第4章 第4讲 万有引力定律及其应用—2022届高中物理一轮复习讲义（机构专用）学案

这是一份第4章 第4讲 万有引力定律及其应用—2022届高中物理一轮复习讲义（机构专用）学案，共18页。学案主要包含了教学目标，重、难点，知识梳理，能力展示，小试牛刀，大显身手等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】1、了解开普勒对行星运动的描述；
2、掌握万有引力定律的内容、公式和适用范围；
3、能熟练解析万有引力定律在天文学上的应用问题
【重、难点】1、天体运动的向心力是由万有引力提供的；
2、天体质量和密度的估算
【知识梳理】
（1）所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。（ ）
（2）行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。（ ）
（3）只有天体之间才存在万有引力。（ ）
（4）只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Geq \f(m1m2,r2)计算物体间的万有引力。（ ）
（5）地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。（ ）
（6）两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。（ ）
（1）德国天文学家开普勒提出天体运动的开普勒三大定律。
（2） 总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律。
（3）英国物理学家 利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量，因此被人们称为“能称出地球质量的人”
考点一 开普勒行星运动定律与万有引力定律
关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
变式1、 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
变式2、北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35颗卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中轨道和倾斜轨道。其中，同步轨道半径大约是中轨道半径的1.5倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为( )
A． B． C． D．
（1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
（2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
（3）开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。
考点二 万有引力的“两点理解”
1．两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
2．地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．
如图所示，地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向．
（1）在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R
（2）在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2
（3）在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和．
综上所述
重力大小：两个极点处最大，等于万有引力；赤道上最小，其他地方介于两者之间，但差别很小。
重力方向：在赤道上和两极点的时候指向地心，其他地方都不指向地心，但与万有引力的夹角很小。
由于地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即≈mg
说明：由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力的变化为千分之五；地面到地心的距离每增加一千米，重力减少不到万分之三，所以，在近似的计算中，认为重力和万有引力相等
例2、设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为（ ）
A． B．
C． D．
考点三 万有引力的三种计算思路
1．用万有引力定律计算质点间的万有引力
公式F＝Geq \f(m1m2,r2)适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线。
例3、（多选）如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为eq \f(GMm,r－R2) B．一颗卫星对地球的引力大小为eq \f(GMm,r2)
C．两颗卫星之间的引力大小为eq \f(Gm2,3r2) D．三颗卫星对地球引力的合力大小为eq \f(3GMm,r2)
2．用万有引力定律的两个推论计算万有引力
推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零；
推论Ⅱ：如图所示，在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对它的引力，即F＝Geq \f(M′m,r2)。
例4、如图所示，有人设想要“打穿地球”从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西。若只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度( )
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
3．填补法求解万有引力
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了 思想。
例5、如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为eq \f(R,2)的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）( )
A．Geq \f(Mm,R2) B．0 C．4Geq \f(Mm,R2) D．Geq \f(Mm,2R2)
（1）万有引力定律只适用于求质点间的万有引力。
（2）在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点处理。
（3）可以采用先填补后运算的方法计算万有引力大小。
考点四 万有引力定律在天文学上的应用
1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路[
（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即：Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2r,T2)
（2）在中心天体表面或附近时，万有引力近似等于重力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg（g表示天体表面的重力加速度）．
（3）GM＝gR2称为黄金代换公式。
例6、火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为T1，神州飞船在地球表面附近圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1、T2之比为（ ）
A． B． C． D．
变式3、（多选）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T，地球同步卫星离地面的高度为h，则地球同步卫星的线速度的大小可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2．天体质量M、密度ρ的估算
（1）“自力更生”法（g－R）：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R
由于：Geq \f(Mm,R2)＝mg，故天体质量：M＝eq \f(gR2,G)， 天体密度：ρ＝ = = ；
（2）“借助外援”法（T－r）：通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r
① 由万有引力等于向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得出中心天体质量：M＝ ；
② 若已知天体半径R，则天体的平均密度：ρ＝ = = ；
③ 若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝ 。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的 ，就可估算出中心天体的密度．
例7、过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq \f(1,20)，该中心恒星与太阳的质量比约为（ ）
A．eq \f(1,10) B．1 C．5 D．10
例8、假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常数为G，则地球的密度为（ ）
A． B． C． D．
变式4、一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为 （ ）
A．eq \f(mv2,GN) B．eq \f(mv4,GN) C．eq \f(Nv2,Gm) D．eq \f(Nv4,Gm)
变式5、（多选）公元2100年，航天员准备登陆木星，为了更准确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当到达与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经过时间t，收到激光传回的信号，测得相邻两次看到日出的时间间隔是T，测得航天员所在航天器的速度为v，已知引力常量G，激光的速度为c，则（ ）
A．木星的质量M＝eq \f(π2c3t3,2GT2) B．木星的质量M＝eq \f(v3T,2πG)
C．木星的质量M＝eq \f(4π2c3t3,GT2) D．根据题目所给条件，可以求出木星的密度
一、估算天体质量和密度时应注意的问题
1．利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．
2．区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq \f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径．
考点五 天体表面的重力加速度问题
重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力等于万有引力，即mg＝eq \f(GMm,R2)，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。
1．求天体表面的重力加速度
例9、某行星的半径是地球半径的3倍，质量是地球质量的36倍。则该行星表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的（ ）
A．4倍 B．6倍 C．1/4倍 D．12倍
变式6、一名宇航员来到某星上，此星的密度为地球的一半，半径也为地球的一半，则他受到的“重力”为在地球上所受重力的（ ）
A．1/4 B．1/2 C．2倍 D．4倍
2．求天体表面某深度处的重力加速度
例10、假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
A．1－ EQ \F(d,R) B．1+ EQ \F(d,R) C． D ．
3．求天体表面某高度处的重力加速度
例11、由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。则“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为（ ）
A．eq \f(R－d,R＋h) B．eq \f((R－d)2,(R＋h)2) C．eq \f((R－d)(R＋h)2,R3) D．eq \f((R－d)(R＋h),R2)
4．天体表面重力加速度与抛体运动的综合
例12、（2015·海南高考）若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶eq \r(7)。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为( )
A．eq \f(1,2)R B．eq \f(7,2)R C．2R D．eq \f(\r(7),2)R
【能力展示】
【小试牛刀】
1．如图所示，质量为m1和m2的两个物体用细线相连，在大小恒定的拉力F作用下，先沿光滑水平面，再沿光滑斜面，最后竖直向上运动．在三个阶段的运动中，线上拉力的大小（ ）
A．由大变小 B．由小变大 C．始终不变 D．由大变小再变大
2．宇宙飞船进入一个围绕太阳的近乎圆形的轨道运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ）
A．3年 B．81年 C．9年 D．27年
3．某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运动，若要计算行星的密度，唯一要测量出的物理是（ ）
A．行星的半径 B．卫星的半径 C．卫星运行的线速度 D．卫星运行的周期
4．（多选）探测器探测到土星外层上有一个环。为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来确定（ ）
A．若v∝R，则该环是土星的一部分 B．若v2∝R，则该环是土星的卫星群
C．若v∝1/R，则该环是土星的一部分 D．若v2∝1/R，则该环是土星的卫星群
5．一物体静止在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上．假如经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动则与开采前比较（ ）
A．地球与月球间的万有引力将变大 B．地球与月球间的万有引力将减小
C．月球绕地球运动的周期将变长 D．月球绕地球运动的周期将变短
7．（多选）某人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t（t小于航天器的绕行周期），航天器运动的弧长为s，航天器与月球的中心连线扫过的角度为θ，引力常量为G，则( )
A．航天器的轨道半径为eq \f(θ,s) B．航天器的环绕周期为eq \f(2πt,θ)
C．月球的质量为eq \f(s3,Gt2θ) D．月球的密度为eq \f(3θ2,4Gt2)
8．宇航员站在某一星球距表面h高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球的质量为( )
A．eq \f(2hR2,Gt) B．eq \f(2hR2,Gt2) C．eq \f(2hR,Gt2) D．eq \f(Gt2,2hR2)
9．（多选）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则( )
A．g′∶g＝5∶2 B．g′∶g＝1∶5
C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80
10．科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)（其中c＝3×108 m/s，G为引力常量），则该黑洞表面的重力加速度大约为( )
A．108 m/s2 B．1010 m/s2 C．1012 m/s2 D．1014 m/s2
11．（多选）设地球半径为R，质量为m 的卫星在距地面R高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则（ ）
A．卫星的线速度为 B．卫星的角速度为
C．卫星的加速度为 D．卫星的周期为2
12．（多选）如图所示，在绕地运行的天宫一号实验舱中，宇航员王亚平将支架固定在桌面上，摆轴末端用细绳连接一小球．拉直细绳并给小球一个垂直细绳的初速度，它做圆周运动．在a、b两点时，设小球动能分别为Eka、Ekb，细绳拉力大小分别为Ta、Tb，阻力不计，则（ ）
A．Eka>Ekb B．Eka=Ekb C．Ta>Tb D．Ta=Tb
13．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的（忽略其自转影响）( )
A．eq \f(1,4) B．4倍 C．16倍 D．64倍
【大显身手】
14．据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍。已知近地卫星绕地球运动的周期约为T，引力常量为G。则该行星的平均密度为( )
A．eq \f(3π,GT2) B．eq \f(π,3T2) C．eq \f(3πb,aGT2) D．eq \f(3πa,bGT2)
15．已知一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔN，假设地球是质量分布均匀的球体，半径为R。则地球的自转周期为( )
A．T＝2πeq \r(\f(ΔN,mR)) B．T＝2π eq \r(\f(mR,ΔN))
C．T＝2π eq \r(\f(mΔN,R)) D．T＝2π eq \r(\f(R,mΔN))
16．（多选）如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其它恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则（ ）
A．甲星所受合外力为 B．乙星所受合外力为
C．甲星和丙星的线速度相同 D．甲星和丙星的角速度相同
17．（多选）（2017·西安模拟）欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用m表示它的质量，h表示它近月点的高度，ω表示它在近月点的角速度，a表示它在近月点的加速度，R表示月球的半径，g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于( )
A．m(R＋h)ω2 B．meq \f(R2g,R＋h2) C．ma D．meq \f(R2ω2,R＋h)
18．（多选）如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是（ ）
θ
P
A．轨道半径越大，周期越长 B．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
C．轨道半径越大，速度越大 D．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
19．（多选）在某行星表面以不太大的初速度v0竖直上抛一物体，测得物体由抛出到返回到抛出点所用的时间为t，该行星的半径为R，万有引力恒量为G，则下列叙述正确的（ ）
A．该行星表面的重力加速度g＝eq \f(v0,t) B．该行星的质量为M＝eq \f(2v0R2,Gt)
C．该行星的密度ρ＝eq \f(3v0,8πGRt) D．该行星的第一宇宙速度v＝eq \r(\f(2v0R,t))
20．我国航天事业取得了突飞猛进地发展，航天技术位于世界前列。在航天控制中心对其正上方某卫星测控时，测得从发送“操作指令”到接收到卫星“已操作”的信息需要的时间为2t（设卫星接收到“操作指令”后立即操作，并立即发送“已操作”的信息到控制中心），测得该卫星运行周期为T，地球半径为R，电磁波的传播速度为c，由此可以求出地球的质量为( )
A．eq \f(π28R＋ct3,2GT2) B．eq \f(4π2R＋ct3,GT2) C．eq \f(π22R＋ct3,2GT2) D．eq \f(π24R＋ct3,GT2)
第4讲 万有引力定律以及应用
答案
例1、B 变式1、C 变式2、C 例2、B 例3、BC 例4、D
例5、D 例6、D 变式3、BC 例7、B 例8、B 变式4、B
变式5、B 例9、A 变式6、A 例10、A 例11、C 例12、C
【能力展示】
1、C 2、D 3、D 4、AD 5、D 6、BD 7、BC 8、B 9、BD 10、C
11、AC 12、BD 13、D 14、C 15．B 16．AD 17、BC 18、AD 19、BD
20、B