2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题10 角平分线模型

这是一份2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题10 角平分线模型，共73页。

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题10角平分线模型
经典例题



【例1】（2021·江苏·泰州市第二中学附属初中八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t= 时，AP平分△ABC的面积．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
（3）若点Q是边AB上一点，且QP⊥BC，垂足为P，请用无刻度的直尺和圆规，作出点P、点Q，使得QA=QP．
（4）若点E、F为BC、AB上的动点，求AE+EF的最小值．


【例2】（2021·福建省福州屏东中学二模）已知为的外心、为弧的中点，连接，点在线段上，且，

（1）如图1，若．
①求证：平分；
②求的值；
（2）如图2，连接，的外角平分线交于点，若，求证．
【例3】（2021·湖北孝感·二模）已知，的顶点A在上，顶点B在上，且，．连接，与交于点D．


（1）如图1，若，求证：平分；
（2）如图2，若与不垂直，是否仍平分?请作出结论，并说明理由
（3）如图3，若，，求的长．
【例4】（2021·江苏·南通田家炳中学二模）在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．

（1）如图1，若，求的值；
（2）如图2，在线段上取一点，使平分，延长，交于点，若，求的值．
【例5】（2021·北京石景山·一模）阅读下面材料：
小石遇到这样一个问题：图1，分别是的边上的动点（不与点B重合），与的角平分线交于点P，的周长为a，过点P作于点于点N，求与的周长a的数量关系．
小石通过测量发现了垂线段与的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得解决．
（1）线段与的数量关系为__________；与a的数量关系是____________．
（2）如图2，当时，其它条件不变，判断点P到的距离与的周长a的数量关系，并简要说明理由．

培优训练


1．（2021·北京·人大附中八年级期中）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．

2．（2021·广东·珠海市九洲中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．

3．（2021·辽宁甘井子·八年级月考）如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．

（1）求证；
（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．
4．（2021·四川青羊·七年级期末）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．

5．（2021·黑龙江南岗·七年级期末）已知：是的角平分线，且．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，点E在上，连接并延长交于点，交CA的延长线于点，且，连接．
①求证：；
②若，且，求的长．
6．（2021·湖北襄州·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标且a，b满足．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点，，于D，交y轴于点E，求证：平分．
（3）如图（2），点F为的中点，点G为x正半轴点右侧的一动点，过点F作的垂线，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．
7．（2021·湖北武昌·八年级期末）如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点．
（1）求证：平分；
（2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：；
（3）如图3，若，求证：．

8．（2021·安徽·淮南实验中学八年级期中）如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．

9．（2021·江苏盐都·八年级月考）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．

10．（2020·全国·九年级课时练习）（特例感知）
（1）如图（1），是的圆周角，BC为直径，BD平分交于点D，，，求点D到直线AB的距离．
（类比迁移）（2）如图（2），是的圆周角，BC为的弦，BD平分交于点D，过点D作，垂足为点E，探索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由．
（问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD为的内接四边形，，BD平分，，，求的内心与外心之间的距离．

11．（2020·浙江·杭州外语实验初中八年级期中）在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E．
（1）如图，若点C的坐标为（3，0），试求点E的坐标；
（2）如图，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，连接DO，求证：OD平分
（3）若点C在x轴正半轴上运动，当时，试探索线段AD、OC、DC的数量关系，并证明．

12．（2018·四川成华·七年级期末）如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，且MN//PQ．和的平分线交于点．
（1）求证：；
（2）过点作直线交于点（不与点重合），交于点E,
①若点在点的右侧，如图2，求证：；
②若点在点的左侧，则线段、、有何数量关系？直接写出结论，不说理由．

13．（2019·湖北硚口·八年级期中）在平面直角坐标中，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，A（0，a），B（b，0）．

（1）如图1，若+（a-2）2=0，求△ABO的面积；
（2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：∠ADB=∠CDE；
（3）如图3，在（1）的条件下，若以P（0，-6）为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．
14．（2018·辽宁·沈阳市第一四三中学八年级期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:
如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：
(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.
(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.
(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.

15．（2019·湖南雨花·九年级期末）如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点．

（1）若AB是⊙O的切线，求∠BMC；
（2）在（1）的条件下，若E，F分别是AB，AC上的两个动点，且ÐEDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
16．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．

17．（2020·江西南昌·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，
求证：∠ADC+∠B=180º

18．（2019·全国·九年级专题练习）如图，在四边形中，于，，.求证：；.

19．（2019·全国·九年级专题练习）已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．

20．（2019·全国·九年级专题练习）如图所示，中，为的中点交的平分线于于，求证：．

21．（2019·全国·九年级专题练习）如图，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE.




【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题10角平分线模型
经典例题



【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t= 时，AP平分△ABC的面积．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
（3）若点Q是边AB上一点，且QP⊥BC，垂足为P，请用无刻度的直尺和圆规，作出点P、点Q，使得QA=QP．
（4）若点E、F为BC、AB上的动点，求AE+EF的最小值．


【答案】（1）1；（2）当△ABP为等腰三角形时，或或4；（3）图见详解；（4）AE+EF的最小值．
【分析】
（1）由题意易得BP=4t，然后可得4t=4，进而问题可求解；
（2）当△ABP为等腰三角形时，可分：①BP=AP；②BP=BA；③AB=AP；然后根据等腰三角形的性质可进行求解；
（3）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M、N，然后以点M、N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，交于一点，连接点A与这个点并延长，交BC于点P，最后过点P作PQ⊥BC即可；
（4）作点A关于射线BC的对称点G，然后过点G作GF⊥AB交BC于点E，垂足为F，由轴对称的性质及垂线段最短可知此时AE+EF的最小值即为GF的长，进而问题可求解．
【解析】
解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，
∴，
∵AP平分△ABC的面积，
∴点P是边BC的中点，
∵BP=4t，
∴，解得：，
故答案为1；
（2）当△ABP为等腰三角形时，可分：①BP=AP=4t，如图所示：


∴，
∴在Rt△ACP中，由勾股定理可得：，
解得：；
②BP=BA=4t，如图所示：


∴，解得：；
③AB=AP=10，如图所示：


∴，解得：；
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，或或4；
（3）如图所示：


（4）由题意可得如图：


作点A关于射线BC的对称点G，然后过点G作GF⊥AB交BC于点E，垂足为F，由轴对称的性质及垂线段最短可知此时AE+EF的最小值即为GF的长，如图所示：


∴，
连接BG，
∴，
∴，
∴AE+EF的最小值．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理、角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
【例2】已知为的外心、为弧的中点，连接，点在线段上，且，

（1）如图1，若．
①求证：平分；
②求的值；
（2）如图2，连接，的外角平分线交于点，若，求证．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】
（1）①由圆周角定理得到∠CBD=∠BAD，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠CBE=∠ABE，从而得证；
②连接CD，CE，过点E作EG∥CD交AC于G，根据角平分线的性质定理得到从而得到，然后根据根据，得到，通过证明△EFC≌△EGC，得到CF=CG，利用平行线分线段成比例定理得到，即可求解.
（2）连接OB，OF，OD，OC，AF，FD，则OF=OB=OD=OC，利用∠BAC=60°，可以证明三角形OBD为等边三角形，于是得到DE=OD=OB=OF，再证明△OFB≌DOE即可得到答案.
【解析】
解：（1）①∵D为弧BC的中点，
∴，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAD，
∵DB=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴∠CBE=∠ABE，
∴BE平分∠ABC；
②连接CD，CE，过点E作EG∥CD交AC于G，
∵∠BAD=∠CAD，
∴（角平分线性质定理），
∴，
∴，
∵，
∴，
∵BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，
∴E为△ABC的内心，
∴CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵EG∥DC，
∴∠AEG=∠ADC，
∵，
∴∠BCD=∠CAD，
∵∠EFC=∠EDC+∠BCD，∠EGC=∠CAD+∠AEG，
∴∠EFC=∠EGC，
在△EFC和△EGC中

∴△EFC≌△EGC（AAS），
∴CF=CG，
∵EG∥DC，
∴
∴，
∴；

（3）连接OB，OF，OD，OC，AF，FD，则OF=OB=OD=OC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
∵D为弧BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD=30°，∠BOD=∠COD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴OB=OD，∠ODB=60°，
∵DB=DE，
∴DE=OD=OD=OF，
∵∠GBA =∠BAC+∠ACB，BF平分∠GBA，
∴=30°+，
∵∠FBG为圆内接四边形FBCA的外角，
∴∠GBF=∠FAC=∠CAD+∠FAD=30°+∠FAD，
∴∠FAD=，
∵∠FAD=
∴∠FOD=∠ACB，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ADB=∠FOD，
∵∠ADB=∠ODB+∠ODE=60°+∠ODE，∠FOD=∠BOD+∠FOB=60°+∠FOB，
∴∠FOB=∠ODE，
在△OFB和△DOE中

∴△OFB≌DOE（SAS），
∴BF=OE.

【点睛】
本题主要考查了圆的综合题，等比性质，平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内心，全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【例3】已知，的顶点A在上，顶点B在上，且，．连接，与交于点D．


（1）如图1，若，求证：平分；
（2）如图2，若与不垂直，是否仍平分?请作出结论，并说明理由
（3）如图3，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）仍平分．理由见解析；（3）
【分析】
（1）根据角平分线的性质进行证明即可；
（2）证明，再根据角平分线的性质证明；
（3）作，垂足为H．由求得，再解即可．
【解析】
（1）证明：，，，
，
，
．
又，，
平分．
（2）仍平分．
理由如下：如图1，作，．
，
．
又，
．
又，
．
．
又，，
平分．


（3）解：如图2，作，垂足为H．
由（2）知，平分，
．
，，
．
．
又，
．
．
，
设，则，
，．
．
在中，．
，，
，．
在中，．
．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟悉以上定理是解题的关键．
【例4】在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．

（1）如图1，若，求的值；
（2）如图2，在线段上取一点，使平分，延长，交于点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据，可设，则，，再证明，由相似三角形性质即可用k表示出BF，从而求得比值；
（2）过点作于点，由可得，再证，从而，设，由角平分线性质可得：，，设，则，由列方程即可求出，再根据即可求出比值．
【解析】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
，
由折叠的性质得：，，，
，
设，则，
，
又，，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
；
（2）如解图2，过点作于点，

，，

，

，，
，
∴，
设，
平分，
，，
设，则，

，解得
而，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了四边形的综合问题，也考查了三角形相似的判定与性质、勾股定理、三角函数和角平分线的性质．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．难点是构造垂直利用角平分线性质得线段相等并利用相似进行求解．
【例5】阅读下面材料：
小石遇到这样一个问题：图1，分别是的边上的动点（不与点B重合），与的角平分线交于点P，的周长为a，过点P作于点于点N，求与的周长a的数量关系．
小石通过测量发现了垂线段与的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得解决．
（1）线段与的数量关系为__________；与a的数量关系是____________．
（2）如图2，当时，其它条件不变，判断点P到的距离与的周长a的数量关系，并简要说明理由．

【答案】（1）PM=PN，；（2）（或），理由见解析．
【分析】
（1）根据角平分线上的点到角两边距离相等可证PG=PM=PN，再根据HL定理可证明DM=DG，GE=EN，最后根据矩形的性质和判定以及线段的和差可得结论；
（2）由（1）可得PM=PH=PN，的周长a=PM+BN，根据角平分线的判定定理可得BP为∠ABC的角平分线上，根据含30°角的直角三角形的特点可得结论．
【解析】
解：（1）作PG⊥DE与DE交于G，
∵DP为的平分线，，PG⊥DE，
∴PM=PG，
同理可证明PG=PN，
∴PM=PN，
在Rt△PDM和Rt△PDG中，
∵PM=PG，PD=PD，

∴Rt△PDM≌Rt△PDG（HL），
∴DM=DG，
同理可证GE=EN，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形BNPM为矩形，
∴PN=BM,PM=BN，
∴
故答案为：PM=PN，；
（2）（或），理由如下：
作PH⊥DE，连接BP，
与（1）同理可证PM=PH=PN，的周长a=BM+BN，
∴P在∠ABN的角平分线上，
∵，
∴∠ABP=∠PBN=30°，
∴在Rt△BPM中，BP=2PM，
根据勾股定理,
同理可证，
∴（或）．

【点睛】
本题考查角平分线的性质和判定，HL定理，矩形的性质和判定，含30°角的直角三角形，勾股定理等．本题主要是角平分线的性质和判定定理的应用，理解角平分线上的点到角两边距离相等和在角内部到角两边距离相等的点在角平分线上是解题关键．
培优训练


一、解答题
1．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．

【答案】（1）；（2），见解析；（3）44°；详见解析．
【分析】
（1）根据等边对等角，可得，，再根据三角形外角的性质求出，由此即可解题；
（2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造，根据即可得出答案；
（3）画出图形，延长CA到G，使AG=AB，构造全等三角形和等腰三角形，设，由，，列方程即可解答．
【解析】
解：（1）∵AE＝AD＝DC，
∴，，
∵，，
∴，
∵AD为△ABC的角平分线，即，
∴；
∴
（2）如图2，
在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，

在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）如图3，延长CA到G，使AG=AB，

∵AB+AC＝EC，
∴AG+AC＝EC，即，
∴，
设，则；
又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．

【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）证明△ACD≌△AED（AAS），即可得出结论；
（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，证△FAD≌△MAD（SAS），得FD=MD，∠ADF=∠ADM，再证Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得ME=BE，求出MB=AB-AM=6，即可求解．
【解析】
解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∵DE⊥BA，
∴∠DEA=∠DEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠DEA=90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE；
（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，
在△FAD和△MAD中，
，
∴△FAD≌△MAD（SAS），
∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，
∵BD=DF，
∴BD=MD，
在Rt△MDE和Rt△BDE中，
，
∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），
∴ME=BE，
∵AF=AM，且AF=1.4，
∴AM=1.4，
∵AB=7.4，
∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，
∴BE＝BM＝3，
即BE的长为3．

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键．
3．如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．

（1）求证；
（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）延长至点，使，可证，由全等三角形的性质从而得出，根据题目已知，可证，由全等三角形的性质从而得出，等量代换即可得出答案；
（2）如图所示，作，可证，由全等三角形的性质相等角从而得出，进而得出，故可证等量转化即可求出的值．
【解析】
（1）如图1所示，延长至点，使，
在与中，
，
，
，
，
，
在与中，
,
，
，
；


（2）如图所示，，
，
平分，，
，
，，
，作，
在与中，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
设，
，，
．

【点睛】
本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13
【分析】
（1）由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；
（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；
（3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG是等边三角形，最后问题可求解．
【解析】
证明：（1）∵射线OP平分∠MON，
∴∠AOD=∠BOD，
∵OD=OD，OA＝OB，
∴△AOD≌△BOD（SAS），
∴AD＝BD．
（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：

∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，
∵CD=CD，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，
∵∠B+∠EDB=∠CED，
∴∠EDB=∠B=30°，
∴DE=BE，
∴AD=BE，
∵BC=CE+BE，
∴BC＝AC+AD．
（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：

同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，
∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，
∵C为BD边中点，
∴BC=CD=CF=CG=3，
∵∠ACE＝120°，
∴∠ACB+∠DCE=60°，
∴∠ACF+∠GCE=60°，
∴∠FCG=60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴FG=CF=CG=3，
∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．
5．已知：是的角平分线，且．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，点E在上，连接并延长交于点，交CA的延长线于点，且，连接．
①求证：；
②若，且，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②．
【分析】
（1）用证明，即得AB＝AC；
（2）①证明可得，再用证明△FAG≌△FAE，即得；
②过作于，由，可得，，而，故，即得，根据，可求．
【解析】
解：（1）证明：是的角平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）①，，，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②过作于，如图：

由①知：，
，
，
，
由①知：，
，
，
，
，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.
6．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标且a，b满足．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点，，于D，交y轴于点E，求证：平分．
（3）如图（2），点F为的中点，点G为x正半轴点右侧的一动点，过点F作的垂线，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）不变化，．
【分析】
（1）由非负性可求a，b的值，即可求A、B两点的坐标；
（2）过点O作于M，于N，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（3）由于点F是等腰直角三角形AOB的斜边的中点，所以连接OF，得出OF=BF．∠BFO=∠GFH，进而得出∠OFH=∠BFG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可．
【解析】
解：（1）∵
∴，
∴ ，即．
∴，．
（2）如图，过点O作于M，于N，

根据题意可知．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴OA＝OB＝6．
在和中， ，
∴．
∴， ，．
∴，
∴，
∴点O一定在∠CDB的角平分线上，
即OD平分∠CDB．
（3）如图，连接OF，

∵是等腰直角三角形且点F为AB的中点，
∴，，OF平分∠AOB．
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
在和中 ，
∴．
∴，
∴．
故不发生变化，且．
【点睛】
本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
7．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点．
（1）求证：平分；
（2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：；
（3）如图3，若，求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；
（2）作，，在上取一点，使，通过证明和得到，从而根据等角对等边判断即可；
（3）延长至，使，连接，通过证明得到，再结合即可得出结论．
【解析】
（1）证明：如图所示，过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，
∵，分别是和的角平分线，
∴，
∴平分；

（2）证明：如图，作，，在上取一点，使．
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
在四边形中，，
又∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
在和中

∴，
∴
又∵，，
∴，
∴；

（3）证明：延长至，使，连接．
∵，分别是和的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】
本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．
8．如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，60°
【分析】
（1）根据∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，再结合∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，即可得出结论；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM＝AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
（3）运用截长法在CD上截取CP＝BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【解析】
（1）证明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．


则∠AMC＝∠ANB＝90°，
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS），
∴AM＝AN，
∴AD平分∠CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP＝BD，连接AP．


∵CD＝AD＋BD，
∴AD＝PD，
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP，
∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，
∴AD＝AP＝PD，
即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°，
∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．
9．已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．

【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．
【分析】
（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可；
（3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可．
【解析】
（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，

∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠CBE＝∠CDF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS）
∴BC＝DC；
（2）解：AD﹣AB＝2BE，
理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，

∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，AE＝AF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠CDF＝∠CBE，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴DF＝BE，
∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，
∴AD﹣AB＝2BE；
（3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，

∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB
在△OBH和△OBG中，
，
∴△OBH≌△OBG（SAS）
∴∠OHB＝∠OGB，
∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，
∴点O到AD，AB，BD的距离相等，
∴∠ODH＝∠ODF，
∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，
∴∠DOH＝∠DAB＝60°，
∴∠GOH＝120°，
∴∠BOG＝∠BOH＝60°，
∴∠DOF＝∠BOG＝60°，
∴∠DOH＝∠DOF，
在△ODH和△ODF中，
，
∴△ODH≌△ODF（ASA），
∴DH＝DF，
∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．
10．（特例感知）
（1）如图（1），是的圆周角，BC为直径，BD平分交于点D，，，求点D到直线AB的距离．
（类比迁移）（2）如图（2），是的圆周角，BC为的弦，BD平分交于点D，过点D作，垂足为点E，探索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由．
（问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD为的内接四边形，，BD平分，，，求的内心与外心之间的距离．

【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）．
【分析】
（1）如图①中，作于，于．理由面积法求出，再利用角平分线的性质定理可得解决问题；
（2）如图②中，结论：．只要证明，推出，，推出即可解决问题；
（3）如图③，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，DE⊥BC，交BC于点E，连接AC，作△ABC△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由（1）（2）可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线．由切线长定理可知：，推出，由面积法可知内切圆半径为2，在中，理由勾股定理即可解决问题；
【解析】
解：（1）如图①中，作于，于．

图①
平分，，，
，
是直径，
，
，
，
，
．
故答案为
（2）如图②中，结论：．

图②
理由：作于，连接，．
平分，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
（3）如图③，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，DE⊥BC，交BC于点E，连接AC，作△ABC△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由（1）（2）可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线．

图③
，
正方形的边长为7，
由（2）可知：，
，
由切线长定理可知：，
，
设内切圆的半径为，
则
解得，
即，
在中，．
故答案为．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
11．在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E．
（1）如图，若点C的坐标为（3，0），试求点E的坐标；
（2）如图，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，连接DO，求证：OD平分
（3）若点C在x轴正半轴上运动，当时，试探索线段AD、OC、DC的数量关系，并证明．

【答案】（1）（0，3）；（2）详见解析；（3）AD=OC+CD
【分析】
（1）先根据AAS判定△AOE≌△BOC，得出OE=OC，再根据点C的坐标为（3，0），得到OC=2=OE，进而得到点E的坐标；
（2）先过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，根据△AOE≌△BOC，得到S△AOE=S△BOC，且AE=BC，再根据OM⊥AE，ON⊥BC，得出OM=ON，进而得到OD平分∠ADC；
（3）在DA上截取DP=DC，连接OP，根据三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OCB=60°，根据SAS判定△OPD≌△OCD，得OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，再根据三角形外角性质得PA=PO=OC，故AD=PA+PD=OC+CD．
【解析】
（1）如图①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，
∴∠AOE=∠BDE，
又∵∠AEO=∠BED，
∴∠OAE=∠OBC，
∵A（-5，0），B（0，5），
∴OA=OB=5，
∴△AOE≌△BOC，
∴OE=OC，
又∵点C的坐标为（3，0），
∴OC=3=OE，
∴点E的坐标为（0，3）；
（2）如图②，过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，

∵△AOE≌△BOC，
∴S△AOE=S△BOC，且AE=BC，
∵OM⊥AE，ON⊥BC，
∴OM=ON，
∴OD平分∠ADC；
（3）如所示，在DA上截取DP=DC，连接OP，

∵，∠ADC=90°
∴∠PAO+∠OCD=90°，
∴∠DAC==30°，∠DCA==60°
∵∠PDO=∠CDO，OD=OD，
∴△OPD≌△OCD，
∴OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，
∴∠POA=∠PAO=30°
∴PA=PO=OC
∴AD=PA+PD=OC+CD
即：AD=OC+CD．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．
12．如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，且MN//PQ．和的平分线交于点．
（1）求证：；
（2）过点作直线交于点（不与点重合），交于点E,
①若点在点的右侧，如图2，求证：；
②若点在点的左侧，则线段、、有何数量关系？直接写出结论，不说理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
(1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC⊥AC;
(2) ①延长AC交PQ点F，先证明AC=FC,再证明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB;
②方法与①相同．
【解析】
解：（1）∵MN∥PQ
∴∠NAB+∠ABQ=180°
∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ
∴
∴∠BAC+∠ABC==90°
在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°
∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90°
∴BC⊥AC;
（2）①延长AC交PQ于点F
∵BC⊥AC
∴∠ACB=∠FCB=90°
∵BC平分∠ABF
∴∠ABC=∠FBC
∴BC=BC
∴△ABC≌△FBC
∴AC=CF，AB=BF
∵MN∥BQ
∴∠DAC=∠EFC
∵∠ACD=∠FCE
∴△ACD≌△FCE
∴AD=EF
∴AB=BF=BE+EF=BE+AD
即：AB=AD+BE


②线段AD，BE，AB数量关系是：AD+AB=BE
如图3，延长AC交PQ点F,
∵MN//PQ ．
∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC
∵AC平分∠NAB
∴∠BAF=∠FAN
∴∠BAF=∠AFB
∴AB=FB
∵BC⊥AC
∴C是AF的中点
∴AC=FC
在△ACD与△FCE中

∴
∴AD=EF
∵AB=FB=BE-EF
∴AD+AB=BE
【点睛】
本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形．
13．在平面直角坐标中，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，A（0，a），B（b，0）．

（1）如图1，若+（a-2）2=0，求△ABO的面积；
（2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：∠ADB=∠CDE；
（3）如图3，在（1）的条件下，若以P（0，-6）为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．
【答案】（1）△ABO的面积=4；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b，根据三角形的面积公式计算；
（2）作AF平分∠BAC交BD于F点，分别证明△ACE≌△BAF，△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质证明；
（3）过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，证明△ACM≌△BAO，根据全等三角形的性质得到CM=AO=2，AM=BO=4，证明四边形ONQB为平行四边形，得到答案．
【解析】
解：（1）∵+（a-2）2=0，
∴2a-b=0，a-2=0，
解得，a=2，b=4，
∴A（0，2），B（4，0），
∴OA=2，OB=4，
∴△ABO的面积=×2×4=4；

（2）作AF平分∠BAC交BD于F点，
∵AB=AC，∠CAB=90°，
∴∠C=∠ABC=∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠CAE+∠BAO=∠ABF+∠BAO=90°，
∴∠CAE=∠ABF，
在△ACE和△BAF中，
，
∴△ACE≌△BAF（ASA），
∴CE=AF，
在△CED和△AFD中，
，
∴△CED≌△AFD（SAS）
∴∠CDE=∠ADB；
（3）过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，
则∠AMC=∠BOA=90°，
∵∠CAM+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CAM=∠ABO，
在△ACM和△BAO中，
，
∴△ACM≌△BAO（AAS），
∴CM=AO=2，AM=BO=4，
∵A（0，2），P（0，-6），
∴AP=8，
∴PM=AP-AM=4，
在△PCM和△QPN中，
，
△PCM≌△QPN（AAS），
∴NQ=PM=4，
∴四边形ONQB为平行四边形，
∴AP∥BQ．

【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，非负数的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
14．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:
如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：
(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.
(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.
(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.

【答案】（1）CD=2AD；（2）CD=3AD；（3）BC=AD+BD.
【解析】
【分析】
（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=2DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得 DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论．
【解析】
（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴DE=AD，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=2DE=2AD，
故答案为：CD=2AD
（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE，
在△ABD和△EBD中，AB=BE∠ABD=∠DBEBD=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=30°，
∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，
∴CD=3DE=3AD.

（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，
∴∠DFA=∠DGE=90°．
∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，
∴DF=DG．
∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，
∴∠DBC=20°，
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE=80°，
∴∠FAD=∠BED．
在△DAF和△DEG中，∠DFA=∠DGE∠FAD=∠BEDDF=DG，
∴△DAF≌△DEG（AAS），
∴AD=ED．
∵∠BED=∠C+∠EDC，
∴80°=40+∠EDC，
∴∠EDC=40°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=CE，
∴AD=CE．
∵BC=BE+CE，
∴BC=BD+AD．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．
15．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点．

（1）若AB是⊙O的切线，求∠BMC；
（2）在（1）的条件下，若E，F分别是AB，AC上的两个动点，且ÐEDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）60°；（2）BE+CF的值是定值，BE+CF=.
【分析】
（1）连接BO，由AB是切线可以得到∠ABO的度数，由△ABC为等边三角形，得到∠OBC的度数，然后得到∠BOC，根据圆心角与圆周角的关系得到∠BMC的度数.
（2）作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD ，OD，如图2，根据等边三角形三角形的性质得AD平分∠BAC，∠BAC=60°，则利用角平分线性质得DH=DN，根据四边形内角和得∠HDN=120°，由于∠EDF=120°，所以∠HDE=∠NDF，接着证明△DHE≌△DNF得到HE=NF，于是BE+CF=BH+CN，再计算出BH=BD，CN=DC，则BE+CF=BC，于是可判断BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半，再计算BC的长即可．
【解析】
（1）解：如图，连接BO，

∵AB是圆的切线，
∴∠ABO=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠CBO=90°-60°=30°，
∵BO=CO，
∴∠BCO=∠CBO=30°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BMC=

（2）解：BE+CF的值是为定值．
理由：作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，OD，如图2，

∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴DH=DN，∠HDN=120°，
∵∠EDF=120°，
∴∠HDE=∠NDF，
在△DHE和△DNF中，
∴，
∴△DHE≌△DNF，
∴HE=NF，
∴BE+CF=BH-EH+CN+NF=BH+CN，
在Rt△DHB中，∵∠DBH=60°，
∴BH=BD，
同理可得CN=OC，
∴BE+CF=DB+DC=BC，
∵BD=，
∴BC=，
∴BE+CF=，
∴BE+CF的值是定值，为：．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质．
16．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．

【答案】见解析
【分析】
作BF的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC≌△AEB推出BE＝CD，从而得到结论．
【解析】
解：取BF的中点E，连接AE，AD，

∵∠BAC＝90°，
∴AE＝BE＝EF，
∴∠ABD＝∠BAE，
∵CD⊥BD，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠DAC＝∠DBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴∠EAD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，
∴∠AED＝45°，
∴AE＝AD，
在△ABE与△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC，
∴BE＝CD，
∴BF＝2CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，
求证：∠ADC+∠B=180º

【答案】见解析.
【分析】
延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AD＋AB＝2AE可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠B＝∠FDC，问题得证．
【解析】
证明：延长AD过C作CF垂直AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，
∴△AFC≌△AEC(AAS)，
∴AF＝AE，CF＝CE，
∵AD+AB=2AE，
又∵AD＝AF−DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，
∴2AE＝AE＋BE＋AE−DF，
∴BE＝DF，
在△CDF和△CBE中，，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠B＝∠FDC，
∵∠ADC＋∠FDC＝180°，
∴∠ADC+∠B=180º．

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．
18．如图，在四边形中，于，，.求证：；.

【答案】详见解析
【分析】
过点向OA、OB作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论.
【解析】
如图，过点作与点，则∠F=∠CEO=90°，
，OC=OC，
，
，，
，，
，
，，
∵，，
.

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.
19．已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．

【答案】
【分析】
延长CG交AB于点E. 根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=BE=（AB-AC），从而得出的长．
【解析】
解：延长CG交AB于点E．

AG平分，于，
，，
，
∵ ，为的中点，
．
故答案为.
【点睛】
本题考查 等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理求解是解题的关键．
20．如图所示，中，为的中点交的平分线于于，求证：．

【答案】详见解析
【分析】
连接EB、EC，过点E作交AB延长线于G，根据线段垂直平分线求出BE=CE，根据角平分线性质求出EF=EG，证出Rt△BGE≌Rt△CFE即可得BG=CF，求出△AFE≌△AGE，推出AF=AG，即可得出答案．
【解析】
证明：连接EB、EC，过点E作交AB延长线于G，

∵为的中点
∴DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EF⊥AC，
∴∠BGE=∠EFC=90°，EF=EG，
在Rt△BGE和Rt△CFE中

∴Rt△BGE≌Rt△CFE（HL），
∴BG=CF，
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EF⊥AC，
∴∠AFE=∠AGE=90°，∠FAE=∠GAE，
在△AFE和△AGE中

∴△AFE≌△AGE，
∴AF=AG，
∵BG=CF，
∴（AB+AC）=（AG-BG+AF+CF）
=（AF+AF）
=AF，
即AF=（AB+AC）．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解题的关键，题目比较典型，难度适中．
21．如图，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE.

【答案】详见解析
【分析】
延长BO，AE并交于F，证△ABE≌△FBE，推出AE=EF，证△BOD≌△AOF推出BD=AF即可．
【解析】
延长BO，AE并交于F，
∵BD平分∠ABO，AF⊥BD，
∴∠1=∠2，∠AEB=∠FEB=90°，
在△ABE和△FBE中
，
∴△ABE≌△FBE，
∴AE=EF，
∵∠AOB=90゜，∠AED=90°，∠ADE=∠BDO，
∴∠2=∠OAF，
∵∠AOB=90°，
∴∠DOB=∠FOA=90°，
∴在△OBD和△OAF中
，
∴△OBD≌△OAF，
∴BD=AF，
∵AE=EF，
∴BD=2AE．

【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.