高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第讲万有引力定律及其应用学案新人教版

这是一份高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第讲万有引力定律及其应用学案新人教版，共14页。

知识点1 开普勒三定律
开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
注意：面积定律是对同一个行星而言的，不同的行星相等时间内扫过的面积不等。
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等，即eq \f(a3,T2)＝k。
(1)对于椭圆轨道，公式eq \f(a3,T2)＝k中的a是半长轴，即长轴的一半，注意椭圆轨道的对称性；
(2)对于圆轨道，公式eq \f(a3,T2)＝k中的a是轨道半径，圆周上的任何位置，万有引力等于向心力；
(3)公式eq \f(a3,T2)＝k中的k是一个只与中心天体的质量有关的量，与行星的质量无关。
知识点2 万有引力定律
1．内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，引力的大小跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。
2．公式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，G为万有引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．适用条件：适用于相距很远，可以看作质点的物体之间的相互作用。质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可用此公式计算，其中r为两球心之间的距离。
思考：卡文迪许把他的实验说成是可以“称量地球的质量”。阅读教材，怎样通过推导公式来证明卡文迪许的实验是能够称量地球质量的。
[答案] 若忽略地球自转的影响，则mg＝Geq \f(Mm,R2)，由此得到M＝eq \f(gR2,G)。地球表面的重力加速度g和地球半径R在卡文迪许之前就已知道，卡文迪许通过实验测得了引力常量G，所以就可以算出地球的质量M。
知识点3 人造卫星
表达式：应用万有引力定律分析天体运动的方法
Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝mr(eq \f(2π,T))2
应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算。
基本特征：把天体运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。
知识点4 宇宙速度
1．第一宇宙速度(环绕速度)
指人造卫星近地环绕速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，是人造卫星的最小发射速度，也是最大的线速度，其大小为v1＝7.9 km/s。
2．第二宇宙速度
在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度。其大小为v2＝11.2 km/s。
3．第三宇宙速度
在地面上发射物体，使之能够脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，其大小为v3＝16.7 km/s。
思考：发射卫星，要有足够大的速度才行，请思考：
(1)不同星球的第一宇宙速度是否相同？如何计算第一宇宙速度？
(2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？
[答案] (1)不同。围绕星球表面运转卫星的线速度即为第一宇宙速度。
(2)越大。
双基自测
一、堵点疏通
1．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。( × )
2．牛顿根据前人的研究成果得出了万有引力定律，并测量得出了万有引力常量。( × )
3．人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。( √ )
4．在地球上，若汽车的速度达到7.9 km/s，则汽车将飞离地面。( √ )
5．“嫦娥四号”探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则周期较小的轨道半径一定较小。( √ )
二、对点激活
1．(2023·山东质检)开普勒行星运动定律为万有引力定律的发现奠定了基础，下列对于开普勒行星运动定律的理解，正确的是( C )
A．开普勒定律只适用于行星绕太阳的运动，不适用于卫星绕地球的运动
B．行星绕太阳运动时，在近日点处的线速度小于在远日点处的线速度
C．若人造地球卫星的运行轨道都是椭圆(共面)，则地球在椭圆的一个焦点上
D．同一人造卫星绕地球运行与绕月球运行，其轨道半径的三次方与其运动周期的平方之比相同
[解析] 本题考查对开普勒三大定律的理解。开普勒定律适用于一切类太阳系行星的运动，故A错误；行星绕太阳运动时，在近日点处的线速度大于在远日点处的线速度，故B错误；若人造地球卫星的运行轨道都是椭圆(共面)，则地球在椭圆的一个焦点上，故C正确；开普勒第三定律适用于绕同一中心天体的运动，故D错误。
2．由于万有引力定律和库仑定律都满足平方反比规律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理问题时可以将它们进行类比，例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E＝eq \f(F,q)，在引力场中可以用一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱，设地球质量为M，半径为R，地球表面处重力加速度为g，引力常量为G，如果一个质量为m的物体位于距离地心2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是( A )
A．eq \f(g,4) B．Geq \f(m,2R2)
C．Geq \f(Mm,2R2) D．eq \f(g,2)
[解析] 本题借助电场强度的定义得出“引力场强度”的表达式。离地心2R处的物体受到的万有引力为F＝eq \f(GMm,2R2)，因此“引力场强度”可表示为eq \f(F,m)＝eq \f(GM,2R2)，又因忽略地球自转时在地球表面的物体满足eq \f(GMm′,R2)＝m′g，得GM＝gR2，故该处的“引力场强度”也可表示为eq \f(g,4)，故A正确。
3．(2023·山东泰安二模)(多选)中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统。如图所示是北斗卫星导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球同步卫星，则( AD )
A．卫星a的角速度小于c的角速度
B．卫星a的加速度大于b的加速度
C．卫星a的运行速度大于第一宇宙速度
D．卫星b的周期等于24 h
[解析] 本题考查不同轨道卫星运行参数的比较。根据万有引力提供向心力，由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r可得角速度ω＝ eq \r(\f(GM,r3))，可知轨道半径r越大，角速度ω越小，由于a的轨道半径大于c的轨道半径，所以卫星a的角速度小于c的角速度，选项A正确。由Geq \f(Mm,r2)＝ma可得向心加速度a＝eq \f(GM,r2)，由于卫星a的轨道半径与卫星b的轨道半径相等，所以卫星a的加速度等于b的加速度，选项B错误。由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可得线速度v＝ eq \r(\f(GM,r))，轨道半径r越大，v越小，而第一宇宙速度为轨道半径等于地球半径的近地卫星的速度，所以卫星a的运行速度一定小于第一宇宙速度，选项C错误。由Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r，可得周期T＝2π eq \r(\f(r3,GM))，而卫星a的轨道半径与卫星b的轨道半径相等，所以卫星b的周期等于卫星a的周期，即等于地球自转周期24 h，选项D正确。
4．(2023·北京，18)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( D )
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
[解析] A错：同步卫星只能位于赤道正上方。
B错：由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)。
C错：同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度。
D对：若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少。
核心考点·重点突破
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
考点一 中心天体质量和密度的估算
1．“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G)。
(2)天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)。
2．“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)。故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
例1 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道处的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。则地球的密度为( B )
A．eq \f(3πg0－g,GT2g0) B．eq \f(3πg0,GT2g0－g)
C．eq \f(3π,GT2) D．eq \f(3π,GT2\f(g0,g))
[解析] 在两极处万有引力等于重力，则有mg0＝Geq \f(Mm,R2)，在赤道处，万有引力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定
律得Geq \f(Mm,R2)－mg＝meq \f(4π2,T2)R，而密度公式ρ＝eq \f(M,V)，V＝eq \f(4,3)πR3，联立得ρ＝eq \f(3πg0,GT2g0－g)，故B正确，A，C，D错误。
名师点拨 万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F有两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2。
(3)在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg。
〔变式训练1〕(多选)公元2100年，航天员准备登陆木星，为了更准确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当航天器与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经过时间t，收到激光传回的信号，测得相邻两次看到日出的时间间隔是T，测得航天员所在航天器的速度为v，已知引力常量G，激光的速度为c，则( AD )
A．木星的质量M＝eq \f(v3T,2πG)
B．木星的质量M＝eq \f(π2c3t3,2GT2)
C．木星的密度ρ＝eq \f(3π,GT2)
D．木星的密度ρ＝eq \f(3πv3T,GvT－πct3)
[解析] 由题意知，航天器到木星表面的距离h＝eq \f(ct,2)，航天器绕木星运动的周期为T，根据v＝eq \f(2πr,T)可得，航天器的轨道半径r＝eq \f(vT,2π)，根据万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)，得M＝eq \f(v3T,2πG)，故A正确，B错误；木星的半径R＝r－h＝eq \f(vT,2π)－eq \f(ct,2)，所以木星的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πv3T,GvT－πct3)，故C错误，D正确。
考点二 人造卫星问题
1．人造卫星的运动规律
(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝ma。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，称“黄金代换”。
(3)四个关系：人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。
eq \f(GMm,r2)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\r(\f(1,r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3))) 越高越慢
2．地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86 400 s。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得r＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2))＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
3．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
例2 如图所示，A为近地气象卫星，B为远地通讯卫星，假设它们都绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为R，卫星A距地面高度可忽略不计，卫星B距地面高度为h，不计卫星间的相互作用力。则下列说法正确的是( D )
A．若两卫星质量相等，发射卫星B需要的能量少
B．卫星A与卫星B运行周期之比为eq \f(R3,R＋h3)
C．卫星A与卫星B运行的加速度大小之比为eq \f(R＋h,R)
D．卫星A与卫星B运行速度大小之比为eq \r(\f(R＋h,R))
[解析] 若两卫星质量相等，圆轨道半径越大，卫星所具有的机械能越大，所以发射卫星B需要的能量大，选项A错误；根据开普勒第三定律可知，所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即卫星A与卫星B运行周期之比为eq \r(\f(R3,R＋h3))，故B错误；由eq \f(GMm,R2)＝ma，则a＝eq \f(GM,R2)，所以卫星A与卫星B运行的加速度大小之比为eq \f(R＋h2,R2)，故C错误；由eq \f(GMm,R2)＝eq \f(mv2,R)，得v＝eq \r(\f(GM,R))，卫星A与卫星B运行速度大小之比为eq \r(\f(R＋h,R))，所以D正确。
〔变式训练2〕(2023·北京西城一模)2019年11月5日，我国成功发射了“北斗三号卫星导航系统”的第3颗倾斜地球同步轨道卫星。“北斗三号卫星导航系统”由静止地球同步轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星、中圆地球轨道卫星组成。“同步轨道”卫星的公转周期等于地球自转周期，卫星运行轨道面与地球赤道面的夹角叫作轨道倾角。根据轨道倾角的不同，可将“同步轨道”分为静止轨道(倾角为零)、倾斜轨道(倾角不为零)和极地轨道。根据以上信息，下列说法中正确的是( D )
A．倾斜地球同步轨道卫星的高度大于静止地球同步轨道卫星的高度
B．倾斜地球同步轨道卫星的线速度小于静止地球同步轨道卫星的线速度
C．可以发射一颗倾斜地球同步轨道卫星，静止在北京上空
D．可以发射一颗倾斜地球同步轨道卫星，每天同一时间经过北京上空
[解析] 倾斜地球同步轨道卫星与静止地球同步轨道卫星具有相同的周期(24 h)，则由Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r可知，两种卫星的轨道半径相等，即倾斜地球同步轨道卫星的高度等于静止地球同步轨道卫星的高度，选项A错误；两种卫星具有相同的周期和角速度，运转半径相同，则根据v＝ωr可知，两种卫星具有相同的线速度，选项B错误；静止地球同步轨道卫星相对于地球静止，轨道所在平面必须与地球赤道面共面，由于倾斜地球同步轨道卫星的轨道为倾斜轨道，因此不能与地球保持相对静止，但因为周期总为24 h，则可以每天同一时间经过北京上空，选项C错误，D正确。故选D。
〔变式训练3〕(2023·湖南衡阳八中月考)据报道，未来几年我国将发射首颗“人造月亮”，其亮度是月球亮度的8倍，可为城市提供夜间照明。假设“人造月亮”在距离地球表面500 km的轨道上绕地球做匀速圆周运动(不计地球自转的影响)，下列有关“人造月亮”的说法正确的是( B )
A．发射速度小于第一宇宙速度
B．角速度大于月球绕地球运行的角速度
C．向心加速度大于地球表面的重力加速度
D．在运行轨道上处于完全失重状态，重力加速度为零
[解析] 本题考查第一宇宙速度的计算、不同轨道运行天体的物理量对比问题。第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星绕中心天体运行的最大环绕速度，所以“人造月亮”的发射速度不可能小于第一宇宙速度，故A错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝mω2r，可得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，由于“人造月亮”绕地球做圆周运动的轨道半径小于月球绕地球运行的轨道半径，所以“人造月亮”的角速度大于月球绕地球运行的角速度，故B正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq \f(GM,r2)，由于“人造月亮”绕地球做圆周运动的轨道半径大于地球半径，所以“人造月亮”的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；“人造月亮”在绕地球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，加速度等于重力加速度，处于完全失重状态，但重力加速度g＝eq \f(GM,r2)不为零，故D错误。
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
多星运动模型
(一)双星模型
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特点：
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq \\al(2,1)r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq \\al(2,2)r2
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1)
(5)双星的运动周期T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2))
(6)双星的总质量公式m1＋m2＝eq \f(4π2L3,GT2)
例3 (2023·山东淄博七中期中)2016年2月11日，美国科学家宣布探测到了引力波，证实了爱因斯坦的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中缺失的最后一块“拼图”。双星的运动是引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成，这两颗星体绕它们连线上的某一点在万有引力的作用下做匀速圆周运动，测得a的周期为T，a、b两颗星体的距离为l，a、b两颗星体的轨道半径之差为Δr(a星的轨道半径大于b星)，则( B )
A．b星的周期为eq \f(l－Δr,l＋Δr)T
B．a星的线速度大小为eq \f(πl＋Δr,T)
C．a、b两颗星体的轨道半径之比为eq \f(l,l－Δr)
D．a、b两颗星体的质量之比为eq \f(l＋Δr,l－Δr)
[解析] 本题考查双星运行参数的计算。双星系统中星体的角速度大小相等，周期相同，故b的周期为T，选项A错误；由题意得ra－rb＝Δr，ra＋rb＝l，可得ra＝eq \f(l＋Δr,2)，rb＝eq \f(l－Δr,2)，所以eq \f(ra,rb)＝eq \f(l＋Δr,l－Δr)，a星的线速度v＝eq \f(2πra,T)＝eq \f(πl＋Δr,T)，选项B正确，C错误；由maω2ra＝mbω2rb得eq \f(ma,mb)＝eq \f(rb,ra)＝eq \f(l－Δr,l＋Δr)，选项D错误。
名师点拨
万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，不可混淆。
(二)三星模型
1．直线模型
如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上。两行星转动的方向相同，角速度、线速度的大小相等。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：
eq \f(Gm2,r2)＋eq \f(Gm2,2r2)＝ma。
2．三角形模型
如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。三颗行星转动的方向相同，角速度、线速度的大小相等。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星的万有引力的合力来提供：eq \f(Gm2,L2)×2×cs 30°＝ma
其中L＝2rcs 30°。
例4 (多选)三颗质量均为M的星球分别(可视为质点)位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。如图所示，如果他们中的每一颗都在相互的引力作用下沿等边三角形的外接圆轨道运行，引力常量为G，下列说法正确的是( BD )
A．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为eq \f(\r(3)GM2,2L2)
B．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心O
C．它们运行的轨道半径为eq \f(\r(3),2)L
D．它们运行的线速度大小为eq \r(\f(GM,L))
[解析] 本题考查多星系统问题。根据万有引力定律，任意两个星体间的引力大小为F＝Geq \f(M2,L2)，每个星球所受的合力为F合＝2Fcs 30°＝eq \f(\r(3)GM2,L2)，根据几何关系可知，合力的方向指向圆心O，故A错误，B正确；由几何知识可知星球做圆周运动的轨道半径R＝eq \f(L,2cs 30°)＝eq \f(\r(3),3)L，故C错误；根据万有引力的合力提供向心力可知，F合＝Meq \f(v2,R)，可得v＝eq \r(\f(F合R,M))＝eq \r(\f(\f(\r(3)GM2,L2)·\f(\r(3),3)L,M))＝eq \r(\f(GM,L))，故D正确。
2年高考·1年模拟
2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI
1．(2023·课标Ⅰ，15)火星的质量约为地球质量的1/10，半径约为地球半径的1/2，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( B )
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
[解析] 本题考查万有引力定律的应用。由万有引力定律得在火星表面质量为m的物体受到的引力为F火＝Geq \f(M火m,r\\al(2,火))，在地球表面同一物体受到的引力为F地＝Geq \f(M地m,r\\al(2,地))，其中M火＝eq \f(1,10)M地，r火＝eq \f(1,2)r地，联立解得eq \f(F火,F地)＝0.4，B正确，A、C、D错误。
2．(2023·课标Ⅱ，15)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( A )
A．eq \r(\f(3π,Gρ)) B．eq \r(\f(4π,Gρ))
C．eq \r(\f(1,3πGρ)) D．eq \r(\f(1,4πGρ))
[解析] 本题考查万有引力定律的应用。卫星绕球形星体表面做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可知Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，又M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，可得T＝eq \r(\f(3π,Gρ))。
3．(2023·课标Ⅲ，16)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( D )
A．eq \r(\f(RKg,QP)) B．eq \r(\f(RPKg,Q))
C．eq \r(\f(RQg,KP)) D．eq \r(\f(RPg,QK))
[解析] 本题通过“嫦娥四号”探测器考查万有引力定律及其应用。在地球表面，质量为m的物体所受重力满足mg＝eq \f(GMm,R\\al(2,))，可得地球表面的重力加速度满足g＝eq \f(GM,R2)，同理可知，月球表面的重力加速度g月＝eq \f(GM月,R\\al(2,月))，则eq \f(g月,g)＝eq \f(\f(GM月,R\\al(2,月) ),\f(GM,R2 ))，根据题意可知，地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，解得g月＝eq \f(P2,Q)g，“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设“嫦娥四号”的质量为m0，则有eq \f(GM月m0,KR月2)＝eq \f(m0v2,KR月)，可得“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率v＝eq \r(\f(GM月,KR月))＝eq \r(\f(gRP,KQ))，故D正确。
4．(2023·山东，7)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( B )
A．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g－\f(v0,t0))) B．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g＋\f(v0,t0)))
C．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g－\f(v0,t0))) D．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g＋\f(v0,t0)))
[解析] 忽略星球的自转，万有引力等于重力
Geq \f(Mm,R2)＝mg
则eq \f(g火,g地)＝eq \f(M火,M地)·eq \f(R\\al(2,地),R\\al(2,火))＝0.1×eq \f(1,0.52)＝0.4
解得g火＝0.4g地＝0.4g
着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知
0＝v0－at0
解得a＝eq \f(v0,t0)
匀减速过程，根据牛顿第二定律得
f－mg＝ma
解得着陆器受到的制动力大小为
f＝mg＋ma＝m(0.4g＋eq \f(v0,t0))
ACD错误，B正确。
故选B。
5．(2023·全国卷Ⅰ，21)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( AC )
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
[解析] B错：如图，当x＝0时，对P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。
当P、Q的加速度a＝0时，对P有mPgM＝kx0，则mP＝eq \f(kx0,3a0)；对Q有mQgN＝k·2x0，则mQ＝eq \f(2kx0,a0)，即mQ＝6mP。
A对：根据mg＝Geq \f(Mm,R2)得，星球质量M＝eq \f(gR2,G)，则星球的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)，
所以M、N的密度之比eq \f(ρM,ρN)＝eq \f(gM,gN)·eq \f(RN,RM)＝eq \f(3,1)×eq \f(1,3)＝1。
C对：当P、Q的加速度为零时，P、Q的动能最大，机械能守恒，对P有：mPgMx0＝Ep弹＋EkP，
即EkP＝3mPa0x0－Ep弹；
对Q有：mQgN·2x0＝4Ep弹＋EkQ，
即EkQ＝2mQa0x0－4Ep弹＝12mPa0x0－4Ep弹
＝4×(3mPa0x0－Ep弹)＝4EkP。
D错：P、Q在弹簧压缩到最短时，其位置关于加速度a＝0时的位置对称，故P下落过程中的最大压缩量为2x0，Q为4x0。