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2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题06 截长补短模型
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这是一份2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题06 截长补短模型，共91页。
【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题6截长补短模型
经典例题
【例1】阅读题：如图1，平分，以为圆心任意长为半径画弧，交射线，于，两点，在射线上任取一点（点除外），连接，，可证，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在中，，平分交于点，试判断与、之间的数量关系；
（2）如图3，在四边形中，平分，，，，求的面积．
【例2】已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，．
（1）求证：；
（2）如图，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式；
（3）如图，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论．
【例3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【例4】问题提出，如图1所示，等边△ABC内接于⊙O，点P是上的任意一点，连结PA，PB，PC．线段PA、PB、PC满足怎样的数量关系?
（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB，∠ACB=60°，从而将CP绕点逆时针旋转60°交PB延长线于点M，从而证明△PAC≌△MBC，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA、PB、PC的数量关系是 ；
（自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，
①PC与PA，PB有怎样的数量关系?请说明理由：
②PC+PD与PA，PB的数量关系是 ．（直接写出结果）
（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE与PA+PB的数量关系是 ．（直接写出结果）
【例5】．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DEBC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG∠BDE．
（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC= ；
（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．
【例6】如图，△ABC中，AB=AC，∠EAF=∠BAC，BF⊥AE 于E交AF于点F，连结 CF．
（1）如图 1 所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF＝BE+CF．
（2）如图 2 所示，当∠EAF 的边 AE、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．
培优训练
一、解答题
1．等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点．
（1）如图1，求的度数；
图1
（2）连接，若，求的值；
（3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________．
图2
2．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．
3．在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F．
（1）如图1，若．
①直接写出的大小；
②求证：．
（2）若图2，若，求证：．
4．如图，在中，．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，为外的一点，连接，且，．过点作交的延长线于点．求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点，过点作交的延长线于点．点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接．若，请直接写出取得最小值时的值．
5．如图，等边△ABC内接于⊙O，点D是弧AC上一点，连接BD交AC于E．
（1）如图1，求证∠ADB＝∠CDB；
（2）如图2，点F为线段BD上一点，连接CF，若∠BCF＝2∠ABD时，求证：BF＝DE+AD；
（3）在（2）的条件下，作∠BCF的平分线交⊙O于M，在CM上取点R，连接AR交CF于点T，若TR＝1，MR＝5，∠CAT＝3∠ACD，求AT的长．
6．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
7．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将点C绕点B顺时针旋转105°得到点D，连接BD，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且∠DBF＝45°，作∠BFD的角平分线FG交AB于点G．
（1）求∠BFD的度数；
（2）求BF，DF，GF三条线段之间的等量关系式；
（3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB＝，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）．
8．数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．
经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．
在此基础上，同学们进行了进一步的探究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？ （填“是”或“否”）；
（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．
9．在平行四边形中，于，于，为上一动点，连接，交于，且．
（1）如图1，若，求、的长；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，若，点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，请直接写出的最小值_____．
10．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．
（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
11．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．
（1）如图1，在四边形中，，，连接．
①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．
②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明．
（2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明．
12．在中，直线经过点，于，于，于．请解答下列问题：
（1）如图①，求证：；（提示：过点作于）
（2）如图②、图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若，，，则______．
13．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝6，tanA＝，求BE的长；
（3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明．
14．如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋BQ的最小值．
15．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，．
（1）求的度数；
（2）求证：．
16．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 ．
17．如图，在中，，平分．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，若，求证：．
18．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
19．如图，在中，，，是边的中点，以为边作等边三角形，且与在直线的异侧，连接交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
20．已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题6截长补短模型
经典例题
【例1】阅读题：如图1，平分，以为圆心任意长为半径画弧，交射线，于，两点，在射线上任取一点（点除外），连接，，可证，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在中，，平分交于点，试判断与、之间的数量关系；
（2）如图3，在四边形中，平分，，，，求的面积．
【答案】（1）BC=AC+AD；（2）△ABC 的面积为80．
【分析】
（1）在CB上截取CE=CA，则由题意可得AD=DE，∠CED=∠A，再结合∠A=2∠B可得DE=BE，从而得到BC=AD+AC；
（2）在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CF⊥AB于F点，由题意可得EC=BC，从而得到EF的长度，再由勾股定理根据EC、EF的长度求得CF的长度，最后根据面积公式可以得到解答 ．
【解析】
解：（1）如图，在CB上截取CE=CA，则由题意得：△CAD≌△CED，
∴AD=DE，∠CED=∠A，
∵∠A=2∠B，∴∠CED=2∠B，
又∠CED=∠B+∠EDB，∴∠B+∠EDB=2∠B，
∴∠EDB=∠B，∴DE=BE，
∴BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC；
（2）如图，在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CF⊥AB于F点，
∴由题意可得：△CDA≌△CEA，
∴EC=CD=BC=10，AE=AD=8，
∵CF⊥AB，
∴EF=FB=，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键．
【例2】已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，．
（1）求证：；
（2）如图，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式；
（3）如图，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析
【分析】
（1）连接,通过，得到为等腰直角三角形，进而得到，根据过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点，可推出，，最后通过证明≌，可以得出结论；
（2）在射线上取点，使，连接，通过证明≌，得到，，再结合，推导证明≌，得到，最后等量代换线段即可求解；
（3）延长到点，使得，连接，通过证明≌，得到，，再结合，推导证明≌，得到，根据，等量代换可知，又因为，推出，进而得到，同理可证，最后根据勾股定理即可求解．
【解析】
解：（1）证明：连接．
，，
为等腰直角三角形，
，
又，且，
，
，
，
同理，，
在与中
，
≌，
，；
（2）如图，在射线上取点，使，连接．
在与中
，
≌，
，，
，，
，
，
，
在与中
≌，
，
又，
．
（3）．证明如下：
如图，延长到点，使得，连接．
，
在与中
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
在与中
，
≌，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
同理可证：，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理以及正方形的有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键．
【例3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，60°
【分析】
（1）根据∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，再结合∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，即可得出结论；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM＝AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
（3）运用截长法在CD上截取CP＝BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【解析】
（1）证明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC＝∠ANB＝90°，
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS），
∴AM＝AN，
∴AD平分∠CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP＝BD，连接AP．
∵CD＝AD＋BD，
∴AD＝PD，
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP，
∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，
∴AD＝AP＝PD，
即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°，
∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．
【例4】问题提出，如图1所示，等边△ABC内接于⊙O，点P是上的任意一点，连结PA，PB，PC．线段PA、PB、PC满足怎样的数量关系?
（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB，∠ACB=60°，从而将CP绕点逆时针旋转60°交PB延长线于点M，从而证明△PAC≌△MBC，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA、PB、PC的数量关系是 ；
（自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，
①PC与PA，PB有怎样的数量关系?请说明理由：
②PC+PD与PA，PB的数量关系是 ．（直接写出结果）
（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE与PA+PB的数量关系是 ．（直接写出结果）
【答案】【尝试解决】PA+PB=PC；【自主探索】①；理由见解析；②；【灵活应用】．
【分析】
尝试解决：利用旋转性质证明△PAC≌△MBC，得到PA=BM，得到PM等于PB与PA的和，再证明△PCM是等边三角形，得到PM等于PC，即可得到结果；
自主探索：①在PC上截取QC=PA，证出△CBQ全等于△ABP，得到△PBQ是等腰直角三角形，PQ等于PB的倍，即可得到结果；
②同①方法，即可得到PD与PA和PB的关系，即可求出PC+PD与PA和PB的关系；
灵活应用：类比（自主探索）中的方法证明PC与PA和PB的关系，再用同样的方法证明PE与PA和PB的关系，构造△CDM全等于△CBP，得到PD与PC的关系，进一步得到PD与PA和PB的关系，最终求出PD+PE+PC的和即可得到与PA和PB的关系．
【解析】
尝试解决：PA+PB=PC；
证明：因为∠ACP+∠PCB=60°，∠MCB+∠PCB=60°，
∴∠ACP=∠MCB，
又∵CP=CM，AC=MC，
∴△ACP≌△BCM，
所以PA=BM，∠CBM=∠CAP，
∵四边形APBC内接于圆O，
∴∠CAP+∠CBP=180°，
∴∠CBM+∠CBP=180° ，
∴P、B、M三点共线，
∴△PCM是等边三角形，
∴PM=PC，
∴PC=PM=PB+BM=PB+PA；
自主探索：①PC与PA、PB的数量关系为；理由：
截取CQ=PA，，如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵PA=CQ，∠BCQ=BAP，BC=AB
∴△BCQ≌△BAP，
∴∠CBQ=∠ABP，BQ=BP，
∵∠CBQ+∠ABQ=90°，
∴，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴PQ=PB，
∴；
②
证明：在PD上截取DH=PB，
∵DH=PB，∠ADH=∠ABP，AD=AB
∴△ADH≌△ABP
∴∠DAH=∠BAP，AH=AP，
∵∠DAH+∠HAP=90°，
∴∠BAP+∠HAP=90°，
∴△HAP是等腰直角三角形，
∴PH=PA，
∴PD=DH+PH=PB+PA，
∴．
灵活应用：．
证明：在PC上截取FC=PA，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC=AB=CD=DE=AE，∠ABC=∠EAB=108°，
∵PA=CF，AB=BC，∠FCB=∠BAP，
∴△BAP≌△BCF，
∴BF=PB，∠CBF=∠ABP，
∵∠CBF+∠FBA=108°，
∴∠ABP+∠FBA=108°，
∴△FBP是顶角为108°的等腰三角形，
∴PF=PB，
∴PC=PF+FC=PB+PA，
同理可证PE=PA+PB，
延长PD至点M使DM=PB，
∵∠MDC+∠CDP=180°，∠CDP+∠PBC=180°，
∴∠CDM=∠CBP
又∵CD=BC，
∴△CDM≌△CBP
∴CM=CP，∠MCD=∠BCP，
又∵∠PCB+∠PCD=108°，
∴∠MCD+∠PCD=108°，
∴△MCP是顶角108°的等腰三角形，
∴PM=PC，
∴PD=PM-DM=PC-PB，
∴PC+PD+PE
=PC+PC-PB+PA+PB=（PB+PA）+PA==
【点睛】
本题考查旋转性质、圆的有关性质、圆内接四边形、正五边形有关性质、三角形全等的相关性质和判定，综合性强，难度较大是一道好题，属中考压轴题型．
【例5】．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DEBC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG∠BDE．
（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC= ；
（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．
【答案】（1）4；（2）FG=BF+EG，见解析；（3）FG=BF-EG
【分析】
（1）解直角三角形分别求出DF，CF即可解决问题．
（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．在EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．
（3）如图3中，结论：FG=BF-EG．在射线EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．
【解析】
（1）∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠ABC=180°，
∵∠BDE=120°，
∴∠ABC=60°，
∵DF⊥BF，
∴∠BFD=90°，
∴DF=BF•tan60°，
∵∠CDF∠BDE=60°，∠DFC=90°，
∴CF=DF•tan60°，
∴BC=BF+CF=1+3=4；
（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．
理由：在EA上截取EH，使得EH=BF．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠DEH=∠B，
在△DBF和△DEH中，
，
∴△DBF≌△DEH（SAS），
∴DF=DH，∠BDF=∠EDH，
∵∠FDG∠BDE，
∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDH∠BDE，
∴∠GDF=∠GDH，
在△DGF和△DGH中，
，
∴△DGF≌△DGH（SAS），
∴FG=HG，
∵HG=EG+HE=EG+BF，
∴FG=BF+EG；
（3）如图3中，结论：FG=BF-EG．
理由：在射线EA上截取EH，使得EH=BF．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠DEH=∠B，
在△DBF和△DEH中，
，
∴△DBF≌△DEH（SAS），
∴DF=DH，∠BDF=∠EDH，
∴∠BDE=∠FDH，
∵∠FDG∠BDE∠FDH，
∴∠GDF=∠GDH，
在△DGF和△DGH中，
，
∴△DGF≌△DGH（SAS），
∴FG=HG，
∵HG=HE-GE=BF-EG，
∴FG=BF=-EG．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【例6】如图，△ABC中，AB=AC，∠EAF=∠BAC，BF⊥AE 于E交AF于点F，连结 CF．
（1）如图 1 所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF＝BE+CF．
（2）如图 2 所示，当∠EAF 的边 AE、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）在上截取，由“”可证，可得，可得结论；
（2）在的延长线上截取，连接，由“”可证，可得，可得结论．
【解析】
解：证明：（1）如图，在上截取，连接，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）如图，在的延长线上截取，连接，
，，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
培优训练
一、解答题
1．等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点．
（1）如图1，求的度数；
图1
（2）连接，若，求的值；
（3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________．
图2
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）由是等边三角形，可得出，，再利用，可证，得出，由可求出，最后由补角定义求出.
（2）在上取点，使，由可证，再利用，，可证明，进而求出，再用补角的性质得知，在中利用外角的性质可求出，进而证出为等腰三角形，最后可证出即可求解.
（3）延长至，使为等边三角形，延长交于，可得出，进而得出，利用角的和差得出，则证出，进而证出，再利用，证出为等边三角形，进而证出.
【解析】
（1）∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）在上取点，使．
由（1）知，
又，
∴．
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）．
提示：目测即得答案．详细理由如下：
由（1）知．延长至，使为等边三角形．
延长交于．
∵ ，
∴，
在和中，
,
∴，
∴．
∴，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵
∴为等边三角形，
∴
∴．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.
2．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．
【答案】见解析
【分析】
延长至点，使得，连接，根据同角的补角相等得，根据证明，则，进而证明，根据证明，得到，则．
【解析】
证明：延长至点，使得，连接，
四边形中，，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
3．在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F．
（1）如图1，若．
①直接写出的大小；
②求证：．
（2）若图2，若，求证：．
【答案】（1）①120°；②见解析；（2）见解析
【分析】
（1）①综合三角形的内角和定理以及角平分线的定义求解即可；②利用“截长补短”思想，在AC上取点H，使得AD=AH，从而通过全等证得∠AFD=∠AFH，再结合①的结论进一步证明∠CFH=∠CFE，从而通过全等证得CE=CH，即可得出结论；
（2）同样利用“截长补短”思想，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，可通过全等直接先对△ADF和△CEF的面积进行转换，然后结合（1）中的结论，证明SF∥ET，即可对△DEF的面积进行转换，从而得出结论．
【解析】
（1）①解：∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，
∵AE平分∠BAC，CD平分∠BCA，
∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠BCA)= ×120°=60°，
∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°；
②证：如图所示，在AC上取点H，使得AD=AH，
在△ADF和△AHF中，
∴△ADF≌△AHF(SAS)，
∴∠AFD=∠AFH，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFH=∠CFE，
由①可知，∠AFC=120°，
∴∠CFE=180°-120°=60°，
∴AFH=∠CFE=60°，
∴∠CFH=60°，
即：∠CFH=∠CFE，
在△CFH和△CFE中，
∴△CFH≌△CFE(ASA)，
∴CE=CH，
∵AC=AH+CH，
∴AC=AD+CE；
（2）证：如图所示，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAF=∠SAF，
在△ADF和△ASF中，
∴△ADF≌△ASF(SAS)，
同理可证△AED≌△AES，△CEF≌△CTF，
∴DF=SF，DE=SE，FT=FE，
∴△DEF≌△SEF，
∴，，，
且∠AFD=∠AFS，∠CFE=∠CFT，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT，
由（1）可得：∠AFC=90°+∠B=135°，
∴∠CFE=180°-135°=45°，
∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45°，
∴∠CFT=135°-∠AFS =90°，
∴CF⊥SF，
又∵FT=FE，CT=CE，
∴CF垂直平分EF，
即：CF⊥ET，
∴SF∥ET，
∴，
∴
∵，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．
4．如图，在中，．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，为外的一点，连接，且，．过点作交的延长线于点．求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点，过点作交的延长线于点．点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接．若，请直接写出取得最小值时的值．
【答案】（1）6；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB边上的高和AB，再利用三角形面积公式求解；
（2）通过在BE上截取BF=BD，构造出两组全等三角形，即可完成求证；
（3）先通过延长ME，构造全等三角形，得出，利用轴对称，得出的最小值等于，最后利用直角三角形的性质与勾股定理进行计算求解即可．
【解析】
解：（1）如图，过C点作CD⊥AB，垂足为点D，
∵，
∴，
∴AD=CD，
∵AC=，且，
∴，
∵，
∴，
∴AB=AD-BD=6-4=2,
∴，
∴的面积为6．
（2）如图所示，在BE上截取BF=BD，
∵∠D+∠DCB+∠DBC=180°，
∠1+∠DBC+∠2=180°，
且∠1=∠BCD，
∴∠D=∠2，
∵，
∴△CDB≌△CBF（SAS），
∴CB=CF，
∴∠2=∠3，
∴∠ABC=∠EFC，
∵∠A=45°，AC⊥CE，
∴∠E=45°，
∴∠A=∠E，
∴△ABC≌△EFC（AAS），
∴AC=CE,AB=EF，
∴AE=AB+BF+EF=2AB+BD,
∵,
∴,
∴；
（3）如图3，延长ME至F，使MF=MA，连接KF，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
作M点关于的对称点，
则，
∴，
连接，则，
∴当共线时的值最小，等于，
∴取得最小值时的值即为的值，
连接，
由轴对称的性质可得：，，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
如图4，取中点O点，连接OC，OM，作于，
∵，
∴，
∴
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
∴；
∴的值为．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、轴对称、等腰三角形的性质与判定等内容，解决本题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形或等腰直角三角形等，本题较为综合，要求学生有较强的理解能力与分析能力．
5．如图，等边△ABC内接于⊙O，点D是弧AC上一点，连接BD交AC于E．
（1）如图1，求证∠ADB＝∠CDB；
（2）如图2，点F为线段BD上一点，连接CF，若∠BCF＝2∠ABD时，求证：BF＝DE+AD；
（3）在（2）的条件下，作∠BCF的平分线交⊙O于M，在CM上取点R，连接AR交CF于点T，若TR＝1，MR＝5，∠CAT＝3∠ACD，求AT的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，可得的，进而可得，根据等弧所对的圆周角相等即可得证；
（2）作的角平分线，交于点，设，进而证明以及，进而即可证明；
（3）延长CF交⊙O点P，交AM于N点，连接PA，过M点作，交AR于Q点，由等边三角形性质和圆周角性质对图形中角进行转换求值可得：，即和是等腰三角形，，，在中，，可得，由此求出在中， ，，，，再利用30°直角三角形性质和勾股定理求出AT即可．
【解析】
（1）证明：是等边三角形，
∴
∠ADB＝∠CDB；
（2）证明：如图，
作的角平分线，交于点，设，
∵，
∴
，
是等边三角形
，
∵
在与中
（SAS）
，；
∴是等边三角形
∴
在与中
（ASA）
即
（3）解：设，则，
如解图（3）-1，延长CF交⊙O点P，交AM于N点，连接PA，过M点作，交AR于Q点，
∵CM是∠BCF的平分线，
由（2）得，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵设，
则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
，
∴，
∴，，
∴
在中， ，，，，
如解图（3）-2，过R点作AM边的高HR，
∴，
∴，，
∴，
在中， ，
∴，
解得：，（舍去），
∴．
【点睛】
本题考查了圆周角的性质和等腰三角形的性质和判定以及利用勾股定理求边长，解题关键是补全图形，利用圆周角性质对角进行转换和计算得出和和都是等腰三角形再利用勾股定理求边长．
6．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）44°；详见解析．
【分析】
（1）根据等边对等角，可得，，再根据三角形外角的性质求出，由此即可解题；
（2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造，根据即可得出答案；
（3）画出图形，延长CA到G，使AG=AB，构造全等三角形和等腰三角形，设，由，，列方程即可解答．
【解析】
解：（1）∵AE＝AD＝DC，
∴，，
∵，，
∴，
∵AD为△ABC的角平分线，即，
∴；
∴
（2）如图2，
在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）如图3，延长CA到G，使AG=AB，
∵AB+AC＝EC，
∴AG+AC＝EC，即，
∴，
设，则；
又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．
7．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将点C绕点B顺时针旋转105°得到点D，连接BD，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且∠DBF＝45°，作∠BFD的角平分线FG交AB于点G．
（1）求∠BFD的度数；
（2）求BF，DF，GF三条线段之间的等量关系式；
（3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB＝，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）．
【答案】（1）120°；（2）BF+DF＝GF，理由见解析；（3）
【分析】
（1）由平角的性质可求∠FBE＝30°，再由直角三角形的性质和平角的性质可求解；
（2）由“ASA”可证△BMG≌△BFD，可得GM＝DF，即可求解；
（3）作点G关于DE的对称点，连接H，C，F，作I⊥CB交CB的延长线于I，由轴对称的性质可得GF＝F，HG＝H，∠DFG＝∠DF＝60°，则HG+HC＝HC+H≥C，由等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求B的长，由勾股定理可求解．
【解析】
解：（1）∵∠CBD＝105°，∠FBD＝45°，
∴∠FBE＝30°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BFE＝60°，
∴∠BFD＝120°；
（2）BF+DF＝GF，
理由如下：如图1，在线段FG上截取 FM＝FB，连接BM，
∵∠BFD＝120°，FG平分∠DFB，
∴∠GFD＝∠GFB＝60°，
∴△FBM是等边三角形，
∴BF＝BM，∠BMF＝60°，
∴∠GMB＝∠BFD＝120°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，
∵∠CBD＝105°，
∴∠ABD＝60°＝∠MBF，
∴∠GBM＝∠DBF，
∴在△BMG与△BFD中，
∴△BMG≌△BFD（ASA），
∴GM＝DF，GB＝DB，
∵MF+GM＝GF，
∴BF+DF＝GF；
（3）如图3，设BD与GF交于点O，作点G关于DE的对称点，连接H，C，F，作I⊥CB交CB的延长线于I，
∵点G与点关于DE对称，
∴GF＝F，HG＝H，∠DFG＝∠DF＝60°，
∴HG+HC＝HC+H≥C，
即HG+HC的最小值为C，
∵∠BFD+∠DF＝180°，
∴点B，点F，点三点共线，
∵GB＝DB，
∴△GDB是等边三角形，
∴GD＝DB＝GB，
∴DB＝D，
∵∠DBE＝75°，∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝15°，
∴∠GDF＝75°，
∴∠D F＝∠GDF＝75°，
∴∠BD＝90°，
又∵DB＝D，
∴B＝BD＝BC＝AB＝，
∵∠EBF＝30°，I⊥CB，
∴I＝B＝，BI＝＝，
∴CI＝BC＋BI＝1+，
∴C＝＝＝，
∴HG＋HC的最小值为．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
8．数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．
经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．
在此基础上，同学们进行了进一步的探究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？ （填“是”或“否”）；
（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．
【答案】（1）正确，结论“AE＝EF”仍然成立，证明过程见解析；（2）是；（3）点E（，0）．
【分析】
（1）在AB上截取BH＝BE，连接HE，由“ASA”可证△AHE≌△ECF，继而根据全等三角形的性质求得结论；
（2）在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE，由“ASA”可证△AHE≌△ECF，继而根据全等三角形的性质求得结论；
（3）在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），由等腰直角三角形的性质可得HE＝a，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得点F坐标，代入解析式求得a的值，即可求解．
【解析】
（1）仍然成立，
如图2，在AB上截取BH＝BE，连接HE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∵BH＝BE，AB＝BC，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，AH＝CE，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．
∵AB＝BC，AN＝CE，
∴BN＝BE，
∴∠N＝∠FCE＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠NAE＝∠CEF，
在△ANE和△ECF中，
，
∴△ANE≌△ECF（ASA）
∴AE＝EF，
故答案是：是；
（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，
设点E（a，0），
∴BE＝a＝BH，
∴HE＝a，
由（1）可得△AHE≌△ECF，
∴CF＝HE＝a，
∵CF平分∠DCM，
∴∠DCF＝∠FCM＝45°，
∵FM⊥CM，
∴∠CFM＝∠FCM＝45°，
∴CM＝FM＝＝a，
∴BM＝1+a，
∴点F（1+a，a），
∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，
∴a＝﹣2（1+a）+3，
∴a＝，
∴点E（，0）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质的应用，一次函数的性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．在平行四边形中，于，于，为上一动点，连接，交于，且．
（1）如图1，若，求、的长；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，若，点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，请直接写出的最小值_____．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）由平行四边形性质可得，利用30°直角三角形性质开得，根据勾股定理，设，则，根据勾股定理，解得即可；
（2）方法1补短：如图3，延长到使，连接、，由平行四边形ABCD性质，可得AB∥CD，AB=CD，可证（SAS），可得，，由垂直平分，，可证，再证即可；方法2截长：如图4，过点作于点，连接，先证（SAS），再证（AAS），最后证（HL），可得即可，
（3）在上截取，连接、，先证是等边三角形，可得，，可证（SAS），可证，设PH′交AE与Q，点H′在射线PQ上运动，当点H′运动到点Q是AH′最短由，先求，由勾股定理即可．
【解析】
（1）由平行四边形性质可得，
在中，，，，
∴，
根据勾股定理，
在中，，，，
设，则，
根据勾股定理，即，
解得，
∴，；
（2）方法1补短：如图3，延长到使，连接、，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵
∴AE⊥AB，
∴，
在△ADE和△BMA中，
，
∴（SAS），
∴，，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
方法2截长：如图4，过点作于点，连接，
∵CF⊥AD，
∴，
在△CFH和△CFD中，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
在△BNC和△AED中，
∴（AAS），
∴，，
∵，
∴，
∵，于，
∴=∠BNG，
在Rt△ABG和Rt△NBG中
∴（HL），
∴，
∴．
（3）在上截取，连接、，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在△CDH和△CPH′中，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设PH′交AE与Q，点H′在射线PQ上运动，当点H′运动到点Q是AH′最短
∵
由（1）得：，，，
∴，
，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短，掌握平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短是解题关键．
10．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．
（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OF=OG+OA，理由见解析
【分析】
（1）由等边三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，理由含30°角的直角三角形的性质可得OC=2OD，进而可证明结论；
（2）理由ASA证明△CGB≌△CGF即可证明结论；
（3）连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，可证得△OMG是等边三角形，进而可利用ASA证明△GMF≌△GOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可说明猜想的正确性．
【解析】
解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，
∴OA=OC，
在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，
∴OC=2OD，
∴OA=2OD；
（2）证明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BG=CG，
∴∠GCB=∠GBC，
∵CG平分∠BCE，
∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，
∴∠BGC=150°，
∵∠BGF=60°，
∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，
∴∠BGC=∠FGC，
在△CGB和△CGF中，
，
∴△CGB≌△CGF（ASA），
∴GB=GF；
（3）解：OF=OG+OA．理由如下：
连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，
∵CA=CB，CE⊥AB，
∴AE=BE，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，
∵OM=OG，
∴△OMG是等边三角形，
∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，
∵∠BGF=60°，
∴∠BGF=∠MGO，
∴∠MGF=∠OGB，
∵∠GMF=120°，
∴∠GMF=∠GOB，
在△GMF和△GOB中，
，
∴△GMF≌△GOB（ASA），
∴MF=OB，
∴MF=OA，
∵OF=OM+MF，
∴OF=OG+OA．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含30° 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．
11．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．
（1）如图1，在四边形中，，，连接．
①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．
②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明．
（2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②，证明见解析；（2），证明见解析
【分析】
（1）①参考小明的想法，延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分；
②沿用①中辅助线，延长到点，使得，连接，证得直角三角形，再利用勾股定理可求得，，之间的数量关系；
（2）类比（1）中证明的思路，延长至，使得，连，证明、，再利用全等三角形的对应角相等和等腰三角形等边对等角的性质，找到与的数量关系．
【解析】
（1）如图，延长到点，使得，连接．
，，
在与中，
，
．
平分
（2）
证明：如图，延长到点，使得，连接．
由（1）知，
，
在直角三角形中，
（3）
证明：如图，延长至，使得，连，
由（1）知，
，
在与中，
，
，，
【点睛】
本题考查三角形的基本知识、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质与判定．综合性较强．
12．在中，直线经过点，于，于，于．请解答下列问题：
（1）如图①，求证：；（提示：过点作于）
（2）如图②、图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若，，，则______．
【答案】（1）证明见解析；（2）图②：，图③：；（3）9或7．
【分析】
（1）如图①过点作于点，先利用垂直和平行求得，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论；
（2）同理可得， ，根据线段的和差即可得到结论；
（3）先利用勾股定理求出BE，根据（1）（2）的结论代入数据即可得到结论．
【解析】
（1）证明：过点作于点，则．
，
，
∵，
∴
，
∵，即，
，
又∵在中，，
，
，
．
四边形为矩形，
，
；
（2）图②：，图③：；
理由：如图②，过点作交的延长线于，则
同理可得：，，
；
如图③，过点作交的延长线于，
同理可得：，，
；
（3）解：如图①，
，，，
∴
∵，
由（1）得；
如图②同理；
图③不存在，
综上所述，或，
故答案为：9或7．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝6，tanA＝，求BE的长；
（3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）CE＝AB﹣BE，见解析
【分析】
（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到∠ODB＝∠CBD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）过D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解析】
解：（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝6，tanA＝，
∴BD＝AD，
设AD＝m，则BD＝m，
∴m2+2m2＝36，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴AD＝2，BD＝2，
∵BE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BED＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴，
∴BE＝4．
（3）解：结论CE＝AB﹣BE，
理由：过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH＝DE，
在Rt△BED与Rt△BHD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BE，
∵∠DCE＝∠A，∠DHA＝∠DEC＝90°，
∴△ADH≌△CDE（AAS），
∴AH＝CE，
∵AB＝AH+BH，
∴AB＝BE+CE，
∴CE＝AB﹣BE．
【点睛】
本题属于圆的综合问题，考查了切线的判定，角平分线的性质，圆的有关性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题．
14．如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋BQ的最小值．
【答案】（1） (2)证明见解析（3）CQ＋BQ的最小值为
【分析】
（1）根据点E是BD的中点，可得 ,在作边CE的高DF,根据等边三角形三线合一DF也是 的高，根据勾股定理计算出DF的长度，在直角三角形DFC中利用勾股定理计算出CF,得出CE的值，利用三角形的面积公式计算出面积．
（2）延长AF,是2AF=AG,证明,得出CM=AD，再根据 60°，得出 = ,从而证明 ,得出AB=AG，得出结论．
（3）根据 =90°，知道点P的运动轨迹是以AD为直径的圆，圆心记为N，点Q是BP的中点，得到点Q的运动轨迹是以BN的中点为圆心，半径为 的圆。由 ，构造直角三角形QGB，点G为直角顶点，可得,得 ，可知CQ＋BQ=CQ+QG,故根据两点之间线段最短得最小值为CG的长度，又点G的运动轨迹为以AB为中点的圆．圆心为L,当点C、点Q、点G在同一条直线上时，CG的值最小，从而得出结果．
【解析】
解：作DF⊥AC
∵点E是BD的中点
∴BE=DE
故
∵AD=4,△ADE是等边三角形，DF⊥AE
∴AF=EF=2,∠ADF=30°
∴DF=
∵在Rt△DEC中，CD=5,DF=,根据勾股定理得：
FC=
∴CE=CF-EF=
=
(2)证明：延长AF使AF=FG如下图
∵△AED是等边三角形
∴∠AED=∠ADE=60°，AE=AD=ED
∵AF=FG，点F是CD的中点
∴CF=FD又∠AFD=∠CFG
∴△AFD≌△GFC
∴CG=AD，∠FCG=∠ADF
∴CG=AE
又∵∠CEB=∠ECD+∠EDC=60°，
∴∠ACG=∠FCG+∠ACD=∠ADF+∠ACD=120°
又∠AEB=120°
∴∠AEB=∠ACG，∠CAG=∠ABD
又CG=AE
∴
∴AB=AG
故AB=2AF
(3)如下图，过点Q作QG⊥BG，使∠NBE=∠GBQ,在Rt△BQG中，sin∠BQG= 则GQ=BQ,故CQ＋BQ=CQ+QG，由∠APD=90°，可知点P的运动轨迹为AD为直径的圆，⊙N ．点G为以BE的中点为圆心的圆，点G的运动轨迹为圆．当点C、Q、G在同一条直线上时，CQ+QG的长度最小．
∵AB∥CD，∠APD＝90°
∴四边形ADCK为正方形，有AD= AB=
∴CK=AD=又tan∠ABC＝2
∴BC=
∵AN= ，GN=
∴CL=CD-DL=
∠BGN=∠GCL
∴Rt△BGN≌Rt△GCL
∴BG=CG
在Rt△BGC中，BC=
∴CG=
即CQ＋BQ的最小值=
【点睛】
本题考查三角形的面积、等边三角形的性质、全等三角形、锐角三角函数、动点问题．隐圆问题，了解直径所对的圆周角等于90°是隐圆问题的常用思路，了解瓜豆原理对本题的理解有很大的帮助．了解截长补短法添加辅助线是关键。转换思想是重要的数学思想．
15．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）由，，可得为等边三角形，由，，，可证
（2）延长至F，使，连接， 由，，且，可证 由，可证为等边三角形，可得， 可推出结论，
【解析】
解：（1）∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∵，
∴
（2）如图，延长至F，使，连接，
由（1）得为等边三角形，
∴，
∵，
又∵，且，
∴，
在与中，
∴
∴，
∴，
∴
又∵，
∴为等边三角形
∴，
又∵，且，
∴，
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．
16．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．
【分析】
（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；
（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；
（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．
【解析】
解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠BCD+∠ACE=120°，
∵∠AEC=60°，
∴∠ACE+∠EAC=120°，
∴∠BCD=∠EAC，
在△AEC和△CDB中
∵,
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，
由（1）知：△AEC≌△CDB，
∴BD=CE，
∵∠AEC=60°，
∴∠AEF =120°，
∵∠AFH ＝120°，
∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，
∴∠FAE=∠GFH，
∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，
∴△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH=EF，
∴CF=EF+CE=HG+BD；
（3）解：HG=CF+BD，理由是：
如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，
∵∠BDC=60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴∠BMD=60°，
∵∠AED=60°，
∴∠AEC=∠CMB=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，
∴∠CAE=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ACE≌△CBM（AAS），
∴CE=BM=BD，
由（2）可证△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH=FE，
∵EF=CF+CE
∴HG=CF+BD．
故答案为：HG=CF+BD．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．
17．如图，在中，，平分．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，若，求证：．
【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解
【分析】
（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，于是得到结论；
（2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；
（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根据等腰三角形的性质得到DH＝BH，于是得到结论．
【解析】
（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，
∴在中，，
∴∠ABC＝45°，
∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，
∴CD＝MD，
∴∠BDM＝∠ABC＝45°，
∴BM＝DM，
∴BM＝CD，
在RT△ADC和RT△ADM中，
，
∴RT△ADC≌RT△ADM（HL），
∴AC＝AM，
∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，
即AB＝AC＋CD；
（2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，
在AB上截取AK＝AC，连结DK，如图2，
∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK
∴BK＝BD，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠KAD，
在△CAD和△KAD中，
∴△CAD≌△KAD（SAS），
∴∠ACD＝∠AKD＝α，
∴∠BKD＝180°−α，
∵BK＝BD，
∴∠BDK＝180°−α，
∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°−α＝180°，
∴α＝108°，
∴∠ACB＝108°；
（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，
∵∠ACB＝100°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∵AD是角平分线，
∴∠HAD＝∠CAD＝20°，
∴∠ADH＝∠AHD＝80°，
在AB上截取AK＝AC，连接DK，
由（1）得，△CAD≌△KAD，
∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，
∴∠DKH＝80°＝∠DHK，
∴DK＝DH＝CD，
∵∠CBA＝40°，
∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°，
∴DH＝BH，
∴BH＝CD，
∵AB＝AH＋BH，
∴AB＝AD＋CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
【答案】（1）△ABC是等边三角形，证明见解析；（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，理由见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，则可得∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明△OAP和△OBP均为等边三角形，得到OA=AP=OB=BP即可得证；
（3）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD即可得证结论．
【解析】
（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，
如图1，连接OP．
∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB．
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．
【点睛】
本题考查圆内接多边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键．
19．如图，在中，，，是边的中点，以为边作等边三角形，且与在直线的异侧，连接交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4
【分析】
（1）利用所在直线是的垂直平分线，点F在直线AD上即可得出结论．
（2）由是等边三角形，得AC=AE=AB推得．易证≌（SSS），即可，
（3）延长至点处，使，连接．先证直角三角形≌（SAS），推出，．再证．求出，．用表示．而，得．可证≌（SAS），可推得即可．
【解析】
（1）证明：∵，是边的中点，
∴所在直线是的垂直平分线，
又∵点F在直线AD上
∴．
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
由（1）可知，，
又∵，，
∴≌（SSS），
∴，
∴．
（3）解：如图，延长至点处，使，连接．
∵，是边的中点，
∴．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，，，
∴≌（SAS），
∴，．
由（2）可知，，
∵，
∴．
由（1）可知，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴≌（SAS），
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，掌握线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，会利用引辅助线构造三角形全等转化线与线关系，角与角关系来解决问题．
20．已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析
【分析】
（1）根据已知条件得出为直角三角形，再根据证出，从而证出即可得出结论；
（2）如图2，延长DC到 K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根据证明得，从而得出，然后得出结论；
（3）如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ，结合四边形的内角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．
【解析】
（1）证明：如图1，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，
延长至点，使得，连接
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）；
如图3，在延长线上找一点，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题6截长补短模型
经典例题
【例1】阅读题：如图1，平分，以为圆心任意长为半径画弧，交射线，于，两点，在射线上任取一点（点除外），连接，，可证，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在中，，平分交于点，试判断与、之间的数量关系；
（2）如图3，在四边形中，平分，，，，求的面积．
【例2】已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，．
（1）求证：；
（2）如图，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式；
（3）如图，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论．
【例3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【例4】问题提出，如图1所示，等边△ABC内接于⊙O，点P是上的任意一点，连结PA，PB，PC．线段PA、PB、PC满足怎样的数量关系?
（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB，∠ACB=60°，从而将CP绕点逆时针旋转60°交PB延长线于点M，从而证明△PAC≌△MBC，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA、PB、PC的数量关系是 ；
（自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，
①PC与PA，PB有怎样的数量关系?请说明理由：
②PC+PD与PA，PB的数量关系是 ．（直接写出结果）
（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE与PA+PB的数量关系是 ．（直接写出结果）
【例5】．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DEBC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG∠BDE．
（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC= ；
（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．
【例6】如图，△ABC中，AB=AC，∠EAF=∠BAC，BF⊥AE 于E交AF于点F，连结 CF．
（1）如图 1 所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF＝BE+CF．
（2）如图 2 所示，当∠EAF 的边 AE、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．
培优训练
一、解答题
1．等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点．
（1）如图1，求的度数；
图1
（2）连接，若，求的值；
（3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________．
图2
2．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．
3．在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F．
（1）如图1，若．
①直接写出的大小；
②求证：．
（2）若图2，若，求证：．
4．如图，在中，．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，为外的一点，连接，且，．过点作交的延长线于点．求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点，过点作交的延长线于点．点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接．若，请直接写出取得最小值时的值．
5．如图，等边△ABC内接于⊙O，点D是弧AC上一点，连接BD交AC于E．
（1）如图1，求证∠ADB＝∠CDB；
（2）如图2，点F为线段BD上一点，连接CF，若∠BCF＝2∠ABD时，求证：BF＝DE+AD；
（3）在（2）的条件下，作∠BCF的平分线交⊙O于M，在CM上取点R，连接AR交CF于点T，若TR＝1，MR＝5，∠CAT＝3∠ACD，求AT的长．
6．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
7．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将点C绕点B顺时针旋转105°得到点D，连接BD，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且∠DBF＝45°，作∠BFD的角平分线FG交AB于点G．
（1）求∠BFD的度数；
（2）求BF，DF，GF三条线段之间的等量关系式；
（3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB＝，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）．
8．数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．
经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．
在此基础上，同学们进行了进一步的探究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？ （填“是”或“否”）；
（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．
9．在平行四边形中，于，于，为上一动点，连接，交于，且．
（1）如图1，若，求、的长；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，若，点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，请直接写出的最小值_____．
10．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．
（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
11．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．
（1）如图1，在四边形中，，，连接．
①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．
②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明．
（2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明．
12．在中，直线经过点，于，于，于．请解答下列问题：
（1）如图①，求证：；（提示：过点作于）
（2）如图②、图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若，，，则______．
13．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝6，tanA＝，求BE的长；
（3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明．
14．如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋BQ的最小值．
15．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，．
（1）求的度数；
（2）求证：．
16．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 ．
17．如图，在中，，平分．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，若，求证：．
18．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
19．如图，在中，，，是边的中点，以为边作等边三角形，且与在直线的异侧，连接交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
20．已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题6截长补短模型
经典例题
【例1】阅读题：如图1，平分，以为圆心任意长为半径画弧，交射线，于，两点，在射线上任取一点（点除外），连接，，可证，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在中，，平分交于点，试判断与、之间的数量关系；
（2）如图3，在四边形中，平分，，，，求的面积．
【答案】（1）BC=AC+AD；（2）△ABC 的面积为80．
【分析】
（1）在CB上截取CE=CA，则由题意可得AD=DE，∠CED=∠A，再结合∠A=2∠B可得DE=BE，从而得到BC=AD+AC；
（2）在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CF⊥AB于F点，由题意可得EC=BC，从而得到EF的长度，再由勾股定理根据EC、EF的长度求得CF的长度，最后根据面积公式可以得到解答 ．
【解析】
解：（1）如图，在CB上截取CE=CA，则由题意得：△CAD≌△CED，
∴AD=DE，∠CED=∠A，
∵∠A=2∠B，∴∠CED=2∠B，
又∠CED=∠B+∠EDB，∴∠B+∠EDB=2∠B，
∴∠EDB=∠B，∴DE=BE，
∴BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC；
（2）如图，在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CF⊥AB于F点，
∴由题意可得：△CDA≌△CEA，
∴EC=CD=BC=10，AE=AD=8，
∵CF⊥AB，
∴EF=FB=，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键．
【例2】已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，．
（1）求证：；
（2）如图，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式；
（3）如图，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析
【分析】
（1）连接,通过，得到为等腰直角三角形，进而得到，根据过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点，可推出，，最后通过证明≌，可以得出结论；
（2）在射线上取点，使，连接，通过证明≌，得到，，再结合，推导证明≌，得到，最后等量代换线段即可求解；
（3）延长到点，使得，连接，通过证明≌，得到，，再结合，推导证明≌，得到，根据，等量代换可知，又因为，推出，进而得到，同理可证，最后根据勾股定理即可求解．
【解析】
解：（1）证明：连接．
，，
为等腰直角三角形，
，
又，且，
，
，
，
同理，，
在与中
，
≌，
，；
（2）如图，在射线上取点，使，连接．
在与中
，
≌，
，，
，，
，
，
，
在与中
≌，
，
又，
．
（3）．证明如下：
如图，延长到点，使得，连接．
，
在与中
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
在与中
，
≌，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
同理可证：，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理以及正方形的有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键．
【例3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，60°
【分析】
（1）根据∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，再结合∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，即可得出结论；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM＝AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
（3）运用截长法在CD上截取CP＝BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【解析】
（1）证明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC＝∠ANB＝90°，
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS），
∴AM＝AN，
∴AD平分∠CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP＝BD，连接AP．
∵CD＝AD＋BD，
∴AD＝PD，
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP，
∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，
∴AD＝AP＝PD，
即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°，
∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．
【例4】问题提出，如图1所示，等边△ABC内接于⊙O，点P是上的任意一点，连结PA，PB，PC．线段PA、PB、PC满足怎样的数量关系?
（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB，∠ACB=60°，从而将CP绕点逆时针旋转60°交PB延长线于点M，从而证明△PAC≌△MBC，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA、PB、PC的数量关系是 ；
（自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，
①PC与PA，PB有怎样的数量关系?请说明理由：
②PC+PD与PA，PB的数量关系是 ．（直接写出结果）
（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE与PA+PB的数量关系是 ．（直接写出结果）
【答案】【尝试解决】PA+PB=PC；【自主探索】①；理由见解析；②；【灵活应用】．
【分析】
尝试解决：利用旋转性质证明△PAC≌△MBC，得到PA=BM，得到PM等于PB与PA的和，再证明△PCM是等边三角形，得到PM等于PC，即可得到结果；
自主探索：①在PC上截取QC=PA，证出△CBQ全等于△ABP，得到△PBQ是等腰直角三角形，PQ等于PB的倍，即可得到结果；
②同①方法，即可得到PD与PA和PB的关系，即可求出PC+PD与PA和PB的关系；
灵活应用：类比（自主探索）中的方法证明PC与PA和PB的关系，再用同样的方法证明PE与PA和PB的关系，构造△CDM全等于△CBP，得到PD与PC的关系，进一步得到PD与PA和PB的关系，最终求出PD+PE+PC的和即可得到与PA和PB的关系．
【解析】
尝试解决：PA+PB=PC；
证明：因为∠ACP+∠PCB=60°，∠MCB+∠PCB=60°，
∴∠ACP=∠MCB，
又∵CP=CM，AC=MC，
∴△ACP≌△BCM，
所以PA=BM，∠CBM=∠CAP，
∵四边形APBC内接于圆O，
∴∠CAP+∠CBP=180°，
∴∠CBM+∠CBP=180° ，
∴P、B、M三点共线，
∴△PCM是等边三角形，
∴PM=PC，
∴PC=PM=PB+BM=PB+PA；
自主探索：①PC与PA、PB的数量关系为；理由：
截取CQ=PA，，如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵PA=CQ，∠BCQ=BAP，BC=AB
∴△BCQ≌△BAP，
∴∠CBQ=∠ABP，BQ=BP，
∵∠CBQ+∠ABQ=90°，
∴，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴PQ=PB，
∴；
②
证明：在PD上截取DH=PB，
∵DH=PB，∠ADH=∠ABP，AD=AB
∴△ADH≌△ABP
∴∠DAH=∠BAP，AH=AP，
∵∠DAH+∠HAP=90°，
∴∠BAP+∠HAP=90°，
∴△HAP是等腰直角三角形，
∴PH=PA，
∴PD=DH+PH=PB+PA，
∴．
灵活应用：．
证明：在PC上截取FC=PA，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC=AB=CD=DE=AE，∠ABC=∠EAB=108°，
∵PA=CF，AB=BC，∠FCB=∠BAP，
∴△BAP≌△BCF，
∴BF=PB，∠CBF=∠ABP，
∵∠CBF+∠FBA=108°，
∴∠ABP+∠FBA=108°，
∴△FBP是顶角为108°的等腰三角形，
∴PF=PB，
∴PC=PF+FC=PB+PA，
同理可证PE=PA+PB，
延长PD至点M使DM=PB，
∵∠MDC+∠CDP=180°，∠CDP+∠PBC=180°，
∴∠CDM=∠CBP
又∵CD=BC，
∴△CDM≌△CBP
∴CM=CP，∠MCD=∠BCP，
又∵∠PCB+∠PCD=108°，
∴∠MCD+∠PCD=108°，
∴△MCP是顶角108°的等腰三角形，
∴PM=PC，
∴PD=PM-DM=PC-PB，
∴PC+PD+PE
=PC+PC-PB+PA+PB=（PB+PA）+PA==
【点睛】
本题考查旋转性质、圆的有关性质、圆内接四边形、正五边形有关性质、三角形全等的相关性质和判定，综合性强，难度较大是一道好题，属中考压轴题型．
【例5】．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DEBC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG∠BDE．
（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC= ；
（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．
【答案】（1）4；（2）FG=BF+EG，见解析；（3）FG=BF-EG
【分析】
（1）解直角三角形分别求出DF，CF即可解决问题．
（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．在EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．
（3）如图3中，结论：FG=BF-EG．在射线EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．
【解析】
（1）∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠ABC=180°，
∵∠BDE=120°，
∴∠ABC=60°，
∵DF⊥BF，
∴∠BFD=90°，
∴DF=BF•tan60°，
∵∠CDF∠BDE=60°，∠DFC=90°，
∴CF=DF•tan60°，
∴BC=BF+CF=1+3=4；
（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．
理由：在EA上截取EH，使得EH=BF．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠DEH=∠B，
在△DBF和△DEH中，
，
∴△DBF≌△DEH（SAS），
∴DF=DH，∠BDF=∠EDH，
∵∠FDG∠BDE，
∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDH∠BDE，
∴∠GDF=∠GDH，
在△DGF和△DGH中，
，
∴△DGF≌△DGH（SAS），
∴FG=HG，
∵HG=EG+HE=EG+BF，
∴FG=BF+EG；
（3）如图3中，结论：FG=BF-EG．
理由：在射线EA上截取EH，使得EH=BF．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠DEH=∠B，
在△DBF和△DEH中，
，
∴△DBF≌△DEH（SAS），
∴DF=DH，∠BDF=∠EDH，
∴∠BDE=∠FDH，
∵∠FDG∠BDE∠FDH，
∴∠GDF=∠GDH，
在△DGF和△DGH中，
，
∴△DGF≌△DGH（SAS），
∴FG=HG，
∵HG=HE-GE=BF-EG，
∴FG=BF=-EG．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【例6】如图，△ABC中，AB=AC，∠EAF=∠BAC，BF⊥AE 于E交AF于点F，连结 CF．
（1）如图 1 所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF＝BE+CF．
（2）如图 2 所示，当∠EAF 的边 AE、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）在上截取，由“”可证，可得，可得结论；
（2）在的延长线上截取，连接，由“”可证，可得，可得结论．
【解析】
解：证明：（1）如图，在上截取，连接，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）如图，在的延长线上截取，连接，
，，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
培优训练
一、解答题
1．等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点．
（1）如图1，求的度数；
图1
（2）连接，若，求的值；
（3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________．
图2
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）由是等边三角形，可得出，，再利用，可证，得出，由可求出，最后由补角定义求出.
（2）在上取点，使，由可证，再利用，，可证明，进而求出，再用补角的性质得知，在中利用外角的性质可求出，进而证出为等腰三角形，最后可证出即可求解.
（3）延长至，使为等边三角形，延长交于，可得出，进而得出，利用角的和差得出，则证出，进而证出，再利用，证出为等边三角形，进而证出.
【解析】
（1）∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）在上取点，使．
由（1）知，
又，
∴．
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）．
提示：目测即得答案．详细理由如下：
由（1）知．延长至，使为等边三角形．
延长交于．
∵ ，
∴，
在和中，
,
∴，
∴．
∴，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵
∴为等边三角形，
∴
∴．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.
2．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．
【答案】见解析
【分析】
延长至点，使得，连接，根据同角的补角相等得，根据证明，则，进而证明，根据证明，得到，则．
【解析】
证明：延长至点，使得，连接，
四边形中，，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
3．在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F．
（1）如图1，若．
①直接写出的大小；
②求证：．
（2）若图2，若，求证：．
【答案】（1）①120°；②见解析；（2）见解析
【分析】
（1）①综合三角形的内角和定理以及角平分线的定义求解即可；②利用“截长补短”思想，在AC上取点H，使得AD=AH，从而通过全等证得∠AFD=∠AFH，再结合①的结论进一步证明∠CFH=∠CFE，从而通过全等证得CE=CH，即可得出结论；
（2）同样利用“截长补短”思想，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，可通过全等直接先对△ADF和△CEF的面积进行转换，然后结合（1）中的结论，证明SF∥ET，即可对△DEF的面积进行转换，从而得出结论．
【解析】
（1）①解：∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，
∵AE平分∠BAC，CD平分∠BCA，
∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠BCA)= ×120°=60°，
∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°；
②证：如图所示，在AC上取点H，使得AD=AH，
在△ADF和△AHF中，
∴△ADF≌△AHF(SAS)，
∴∠AFD=∠AFH，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFH=∠CFE，
由①可知，∠AFC=120°，
∴∠CFE=180°-120°=60°，
∴AFH=∠CFE=60°，
∴∠CFH=60°，
即：∠CFH=∠CFE，
在△CFH和△CFE中，
∴△CFH≌△CFE(ASA)，
∴CE=CH，
∵AC=AH+CH，
∴AC=AD+CE；
（2）证：如图所示，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAF=∠SAF，
在△ADF和△ASF中，
∴△ADF≌△ASF(SAS)，
同理可证△AED≌△AES，△CEF≌△CTF，
∴DF=SF，DE=SE，FT=FE，
∴△DEF≌△SEF，
∴，，，
且∠AFD=∠AFS，∠CFE=∠CFT，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT，
由（1）可得：∠AFC=90°+∠B=135°，
∴∠CFE=180°-135°=45°，
∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45°，
∴∠CFT=135°-∠AFS =90°，
∴CF⊥SF，
又∵FT=FE，CT=CE，
∴CF垂直平分EF，
即：CF⊥ET，
∴SF∥ET，
∴，
∴
∵，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．
4．如图，在中，．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，为外的一点，连接，且，．过点作交的延长线于点．求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点，过点作交的延长线于点．点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接．若，请直接写出取得最小值时的值．
【答案】（1）6；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB边上的高和AB，再利用三角形面积公式求解；
（2）通过在BE上截取BF=BD，构造出两组全等三角形，即可完成求证；
（3）先通过延长ME，构造全等三角形，得出，利用轴对称，得出的最小值等于，最后利用直角三角形的性质与勾股定理进行计算求解即可．
【解析】
解：（1）如图，过C点作CD⊥AB，垂足为点D，
∵，
∴，
∴AD=CD，
∵AC=，且，
∴，
∵，
∴，
∴AB=AD-BD=6-4=2,
∴，
∴的面积为6．
（2）如图所示，在BE上截取BF=BD，
∵∠D+∠DCB+∠DBC=180°，
∠1+∠DBC+∠2=180°，
且∠1=∠BCD，
∴∠D=∠2，
∵，
∴△CDB≌△CBF（SAS），
∴CB=CF，
∴∠2=∠3，
∴∠ABC=∠EFC，
∵∠A=45°，AC⊥CE，
∴∠E=45°，
∴∠A=∠E，
∴△ABC≌△EFC（AAS），
∴AC=CE,AB=EF，
∴AE=AB+BF+EF=2AB+BD,
∵,
∴,
∴；
（3）如图3，延长ME至F，使MF=MA，连接KF，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
作M点关于的对称点，
则，
∴，
连接，则，
∴当共线时的值最小，等于，
∴取得最小值时的值即为的值，
连接，
由轴对称的性质可得：，，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
如图4，取中点O点，连接OC，OM，作于，
∵，
∴，
∴
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
∴；
∴的值为．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、轴对称、等腰三角形的性质与判定等内容，解决本题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形或等腰直角三角形等，本题较为综合，要求学生有较强的理解能力与分析能力．
5．如图，等边△ABC内接于⊙O，点D是弧AC上一点，连接BD交AC于E．
（1）如图1，求证∠ADB＝∠CDB；
（2）如图2，点F为线段BD上一点，连接CF，若∠BCF＝2∠ABD时，求证：BF＝DE+AD；
（3）在（2）的条件下，作∠BCF的平分线交⊙O于M，在CM上取点R，连接AR交CF于点T，若TR＝1，MR＝5，∠CAT＝3∠ACD，求AT的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，可得的，进而可得，根据等弧所对的圆周角相等即可得证；
（2）作的角平分线，交于点，设，进而证明以及，进而即可证明；
（3）延长CF交⊙O点P，交AM于N点，连接PA，过M点作，交AR于Q点，由等边三角形性质和圆周角性质对图形中角进行转换求值可得：，即和是等腰三角形，，，在中，，可得，由此求出在中， ，，，，再利用30°直角三角形性质和勾股定理求出AT即可．
【解析】
（1）证明：是等边三角形，
∴
∠ADB＝∠CDB；
（2）证明：如图，
作的角平分线，交于点，设，
∵，
∴
，
是等边三角形
，
∵
在与中
（SAS）
，；
∴是等边三角形
∴
在与中
（ASA）
即
（3）解：设，则，
如解图（3）-1，延长CF交⊙O点P，交AM于N点，连接PA，过M点作，交AR于Q点，
∵CM是∠BCF的平分线，
由（2）得，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵设，
则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
，
∴，
∴，，
∴
在中， ，，，，
如解图（3）-2，过R点作AM边的高HR，
∴，
∴，，
∴，
在中， ，
∴，
解得：，（舍去），
∴．
【点睛】
本题考查了圆周角的性质和等腰三角形的性质和判定以及利用勾股定理求边长，解题关键是补全图形，利用圆周角性质对角进行转换和计算得出和和都是等腰三角形再利用勾股定理求边长．
6．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）44°；详见解析．
【分析】
（1）根据等边对等角，可得，，再根据三角形外角的性质求出，由此即可解题；
（2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造，根据即可得出答案；
（3）画出图形，延长CA到G，使AG=AB，构造全等三角形和等腰三角形，设，由，，列方程即可解答．
【解析】
解：（1）∵AE＝AD＝DC，
∴，，
∵，，
∴，
∵AD为△ABC的角平分线，即，
∴；
∴
（2）如图2，
在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）如图3，延长CA到G，使AG=AB，
∵AB+AC＝EC，
∴AG+AC＝EC，即，
∴，
设，则；
又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．
7．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将点C绕点B顺时针旋转105°得到点D，连接BD，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且∠DBF＝45°，作∠BFD的角平分线FG交AB于点G．
（1）求∠BFD的度数；
（2）求BF，DF，GF三条线段之间的等量关系式；
（3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB＝，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）．
【答案】（1）120°；（2）BF+DF＝GF，理由见解析；（3）
【分析】
（1）由平角的性质可求∠FBE＝30°，再由直角三角形的性质和平角的性质可求解；
（2）由“ASA”可证△BMG≌△BFD，可得GM＝DF，即可求解；
（3）作点G关于DE的对称点，连接H，C，F，作I⊥CB交CB的延长线于I，由轴对称的性质可得GF＝F，HG＝H，∠DFG＝∠DF＝60°，则HG+HC＝HC+H≥C，由等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求B的长，由勾股定理可求解．
【解析】
解：（1）∵∠CBD＝105°，∠FBD＝45°，
∴∠FBE＝30°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BFE＝60°，
∴∠BFD＝120°；
（2）BF+DF＝GF，
理由如下：如图1，在线段FG上截取 FM＝FB，连接BM，
∵∠BFD＝120°，FG平分∠DFB，
∴∠GFD＝∠GFB＝60°，
∴△FBM是等边三角形，
∴BF＝BM，∠BMF＝60°，
∴∠GMB＝∠BFD＝120°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，
∵∠CBD＝105°，
∴∠ABD＝60°＝∠MBF，
∴∠GBM＝∠DBF，
∴在△BMG与△BFD中，
∴△BMG≌△BFD（ASA），
∴GM＝DF，GB＝DB，
∵MF+GM＝GF，
∴BF+DF＝GF；
（3）如图3，设BD与GF交于点O，作点G关于DE的对称点，连接H，C，F，作I⊥CB交CB的延长线于I，
∵点G与点关于DE对称，
∴GF＝F，HG＝H，∠DFG＝∠DF＝60°，
∴HG+HC＝HC+H≥C，
即HG+HC的最小值为C，
∵∠BFD+∠DF＝180°，
∴点B，点F，点三点共线，
∵GB＝DB，
∴△GDB是等边三角形，
∴GD＝DB＝GB，
∴DB＝D，
∵∠DBE＝75°，∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝15°，
∴∠GDF＝75°，
∴∠D F＝∠GDF＝75°，
∴∠BD＝90°，
又∵DB＝D，
∴B＝BD＝BC＝AB＝，
∵∠EBF＝30°，I⊥CB，
∴I＝B＝，BI＝＝，
∴CI＝BC＋BI＝1+，
∴C＝＝＝，
∴HG＋HC的最小值为．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
8．数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．
经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．
在此基础上，同学们进行了进一步的探究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？ （填“是”或“否”）；
（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．
【答案】（1）正确，结论“AE＝EF”仍然成立，证明过程见解析；（2）是；（3）点E（，0）．
【分析】
（1）在AB上截取BH＝BE，连接HE，由“ASA”可证△AHE≌△ECF，继而根据全等三角形的性质求得结论；
（2）在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE，由“ASA”可证△AHE≌△ECF，继而根据全等三角形的性质求得结论；
（3）在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），由等腰直角三角形的性质可得HE＝a，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得点F坐标，代入解析式求得a的值，即可求解．
【解析】
（1）仍然成立，
如图2，在AB上截取BH＝BE，连接HE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∵BH＝BE，AB＝BC，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，AH＝CE，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．
∵AB＝BC，AN＝CE，
∴BN＝BE，
∴∠N＝∠FCE＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠NAE＝∠CEF，
在△ANE和△ECF中，
，
∴△ANE≌△ECF（ASA）
∴AE＝EF，
故答案是：是；
（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，
设点E（a，0），
∴BE＝a＝BH，
∴HE＝a，
由（1）可得△AHE≌△ECF，
∴CF＝HE＝a，
∵CF平分∠DCM，
∴∠DCF＝∠FCM＝45°，
∵FM⊥CM，
∴∠CFM＝∠FCM＝45°，
∴CM＝FM＝＝a，
∴BM＝1+a，
∴点F（1+a，a），
∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，
∴a＝﹣2（1+a）+3，
∴a＝，
∴点E（，0）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质的应用，一次函数的性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．在平行四边形中，于，于，为上一动点，连接，交于，且．
（1）如图1，若，求、的长；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，若，点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，请直接写出的最小值_____．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）由平行四边形性质可得，利用30°直角三角形性质开得，根据勾股定理，设，则，根据勾股定理，解得即可；
（2）方法1补短：如图3，延长到使，连接、，由平行四边形ABCD性质，可得AB∥CD，AB=CD，可证（SAS），可得，，由垂直平分，，可证，再证即可；方法2截长：如图4，过点作于点，连接，先证（SAS），再证（AAS），最后证（HL），可得即可，
（3）在上截取，连接、，先证是等边三角形，可得，，可证（SAS），可证，设PH′交AE与Q，点H′在射线PQ上运动，当点H′运动到点Q是AH′最短由，先求，由勾股定理即可．
【解析】
（1）由平行四边形性质可得，
在中，，，，
∴，
根据勾股定理，
在中，，，，
设，则，
根据勾股定理，即，
解得，
∴，；
（2）方法1补短：如图3，延长到使，连接、，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵
∴AE⊥AB，
∴，
在△ADE和△BMA中，
，
∴（SAS），
∴，，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
方法2截长：如图4，过点作于点，连接，
∵CF⊥AD，
∴，
在△CFH和△CFD中，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
在△BNC和△AED中，
∴（AAS），
∴，，
∵，
∴，
∵，于，
∴=∠BNG，
在Rt△ABG和Rt△NBG中
∴（HL），
∴，
∴．
（3）在上截取，连接、，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在△CDH和△CPH′中，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设PH′交AE与Q，点H′在射线PQ上运动，当点H′运动到点Q是AH′最短
∵
由（1）得：，，，
∴，
，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短，掌握平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短是解题关键．
10．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．
（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OF=OG+OA，理由见解析
【分析】
（1）由等边三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，理由含30°角的直角三角形的性质可得OC=2OD，进而可证明结论；
（2）理由ASA证明△CGB≌△CGF即可证明结论；
（3）连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，可证得△OMG是等边三角形，进而可利用ASA证明△GMF≌△GOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可说明猜想的正确性．
【解析】
解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，
∴OA=OC，
在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，
∴OC=2OD，
∴OA=2OD；
（2）证明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BG=CG，
∴∠GCB=∠GBC，
∵CG平分∠BCE，
∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，
∴∠BGC=150°，
∵∠BGF=60°，
∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，
∴∠BGC=∠FGC，
在△CGB和△CGF中，
，
∴△CGB≌△CGF（ASA），
∴GB=GF；
（3）解：OF=OG+OA．理由如下：
连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，
∵CA=CB，CE⊥AB，
∴AE=BE，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，
∵OM=OG，
∴△OMG是等边三角形，
∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，
∵∠BGF=60°，
∴∠BGF=∠MGO，
∴∠MGF=∠OGB，
∵∠GMF=120°，
∴∠GMF=∠GOB，
在△GMF和△GOB中，
，
∴△GMF≌△GOB（ASA），
∴MF=OB，
∴MF=OA，
∵OF=OM+MF，
∴OF=OG+OA．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含30° 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．
11．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．
（1）如图1，在四边形中，，，连接．
①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．
②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明．
（2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②，证明见解析；（2），证明见解析
【分析】
（1）①参考小明的想法，延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分；
②沿用①中辅助线，延长到点，使得，连接，证得直角三角形，再利用勾股定理可求得，，之间的数量关系；
（2）类比（1）中证明的思路，延长至，使得，连，证明、，再利用全等三角形的对应角相等和等腰三角形等边对等角的性质，找到与的数量关系．
【解析】
（1）如图，延长到点，使得，连接．
，，
在与中，
，
．
平分
（2）
证明：如图，延长到点，使得，连接．
由（1）知，
，
在直角三角形中，
（3）
证明：如图，延长至，使得，连，
由（1）知，
，
在与中，
，
，，
【点睛】
本题考查三角形的基本知识、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质与判定．综合性较强．
12．在中，直线经过点，于，于，于．请解答下列问题：
（1）如图①，求证：；（提示：过点作于）
（2）如图②、图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若，，，则______．
【答案】（1）证明见解析；（2）图②：，图③：；（3）9或7．
【分析】
（1）如图①过点作于点，先利用垂直和平行求得，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论；
（2）同理可得， ，根据线段的和差即可得到结论；
（3）先利用勾股定理求出BE，根据（1）（2）的结论代入数据即可得到结论．
【解析】
（1）证明：过点作于点，则．
，
，
∵，
∴
，
∵，即，
，
又∵在中，，
，
，
．
四边形为矩形，
，
；
（2）图②：，图③：；
理由：如图②，过点作交的延长线于，则
同理可得：，，
；
如图③，过点作交的延长线于，
同理可得：，，
；
（3）解：如图①，
，，，
∴
∵，
由（1）得；
如图②同理；
图③不存在，
综上所述，或，
故答案为：9或7．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝6，tanA＝，求BE的长；
（3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）CE＝AB﹣BE，见解析
【分析】
（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到∠ODB＝∠CBD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）过D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解析】
解：（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝6，tanA＝，
∴BD＝AD，
设AD＝m，则BD＝m，
∴m2+2m2＝36，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴AD＝2，BD＝2，
∵BE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BED＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴，
∴BE＝4．
（3）解：结论CE＝AB﹣BE，
理由：过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH＝DE，
在Rt△BED与Rt△BHD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BE，
∵∠DCE＝∠A，∠DHA＝∠DEC＝90°，
∴△ADH≌△CDE（AAS），
∴AH＝CE，
∵AB＝AH+BH，
∴AB＝BE+CE，
∴CE＝AB﹣BE．
【点睛】
本题属于圆的综合问题，考查了切线的判定，角平分线的性质，圆的有关性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题．
14．如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋BQ的最小值．
【答案】（1） (2)证明见解析（3）CQ＋BQ的最小值为
【分析】
（1）根据点E是BD的中点，可得 ,在作边CE的高DF,根据等边三角形三线合一DF也是 的高，根据勾股定理计算出DF的长度，在直角三角形DFC中利用勾股定理计算出CF,得出CE的值，利用三角形的面积公式计算出面积．
（2）延长AF,是2AF=AG,证明,得出CM=AD，再根据 60°，得出 = ,从而证明 ,得出AB=AG，得出结论．
（3）根据 =90°，知道点P的运动轨迹是以AD为直径的圆，圆心记为N，点Q是BP的中点，得到点Q的运动轨迹是以BN的中点为圆心，半径为 的圆。由 ，构造直角三角形QGB，点G为直角顶点，可得,得 ，可知CQ＋BQ=CQ+QG,故根据两点之间线段最短得最小值为CG的长度，又点G的运动轨迹为以AB为中点的圆．圆心为L,当点C、点Q、点G在同一条直线上时，CG的值最小，从而得出结果．
【解析】
解：作DF⊥AC
∵点E是BD的中点
∴BE=DE
故
∵AD=4,△ADE是等边三角形，DF⊥AE
∴AF=EF=2,∠ADF=30°
∴DF=
∵在Rt△DEC中，CD=5,DF=,根据勾股定理得：
FC=
∴CE=CF-EF=
=
(2)证明：延长AF使AF=FG如下图
∵△AED是等边三角形
∴∠AED=∠ADE=60°，AE=AD=ED
∵AF=FG，点F是CD的中点
∴CF=FD又∠AFD=∠CFG
∴△AFD≌△GFC
∴CG=AD，∠FCG=∠ADF
∴CG=AE
又∵∠CEB=∠ECD+∠EDC=60°，
∴∠ACG=∠FCG+∠ACD=∠ADF+∠ACD=120°
又∠AEB=120°
∴∠AEB=∠ACG，∠CAG=∠ABD
又CG=AE
∴
∴AB=AG
故AB=2AF
(3)如下图，过点Q作QG⊥BG，使∠NBE=∠GBQ,在Rt△BQG中，sin∠BQG= 则GQ=BQ,故CQ＋BQ=CQ+QG，由∠APD=90°，可知点P的运动轨迹为AD为直径的圆，⊙N ．点G为以BE的中点为圆心的圆，点G的运动轨迹为圆．当点C、Q、G在同一条直线上时，CQ+QG的长度最小．
∵AB∥CD，∠APD＝90°
∴四边形ADCK为正方形，有AD= AB=
∴CK=AD=又tan∠ABC＝2
∴BC=
∵AN= ，GN=
∴CL=CD-DL=
∠BGN=∠GCL
∴Rt△BGN≌Rt△GCL
∴BG=CG
在Rt△BGC中，BC=
∴CG=
即CQ＋BQ的最小值=
【点睛】
本题考查三角形的面积、等边三角形的性质、全等三角形、锐角三角函数、动点问题．隐圆问题，了解直径所对的圆周角等于90°是隐圆问题的常用思路，了解瓜豆原理对本题的理解有很大的帮助．了解截长补短法添加辅助线是关键。转换思想是重要的数学思想．
15．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）由，，可得为等边三角形，由，，，可证
（2）延长至F，使，连接， 由，，且，可证 由，可证为等边三角形，可得， 可推出结论，
【解析】
解：（1）∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∵，
∴
（2）如图，延长至F，使，连接，
由（1）得为等边三角形，
∴，
∵，
又∵，且，
∴，
在与中，
∴
∴，
∴，
∴
又∵，
∴为等边三角形
∴，
又∵，且，
∴，
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．
16．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．
【分析】
（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；
（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；
（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．
【解析】
解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠BCD+∠ACE=120°，
∵∠AEC=60°，
∴∠ACE+∠EAC=120°，
∴∠BCD=∠EAC，
在△AEC和△CDB中
∵,
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，
由（1）知：△AEC≌△CDB，
∴BD=CE，
∵∠AEC=60°，
∴∠AEF =120°，
∵∠AFH ＝120°，
∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，
∴∠FAE=∠GFH，
∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，
∴△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH=EF，
∴CF=EF+CE=HG+BD；
（3）解：HG=CF+BD，理由是：
如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，
∵∠BDC=60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴∠BMD=60°，
∵∠AED=60°，
∴∠AEC=∠CMB=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，
∴∠CAE=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ACE≌△CBM（AAS），
∴CE=BM=BD，
由（2）可证△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH=FE，
∵EF=CF+CE
∴HG=CF+BD．
故答案为：HG=CF+BD．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．
17．如图，在中，，平分．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，若，求证：．
【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解
【分析】
（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，于是得到结论；
（2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；
（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根据等腰三角形的性质得到DH＝BH，于是得到结论．
【解析】
（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，
∴在中，，
∴∠ABC＝45°，
∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，
∴CD＝MD，
∴∠BDM＝∠ABC＝45°，
∴BM＝DM，
∴BM＝CD，
在RT△ADC和RT△ADM中，
，
∴RT△ADC≌RT△ADM（HL），
∴AC＝AM，
∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，
即AB＝AC＋CD；
（2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，
在AB上截取AK＝AC，连结DK，如图2，
∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK
∴BK＝BD，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠KAD，
在△CAD和△KAD中，
∴△CAD≌△KAD（SAS），
∴∠ACD＝∠AKD＝α，
∴∠BKD＝180°−α，
∵BK＝BD，
∴∠BDK＝180°−α，
∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°−α＝180°，
∴α＝108°，
∴∠ACB＝108°；
（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，
∵∠ACB＝100°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∵AD是角平分线，
∴∠HAD＝∠CAD＝20°，
∴∠ADH＝∠AHD＝80°，
在AB上截取AK＝AC，连接DK，
由（1）得，△CAD≌△KAD，
∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，
∴∠DKH＝80°＝∠DHK，
∴DK＝DH＝CD，
∵∠CBA＝40°，
∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°，
∴DH＝BH，
∴BH＝CD，
∵AB＝AH＋BH，
∴AB＝AD＋CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
【答案】（1）△ABC是等边三角形，证明见解析；（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，理由见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，则可得∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明△OAP和△OBP均为等边三角形，得到OA=AP=OB=BP即可得证；
（3）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD即可得证结论．
【解析】
（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，
如图1，连接OP．
∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB．
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．
【点睛】
本题考查圆内接多边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键．
19．如图，在中，，，是边的中点，以为边作等边三角形，且与在直线的异侧，连接交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4
【分析】
（1）利用所在直线是的垂直平分线，点F在直线AD上即可得出结论．
（2）由是等边三角形，得AC=AE=AB推得．易证≌（SSS），即可，
（3）延长至点处，使，连接．先证直角三角形≌（SAS），推出，．再证．求出，．用表示．而，得．可证≌（SAS），可推得即可．
【解析】
（1）证明：∵，是边的中点，
∴所在直线是的垂直平分线，
又∵点F在直线AD上
∴．
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
由（1）可知，，
又∵，，
∴≌（SSS），
∴，
∴．
（3）解：如图，延长至点处，使，连接．
∵，是边的中点，
∴．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，，，
∴≌（SAS），
∴，．
由（2）可知，，
∵，
∴．
由（1）可知，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴≌（SAS），
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，掌握线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，会利用引辅助线构造三角形全等转化线与线关系，角与角关系来解决问题．
20．已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析
【分析】
（1）根据已知条件得出为直角三角形，再根据证出，从而证出即可得出结论；
（2）如图2，延长DC到 K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根据证明得，从而得出，然后得出结论；
（3）如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ，结合四边形的内角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．
【解析】
（1）证明：如图1，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，
延长至点，使得，连接
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）；
如图3，在延长线上找一点，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
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