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沪教版八年级数学下册专项测试和期中期末强化冲刺卷 专项2.6 解答（20道）（期末篇）
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这是一份沪教版八年级数学下册专项测试和期中期末强化冲刺卷 专项2.6 解答（20道）（期末篇），文件包含专项26解答20道期末篇解析版doc、专项26解答20道期末篇原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
专项2.6解答（20道）（期末篇）
姓名：___________考号：___________分数：___________
（考试时间：100分钟 满分：120分）
1．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作轴的垂线，交反比例函数图像于点．
（1）求点的坐标；
（2）若四边形为平行四边形，求直线的函数关系式；
（3）在（2）问的条件下，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】
（1）根据一次函数的解析式，令求解即可；
（2）结合（1）的结论，设出B的坐标，再根据反比例函数解析式求出B的坐标，然后结合平行四边形的性质，得到P的坐标，最后利用待定系数法求解即可；
（3）对原不等式进行变形，然后结合函数与不等式之间的联系判断取值范围即可．
【详解】
（1）对于一次函数，
令，得：，
解得：，
∴的坐标为；
（2）∵AB⊥x轴，
∴A、B两点的横坐标相等，即B点的横坐标为-2，
将代入反比例函数解析式，
得：，
∴B点的坐标为，AB=4，
∵四边形为平行四边形，
∴AB=OP，即：P的坐标为，
将代入直线解析式，
得：，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（3）要求的解集，即为求不等式的解集，
令，，
即为求所对应的自变量的取值范围，
由（2）可知，此时即为直线OB的解析式，
如图，根据对称性，直线OB与双曲线的交点为，，
∴所对应的自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或．
【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数综合问题，理解函数与不等式之间的关系是解题关键．
2．云南是全国第二大芒果产区，云南芒果风味独特，品质优良，已成为具有区域特色的传统优势产业．某芒果加工厂承担出口芒果的加工任务，有一批芒果需要装入某一规格的芒果礼盒，而这种芒果礼盒的来源有两种方案可供选择．
方案一：从礼盒加工厂订购，购买所需费用（单位：元）与礼盒数（单位：盒）满足如图1所示的函数关系．
方案二：由芒果加工厂租赁机器，自己加工制作这种芒果礼盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产礼盒的费用）（单位：元）与礼盒数（单位：盒）满足如图2所示的函数关系．
根据图象回答下列问题：
（1）方案一中每个礼盒的价格是__________元．
（2）请分别求出、与的函数关系式；
（3）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
【答案】（1）5；（2）（且为整数）；（且为整数）；（3）当时，选择方案一所需费用低；当时，两种方案都可以，所需费用相同；当时，选择方案二所需费用低；理由见解析
【分析】
（1）根据图象用总价÷数量求解礼盒单价；
（2）分别利用待定系数法求解函数解析式；
（3）根据题意列不等式及方程计算求解．
【详解】
解：（1）方案一中每个礼盒的价格是1000÷200=5元
故答案为：5．
（2）设，将（200，1000）代入解析式，解得
∴（且为整数），
设，将（0，2000），（500，3700）代入解析式
，解得
∴（且为整数）．
（3）令，即，解得：，
故当时，，选择方案一所需费用低；
令，即，解得：，
故当时，，两种方案都可以，所需费用相同；
令，即，解得：，
故当时，，选择方案二所需费用低．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，利用一次函数性质解决生活中的实际问题，准确列式计算是解题关键．
3．某超市销售一款果冻，4月底以22元/千克购入200千克，5月10日再以22.5元/千克购入120千克．下表是这些果冻的销售记录，图象是其销售利润（元）与销售量（千克）之间的函数关系．
时间
销售记录
5月1日至7日
售价25元/千克，一共售出150千克
5月8日至9日
“五一”长假结束，这两天以成本价促销
5月10日至20日
售价25元/千克，全部售完，共获利780元
请根据上述信息，解答问题：
（1）5月1日至7日，该超市销售这款果冻共获利多少元？
（2）求5月10日至5月20日期间销售利润（元）与销售量（千克）之间的函数关系式，并直接写出的取值范围．
【答案】（1）450元；（2）．
【分析】
（1）由函数的图象可知，由此可得5月1日至7日，该超市销售这款果冻150千克，根据售价和购入即可求解；
（2）根据销售利润求出点B的横坐标，可得B（190，450），设5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式为，由点 A、B的坐标代入即可求解．
【详解】
解：（1）依题意得，5月1日至7日，该超市销售这款果冻共获利：（元）
答：5月1日至7日，该超市销售这款果冻共获利450元．
（2）5月10日至5月20日期间销售4月底购入果冻获得的利润：（780-450）-120×（25-22.5）=30（元），
5月10日至5月20日期间销售4月底购入果冻的数量：30÷（25-22）=10（千克），
∴点B的横坐标：200-10=190，
设5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式为，
把（190，450）和（320，780）代入得，
得，
解得：
∴5月10日至5月20日销售利润（元）与销售量（千克）之间的函数关系式为：．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，熟悉相关性质是解题的关键．
4．一次函数y＝x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC．
（1）求C点的坐标；
（2）在第二象限内有一点M（m，1），使S△ABM＝S△ABC，求M点的坐标；
（3）将△ABC沿着直线AB翻折，点C落在点E处；再将△ABE绕点E顺时针方向旋转15°，点B落在点F处，过点F作FG⊥y轴于G．求△EFG的面积．
【答案】（1），；（2），；（3）2
【分析】
（1）先求得A、的坐标，然后可得到，依据含直角三角形的性质可得到，则，然后依据勾股定理求得的长，从而可得到点的坐标；
（2）过点作，则．设直线的解析式为，将点的坐标代入求得的值，然后将代入的解析式可求得点的横坐标；
（3）先求出，进而表示出，，用勾股定理建立方程求出，最后用面积公式即可得出结论．
【详解】
解：（1）当时，，
．
当时，．
，．
，，
，．
为等边三角形，
．
．
，．
（2）如图，过点作．
，
．
设直线的解析式为，将点的坐标代入得：，解得．
直线的解析式为．
将代入的解析式得：，解得：，
，．
（3）如图，
由（1）知，，，
，
为等边三角形，
，
由折叠知，，
由旋转知，，，
取上取一点使，，连接，
，
设，
，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
【点睛】
本题是一次函数的综合题，主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、轴对称路径最短问题，构造出特殊直角三角形是解本题的关键．
5．在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数相交于A（3，2）、B（－2，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过P（p，0）（P≠0）作垂直于x轴的直线，与反比例函数交于点C，与一次函数交于点D，若，直接写出p的值．
【答案】（1）；；（2）p＝2或－1
【分析】
（1）把A点的坐标代入可计算m的值，然后确定点B的坐标，再根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）通过面积之比与高之比的关系，求得，可得关系式，解出即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵反比例函数与一次函数相交于A（3，2）、B（－2，n）两点
∴将A（3，2）代入反比例函数中得m＝6
∴反比例函数的表达式是
将B（－2，n）代入反比例函数中得n＝－3
将A（3，2）、B（－2，－3）代入一次函数中得
，解得
∴一次函数的表达式是．
（2）∵，
∴,
即，
解得：，，
经检验，成立，
∴p＝2或－1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
6．2020年为做好“精准扶贫”工作，某地第一次花费16000元购买了高原沃柑育苗若干株，为“加快产业扶贫，打赢脱贫攻坚战”，决定再次花费32000元购买同种高原沃柑育苗，第二次购买每株育苗价格比第一次每株育苗价格降低了，结果比第一次多买了1000株，求第一次购买每株高原沃柑育苗多少元？
【答案】24元
【分析】
设第一次购买每株高原沃柑育苗x元，则第二次购买每株高原沃柑育苗（1-20%）x元，利用数量=总价÷单价，结合第二次比第一次多买了1000株，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
解：设第一次购买每株高原沃柑育苗x元，则第二次购买每株高原沃柑育苗（1-20%）x元，
依题意得：
解得：x=24，
经检验，x=24是原方程的解，且符合题意．
答：第一次购买每株高原沃柑育苗24元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（1）解不等式组：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）0＜x≤4；（2）x=
【分析】
（1）首先解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分，就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解即可．
（2）首先去分母转化为整式方程，然后解整式方程求得方程的解，最后进行检验即可．
【详解】
解：（1），
解①得：x≤4，
解②得：x＞0，
∴不等式组的解集是：0＜x≤4；
（2）去分母得：x（x+2）-1=x2-4
即：2x=-3，
解得：x=，
经检验：x=是原方程的解．
故原方程的解是：x=．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解法，要注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
8．在今年的3月12日第43个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动，在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗，已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元；
（2）若准备用7600元购买甲、乙两种树苗共200棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【答案】（1）甲种树苗每棵40元；（2）至少要购买乙种树苗67棵．
【分析】
（1）设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵（x-6）元．根据“用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同”列出分式方程求解即可；
（2）设购买乙种树苗的y棵，则购买甲种树苗的（200-y）棵，根据总费用不超过7600元列出不等式求解即可．
【详解】
解：（1）设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元，
依题意列方程得，，
，
解得，
经检验是原方程的根，
答：甲种树苗每棵40元．
（2）设购买乙种树苗棵，则购买甲种树苗棵，
，
，
∵为整数
∴的最小值为67
答：至少要购买乙种树苗67棵．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大．
9．某书店为了迎接“读书节”决定购进两种新书，相关信息如下：
种别
种
种
进价（元）
18
12
备注
1.用不超过16800元购进两种图书共1000；
2.种图书不少于600本；
（1）已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本，请求出两种图书的标价；
（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，种图书每本标价降低元销售，种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
【答案】（1）种图书的标价为27元，种图书的标价为18元；（2）当时，A种图书购进800本，种图书购进200本时，利润最大；当时，购进A、B两种图书共1000本，A种图书在600到800本之间，总利润不变，均为6000元；当时，A种图书购进600本，种图书购进400本时，利润最大．
【分析】
（1）先设出两种图书的标价，再根据购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，建立分式方程，解方程并检验即可；
（2）先设出购进每种图书的数量，通过题中“备注”中的条件列出一元一次不等式组求出A种图书的数量应不少于600，不多于800本，再通过其利润表达式建立其关于m的关系式，利用一次函数的性质分类讨论得出如何进货才能获得最大利润．
【详解】
解：（1）设种图书的标价为元，则A种图书的标价为元，
根据题意可得，
化简得：，解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则A种图书的标价为：（元），
答：A种图书的标价为27元，种图书的标价为18元；
（2）设购进A种图书本，种图书本，总利润为元，A种图书的标价为元，
由题意得：解得：，
则总利润
故当时，时，总利润最大，
即A种图书购进800本，种图书购进200本时，利润最大；
当时，，无论值如何变化，总利润均为6000元，
即购进A、B两种图书共1000本，A种图书在600到800本之间，总利润不变，均为6000元；
当时，时，总利润最大，
即A种图书购进600本，种图书购进400本时，利润最大．
【点睛】
本题综合考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识，要求学生能正确理解题意，找出题中的数量关系，建立方程或不等式求出未知的量或得到其取值范围，本题涉及到了分类讨论的思想方法等．
10．某服装店老板到厂家选购、两种品牌的羽绒服，品牌羽绒服每件进价比品牌羽绒服每件进价多200元，若用10000元购进种羽绒服的数量是用7000元购进种羽绒服数量的2倍．
（1）求、两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？
（2）若品牌羽绒服每件售价为800元，B品牌羽绒服每件售价为1200元，服装店老板决定一次性购进、两种品牌羽绒服共80件，在这批羽绒服全部出售后所获利不低于28000元，则最少购进品牌羽绒服多少件？
【答案】（1）品牌羽绒服每件进价为500元，品牌羽绒服每件进价为700元；（2）最少购进品牌羽绒服20件．
【分析】
（1）设品牌羽绒服每件进价为元，则品牌羽绒服每件进价为元，根据数量＝总价÷单价，结合用10000元购进种羽绒服的数量是用7000元购进种羽绒服数量的2倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进品牌羽绒服件，则购进品牌羽绒服（80﹣y）件，利用总利润=每件的利润×销售数量，结合这批羽绒服全部出售后所获利利不低于28000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设品牌羽绒服每件进价为元，则品牌羽绒服每件进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：品牌羽绒服每件进价为500元，品牌羽绒服每件进价为700元；
（2）设购进品牌羽绒服件，则购进品牌羽绒服件，
依题意得：，
解得：．
答：最少购进品牌羽绒服20件．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
11．如图，四边形为菱形，延长使得，延长使得，延长使得，延长使得，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）猜想：四边形是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．
【答案】（1）见详解；（2）四边形是矩形，理由见详解．
【分析】
（1）由题意易得PM=NQ，PMNQ，进而可得BM=ND，然后问题可求证；
（2）由题意易证△BNM≌△NCD，∠BNM=90°，进而可得∠C=90°，然后问题可求证．
【详解】
证明：（1）∵四边形为菱形，
∴PM=NQ，BMND，
∵，，
∴BM=ND，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴BMND，BM=ND，ADBC，
∴∠NBM=∠CND，
∵，
∴△BNM≌△NCD（SAS），
∴，
∵，DM=BN,
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴由三角形内角和可得，即，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】
本题主要考查矩形的判定、菱形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定、菱形的性质及平行四边形的判定是解题的关键．
12．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．
（1）求证：四边形BOCE是矩形；
（2）连接EO交BC于点F，连接AF，若∠ABC=60°，AB=2，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的判定得出四边形BOCE是平行四边形，根据菱形的性质求出∠BOC=90°，再根据矩形的判定得出即可；
（2）根据菱形和等边三角形的性质求出BF=AB=1，根据勾股定理求出AF．
【详解】
解：（1）∵BE∥AC，EC∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴∠BOC=90°．
∴四边形BOCE是矩形．
（2）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∵四边形BOCE是矩形，
∴BF=BC=AB=1．
∴∠AFB=90°．
∴AF=．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，勾股定理等知识点，掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键．
13．如图，的对角线、相交于点O，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出OB=OD，由SAS证明△BOE≌△DOF即可；
（2）由（1）的结论证明∠OBE=∠ODF，即可得出BE∥DF．
【详解】
证明：（1）∵的对角线、相交于点O，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（1），
∴∠OBE=∠ODF，
∴BE∥DF．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
14．已知，点E在正方形ABCD的AB边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF＝AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF．
（1）根据题意补全图形，并证明MB＝ME；
（2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明；
②直接用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）①，证明见解析；②
【分析】
（1）证是等腰直角三角形即可得；
（2）①先证得，由知，证得，，由知是等腰直角三角形，从而得；②连接，证四边形是平行四边形得，由，知，结合，得，从而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示，
四边形是正方形，是对角线，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）①如图所示，连接、，
是等腰直角三角形，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
即；
②，理由如下：
如图，连接，
，
，
又且，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
又，，
，
则．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形与等腰直角三角形及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点．
15．在矩形ABCD中，连接AC，AC的垂直平分线交AC于点O，分别交AD、BC于点E、F，连接CE和AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）20
【分析】
（1）根据推出：；根据全等得出，推出四边形是平行四边形，再根据即可推出四边形是菱形；
（2）根据线段垂直平分线性质得出，设，推出，，在中，由勾股定理得出方程，求出即可．
【详解】
解：（1）证明：是的垂直平分线，
，，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
；
又，
四边形是平行四边形，
又
平行四边形是菱形；
（2）设，
是的垂直平分线，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得．
，
菱形的周长为20．
【点睛】
本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，用了方程思想．
16．随着手机APP技术的迅猛发展，春节期间人们的娱乐方式比以往有很多改变．某校数学兴趣小组为了解某社区居民对各类APP的使用情况，针对给出的四类APP（看电影或电视、刷抖音、聊天、其他）对社区内部分居民进行了抽样调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）参与抽样调查的总人数是_______．
（2）补全条形统计图．
（3）若小明和小红两人在四类APP中随机选择一类进行使用，则小明和小红恰好选择同一类APP的概率为多少？
【答案】（1）40人；（2）补全图形见解析；（3）小明和小红恰好选择同一类APP的概率为．
【分析】
（1）由A类型人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）总人数乘以B类型人数所占百分比求出其人数，再根据四个类型人数之和等于总人数求出C类型人数即可补全图形；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）参与抽样调查的总人数为10÷25%＝40（人），
故答案为：40人；
（2）B类型的人数为40×30%＝12（人），
则C类型人数为40﹣（10+12+14）＝4（人），
补全图形如下：
（3）画树状图如下：
由树状图知，共有16种等可能结果，其中小明和小红恰好选择同一类APP的有4种结果，
∴小明和小红恰好选择同一类APP的概率为．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．
（1）用列表法或画树形图表示出的所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点落在反比例函数的图象上的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果．
（2）根据概率公式求出该事件的概率即可解答．
【详解】
解：（1）列表如下：
y
x
1
2
3
4
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（2）∵有16种情况，且每种结果出现的可能性相等．其中落在反比例函数的图象上有2种，即点（2，3），（3，2）
∴．
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P=．
18．红岭中学最近要举办艺术节，节目分别有：A舞蹈、B戏剧、C唱歌、D漫画与书法．下面随机抽取部分同学调查最喜爱哪项节目，得到如图两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 名同学．
（2）请补全条形统计图，在扇形统计图中A类型节目所对应的圆心角为 度．
（3）在本次调查访问中，小明和小亮从“舞蹈”、“戏剧”、“唱歌”，选出一种自己最喜欢的节目．请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种节目的概率．
【答案】（1）200；（2）见解析，108°；（3）树状图见解析，
【分析】
（1）由B类人数除以所占百分比即可；
（2）求出D类、A类人数，即可解决问题；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）56÷28%＝200（名），
即本次一共调查了200名同学，
故答案为：200；
（2）D类人数为：200×20%＝40（名），
则A类人数为200﹣56﹣44﹣40＝60（名），
∴360°×＝108°，
即在扇形统计图中A类型节目所对应的圆心角为108°，
故答案为：108，
补全条形统计图如下：
（3）把“舞蹈”、“戏剧”、“唱歌”分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9个等可能的结果，小明和小亮两人恰好选择同一种节目的结果有3个，
∴小明和小亮两人恰好选择同一种节目的概率为．
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图．
19．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，颜色分为红、绿两种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）利用画树状图或列表的方法，求小明同学自由转动转盘两次，每次停止后，指针都指向红色的概率．
【答案】
【分析】
利用画树状图或列表的方法可得所有的等可能的结果与指针两次都指向红色的结果数，从而可得答案．
【详解】
解：解法一，根据题意，画树状图如下：
解法二，根据题意，列表如下：
第一次
第二次
红1
红2
绿
红1
红1，红1
红2，红1
绿，红1
红2
红1，红2
红2，红2
绿，红2
绿
红1，绿
红2，绿
绿，绿
由树状图（表格）可以看出，所有等可能出现的结果共有9种，其中指针都指向红色的情况有4种，所以P（指针都指向红
【点睛】
本题考查的是利用画树状图的方法或列表的方法求解简单随机事件的概率，掌握画树状图与列表法是解题的关键．
20．随着延时服务的全面展开，某校组织了丰富多彩的社团活动，小红和小明分别打算从以下四个社团：、3D制作打印，、趣味数学，、文学欣赏，、乐高机器人中，选择一个社团参加．
（1）小红选择趣味数学的概率为 ．
（2）用画树状图或列表的方法求小红和小明选择同一个社团的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小红和小明选同一个社团的有4种结果，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）小红选择趣味数学的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小红和小明选同一个社团的有4种结果，
∴P（小明和小红选择同一个社团）=．
【点睛】
本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
专项2.6解答（20道）（期末篇）
姓名：___________考号：___________分数：___________
（考试时间：100分钟 满分：120分）
1．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作轴的垂线，交反比例函数图像于点．
（1）求点的坐标；
（2）若四边形为平行四边形，求直线的函数关系式；
（3）在（2）问的条件下，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】
（1）根据一次函数的解析式，令求解即可；
（2）结合（1）的结论，设出B的坐标，再根据反比例函数解析式求出B的坐标，然后结合平行四边形的性质，得到P的坐标，最后利用待定系数法求解即可；
（3）对原不等式进行变形，然后结合函数与不等式之间的联系判断取值范围即可．
【详解】
（1）对于一次函数，
令，得：，
解得：，
∴的坐标为；
（2）∵AB⊥x轴，
∴A、B两点的横坐标相等，即B点的横坐标为-2，
将代入反比例函数解析式，
得：，
∴B点的坐标为，AB=4，
∵四边形为平行四边形，
∴AB=OP，即：P的坐标为，
将代入直线解析式，
得：，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（3）要求的解集，即为求不等式的解集，
令，，
即为求所对应的自变量的取值范围，
由（2）可知，此时即为直线OB的解析式，
如图，根据对称性，直线OB与双曲线的交点为，，
∴所对应的自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或．
【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数综合问题，理解函数与不等式之间的关系是解题关键．
2．云南是全国第二大芒果产区，云南芒果风味独特，品质优良，已成为具有区域特色的传统优势产业．某芒果加工厂承担出口芒果的加工任务，有一批芒果需要装入某一规格的芒果礼盒，而这种芒果礼盒的来源有两种方案可供选择．
方案一：从礼盒加工厂订购，购买所需费用（单位：元）与礼盒数（单位：盒）满足如图1所示的函数关系．
方案二：由芒果加工厂租赁机器，自己加工制作这种芒果礼盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产礼盒的费用）（单位：元）与礼盒数（单位：盒）满足如图2所示的函数关系．
根据图象回答下列问题：
（1）方案一中每个礼盒的价格是__________元．
（2）请分别求出、与的函数关系式；
（3）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
【答案】（1）5；（2）（且为整数）；（且为整数）；（3）当时，选择方案一所需费用低；当时，两种方案都可以，所需费用相同；当时，选择方案二所需费用低；理由见解析
【分析】
（1）根据图象用总价÷数量求解礼盒单价；
（2）分别利用待定系数法求解函数解析式；
（3）根据题意列不等式及方程计算求解．
【详解】
解：（1）方案一中每个礼盒的价格是1000÷200=5元
故答案为：5．
（2）设，将（200，1000）代入解析式，解得
∴（且为整数），
设，将（0，2000），（500，3700）代入解析式
，解得
∴（且为整数）．
（3）令，即，解得：，
故当时，，选择方案一所需费用低；
令，即，解得：，
故当时，，两种方案都可以，所需费用相同；
令，即，解得：，
故当时，，选择方案二所需费用低．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，利用一次函数性质解决生活中的实际问题，准确列式计算是解题关键．
3．某超市销售一款果冻，4月底以22元/千克购入200千克，5月10日再以22.5元/千克购入120千克．下表是这些果冻的销售记录，图象是其销售利润（元）与销售量（千克）之间的函数关系．
时间
销售记录
5月1日至7日
售价25元/千克，一共售出150千克
5月8日至9日
“五一”长假结束，这两天以成本价促销
5月10日至20日
售价25元/千克，全部售完，共获利780元
请根据上述信息，解答问题：
（1）5月1日至7日，该超市销售这款果冻共获利多少元？
（2）求5月10日至5月20日期间销售利润（元）与销售量（千克）之间的函数关系式，并直接写出的取值范围．
【答案】（1）450元；（2）．
【分析】
（1）由函数的图象可知，由此可得5月1日至7日，该超市销售这款果冻150千克，根据售价和购入即可求解；
（2）根据销售利润求出点B的横坐标，可得B（190，450），设5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式为，由点 A、B的坐标代入即可求解．
【详解】
解：（1）依题意得，5月1日至7日，该超市销售这款果冻共获利：（元）
答：5月1日至7日，该超市销售这款果冻共获利450元．
（2）5月10日至5月20日期间销售4月底购入果冻获得的利润：（780-450）-120×（25-22.5）=30（元），
5月10日至5月20日期间销售4月底购入果冻的数量：30÷（25-22）=10（千克），
∴点B的横坐标：200-10=190，
设5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式为，
把（190，450）和（320，780）代入得，
得，
解得：
∴5月10日至5月20日销售利润（元）与销售量（千克）之间的函数关系式为：．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，熟悉相关性质是解题的关键．
4．一次函数y＝x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC．
（1）求C点的坐标；
（2）在第二象限内有一点M（m，1），使S△ABM＝S△ABC，求M点的坐标；
（3）将△ABC沿着直线AB翻折，点C落在点E处；再将△ABE绕点E顺时针方向旋转15°，点B落在点F处，过点F作FG⊥y轴于G．求△EFG的面积．
【答案】（1），；（2），；（3）2
【分析】
（1）先求得A、的坐标，然后可得到，依据含直角三角形的性质可得到，则，然后依据勾股定理求得的长，从而可得到点的坐标；
（2）过点作，则．设直线的解析式为，将点的坐标代入求得的值，然后将代入的解析式可求得点的横坐标；
（3）先求出，进而表示出，，用勾股定理建立方程求出，最后用面积公式即可得出结论．
【详解】
解：（1）当时，，
．
当时，．
，．
，，
，．
为等边三角形，
．
．
，．
（2）如图，过点作．
，
．
设直线的解析式为，将点的坐标代入得：，解得．
直线的解析式为．
将代入的解析式得：，解得：，
，．
（3）如图，
由（1）知，，，
，
为等边三角形，
，
由折叠知，，
由旋转知，，，
取上取一点使，，连接，
，
设，
，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
【点睛】
本题是一次函数的综合题，主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、轴对称路径最短问题，构造出特殊直角三角形是解本题的关键．
5．在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数相交于A（3，2）、B（－2，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过P（p，0）（P≠0）作垂直于x轴的直线，与反比例函数交于点C，与一次函数交于点D，若，直接写出p的值．
【答案】（1）；；（2）p＝2或－1
【分析】
（1）把A点的坐标代入可计算m的值，然后确定点B的坐标，再根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）通过面积之比与高之比的关系，求得，可得关系式，解出即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵反比例函数与一次函数相交于A（3，2）、B（－2，n）两点
∴将A（3，2）代入反比例函数中得m＝6
∴反比例函数的表达式是
将B（－2，n）代入反比例函数中得n＝－3
将A（3，2）、B（－2，－3）代入一次函数中得
，解得
∴一次函数的表达式是．
（2）∵，
∴,
即，
解得：，，
经检验，成立，
∴p＝2或－1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
6．2020年为做好“精准扶贫”工作，某地第一次花费16000元购买了高原沃柑育苗若干株，为“加快产业扶贫，打赢脱贫攻坚战”，决定再次花费32000元购买同种高原沃柑育苗，第二次购买每株育苗价格比第一次每株育苗价格降低了，结果比第一次多买了1000株，求第一次购买每株高原沃柑育苗多少元？
【答案】24元
【分析】
设第一次购买每株高原沃柑育苗x元，则第二次购买每株高原沃柑育苗（1-20%）x元，利用数量=总价÷单价，结合第二次比第一次多买了1000株，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
解：设第一次购买每株高原沃柑育苗x元，则第二次购买每株高原沃柑育苗（1-20%）x元，
依题意得：
解得：x=24，
经检验，x=24是原方程的解，且符合题意．
答：第一次购买每株高原沃柑育苗24元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（1）解不等式组：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）0＜x≤4；（2）x=
【分析】
（1）首先解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分，就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解即可．
（2）首先去分母转化为整式方程，然后解整式方程求得方程的解，最后进行检验即可．
【详解】
解：（1），
解①得：x≤4，
解②得：x＞0，
∴不等式组的解集是：0＜x≤4；
（2）去分母得：x（x+2）-1=x2-4
即：2x=-3，
解得：x=，
经检验：x=是原方程的解．
故原方程的解是：x=．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解法，要注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
8．在今年的3月12日第43个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动，在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗，已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元；
（2）若准备用7600元购买甲、乙两种树苗共200棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【答案】（1）甲种树苗每棵40元；（2）至少要购买乙种树苗67棵．
【分析】
（1）设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵（x-6）元．根据“用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同”列出分式方程求解即可；
（2）设购买乙种树苗的y棵，则购买甲种树苗的（200-y）棵，根据总费用不超过7600元列出不等式求解即可．
【详解】
解：（1）设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元，
依题意列方程得，，
，
解得，
经检验是原方程的根，
答：甲种树苗每棵40元．
（2）设购买乙种树苗棵，则购买甲种树苗棵，
，
，
∵为整数
∴的最小值为67
答：至少要购买乙种树苗67棵．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大．
9．某书店为了迎接“读书节”决定购进两种新书，相关信息如下：
种别
种
种
进价（元）
18
12
备注
1.用不超过16800元购进两种图书共1000；
2.种图书不少于600本；
（1）已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本，请求出两种图书的标价；
（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，种图书每本标价降低元销售，种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
【答案】（1）种图书的标价为27元，种图书的标价为18元；（2）当时，A种图书购进800本，种图书购进200本时，利润最大；当时，购进A、B两种图书共1000本，A种图书在600到800本之间，总利润不变，均为6000元；当时，A种图书购进600本，种图书购进400本时，利润最大．
【分析】
（1）先设出两种图书的标价，再根据购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，建立分式方程，解方程并检验即可；
（2）先设出购进每种图书的数量，通过题中“备注”中的条件列出一元一次不等式组求出A种图书的数量应不少于600，不多于800本，再通过其利润表达式建立其关于m的关系式，利用一次函数的性质分类讨论得出如何进货才能获得最大利润．
【详解】
解：（1）设种图书的标价为元，则A种图书的标价为元，
根据题意可得，
化简得：，解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则A种图书的标价为：（元），
答：A种图书的标价为27元，种图书的标价为18元；
（2）设购进A种图书本，种图书本，总利润为元，A种图书的标价为元，
由题意得：解得：，
则总利润
故当时，时，总利润最大，
即A种图书购进800本，种图书购进200本时，利润最大；
当时，，无论值如何变化，总利润均为6000元，
即购进A、B两种图书共1000本，A种图书在600到800本之间，总利润不变，均为6000元；
当时，时，总利润最大，
即A种图书购进600本，种图书购进400本时，利润最大．
【点睛】
本题综合考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识，要求学生能正确理解题意，找出题中的数量关系，建立方程或不等式求出未知的量或得到其取值范围，本题涉及到了分类讨论的思想方法等．
10．某服装店老板到厂家选购、两种品牌的羽绒服，品牌羽绒服每件进价比品牌羽绒服每件进价多200元，若用10000元购进种羽绒服的数量是用7000元购进种羽绒服数量的2倍．
（1）求、两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？
（2）若品牌羽绒服每件售价为800元，B品牌羽绒服每件售价为1200元，服装店老板决定一次性购进、两种品牌羽绒服共80件，在这批羽绒服全部出售后所获利不低于28000元，则最少购进品牌羽绒服多少件？
【答案】（1）品牌羽绒服每件进价为500元，品牌羽绒服每件进价为700元；（2）最少购进品牌羽绒服20件．
【分析】
（1）设品牌羽绒服每件进价为元，则品牌羽绒服每件进价为元，根据数量＝总价÷单价，结合用10000元购进种羽绒服的数量是用7000元购进种羽绒服数量的2倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进品牌羽绒服件，则购进品牌羽绒服（80﹣y）件，利用总利润=每件的利润×销售数量，结合这批羽绒服全部出售后所获利利不低于28000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设品牌羽绒服每件进价为元，则品牌羽绒服每件进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：品牌羽绒服每件进价为500元，品牌羽绒服每件进价为700元；
（2）设购进品牌羽绒服件，则购进品牌羽绒服件，
依题意得：，
解得：．
答：最少购进品牌羽绒服20件．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
11．如图，四边形为菱形，延长使得，延长使得，延长使得，延长使得，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）猜想：四边形是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．
【答案】（1）见详解；（2）四边形是矩形，理由见详解．
【分析】
（1）由题意易得PM=NQ，PMNQ，进而可得BM=ND，然后问题可求证；
（2）由题意易证△BNM≌△NCD，∠BNM=90°，进而可得∠C=90°，然后问题可求证．
【详解】
证明：（1）∵四边形为菱形，
∴PM=NQ，BMND，
∵，，
∴BM=ND，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴BMND，BM=ND，ADBC，
∴∠NBM=∠CND，
∵，
∴△BNM≌△NCD（SAS），
∴，
∵，DM=BN,
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴由三角形内角和可得，即，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】
本题主要考查矩形的判定、菱形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定、菱形的性质及平行四边形的判定是解题的关键．
12．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．
（1）求证：四边形BOCE是矩形；
（2）连接EO交BC于点F，连接AF，若∠ABC=60°，AB=2，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的判定得出四边形BOCE是平行四边形，根据菱形的性质求出∠BOC=90°，再根据矩形的判定得出即可；
（2）根据菱形和等边三角形的性质求出BF=AB=1，根据勾股定理求出AF．
【详解】
解：（1）∵BE∥AC，EC∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴∠BOC=90°．
∴四边形BOCE是矩形．
（2）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∵四边形BOCE是矩形，
∴BF=BC=AB=1．
∴∠AFB=90°．
∴AF=．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，勾股定理等知识点，掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键．
13．如图，的对角线、相交于点O，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出OB=OD，由SAS证明△BOE≌△DOF即可；
（2）由（1）的结论证明∠OBE=∠ODF，即可得出BE∥DF．
【详解】
证明：（1）∵的对角线、相交于点O，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（1），
∴∠OBE=∠ODF，
∴BE∥DF．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
14．已知，点E在正方形ABCD的AB边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF＝AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF．
（1）根据题意补全图形，并证明MB＝ME；
（2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明；
②直接用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）①，证明见解析；②
【分析】
（1）证是等腰直角三角形即可得；
（2）①先证得，由知，证得，，由知是等腰直角三角形，从而得；②连接，证四边形是平行四边形得，由，知，结合，得，从而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示，
四边形是正方形，是对角线，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）①如图所示，连接、，
是等腰直角三角形，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
即；
②，理由如下：
如图，连接，
，
，
又且，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
又，，
，
则．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形与等腰直角三角形及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点．
15．在矩形ABCD中，连接AC，AC的垂直平分线交AC于点O，分别交AD、BC于点E、F，连接CE和AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）20
【分析】
（1）根据推出：；根据全等得出，推出四边形是平行四边形，再根据即可推出四边形是菱形；
（2）根据线段垂直平分线性质得出，设，推出，，在中，由勾股定理得出方程，求出即可．
【详解】
解：（1）证明：是的垂直平分线，
，，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
；
又，
四边形是平行四边形，
又
平行四边形是菱形；
（2）设，
是的垂直平分线，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得．
，
菱形的周长为20．
【点睛】
本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，用了方程思想．
16．随着手机APP技术的迅猛发展，春节期间人们的娱乐方式比以往有很多改变．某校数学兴趣小组为了解某社区居民对各类APP的使用情况，针对给出的四类APP（看电影或电视、刷抖音、聊天、其他）对社区内部分居民进行了抽样调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）参与抽样调查的总人数是_______．
（2）补全条形统计图．
（3）若小明和小红两人在四类APP中随机选择一类进行使用，则小明和小红恰好选择同一类APP的概率为多少？
【答案】（1）40人；（2）补全图形见解析；（3）小明和小红恰好选择同一类APP的概率为．
【分析】
（1）由A类型人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）总人数乘以B类型人数所占百分比求出其人数，再根据四个类型人数之和等于总人数求出C类型人数即可补全图形；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）参与抽样调查的总人数为10÷25%＝40（人），
故答案为：40人；
（2）B类型的人数为40×30%＝12（人），
则C类型人数为40﹣（10+12+14）＝4（人），
补全图形如下：
（3）画树状图如下：
由树状图知，共有16种等可能结果，其中小明和小红恰好选择同一类APP的有4种结果，
∴小明和小红恰好选择同一类APP的概率为．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．
（1）用列表法或画树形图表示出的所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点落在反比例函数的图象上的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果．
（2）根据概率公式求出该事件的概率即可解答．
【详解】
解：（1）列表如下：
y
x
1
2
3
4
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（2）∵有16种情况，且每种结果出现的可能性相等．其中落在反比例函数的图象上有2种，即点（2，3），（3，2）
∴．
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P=．
18．红岭中学最近要举办艺术节，节目分别有：A舞蹈、B戏剧、C唱歌、D漫画与书法．下面随机抽取部分同学调查最喜爱哪项节目，得到如图两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 名同学．
（2）请补全条形统计图，在扇形统计图中A类型节目所对应的圆心角为 度．
（3）在本次调查访问中，小明和小亮从“舞蹈”、“戏剧”、“唱歌”，选出一种自己最喜欢的节目．请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种节目的概率．
【答案】（1）200；（2）见解析，108°；（3）树状图见解析，
【分析】
（1）由B类人数除以所占百分比即可；
（2）求出D类、A类人数，即可解决问题；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）56÷28%＝200（名），
即本次一共调查了200名同学，
故答案为：200；
（2）D类人数为：200×20%＝40（名），
则A类人数为200﹣56﹣44﹣40＝60（名），
∴360°×＝108°，
即在扇形统计图中A类型节目所对应的圆心角为108°，
故答案为：108，
补全条形统计图如下：
（3）把“舞蹈”、“戏剧”、“唱歌”分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9个等可能的结果，小明和小亮两人恰好选择同一种节目的结果有3个，
∴小明和小亮两人恰好选择同一种节目的概率为．
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图．
19．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，颜色分为红、绿两种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）利用画树状图或列表的方法，求小明同学自由转动转盘两次，每次停止后，指针都指向红色的概率．
【答案】
【分析】
利用画树状图或列表的方法可得所有的等可能的结果与指针两次都指向红色的结果数，从而可得答案．
【详解】
解：解法一，根据题意，画树状图如下：
解法二，根据题意，列表如下：
第一次
第二次
红1
红2
绿
红1
红1，红1
红2，红1
绿，红1
红2
红1，红2
红2，红2
绿，红2
绿
红1，绿
红2，绿
绿，绿
由树状图（表格）可以看出，所有等可能出现的结果共有9种，其中指针都指向红色的情况有4种，所以P（指针都指向红
【点睛】
本题考查的是利用画树状图的方法或列表的方法求解简单随机事件的概率，掌握画树状图与列表法是解题的关键．
20．随着延时服务的全面展开，某校组织了丰富多彩的社团活动，小红和小明分别打算从以下四个社团：、3D制作打印，、趣味数学，、文学欣赏，、乐高机器人中，选择一个社团参加．
（1）小红选择趣味数学的概率为 ．
（2）用画树状图或列表的方法求小红和小明选择同一个社团的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小红和小明选同一个社团的有4种结果，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）小红选择趣味数学的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小红和小明选同一个社团的有4种结果，
∴P（小明和小红选择同一个社团）=．
【点睛】
本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
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