初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试同步训练题

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试同步训练题，共42页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二十八章 锐角三角函数 综合练习
一、单选题
1．如图，在中，的值为（    ）

A． B． C． D．
2．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了60米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（       ）

A．30米 B．米 C．米 D．35米
3．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则tan∠ECF的值为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，，，CD平分∠ACB，AD⊥CD，若，则BD的长为（    ）

A．5 B． C． D．
5．如图，点E在边长为4的正方形ABCD的CD边上，连接BE，将△BCE沿直线BE翻折，点C的对应点为C′，延长BC′交AD边于点F，若AF＝3，则tan∠CBE的值为（    ）

A． B． C． D．2
6．如图，扇形AOB的圆心角为90°，C是的中点，过点C作⊙O的切线交OB的延长线于点E，若OE＝4，则阴影部分的周长为（　　）

A．π+4 B．2π+4 C．π+4 D．π+4
7．如图，点C，点D，点E分别是以AB，AC，BC为直径的半圆弧的一个三等分点，再分别以AD，DC，CE，BE为直径向外侧作4个半圆，若图中阴影部分的面积为，则AB的长为（    ）

A． B．2 C．4 D．
8．为了解决楼房之间的采光问题，某市有关部门规定：两幢楼之间的最小距离要使中午12时不能遮光．如图，旧楼的一楼窗台高1米，现计划在旧楼正南方向a米处再建一幢新楼．已知该市冬天中午12时太阳从正南方向照射的光线与水平的夹角最小为θ，问新楼房最高可建（　 　）

A．atanθ米 B．（atanθ+1）米 C．米 D．米
9．如图，A(4，0)、B(0，3)，在第一象内作Rt△ABC，其中∠BAC=90°且 tan∠ABC=2，点P是直线AC上的动点，点Q是直线BC上的动点，则PB+PQ的最小值是(     )

A．5 B．10 C． D．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，M是BC的中点，点E是AB边上的动点，点F是线段BM上的动点，则ME+EF的最小值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．2
11．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若，，，则k的值为（    ）

A．3 B．23 C．6 D．12
12．如图，在△ABC中，，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形，连结CD，若，则tan∠CDB的值为（    ）

A． B． C． D．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形AOCB是平行四边形，点D为边AB的中点，反比例函数在第一象限的图像交边AB于点D，设，已知，则k的值为（       ）

A． B． C． D．
14．如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，BD＝16，连接BD，将△BCD绕点D顺时针旋转n°（0°＜n＜90°），得到ΔB′C′D，连接BB′，CC′，延长CC′交BB′于点N，连接AB′，当∠BAB′＝∠BNC时，则△ABB′的面积为（　　）

A． B． C． D．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上．点D在x轴的负半轴上，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到矩形AB’C’D’，直线B’C’与CD相交于点M，则M的坐标为（　　）

A．（2，） B．（﹣2，） C．（2，） D．（﹣2，）
二、填空题
16．在△ABC中，，则△ABC的形状是___________．
17．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A＝60°，则BC的长为______．

18．校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为4米，台阶AC的坡度为（即），且B、C、E三点在同一条直线上．根据以上条件求出树DE的高度为____________米．（侧倾器的高度忽略不计）．

19．如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则sin∠CEF的值为_____．

20．如图，在△ABP1中，BP1⊥AP1，AP1＝2，∠A＝30°，且P1Q1⊥AB，P2Q1⊥AP1，……，PnQn⊥AB，Pn＋1Qn⊥AP1，则PnQn长为________．

三、解答题
21．计算：
（1）
（2）


22．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB＝∠APD ＝90°，且PA=PD．

(1)求证：△ABP≌△PCD；
(2)若AB＝6，CD＝2，求tan∠DAC的值．


23．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．

(1)求证：CE为⊙O的切线；
(2)若⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．


24．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达处，此时测得灯塔在北偏东45°方向上．

(1)求的度数；
(2)已知在灯塔的周围35海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：）


25．春节期间，开州厚坝“月亮湾”美景刷爆开州人的朋友圈．大家争相去打卡．一盏形如弯月的射灯悬挂在如图的D处．小北在A处测得D的仰角为52°，然后乘坐扶梯到达平台B处，已知AB坡度i＝3∶4，且AB＝10米，BC＝7米，CD⊥BF于点C（A，B，C，D，E，F在同一平面内，AEBF）．

(1)求平台上点B到山体底部地面AE的距离；
(2)求D到山体平台BF的距离CD的长．（精确到1米，参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3）



26．△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，点D是BC的中点，∠BAC＝∠EDF＝90°，点E，F分别在BA和AC的延长线上，BC的延长线交EF于点G，AF与DE交于点H．

(1)如图1，证明：FC·FH＝FG·FE；
(2)如图2，若AD＝AE，求tan∠AEF的值；
(3)如图3，若点H是DE的中点，求的值．



27．长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，l是水平桌面，测得壶身AD=BC=3AE=24cm，AB=30cm，CD=22cm，且CD∥AB．壶嘴EF=80cm，∠FED=70°


(1)求FE与水平桌面l的夹角
(2)如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EF∥l，求此时点F下落的高度．（结果保留一位小数）．
参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75．

参考答案：
1．A
解：


故选A
2．A
解：设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米.
根据勾股定理可得：x2+(x)2=602．
解得x=30．
即此时该小车离水平面的垂直高度为30米．
故选：A．
3．A
解：∵BC=6，E是BC的中点，
∴BE=3，
由翻折变换的性质得：△AFE≌△ABE，
∴∠AEF=∠AEB，
∴EF=CE，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠BEF=∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB=∠ECF，
∴tan∠ECF=tan∠AEB=，
故选：A．
4．D
解：过点D作DH⊥BC于H，


∵在Rt△ABC中，，，，
∴，，
∵CD平分∠ACB，
∴ ，
∵AD⊥CD，
∴在Rt△ACD中，，
即，
在Rt△CDH中， ，，
即，
∴，
∴在Rt△BDH中，．
故选：D
5．A
解：连接，

正方形ABCD的边长为4，
，，
AF＝3，
，
，
折叠，
，，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
故选：A.
6．D
解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵C是的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠BOCAOB＝45°，
∴△OCE是等腰直角三角形，
∴OC＝CE＝OE＝2，
∴BE＝OE﹣OB＝4﹣2，的长度为π，
∴阴影部分的周长为24﹣2π＝4π，
故选：D．

7．A
解：设AB的长为2x，
由题意，∠ACB=90°，∠ACD=30°，∠BCE=60°，
∴∠DCE=180°，
∴D、C、E三点共线，
点C是半径为2x的半圆弧AB的一个三等分点，
∴对的圆心角为=60°，
∴∠ABC=30°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=AB=x，BC=AB•cos30°=x，
BE=BC•cos30°=x，CE=DC=x，AD=x，
且四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠．
从而，S阴影=S梯形ABED+（AD2+CD2+CE2+BE2）-S△ABC-（AC2+BC2）
∴，
∴=(x)+(x)，
解得：x=(负值已舍去)．
∴AB的长为2．
故选：A．
8．B
解：如图，过点D作DE⊥AB与点E，


在Rt△ADE中，∠ADE＝θ，DE＝BC＝a米，
则AE＝tanθ•DE＝atanθ，
而EB＝DC＝1米，
∴AB＝AE+EB＝（atanθ+1）（米），
答：新楼房最高可建（atanθ+1）米，
故选：B．
9．D
解：延长BA到，使，过点作于点Q，交AC于点P如图所示：


∵A(4，0)、B(0，3)，
∴，，
在Rt△OAB中根据勾股定理可知，，
∴，
∵∠CAB=90°，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵直线外一点与直线上各个点的连线中垂线段最短，
此时最小，即最小，
∵，
∴设，则，
∵在中，根据勾股定理可知，，
∴，
解得：，（舍去），
则，
∴最小值为，故D正确．
故选：D．
10．B
解：如下图所示，作点M关于AB的对称点点，再过点作于点D，交AB于点G，连接，和AM．

∵AB=AC=4，∠BAC=120°，M是BC的中点，
∴∠ABM=∠ACM=30°，AM⊥BC．
∴．
∵点M关于AB的对称点是点，
∴，，．
∴，．
∵点E是AB边上的动点，点F是线段BM上的动点，且，
∴，当点E与点G重合，点F与点D重合时，等号成立．
∵，，
∴．
∴．
故选：B．
11．A
解：∵，
∴设AD=3a、OA=4a，
则BC=AD=3a，点D坐标为（4a，3a），
∵CE=2BE，
∴BE=BC=a，
∵AB=4，
∴点E（4+4a，a），
∵反比例函数y=经过点D、E，
∴k=12a2=（4+4a）a，
解得：a=或a=0（舍），
则k=12×=3，
故选：A．
12．D
解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，

∵sin∠BCD＝，
∴sin∠BCE＝，
设BE＝3a，BC＝5a，
∴CE＝＝4a，
过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，
∴BF＝CG，
设AC＝x，AB＝y，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB2﹣AC2＝BC2，
∴y2﹣x2＝25a2，
∵S△ABC＝AB•CF＝AC•BC，
∴y•CF＝5ax，
∴CF＝，
在Rt△BCF中，根据勾股定理，得
BF＝＝＝，
∴BF＝CG＝，
在正方形ABDH中，AB＝BD＝y，
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得
DE＝＝，
∴CD＝CE+ED＝4a +，
∵S△CBD＝CD•BE＝BD•CG，
∴CD•BE＝BD•CG，
∴(4a +)×3＝y×，
∴＝，
∴tan∠CDB＝tan∠EDB＝＝＝．
故选：D．
13．D
解：
如图，过点C作轴于点M，过点D作轴于点N

四边形AOCB是平行四边形




点D为边AB的中点



设，则



（a，），（，）
代入反比例函数解析式为
整理得
解得 （舍去）

故选：D．
14．C
解：过点D作DE⊥AB′，交B′A的延长线于点E，如图，

在矩形ABCD中，
∵∠ABD＝60°，BD＝16，
∴AD＝BC＝BD•sin∠ABD＝16×＝8．
由旋转可知：DC＝DC′，DB＝DB′，∠CDC′＝∠BDB′，
∴，
∴△CDC′∽△BDB′．
∴∠DCC′＝∠DBB′．
∴∠BNC＝∠CDB．
∵∠CDB＝∠ABD，∠BNC＝∠BAB′，∠ABD＝60°，
∴∠BAB′＝60°．
∵∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝180°﹣∠BAB′﹣∠BAD＝30°．
∴DE＝＝4，
AE＝AD•cos∠EAD＝8×＝12．
∴B′E＝．
∴AB′＝B′E﹣AE＝4﹣12．
∵∠BAB′＝∠ABD＝60°，
∴AB′∥BD．
∴△ABB′中AB′边上的高等于DE．
∴
＝×（4﹣12）×4
＝8﹣24．
故选：C．
15．B
解：∵矩形AB′C′D′是将矩形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到，
直线B′C′与CD相交于点M，AB′和CD′相交于点N，

∴∠1＝30°，AB′＝AB＝5，
∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝2
∴∠2＝∠1＝30°，
在Rt△ADN中，
DN＝＝＝2，
∴AN＝＝＝4，
∴B′N＝AB′﹣AN＝5﹣4＝1，
在Rt△MNB′中，
∵∠MNB′＝∠2＝30°，
∴MN＝＝＝，
∴MD＝MN+DN＝+2＝，
∴点M（﹣2，），
故选：B．
16．等腰直角三角形
解：∵，
∴，且，
即，，
∴∠A＝45°，∠B＝45°，
∴∠C=90°
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
17．
解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∴BD＝CD＝BC，
∵∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝＝30°，
∵OB＝6，
∴BD＝OB•cos30°＝6×，
∴BC＝2BD＝，
故答案为：．

18．12
解：如图，过点A作于点F，则四边形ABEF为矩形，

，
设，
在中，
，
在中，
，
，
在中，，
，
，
，
解得，
故树DE的高度为12，
故答案为：12．
19．##0.6
解：连接，
∵是斜边上的中线，，
∴是的垂直平分线，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
，
∴，
∴．
故答案为：


20．
解：∵P1Q1⊥AB，AP1＝2，∠A＝30°，
∴，，
∵P2Q1⊥AP1，
∴，
∴,
∴，
同理可得，
∴可以推出，
故答案为：．
21．（1）0 （2）3
解：（1）原式

=0
（2）原式=2-1-4×+4
=2-1-2+4
=3
22．(1)见解析 (2)
(1)
证明：∠B＝∠DCB＝∠APD ＝90°，
，
，
又PA=PD，
△ABP≌△PCD；
(2)
在Rt△ABC中，，，
∴，
过点D作DE⊥AC于点E，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴△DCE∽△CAB，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在Rt△AED中，．
23．(1)见解析 (2)
(1)
如图，连接OC、OD，

∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵DE是⊙O的切线，
∴，
∴，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
(2)
如图，过D作交于点F，

由（1）知，，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∵CE，DE是⊙O的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，．
24．(1)15° (2)海监船继续向正东方向航行安全，理由见解析．
(1)
解：由题意得，∠PAB=90°-60°=30°，∠ABP=90°+45°=135°，
∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-30°-135°=15°；
(2)
解：海监船继续向正东方向航行安全，理由如下：
作PH⊥AB于H，如图：

则△PBH是等腰直角三角形，
∴BH=PH，
设BH=PH=x海里，
由题意得：AB=60×=30（海里），
在Rt△APH中，，
即，
解得：，且符合题意，
∴海监船继续向正东方向航行安全．
25．(1)6米 (2)米
(1)
解：如图，过点作，

AB坡度，且米，
，
设，则，
，
，
米，米，
即平台上点B到山体底部底面AE的距离为6米；
(2)
解：如图，延长交于点，

,，，
四边形是矩形．
则米，米，
米．
在山体底部A处测得摩天轮顶端D的仰角为52°，
即，
在中，米．
≈14米．
即摩天轮顶端D到山体平台BF的距离CD的长为14米．
26．(1)见解析 (2) (3)
(1)
解：∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠EDF＝90°，
∴∠FCG=∠ACD=45°，∠FEH=45°．
∴∠FCG=∠FEH，
又∠CFG=∠EFH，
∴△FCG∽△FEH，
∴，
即FC·FH=FG·FE．
(2)
解：∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，点D是BC的中点，
∴DE=DF，∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF，
∵AD=CD，∠ADC=∠90°，
∴△ACD是等腰直角三角形．
又∵AD=AE，
∴，
∵AF=AC+CF=，
∴在Rt△AEF中，．
(3)
解：过点H作HM∥AB交BC于点M，过点H作HN⊥BC于点N．设AC=a，则．
在△BDE中，点H是DE的中点，HM∥AB，
∴点M是BD的中点．
又∵点D是BC的中点，
∴ ，
∴．
∵HN⊥AD，∠ADC=90°，
∴HN∥AD．
∴∠NHC=∠DAC=45゜
∴△HNC是等腰直角三角形
∴由勾股定理得
∴，
∴在Rt△HND中，由勾股定理得：，
∵点H是DE的中点，
∴．
在△CDH和△EDG中，
∵∠DCH=∠DEG=45°，∠CDH=∠EDG，
∴△CDH∽△EDG．
∴．

27．(1)30° (2)点F下落的高度约为40.3cm
(1)
解：延长FE交l于点O，分别过点D、C作，垂足为M、N，如图1所示，则，∠AMD=∠BNC = 90°，，

CD//AB，
四边形CDM N是平行四边形，
DM = CN，MN=CD=22cm，
在Rt△ADM和Rt△BCN中，

Rt△ADM≌Rt△BCN，
AM = BN=4 (cm)，
在Rt△ADM中，
cos∠DAM = ，
∠DAM≈80°，
∠AOE= 180°-∠AEO-∠DAM=30°，
即FE与水平桌面l的夹角约为30°；
(2)
如图2中，分别过点E、F作直线l的垂线段EG、FH， FH交过点E的水平线于点P，则∠EGH =∠FHG = 90°，EG//FH


PE//l，
四边形PEGH是平行四边形，FH⊥PE，∠FEP=∠AOE=30°，
PH = EG，
3AE = 24cm，
AE = 8cm，
在Rt△AEG中，∠EAG = 80° ，
(cm)，
PH = EG = 7.84cm，
在Rt△EFP中，EF= 80cm，∠FEP= 30°，
FP=EF= 40cm，
FH=FP+PH≈40+7.84= 47.84 (cm)
如图3中，过点E作EQ⊥l于点Q，


EF//l，
∠EAQ=∠FED= 70°，
在Rt△AEQ中，AE = 8cm，
= 7.52 (cm)
FH- EQ≈47.84- 7.52 = 40.32≈40.3 (cm)
即此时点F下落的高度约为40.3cm．