专题16 反比例函数应用（解答题）-备战2021年中考数学临考题号押题（全国通用）(28376913)

专题16反比例函数应用

【2021玉林】南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．

（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？

【答案】（1）（0<x≤600）；（2）实际挖掘了500天才能完成首期工程

【解析】

【分析】

（1）根据“工作时间=总工作量÷每天工作量”，即可得出y关于x的函数关系式；

（2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可．

【详解】

解：（1）∵共有土石方总量600千立方米，

∴（0<x≤600）；

（2）由题意得

，

解得x1=1，x2=（负值舍去），

经检验x=1是原分式方程的解

1+0.2=1.2千立方米，

600÷1.2=500天．

答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．

【点睛】

本题考查了反比例函数的应用，以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数关系式；（2）根据工期比原计划提前了100天列出方程．

【2021金昌】通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，下表是一个函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：

（1）当       时，；

（2）根据表中数值描点，并画出函数图象；

（3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：                                ．

【答案】（1）3；（2）见解析；（3）函数图像与轴无限接近，但没有交点．

【解析】

【分析】

（1）观察列表即可得出答案；

（2）依照表格中的数据描出各个点，然后利用光滑的曲线连接各点即可；

（3）观察函数图像，写出一条符合函数图像的性质即可．

【详解】

解：（1）通过观察表格发现：当时，，

故答案为：3；

（2）如下图：

（3）观察第（2）问中的图像可以得出一个结论：函数图像与轴无限接近，但没有交点；

【点睛】

本题考查的是函数图象，主要让学生通过描点画出函数图象，从图象中读取相关的信息．

【2021广州】如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点．

（1）求的值和点的坐标；

（2）求的周长．

【答案】（1）k=12，M（6,2）；（2）28

【解析】

【分析】

（1）将点A（3,4）代入中求出k的值，作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，证明△MEC∽△ADC，得到，求出ME=2，代入即可求出点M的坐标；

（2）根据勾股定理求出OA=5，根据点A、M的坐标求出DE，即可得到OC的长度，由此求出答案.

【详解】

（1）将点A（3,4）代入中，得k=，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴MA=MC，

作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，

∴ME∥AD，

∴△MEC∽△ADC，

∴，

∴ME=2，

将y=2代入中，得x=6，

∴点M的坐标为（6,2）；

（2）∵A（3,4），

∴OD=3，AD=4，

∴,

∵A（3,4），M（6,2），

∴DE=6-3=3，

∴CD=2DE=6，

∴OC=3+6=9，

∴的周长=2(OA+OC)=28.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求函数图象上点的坐标，勾股定理，相似三角形的判定及性质.

【2021大庆】如图，反比例函数与一次函数的图象在第二象限的交点为，在第四象限的交点为，直线（为坐标原点）与函数的图象交于另一点．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点，的面积为6．

（1）求反比例函数上的表达式；

（2）求点，的坐标和的面积．

【答案】（1）；（2）的面积为

【解析】

【分析】

（1）联立与求解的坐标，利用得到关于原点成中心对称，求解的坐标，结合已知得到的坐标，利用面积列方程求解即可得到答案；

（2）由（1）得到的值，得到的坐标，的解析式，记与轴的交点为 求解的坐标，利用可得答案．

【详解】

解：（1）由题意得：

当

当

经检验：符合题意．

＜

为与的交点，

轴，轴，

的面积为6．

反比例函数为：

（2）

直线为，

记与轴的交点为，

令 则

【点睛】

本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与一次函数的性质，考查了方程组与一元二次方程的解法，图形与坐标，图形面积问题，掌握以上知识是解题的关键．

【2021恩施州】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，与双曲线的一个交点为，且．

（1）求点的坐标；

（2）当时，求和的值．

．(1) (3，0)；(2) ，

【解析】

【分析】

(1)令中即可求出点A的坐标；

(2)过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，证明△BCM∽△BAO，利用和OA=3进而求出CM的长，再由求出CN的长，进而求出点C坐标即可求解．

【详解】

解：(1)由题意得：令中，

即，解得，

∴点A的坐标为(3，0)，

故答案为(3,0) ．

(2) 过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示：

显然，CMOA，∴∠BCM=∠BAO，且∠ABO=∠CBO，

∴△BCM∽△BAO，

∴，代入数据：

即：，∴=1，

又

即：，∴，

∴C点的坐标为(1，2)，

故反比例函数的，

再将点C(1,2)代入一次函数中，

即，解得，

故答案为：，．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的图像及性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握其图像性质是解决此题的关键．

【2021黄石】如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．

（1）求k的值；

（2）以、为边作菱形，求D点坐标．

（1）k=2；（2）D点坐标为(1+，2)．

【解析】

【分析】

（1）根据题意，点在正比例函数上，故将点代入正比例函数中，可求出a值，点A又在反比例函数图像上，故k值可求；

（2）根据（1）中已知A点坐标，则B点坐标可求，根据两点间距离公式可以求出AB的长，最后利用已知条件四边形ABCD为菱形，BC∥x，即可求出D点坐标．

【详解】

（1）根据题意，点在正比例函数上，故将点代入正比例函数中，得a=2，故点A的坐标为(1,2)，点A又在反比例函数图像上，设反比例函数解析式为，将A(1,2)代入反比例函数解析中，得k=2．

故k=2．

（2）如图，A、B为反比例函数与正比例函数的交点，故可得，解得，，如图，已知点A坐标为(1,2)，故点B坐标为(－1，－2)，根据两点间距离公式可得AB=，根据已知条件中四边形ABCD为菱形，故AB=AD=，AD∥BC∥x轴，则点D坐标为(1+，2)．

故点D坐标为(1+，2)．

【点睛】

（1）本题主要考查正比例函数和反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法以及已知解析式求点坐标是解答本题的关键．

反比函数此类问题是中考重难题型之一，通常以函数应用及不等式综合考查！一方面考察学生对综合知识的掌握长度，另一方面考察数学知识的灵活运用。

此类题应该首先明确它的考题特点，避免盲目和无从下手，同时明确题目所涉及的数学知识及应用，明确题目问题是什么要解决什么样的问题，再结合我们所学习的知识合理解答。

1．如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为，的面积为8．

（1）填空：反比例函数的关系式为_________________；

（2）求直线的函数关系式；

（3）动点P在y轴上运动，当线段与之差最大时，求点P的坐标．

1）；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）把点代入解析式，即可得到结果；

（2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，交于点E，则四边形为矩形，设点B的坐标为，表示出△ABE的面积，根据△AOB得面积可得，得到点B的坐标，代入即可的到解析式；

（3）根据“三角形两边之差小于第三边”可知，当点P为直线与y轴的交点时，有最大值为，代入即可求值．

【详解】

解：（1）把点代入可得，

∴反比例函数的解析式为；                           

（2）如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，交于点E，则四边形为矩形．

设点B的坐标为，∴．

∵点A的坐标为，

∴．

∴．

∵A，B两点均在双曲线上，

∴．

∴

．                   

∵的面积为8，

∴，整理得．

∴．解得（舍去）．

∴．∴点B的坐标为．                        

设直线的函数关系式为，

则．解得．

∴直线的函数关系式为．          

（3）如上图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知，

当点P为直线与y轴的交点时，有最大值为，

把代入，得．

∴点P的坐标为．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确分析题意是解题的关键．

2．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）的面积为______；

（3）直接写出时x的取值范围．

（1），；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6.

【解析】

【分析】

（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；

（2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；

（3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围．

【详解】

解：（1）把代入反比例函数得：

m=6，

∴反比例函数的解析式为，

∵点在反比例函数图像上，

∴-3a=6，解得a=-2，

∴B（-2，-3），

∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，

∴，解得：，

∴一次函数的解析式为；

（2）∵，，一次函数的解析式为，

令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），

∴S△AOB=，

故答案为：8；

（3）由图象可知：

时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，

x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.

【点睛】

此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．

3．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点的坐标为．

（1）求过点的反比例函数的解析式；

（2）连接，过点作交轴于点，求直线的解析式．

【答案】（1）反比例函数解析式为；（2）直线的解析式为．

【解析】

【分析】

（1）由A的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；

（2）利用相似三角形的性质得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可．

【详解】

过点A作轴，过B作轴，垂足分别为E，F，如图，

，，

∵四边形OABC是菱形，

，轴，

，

，

，

设过B点的反比例函数解析式为

把B点坐标代入得，k=32,

所以，反比例函数解析式为；

（2），

，

，

，

，

又，

，

，

，

解得，，

设BD所在直线解析式为，

把，分别代入，得：

解得，

∴直线的解析式为．

【点睛】

此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

1．如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于点A(n，2)和点B．

（1）n＝　 　，k＝　　；

（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；

（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．

【答案】（1）﹣4，﹣；（2）C(0，2)；（3）m＜﹣2或m＞2

【解析】

【分析】

（1）把A点坐标代入反比例函数解析式求得n，再把求得的A点坐标代入正比例函数解析式求得k；

（2）可设点C（0，b），只要求出b的值就行，求值一般的方法是相似和勾股定理，此题用相似，只需证明△ACD∽△CBE即可；

（3）在x轴上找到点P1，P2，使AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，则点P在P1的左边，在P2的右边就符合要求了．

【详解】

解：（1）把A（n，2）代入反比例函数y＝﹣中，得n＝﹣4，

∴ A（﹣4，2），

把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k＝﹣，

故答案为：﹣4；﹣；

（2）如图1，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，

∵ A（﹣4，2），

∴ 根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），

设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝4，CE＝b+2，

∵ ∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°，

∴ ∠ACO＝∠CBE，

∵ ∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴ △ACD∽△CBE，

∴ ，即，

解得，b＝2，或b＝﹣2（舍），

∴ C（0，2）；

（3）如图2，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得OP1＝OP2＝OA＝OB，

∴ ，

∴ P1（﹣2，0），P2（2，0），

∵ OP1＝OP2＝OA＝OB，

∴ 四边形AP1BP2为矩形，

∴ AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，

∵ 点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，

∴ P点必在P1的左边或P2的右边，

∴ m＜﹣2或m＞2．

【点睛】

本题是正比例函数与反比例函数的综合题，涉及用待定系数法求解析式、利用相似三角形的判定与性质求点的坐标、借助做辅助线构造矩形求满足条件的参数范围，解答关键是认真审题，分析图象，找到相关信息的关联点，进而推理、计算．

2．如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点，．

（1）求出直线的表达式；

（2）在轴上有一点使得的面积为18，求出点的坐标．

【答案】（1）；（2）当点在原点右侧时，，当点在原点左侧时，．

【解析】

【分析】

（1）通过点A的坐标确定反比例函数的解析式，再求得B的坐标，利用待定系数法将A，B的坐标代入，即可得到一次函数的解析式；

（2）直线与轴的交点为，过点，作轴的垂线，，垂足分别为，，得到，即，分情况讨论即可解决．

【详解】

解：（1）∵在的图象上，

∴，，

又点在的图象上，，即．

将点，的坐标代入，得，

解得．

∴直线的表达式为．

（2）设直线与轴的交点为，

当时，解得．即．

分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为，．

．

又，即，∴．

当点在原点右侧时，，

当点在原点左侧时，．

【点睛】

本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握数形结合的思想.

3．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若一次函数图象与轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求的面积．

（1）；（2）18

【解析】

【分析】

（1）根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关于a的方程，求出a，即可求出反比例函数解析式；

（2）根据点A、B都在一次函数的图象上，运用待定系数法求出直线解析式，进而求出点C坐标，求出CD长，即可求出的面积．

【详解】

解：（1）∵点，点在反比例函数的图象上，

∴．

解得．

∴．

∴反比例函数的表达式是．

（2）∵，

∴点A，点B的坐标分别是．

∵点A，点B在一次函数的图象上，

∴

解得

∴一次函数的表达式是．

当时，．

∴点C的坐标是．

∴．

∵点D是点C关于原点O的对称点，

∴．

作轴于点E，

∴．

【点睛】

本题为一次函数与反比例函数综合题，难度不大，解题关键是根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关键a的方程，求出a，得到点A、B坐标．