2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题07 弦图与垂直模型

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题7弦图与垂直模型

【例1】如图所示，中，，，点为上一点，过点作直线的垂线，垂足为，连接，过点作的垂线交于点．

（1）如图1，求的度数；

（2）如图2，连接，且，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，为上一点，连接，若，，求的长．

【例2】已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．

（1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：；

（2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：；

（3）当点在直线上时，连接交直线于，若，请求出的值．

【例3】已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．

（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．

①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；

②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．

（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．

①依题意补全图2；

②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系．

【例4】（1）如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？

（2）如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，求AF：FC的值；

（3）如图3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．

【例5】（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC边上的点，CE与BF交于点G，BF⊥CE，求证：BF＝CE；

（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝2AD，E、F分别是AD、DC边上的点，CE与BF交于点G，∠A+∠BGE＝180°，求证：CE＝2BF；

（3）如图3，若（2）中的四边形ABCD是平行四边形，且∠A＜90°，则CE＝2BF是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【例6】在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．

（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；

（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．

1．如图1，在矩形ABCD中，AB，AD＝3，点E从点B出发，沿BC边运动到点C，连结DE，过点E作DE的垂线交AB于点F．

（1）求证：∠BFE＝∠ADE；

（2）求BF的最大值；

（3）如图2，在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边△EFG，求边EG的中点H所经过的路径长．

2．综合与实践﹣﹣﹣折叠中的数学

在学习完特殊的平行四边形之后，某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究．

问题背景：

在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的动点，且BE＝DF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，射线EC′与射线DA相交于点M．

猜想与证明：

（1）如图1，当EC′与线段AD交于点M时，判断△MEF的形状并证明你的结论；

操作与画图：

（2）当点M与点A重合时，请在图2中作出此时的折痕EF和折叠后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母）；

操作与探究：

（3）如图3，当点M在线段DA延长线上时，线段C′D'分别与AD，AB交于P，N两点时，C′E与AB交于点Q，连接MN并延长MN交EF于点O．

求证：MO⊥EF且MO平分EF；

（4）若AB＝4，AD＝4，在点E由点B运动到点C的过程中，点D'所经过的路径的长为　　．

3．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点E从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1cm/s，点E到达点C时停止运动，连接DE并延长交矩形ABCD的边于点F．点M与点C重合，MN⊥DF于点H交矩形的边AD于点N．设点E运动的时间为t（s）．

（1）当点F到达点B时，求t的值；

（2）当t＝2时，求ND的长；

（3）如图2，点M从点C开始沿CD边向点D运动，速度为1cm/s，且与点E同时开始运动，当点M停止运动时，点E也停止运动，其他条件不变．

①连接FM，点Q为FM的中点，点P在CD边上，CP＝4cm，请直接写出点F从点A运动到点B的过程中，△PQC周长的最小值；②当EFED时，请直接写出线段ND的长．

4．如图，己知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为．

（1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______；

（2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明；

（3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积．

5．在中，，，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．

（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证：

（2）如果点D在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系．通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作交直线BC于F，如图2所示，通过证明，可推证等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程．

（3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

6．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．

（1）如图1，求证AE⊥BF；

（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN；

7．如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG的垂直平分线分别交AB、CD于E、F两点，连接EG．

（1）当AG=1时，求EG的长；

（2）当AG的值等于          时，BE=8－2DF；

（3）过G点作GM⊥EG交CD于M

  ①求证：GB平分∠AGM；

  ②设AG=x，CM=y，试说明的值为定值．

8．如图1，正方形中，是对角线，点在上，点在上，连接（与不垂直），点是线段的中点，过点作交线段于点．

（1）猜想与的数量关系，并证明；

（2）探索，，之间的数量关系，并证明；

（3）如图2，若点在的延长线上，点在的延长线上，其他条件不变，请直接写出，，之间的数量关系．

9．如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点．

（1）求证：；

（2）如图2，连接、，点、、、分别是、、、的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；

（3）如图3，点、分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长．

10．直线与x轴交于A，与y轴交于C点，直线BC的解析式为，与x轴交于B．

（1）如图1，求点A的横坐标；

（2）如图2，D为BC延长线上一点，过D作x轴垂线于点E，连接CE，若，设的面积为S，求S与k的函数关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交AC于点F，将沿CF翻折得到，直线FG交CE于点K，若，求点K的坐标．

11．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在AD上，ED＝3．动点P从点B出发沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点P作PF∥CE，与边BA交于点F，过点F作FG∥BC，与CE交于点G，当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P运动的时间为t秒．

（1）用含t的代数式分别表示线段BF和PF的长度，则有BF＝　4t　，PF＝　5t　．

（2）如图2，作点D关于CE的对称点D′，当FG恰好过点 D′时，求t的值．

（3）如图3，作△FGP的外接圆⊙O，当点P在运动过程中．

①当外接圆⊙O与四边形ABCE的边BC或CE相切时，请求出符合要求的t的值；

②当外接圆⊙O的圆心O落在△FGP的内部（不包括边上）时，直接写出t的取值范围．

12．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P，Q分别从C点，A点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边CA，AB上沿C→A，A→B的方向运动，当点Q运动到点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t（s），连接PQ，过点P作PE⊥PQ，PE与边BC相交于点E，连接QE．

（1）如图2，当t＝5s时，延长EP交边AD于点F．求证：AF＝CE；

（2）在（1）的条件下，试探究线段AQ，QE，CE三者之间的等量关系，并加以证明；

（3）如图3，当ts时，延长EP交边AD于点F，连接FQ，若FQ平分∠AFP，求的值．

13．如图1，已知矩形ABCD中，BC＝2，AB＝4，点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，同时点F从点C出发沿BC的延长线方向以每秒2个单位的速度匀速运动，当E运动到点B时，点F停止运动．连接EF交DC于K，连接DE，DF，设运动时间为t秒．

（1）求证：△DAE∽△DCF；

（2）当DK＝KF时，求t的值；

（3）如图2，连接AC与EF相交于O，画EH⊥AC于H．

①试探索点E、F在运动过程中，OH的长是否发生改变，若不变，请求出OH的长；若改变，请说明理由．

②当点O是线段EK的三等分点时，直接写出tan∠FOC的值．

14．【情景观察】

将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线l上，分别过两锐角的顶点M，N作l的垂线，垂足分别为P、Q，如图1，观察图1可知：与NQ相等的线段是　PR　，与∠NRQ相等的角是　∠PMR　．

【问题探究】

直角△ABC中，∠B＝90°，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作正方形ACEF和正方形CDGH，如图2，过E，H分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为K，L．试探究EK与HL之间的数量关系，并证明你的结论．

【拓展延伸】

直角△ABC中，∠B＝90°，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH，连接EH交BC所在的直线于点T，如图3，如果AC＝kCE，CD＝kCH，试探究TE与TH之间的数量关系，并证明你的结论．

15．已知，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB．D为直线AB上一点，连接CD，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交AC于F．

（1）如图1，当D，B重合时，求证：△FAB≌△FEC；

（2）如图2，当D在线段AB上，且∠DCB＝30°时．请探究DF、EF、CF之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，在FC上任取一点G．连接DG，作射线GP使∠DGP＝60°，交∠DFG的角平分线于点Q，求证：FD+FG＝FQ．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点N为BC边上的一点，且BN＝n（n＞0），动点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿AB边向点B运动，连接NP，作射线PM⊥NP交AD于点M，设点P运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当点M与点A重合时，t＝　4　秒，当点M与点D重合时，n＝　　（用含字母t的代数式表示）

（2）若n＝2，则

①在点P运动过程中，点M是否可以到达线段AD的延长线上？通过计算说明理由；

②连接ND，当t为何值时，ND∥PM？

（3）过点N作NK∥AB，交AD于点K，若在点P运动过程中，点K与点M不会重合，直接写出n的取值范围．

17．如图1，菱形ABCD中，AB＝5，AE⊥BC于E，AE＝4．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ⊥BC，交折线段BA﹣AD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当P点到达C点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．

（1）求出线段BD的长，并求出当正方形PQMN的边PQ恰好经过点A时，运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围；

（3）如图2，当点M与点D重合时，线段PQ与对角线BD交于点O，将△BPO绕点O逆时针旋转α°（0＜α＜180），记旋转中的△BPO为△B′P′O，在旋转过程中，设直线B′P′与直线BC交于G，与直线BD交于点H，是否存在这样的G、H两点，使△BGH为等腰三角形？若存在，求出此时OH2的值；若不存在，请说明理由．

18．如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠ABC＝60°．AE平分∠BAD交CD于点F．动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位长度的速度运动．过点P作PQ⊥AD，交射线AE于点Q，以AP、AQ为邻边作平行四边形APMQ，平行四边形APMQ与△ADF重叠部分面积为S．当点P与点D重合时停止运动，设P点运动时间为t秒．（t＞0）

（1）用含t的代数式表示QF的长．

（2）当点M落到CD边上时，求t的值．

（3）求S与t之间的函数关系式．

（4）连结对角线AM与PQ交于点G，对角线AC与BD交于点O（如图②）．直接写出当GO与△ABD的边平行时t的值．

19．问题：

如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝90°时，我们都知道，可以得到：AD•BC＝AP•BP；

变式：

（1）如图2，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y（x＞0）上，BC与x轴交于点D．过点A作EF⊥y轴，垂足为E，再过点B作BF⊥AF，垂足为F，若点A的坐标为（2，4），则点B的坐标为　（8，1）　．

探究：

（2）如图3，在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝4，点P以每秒1个单位的速度从点A出发，沿着AB边向点B运动，且满足∠A＝∠CPD，设运动时间为t（秒），BD的长度为s，求s与t的函数解析式，并求出CD的最小值．

应用：

（3）如图4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），N点坐标为（7，0），点P为线段ON上的动点，始终保持∠APM＝∠AOP，射线PM交直线x＝7于点M，求MN的最大值．

20．如图1，矩形ABCD中，AB＝21，AD＝12，E是CD边上的一点，DE＝16，M是BC边上的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒1单位长度的速度向终点B运动．设动点P的运动时间是t秒；

（1）求线段AE的长；

（2）当△ADE与△PBM相似时，求t的值；

（3）如图2，连接EP，过点P作PH⊥AE于H．

①当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值；

②以PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，当线段B′C′与线段AE有公共点时，写出t的取值范围（直接写出答案）．

21．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．

（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；

（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE＝1；

①求点F到AD的距离；

②求BF的长；

（3）若BF＝3，请直接写出此时AE的长．

22．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在射线AD上，点F在边CD所在的直线上，连接BE，BF，EF，且∠EBF＝45°．

（1）如图1，当点E在线段AD上时，求证：AE+CF＝EF；

（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE＝2，求EF的长；

（3）若EF＝10，请直接写出此时AE的长．

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题7弦图与垂直模型

【例1】如图所示，中，，，点为上一点，过点作直线的垂线，垂足为，连接，过点作的垂线交于点．

（1）如图1，求的度数；

（2）如图2，连接，且，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，为上一点，连接，若，，求的长．

【答案】（1）45°；（2）见解析；（3）2

【分析】

（1）先证明再证明再利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质可得答案；

（2）利用全等三角形的性质先求解，证明 再求解，从而可得结论；

（3）如图，过作于 交于 连接 证明为等边三角形，再证明，再利用全等三角形的性质可得答案.

【解析】

解：（1） ，

即

，

，．

（2） ，

,

∴，

∵，

∴．

（3）如图，过作于 交于 连接

为等边三角形，

，

，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等腰斜边的一半，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，熟练的应用以上知识解题的关键.

【例2】已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．

（1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：；

（2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：；

（3）当点在直线上时，连接交直线于，若，请求出的值．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或

【分析】

（1）由“AAS”可证，可得EH=AC，即可求证；

（2）过点作，交延长线于，由"AAS"可证，可得AC=EN=BC，由“AAS”可证，可得BM=EM；

（3），，分三种情况：当点D在线段BC上，点D在线段BC的延长线上，点D在线段CB的延长线上，由全等三角形的性质可求得相应线段的长，再由三角形的面积公式可求解．

【解析】

证明（1）∵，，

∴，，

，

在与中

，

，

；

（2）如图2，过点作，交延长线于，

∵，，

∴，，

，

在与中，

，

，

又∵，

，

又在与中，

，

则；

（3）如图，当点在线段上时，

∵，

∴可设，，

由（1）得：，

则，，

由∵ ， ，

∴，

∴，

即，

∴ ，

∴， ，

，

，

；

如图，点在延长线上时，过点作，交延长线于，

∵，

∴可设，，

∵，，

∴ ，

∴，，

，

在与中，

，

， ，

又∵，

，

又在与中，

，

∴，

，

∴ ，

，

，

∴，

，

点在延长线上

由图2得： ，

∴不可能，故舍去

综上：的值为 或

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

【例3】已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．

（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．

①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；

②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．

（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．

①依题意补全图2；

②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系．

【答案】（1）①∠DBE＝45°﹣α；②AE﹣BEEC，证明见解析；（2）①补全图形见解析；②EB﹣EAEC．

【分析】

（1）①根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，即可求出∠CAD=．根据三角形的内角和即可求出∠DBE=∠CAD=；

②过点C作CR⊥CE交AE于R，然后证明△ACR≌△BCE，得到AR＝BE，CR＝CE，即可得到△CER是等腰直角三角形，ERCE，由此即可求解；

（2）①根据题目要求作图即可；

②过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F.根据三角形的内角和定理得到∠CAF=∠CBE，证明△ACF≌△BCE.根据全等三角形的性质有AF=BE，CF=CE．根据等腰直角三角形的性质有EF=EC．则有 AF -EA =EC，即可求出线段EA，EB和EC之间的数量关系．

【解析】

解：（1）①如图1中，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠CAB＝45°，

∵∠BAD＝α，

∴∠CAD＝45°﹣α．

∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，∠ADC＝∠BDE，

∴∠DBE＝∠CAD＝45°﹣α；

②结论：AE﹣BEEC．

理由：如图，过点C作CR⊥CE交AE于R．

∴∠ACB＝∠RCE＝90°，

∴∠ACR＝∠BCE，

∵∠CAR+∠ADC＝90°，∠CBE+∠BDE＝90°，∠ADC＝∠BDE，

∴∠CAR＝∠CBE，

在△ACR和△BCE中，

，

∴△ACR≌△BCE（ASA），

∴AR＝BE，CR＝CE，

∴△CER是等腰直角三角形，

∴ERCE，

∴AE﹣BE＝AE﹣AR＝ER EC．

（2）①补全图形，如图2所示：

②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB﹣EAEC；理由如下：

过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F，

如图3所示：则∠ECF＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝90°，

∴∠ECF+∠ACE＝∠ACB+∠ACE，

即∠ACF＝∠BCE，

∵∠CAF+∠ADB＝90°，∠CBE+∠ADB＝90°，

∴∠CAF＝∠CBE，

在△ACF和△BCE中，

，

∴△ACF≌△BCE（ASA），

∴AF＝BE，CF＝CE．

∵∠ECF＝90°，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴EFEC，

即AF﹣EAEC．

∴EB﹣EAEC．

【点睛】

考查等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等，难度一般，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

【例4】（1）如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？

（2）如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，求AF：FC的值；

（3）如图3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．

【分析】（1）先判断出AB＝AD，再利用同角的余角相等，判断出∠ABF＝∠DAE，进而得出△ABF≌△DAE，即可得出结论；

（2）构造出正方形，同（1）的方法得出△ABD≌△CBG，进而得出CGAB，再判断出△AFB∽△CFG，即可得出结论；

（3）先构造出矩形，同（1）的方法得，∠BAD＝∠CBP，进而判断出△ABD∽△BCP，即可求出CP，再同（2）的方法判断出△CFP∽△AFB，建立方程即可得出结论．

【解析】（1）BF＝AE，理由：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，

∴∠BAE+∠DAE＝90°，

∵AE⊥BF，

∴∠BAE+∠ABF＝90°，

∴∠ABF＝∠DAE，

在△ABF和△DAE中，，

∴△ABF≌△DAE，

∴BF＝AE，

（2）如图2，

过点A作AM∥BC，过点C作CM∥AB，两线相交于M，延长BF交CM于G，

∴四边形ABCM是平行四边形，

∵∠ABC＝90°，

∴▱ABCM是矩形，

∵AB＝BC，

∴矩形ABCM是正方形，

∴AB＝BC＝CM，

同（1）的方法得，△ABD≌△BCG，

∴CG＝BD，

∵点D是BC中点，

∴BDBCCM，

∴CGCMAB，

∵AB∥CM，

∴△AFB∽△CFG，

∴2；

（3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，

∴AC＝5，

∵点D是BC中点，

∴BDBC＝2，

过点A作AN∥BC，过点C作CN∥AB，两线相交于N，延长BF交CN于P，

∴四边形ABCN是平行四边形，

∵∠ABC＝90°，∴▱ABCN是矩形，

同（1）的方法得，∠BAD＝∠CBP，

∵∠ABD＝∠BCP＝90°，

∴△ABD∽△BCP，

∴，

∴，

∴CP，

同（2）的方法，△CFP∽△AFB，

∴，

∴，

∴CF．

【例5】（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC边上的点，CE与BF交于点G，BF⊥CE，求证：BF＝CE；

（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝2AD，E、F分别是AD、DC边上的点，CE与BF交于点G，∠A+∠BGE＝180°，求证：CE＝2BF；

（3）如图3，若（2）中的四边形ABCD是平行四边形，且∠A＜90°，则CE＝2BF是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【分析】（1）只要证明△CDE≌△BCF，即可解决问题；

（2）先根据∠CFG+∠DCE＝90°，∠CED+∠DCE＝90°，判断出∠CFB＝∠DEC，进而得出△CDE∽△BCF，即可得出结论；

（3）先判断出∠BFC＝∠BCG，进而得出△BCG∽△BFC，即 ，再判断出△CFG∽△CED，得出 ，即可得出结论；

【解析】（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD＝BC，∠D＝∠BCF＝90°，

∵BF⊥CE，

∴∠BGC＝90°，

∴∠CBF+∠BCG＝90°，∠BCG+∠DCE＝90°，

∴∠DCE＝∠CBF，

∴△CDE≌△BCF，

∴BF＝CE

（2）如图2中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB，BC＝AD，∠A＝∠D＝∠BCD＝90°，

∵AB＝2AD，

∴CD＝2BC，

∵∠A+∠BGE＝180°，

∴∠CGF＝∠BGE＝90°＝∠D，

∴∠CFG+∠DCE＝90°，

∵∠CED+∠DCE＝90°，

∴∠CFB＝∠DEC，

∵∠D＝∠BCF，

∴△CDE∽△BCF，

∴2，

∴CE＝2BF；

（3）如图3中，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠BCD，CD＝AB，BC＝AD，

∵AB＝2AD，

∴CD＝2BC，

∵∠A+∠BGE＝180°，∠BGE+∠BGC＝180°，

∴∠BGC＝∠A＝∠BCD，

∵∠BGC＝∠BFC+∠FCG，∠BCD＝∠BCG+∠FCG，

∴∠BFC＝∠BCG，

∵∠CBF＝∠FBC，

∴△BCG∽△BFC，

∴，

∵∠A+∠D＝180°，∠A+∠CGF＝180°，

∴∠D＝∠CGF，

∵∠FCG＝∠ECD，

∴△CFG∽△CED，

∴，

∴，

∴，

∵CD＝2BC，

∴CE＝2BF；

【例6】在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．

（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；

（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．

【分析】（1）根据正方形的性质得出AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，求出DE＝CF，根据SAS推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出AE＝DF，∠DAE＝∠FDC即可；

（2）有两种情况：①当AC＝CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC＝CEa即可；②当AE＝AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC＝AEa，根据正方形的性质∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质得出DE＝CD＝a即可；

（3）根据（1）（2）知：点P在运动中保持∠APD＝90°，得出点P的路径是以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大，求出QC即可．

【解析】（1）AE＝DF，AE⊥DF，

理由是：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，

∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，

∴DE＝CF，

在△ADE和△DCF中

，

∴△ADE≌△DCF，

∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，

∵∠ADE＝90°，

∴∠ADP+∠CDF＝90°，

∴∠ADP+∠DAE＝90°，

∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，

∴AE⊥DF；

（2）

（1）中的结论还成立，CE：CD或2，

理由是：有两种情况：

①如图1，当AC＝CE时，

设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝CEa，

则CE：CDa：a；

②如图2，当AE＝AC时，

设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝AEa，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE，

∴DE＝CD＝a，

∴CE：CD＝2a：a＝2；

即CE：CD或2；

（3）∵点P在运动中保持∠APD＝90°，

∴点P的路径是以AD为直径的圆，

如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大，

∵在Rt△QDC中，QC，

∴CP＝QC+QP1，

即线段CP的最大值是1．

1．如图1，在矩形ABCD中，AB，AD＝3，点E从点B出发，沿BC边运动到点C，连结DE，过点E作DE的垂线交AB于点F．

（1）求证：∠BFE＝∠ADE；

（2）求BF的最大值；

（3）如图2，在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边△EFG，求边EG的中点H所经过的路径长．

【分析】（1）依据∠BFE+∠BEF＝90°，∠CED+∠BEF＝90°，即可得到∠BFE＝∠CED，再根据∠CED＝∠ADE，即可得出∠BFE＝∠ADE；

（2）依据△BEF∽△CDE，即可得到，设BE＝x（0≤x≤3），则CE＝3﹣x，根据BF，即可得到当x时，BF存在最大值；

（3）连接FH，取EF的中点M，连接BM，HM，依据BM＝EM＝HM＝FM，可得点B，E，H，F四点共圆，连接BH，则∠HBE＝∠EFH＝30°，进而得到点H在以点B为端点，BC上方且与射线BC夹角为30°的射线上，再过C作CH'⊥BH于点H'，根据点E从点B出发，沿BC边运动到点C，即可得到点H从点B沿BH运动到点H'，再利用在Rt△BH'C中，BH'＝BC•cos∠CBH'＝3，即可得出点H所经过的路径长是．

【解析】（1）证明：如图1，在矩形ABCD中，∠B＝90°，

∴∠BFE+∠BEF＝90°，

∵DE⊥EF，

∴∠CED+∠BEF＝90°，

∴∠BFE＝∠CED，

∵AD∥BC，

∴∠CED＝∠ADE，

∴∠BFE＝∠ADE；

（2）由（1）可得，∠BFE＝∠CED，∠B＝∠C＝90°，

∴△BEF∽△CDE，

∴，

在矩形ABCD中，BC＝AD＝3，AB＝CD，

设BE＝x（0≤x≤3），则CE＝3﹣x，

∴BFx，

∵0，0≤x≤3，

∴当x时，BF存在最大值；

（3）如图2，连接FH，取EF的中点M，连接BM，HM，

在等边三角形EFG中，EF＝FG，H是EG的中点，

∴∠FHE＝90°，∠EFH∠EFG＝30°，

又∵M是EF的中点，

∴FM＝HM＝EM，

在Rt△FBE中，∠FBE＝90°，M是EF的中点，

∴BM＝EM＝FM，

∴BM＝EM＝HM＝FM，

∴点B，E，H，F四点共圆，

连接BH，则∠HBE＝∠EFH＝30°，

∴点H在以点B为端点，BC上方且与射线BC夹角为30°的射线上，

如图，过C作CH'⊥BH于点H'，

∵点E从点B出发，沿BC边运动到点C，

∴点H从点B沿BH运动到点H'，

在Rt△BH'C中，∠BH'C＝90°，

∴BH'＝BC•cos∠CBH'＝3，

∴点H所经过的路径长是．

2．综合与实践﹣﹣﹣折叠中的数学

在学习完特殊的平行四边形之后，某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究．

问题背景：

在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的动点，且BE＝DF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，射线EC′与射线DA相交于点M．

猜想与证明：

（1）如图1，当EC′与线段AD交于点M时，判断△MEF的形状并证明你的结论；

操作与画图：

（2）当点M与点A重合时，请在图2中作出此时的折痕EF和折叠后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母）；

操作与探究：

（3）如图3，当点M在线段DA延长线上时，线段C′D'分别与AD，AB交于P，N两点时，C′E与AB交于点Q，连接MN并延长MN交EF于点O．

求证：MO⊥EF且MO平分EF；

（4）若AB＝4，AD＝4，在点E由点B运动到点C的过程中，点D'所经过的路径的长为　　．

【分析】（1）由AD∥BC，可得∠MFE＝∠CEF，由折叠可得，∠MEF＝∠CEF，依据∠MFE＝∠MEF，即可得到ME＝MF，进而得出△MEF是等腰三角形；

（2）作AC的垂直平分线，即可得到折痕EF，依据轴对称的性质，即可得到D'的位置；

（3）依据△BEQ≌△D'FP，可得PF＝QE，依据△NC'P≌△NAP，可得AN＝C'N，依据Rt△MC'N≌Rt△MAN，可得∠AMN＝∠C'MN，进而得到△MEF是等腰三角形，依据三线合一，即可得到MO⊥EF 且MO平分EF；

（4）依据点D'所经过的路径是以O为圆心，4为半径，圆心角为240°的扇形的弧，即可得到点D'所经过的路径的长．

【解析】（1）△MEF是等腰三角形．

理由：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠MFE＝∠CEF，

由折叠可得，∠MEF＝∠CEF，

∴∠MFE＝∠MEF，

∴ME＝MF，

∴△MEF是等腰三角形．

（2）折痕EF和折叠后的图形如图2所示：

（3）如图3，∵FD＝BE，

由折叠可得，D'F＝DF，

∴BE＝D'F，

在△NC'Q和△NAP中，∠C'NQ＝∠ANP，∠NC'Q＝∠NAP＝90°，

∴∠C'QN＝∠APN，

∵∠C'QN＝∠BQE，∠APN＝∠D'PF，

∴∠BQE＝∠D'PF，

在△BEQ和△D'FP中，

，

∴△BEQ≌△D'FP（AAS），

∴PF＝QE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，

∴AD﹣FD＝BC﹣BE，

∴AF＝CE，

由折叠可得，C'E＝EC，

∴AF＝C'E，

∴AP＝C'Q，

在△NC'Q和△NAP中，

，

∴△NC'P≌△NAP（AAS），

∴AN＝C'N，

在Rt△MC'N和Rt△MAN中，

，

∴Rt△MC'N≌Rt△MAN（HL），

∴∠AMN＝∠C'MN，

由折叠可得，∠C'EF＝∠CEF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AFE＝∠FEC，

∴∠C'EF＝∠AFE，

∴ME＝MF，

∴△MEF是等腰三角形，

∴MO⊥EF 且MO平分EF；

（4）在点E由点B运动到点C的过程中，点D'所经过的路径是以O为圆心，4为半径，圆心角为240°的扇形的弧，如图：

故其长为L．

故答案为：．

3．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点E从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1cm/s，点E到达点C时停止运动，连接DE并延长交矩形ABCD的边于点F．点M与点C重合，MN⊥DF于点H交矩形的边AD于点N．设点E运动的时间为t（s）．

（1）当点F到达点B时，求t的值；

（2）当t＝2时，求ND的长；

（3）如图2，点M从点C开始沿CD边向点D运动，速度为1cm/s，且与点E同时开始运动，当点M停止运动时，点E也停止运动，其他条件不变．

①连接FM，点Q为FM的中点，点P在CD边上，CP＝4cm，请直接写出点F从点A运动到点B的过程中，△PQC周长的最小值；②当EFED时，请直接写出线段ND的长．

【分析】（1）当点E运动到AC的中点时，点F与点B重合，利用勾股定理求出AC即可解决问题．

（2）证明∠ADF＝∠DCN，可得tan∠ADF＝tan∠DCN，推出，由此构建方程即可解决问题．

（3）①如图2﹣1中，取AD的中点K，BC的中点G，连接KG．作点P关于直线GK的对称点P′（点P′在线段B上，AP′＝2），连接CP′，P′Q．易知C，Q，P′共线时，PQ+QC的值最小，此时△PQC的周长最小．

②分两种情形分别求解即可解决问题．

【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，∵AB＝6，BC＝8，

∴AC10，

当点E运动到AC的中点时，点F与点B重合，此时t＝5．

（2）如图1﹣1中，当t＝2时，AE＝2，EC＝10﹣2＝8，

∵AF∥CD，

∴，

∴AF，

∵CN⊥DF，

∴∠CHD＝90°，

∵∠ADF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DCN＝90°，

∴∠ADF＝∠DCN，

∴tan∠ADF＝tan∠DCN，

∴，

∴，

∴DN．

（3）①如图2﹣1中，取AD的中点K，BC的中点G，连接KG．作点P关于直线GK的对称点P′（点P′在线段B上，AP′＝2），连接CP′，P′Q．

∵QF＝QM，

∴点Q在线段GK上，

∵QP＝QP′，

∴QP+QC＝QP′+QC，

∴C，Q，P′共线时，PQ+QC的值最小，此时△PQC的周长最小．

在Rt△BCP′中，CP′4，

∵QP′+QC≥CP′，

∴PQ+CQ的最小值为4，

∴△PQC的周长的最小值为4+4．

②如图2﹣2中，当点F在线段AB上时，

∵AF∥CD，

∴，

∵CD＝6，AC＝10，

∴AF＝2，AE，

∴CM＝AE，DM，

∵tan∠ADF＝tan∠DCN，

∴，

∴

∴DN

如图2﹣3中，当点F在线段BC上时，

∵CF∥AD，

∴，

∴AE10，

∵点M从点C运动到点D的时间为6秒，

6，此时点E已经停止运动．

综上所述，满足条件的DN的值为．

4．如图，己知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为．

（1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______；

（2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明；

（3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积．

【答案】（1）数量关系为：EF=BE+CF；（2）数量关系为：EF=BE-CF．证明见详解；（3）S△GHC=15．

【分析】

（1）数量关系为：EF=BE+CF．利用一线三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS）可得BE=AF，AE=CF即可；

（2）数量关系为：EF=BE-CF．先证∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°，可得∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS），可得BE=AF，AE=CF即可；

（3）先由（2）结论EF= BE-CF；，求出BE=AF=12，由，可求FH=2，EH=4，利用对角线垂直的四边形面积可求BG=，再求EG=3，AH= 10，分别求出S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，利用面积差即可求出．

【解析】

解：（1）数量关系为：EF=BE+CF．

∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°，

∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°，

∴∠EBA=∠FAC，

在△EBA和△FEC中，

∵，

∴△EBA≌△FAC（AAS），

∴BE=AF，AE=CF，

∴EF=AF+AE=BE+CF；

（2）数量关系为：EF=BE-CF．

∵BE⊥AF，CF⊥AF，∠BAC=90°，

∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°，

∴∠EBA=∠FAC，

在△EBA和△FEC中，

∵，

∴△EBA≌△FAC（AAS），

∴BE=AF，AE=CF，

∴EF=AF-AE=BE-CF；

（3）∵EF= BE-CF；，

∴BE=AF=EF+CF=6+6=12，

∵，EH+FH=EF=6，

∴2FH+FH= 6，

解得FH=2，

∴EH=2FH=4，

S四边形ABFG ==90，

∴BG=，

∴EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10，

∵S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，

∴S△GHC= S△ACF- S△HCF - S△AGH=36-6-15=15．

【点睛】

本题考查图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算，掌握图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算是解题关键．

5．在中，，，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．

（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证：

（2）如果点D在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系．通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作交直线BC于F，如图2所示，通过证明，可推证等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程．

（3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）垂直，理由见解析；（3）成立，证明见解析

【分析】

（1）根据直角三角形的性质证明即可；

（2）过点E作交直线BC于F，如图2所示，通过证明，可推证等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系；

（3）如图3所示，过点E作于F，证明，进一步可证明

【解析】

解：（1）证明：∵

∴

∵

∴

∴

（2）垂直

∵

∴

∵

∴

在和中

∴

∴，

∵

∴，

∴

即．

∴

又∵

∴，且

∴

即．

（3）（2）中的结论仍然成立

如图3所示，过点E作于F

∵

∴

在和中

∴

∴，

∴

即

∴

∴

∴

∴．

【点睛】

此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明是解本题的关键．

6．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．