方向向上平行移动秒，这时，

该三角形扫过的面积（阴影部分）．

⑵ 如图，线段沿着四个方向①②③④都平移个单位长度，线

段扫过的面积最大的是           ．（填序号）

【解析】       ⑴ 三角形扫过面积相当于矩形的面积，当然也可直接计

算为平方厘米．

⑵ ③．

题型二  轴对称变换  巩固练习

【练习2】   如图所示，已知中，，，，，，分别是三    边，，上的点，则的最小值为（　　）

A．      B．      C．       D．

【解析】      如图所示，的最小值为，且当时，去最小值，故选B．

题型三  旋转变换  巩固练习

【练习3】   、是等腰斜边所在直线上的两点，满足；求证：    ．

【解析】      将绕点逆时针旋转得到，证明与全等即可．