2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题12 二次函数的应用综合问题

这是一份2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题12 二次函数的应用综合问题，共56页。

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题12二次函数函数的应用综合问题
经典例题



[例1]（2021·宁夏西吉实验中学九年级期中）据统计每年由于汽车超速行驶而造成的交通事故是造成人员伤亡的主要原因之一，行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离，为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种汽车的刹车距离进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速







刹车距离








（1）在如图所示的平面直角坐标系中以刹车时的速度为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用光滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象．
（2）观察图象估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式．
（3）一辆该型号的汽车在福银高速上发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请推测该汽车的刹车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是否超速行驶？（假定该路段最高限速）
[例2]（2021·全国·九年级专题练习）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图像是函数P=（0＜t≤8）的图像与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q=
（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；
（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）
①求w关于t的函数解析式；
②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．

[例3]（2021·江苏·无锡市港下中学九年级阶段练习）某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
售价x（元/件）
55
65
销售量y（件/天）
90
70
（1）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？
（2）设该商店销售商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？
（3）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a＞0），该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足原来的函数关系．规定商店售价不低于进价，售价不得超过70元/件，若今后每天能获得的销售最大利润是960元，求a的值．
[例4]（2021·江苏·常熟市第一中学九年级阶段练习）如图①，在矩形ABCD中，已知BC＝8cm，点G为BC边上一点，满足BG＝AB＝6cm，动点E以1cm/s的速度沿线段BG从点B移动到点G，连接AE，作EF⊥AE，交线段CD于点F．设点E移动的时间为t（s），CF的长度为y（cm），y与t的函数关系如图②所示．

（1）图①中，CG＝______cm，图②中，m＝______；
（2）点F能否为线段CD的中点？若可能，求出此时t的值，若不可能，请说明理由；
（3）在图①中，连接AF，AG，设AG与EF交于点H，若AG平分△AEF的面积，求此时t的值．
[例5]．（2021·全国·九年级专题练习）“宿松家乐福超市”以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图（20≤x≤60）：
（1）求每天销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数表达式；
（2）若该商品每天的利润为w（元），试确定w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，并求售价x为多少时，每天的利润w最大？最大利润是多少？

【例6】某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？


培优训练


1．（2021·湖南郴州·九年级阶段练习）为满足市场需求，郴州某超市在“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量（盒与每盒售价（元之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润（元最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于57元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售月饼多少盒？
2．（2021·云南·云大附中九年级阶段练习）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）．
（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是 元；（收益＝售价﹣成本）
（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大，最大收益是多少？说明理由．


3．（2021·湖北·武汉第三寄宿中学九年级阶段练习）近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间满足二次函数关系，其部分函数图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若跑道长度为900（m），是否够此无人机安全着陆？请说明理由；
（3）现对该无人机使用减速伞进行短距离着陆实验，要求无人机触地同时打开减速伞（开伞时间忽略不计），若减速伞的制动效果为开伞后每秒钟减少滑行距离20a（单位：m），无人机必须在200（单位：m）的短距跑道降落，请直接写出a的取值范围为 　 　．

4．（2021·江西·九年级阶段练习）2021年新冠肺炎依然在肆虐，“江西加油！中国加油！”每个人都在为抗击疫情而努力市场对口罩的需求依然很大，某公司销售一种进价为20元/袋的口罩，其销售量y（万袋）与销售价格x（元/袋）的变化如下表：
价格x（元/袋）
…
30
40
50
60
…
销售量y万袋）
…
5
4
3
2
…
同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计50万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，写出y（万袋）与x（元/袋）之间的一次函数解析式；
（2）求出该公司销售这种口罩的净得利润（万元）与销售价格x（元/袋）之间的函数解析式，当销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？
5．（2021·贵州·遵义市第十二中学九年级期中）疫情从未远去，据云南省卫健委通报，连续天，云南省的本土日新增确诊病例均超过例，从月日到月日，短短一周时间，本轮疫情中的本土确诊病例累计已达例，为了抗击“新冠”疫情后期输入，我省的医疗物资供给正常，某药店销售每瓶进价为元的消毒液，市场调查发现，每天的销售量瓶与每瓶的售价元之间满足如图所示的函数关系．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）政府部门规定每瓶消毒液售价不得超过元，当每瓶的销售单价定为多少元时，药店可获得最大利润？最大利润是多少？


6．（2021·福建闽侯·九年级期中）如图，四边形是一块边长为6米的正方形花圃，现将它改造为矩形的形状，其中点E在边上（不与点B重合），点G在的延长线上，，设的长为x米，改造后花圃的面积为y平方米．

（1）当改造后花圃的面积与原正方形花圃的面积相等时，求的长；
（2）当x为何值时，改造后的花圃的面积最大?并求出最大面积．
7．（2021·甘肃·临泽二中九年级期中）如图，在直角坐标系中，的直角顶点在轴上，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点移动同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点移动，当两个动点运动了秒时，解答下列问题：
（1）求点的坐标用含的代数式表示
（2）设的面积为，求与之间的函数表达式；
（3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

8．（2021·四川·南部县第二中学九年级阶段练习）如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度 BD为12米时，球移动的水平距离 PD为9米．已知山坡PA与水平方向PC的夹角为30°，于点C，P、A 两点相距米．请你以P为原点，直线 PC为轴建立适当的平面直角坐标系解决下列问题．


（1）求水平距离PC的长；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从P点直接打入球洞A，并说明理由．
9．（2021·湖南凤凰·九年级期中）凤凰县某超市销售一种大米，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/斤千克）
6
6.5
7
7.5
销售量y（千克）
1000
900
800
700
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
10．（2021·浙江·九年级期中）中国小将杨倩在2021东京奥运会射击比赛中，拿下中国第一枚金牌．某网店顺势推出纪念T恤衫，成本为30元/件，经市场调查发现每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出160元给希望工程，为了保证捐款后每天利润不低于3800元，求该纪念T恤衫的销售单价x的取值范围．

11．（2021·湖北·荆州市荆南中学九年级期中）在荆州市“创建国家文明城市”活动中，好邻居超市购进一批“创文”用的劳动工具，每件成本价6元，每件销售单价x（元）与每天的销售量y（件）的关系如下表：
x（元）
．．．
7
8
9
10
．．．
y（件）
．．．
150
140
130
120
．．．
（1）若每天的销售量y（件）与单价x（元）成一次函数关系：求y与x的关系式；
（2）设超市销售这种劳动工具每天获得的利润为W（元），当销售单价x为何值时，超市每天可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）若超市销售这种劳动工具每天获得的利润最多不超过600元，最低不低于480元，那么超市该如何确定销售单价的波动范围？画出草图，结合图像直接写出销售单价x的取值范围．
12．（2021·山西孝义·九年级期中）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．

（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；
（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？
13．（2021·河南·南阳市第十三中学校九年级阶段练习）南阳某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．

（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
14．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在矩形ABCD和等腰RtADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QMBE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QNBC，交CD于点N．分别连接PQ，PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当PQ⊥BD时，求t的值；
（2）设五边形PMDNQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）当PQ＝PM时，求t的值；
（4）若PM与AD相交于点W，分别连接QW和EW．在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠AWE＝∠QWD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

15．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级阶段练习）某产品每件成本为25元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如表：
时间t/天
2
3
10
20
日销售量m/件
96
94
80
60
这20天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：y＝t+30（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）求出m关于t的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜6）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
16．（2021·福建省南平第一中学九年级期中）经调查某商品在某月天内的第天的销售数量（单位：件）关于的函数解析式为，销售价格（单位：元/件）关于的函数关系如图所示，设第天的销售额为（单位：元），回答下列问题：


（1）第天的销售量为________件，销售价格为________元/件，销售额为________元；
（2）求与之间的函数解析式；
（3）这个月第几天，该商品的销售额最大，最大销售额为多少？
17．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：
产品
每件售价（万元）
每件成本（万元）
每年其他费用（万元）
每年最大产销量（件）
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40+0.05x2
80
其中a为常数，且3≤a≤5
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
18．某种食品的销售价格y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是部分抛物线）．

（1）已知6月份这种食品的成本最低，求当月出售这种食品每千克的利润（利润＝售价﹣成本）是多少？
（2）求出售这种食品的每千克利润P与销售月份x之间的函数关系式；
（3）哪个月出售这种食品，每千克的利润最大？最大利润是多少？简单说明理由．
19．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

20．为了探索函数y＝x+1x（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
x
…
14
13
12
1
2
3
4
5
…
y
…
174
103
52
2
52
103
174
265
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：

（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若0＜x1＜x2≤1，则y1　＞　y2；若1＜x1＜x2，则y1　＜　y2；
若x1•x2＝1，则y1　＝　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．
①请写出y与x的函数关系式；
②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？


【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题12二次函数函数的应用综合问题
经典例题



[例1]（2021·宁夏西吉实验中学九年级期中）据统计每年由于汽车超速行驶而造成的交通事故是造成人员伤亡的主要原因之一，行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离，为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种汽车的刹车距离进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速







刹车距离








（1）在如图所示的平面直角坐标系中以刹车时的速度为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用光滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象．
（2）观察图象估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式．
（3）一辆该型号的汽车在福银高速上发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请推测该汽车的刹车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是否超速行驶？（假定该路段最高限速）
【答案】（1）见解析；（2）；（3）推测刹车时的速度为125千米/时，超速
【分析】
（1）依题意根据数据描点连线即可作出大致图象；
（2）根据所作图象设该曲线的解析式为，结合表中数据用待定系数法解出a，b，c即可；
（3）当y=32.5时，计算出对应的符合题意的x的值，然后与限制的车速进行比较即可判断汽车是否超速．
【详解】
解：（1）描点连线（画出图象）．

（2）根据图象可估计为抛物线．
∴设，把表内前三对数代入函数
得，，
解之得，，，
∴．
经检验，其他各数均满足函数（或均在函数图象上）；
（3）当时，．
整理可得．
解之得，（不合题意，舍去），
所以可以推测刹车时的速度为125千米/时．
∵，
∴汽车发生事故时超速行驶．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，判断函数类型、了解各类函数图象特点是解决本题的关键．
[例2]（2021·全国·九年级专题练习）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图像是函数P=（0＜t≤8）的图像与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q=
（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；
（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）
①求w关于t的函数解析式；
②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．

【答案】（1）P=t+2；（2）①当0＜t≤8时，w=240；当8＜t≤12时，w=2t2+12t+16；当12＜t≤24时，w=﹣t2+42t+88；②此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨．
【分析】
（1）本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意由函数图象易得出当时，关于的函数解析式为；
（2）①然后根据销售利润销售量（售价进价），列出毛利润为（元与月份之间的函数关系式；
②再依据函数的增减性求得最大利润，即可求得对应的月销售量的最小值和最大值．
【详解】
解：（1）设，将，代入得
，解得
故当时，关于的函数解析式为：；
（2）①当时，；
当时，；
当时，；
②当时，，
时，随的增大而增大，
当时，
解得或（舍去），
当时，取得最大值，最大值为448，
当时，；
当时，，
当时，取得最小值448，由，得或（舍去），
当时，；
当时，，
此范围所对应的月销售量的最小值为12吨，最大值为19吨．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，解题的关键是我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
[例3]（2021·江苏·无锡市港下中学九年级阶段练习）某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
售价x（元/件）
55
65
销售量y（件/天）
90
70
（1）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？
（2）设该商店销售商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？
（3）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a＞0），该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足原来的函数关系．规定商店售价不低于进价，售价不得超过70元/件，若今后每天能获得的销售最大利润是960元，求a的值．
【答案】（1）该天的售价为60元或者90元；（2）当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大；（3）
【分析】
（1）依题意设，解方程组即可得到销量与售价的关系式，由单利销量总利润，解方程组即可求解；
（2）根据题意，利用二次函数的性质即可求解；
（3）根据题意得，，把，代入函数解析式，解方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）依题意设，
则有，
解得：，
所以，
若某天销售利润为800元，
则，
解得：，，
该天的售价为60元或者90元；
（2）由题意知：，
，
，
当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大，为1250元；
（2）设总利润为，根据题意得，
，
，
，
对称轴，
，
抛物线的开口向下，
，
随的增大而增大，
当时，，
即，
解得：．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
[例4]（2021·江苏·常熟市第一中学九年级阶段练习）如图①，在矩形ABCD中，已知BC＝8cm，点G为BC边上一点，满足BG＝AB＝6cm，动点E以1cm/s的速度沿线段BG从点B移动到点G，连接AE，作EF⊥AE，交线段CD于点F．设点E移动的时间为t（s），CF的长度为y（cm），y与t的函数关系如图②所示．

（1）图①中，CG＝______cm，图②中，m＝______；
（2）点F能否为线段CD的中点？若可能，求出此时t的值，若不可能，请说明理由；
（3）在图①中，连接AF，AG，设AG与EF交于点H，若AG平分△AEF的面积，求此时t的值．
【答案】（1）2，2；（2）点F不可能是CD中点；理由见解析；（3）t＝2
【分析】
（1）通过证明△ABE∽△ECF，可得，当t＝6时，可得BE＝6cm，CE＝2cm，代入比例式可求解；
（2）由相似三角形的性质可得EC2−8EC＋18＝0，由根的判别式可求解；
（3）过点H作HM⊥BC于点M，由相似三角形的性质可求MH＝CF＝，MG＝CM−CG＝2−，且MH＝MG，可得方程，即可求解．
【详解】
解：（1）∵BC＝8cm，BG＝AB＝6cm，
∴CG＝2cm，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB＋∠FEC＝90°，且∠AEB＋∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，且∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
∵t＝6，
∴BE＝6cm，CE＝2cm，
∴
∴CF＝2cm，
∴m＝2，
故答案为：2，2；
（2）若点F是CD中点，
∴CF＝DF＝3cm，
∵△ABE∽△ECF，
∴，
∴
∴EC2−8EC＋18＝0
∵△＝64−72＝−8＜0，
∴点F不可能是CD中点；
（3）如图①，过点H作HM⊥BC于点M，

∵∠C＝90°，HM⊥BC，
∴HM∥CD，
∴
∵AG平分△AEF的面积，
∴EH＝FH，
∴EM＝MC，
∵BE＝t，EC＝8−t，
∴EM＝CM＝4−t，
∴MG＝CM−CG＝2−，
∵，
∴
∴CF＝
∵EM＝MC，EH＝FH，
∴MH＝CF＝，
∵AB＝BG＝6，
∴∠AGB＝45°，且HM⊥BC，
∴∠HGM＝∠GHM＝45°，
∴HM＝GM，
∴＝2−，
∴t＝2或t＝12，且t≤6，
∴t＝2．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用参数和相似三角形的性质求出MH与GM的长是本题的关键．
[例5]．（2021·全国·九年级专题练习）“宿松家乐福超市”以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图（20≤x≤60）：
（1）求每天销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数表达式；
（2）若该商品每天的利润为w（元），试确定w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，并求售价x为多少时，每天的利润w最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2），当x=45时，w最大值=1250．
【分析】
（1）分别利用当20≤x≤40时，设y=ax+b，当40＜x≤60时，设y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）利用（1）中所求进而得出w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，进而求出函数最值．
【详解】
（1）分两种情况：当20≤x≤40时，设y=ax+b，其中a≠0，
根据题意，得，
解得，
故y=x+20；
当40＜x≤60时，设y=mx+n，其中m≠0，
根据题意，得，
解得，故 y=﹣2x+140；
故每天销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数表达式是：

（2），
当20≤x≤40时，w=x2﹣400，
由于1＞0，抛物线开口向上，且x＞0时w随x的增大而增大，又20≤x≤40，
因此当x=40时，w最大值=402﹣400=1200；
当40＜x≤60时，w=﹣2x2+180x﹣2800=﹣2（x﹣45）2+1250，
由于﹣2＜0，抛物线开口向下，又40＜x≤60，
所以当x=45时，w最大值=1250．
综上所述，当x=45时，w最大值=1250．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数在实际中的应用，读懂题意，弄清各个数量之间的关系是解决本题的关键；在实际问题中遇到最大(小)值问题时，往往先建立函数关系式，利用函数的性质求解．
【例6】某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？

【分析】（1）根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y＝kx2+m，即可求解；
（2）根据M和N的横坐标相等，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；
（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【解析】（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
∴OH＝AB＝3，
∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，
∴E（0，1），D（2，0），
∴该抛物线的函数表达式为：y＝kx2+1，
把点D（2，0）代入，得k=-14，
∴该抛物线的函数表达式为：y=-14x2+1；
（2）∵GM＝2，
∴OM＝OG＝1，
∴当x＝1时，y=34，
∴N（1，34），
∴MN=34，
∴S矩形MNFG＝MN•GM=34×2=32，
∴每个B型活动板房的成本是：
425+32×50＝500（元）．
答：每个B型活动板房的成本是500元；
（3）根据题意，得
w＝（n﹣500）[100+20(650-n)10]
＝﹣2（n﹣600）2+20000，
∵每月最多能生产160个B型活动板房，
∴100+20(650-n)10≤160，
解得n≥620，
∵﹣2＜0，
∴n≥620时，w随n的增大而减小，
∴当n＝620时，w有最大值为19200元．
答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．

培优训练


一、解答题
1．（2021·湖南郴州·九年级阶段练习）为满足市场需求，郴州某超市在“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量（盒与每盒售价（元之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润（元最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于57元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售月饼多少盒？
【答案】（1）；（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润（元最大，最大利润是8000元；（3）超市每天至少销售糕点460盒．
【分析】
（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于57元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：；
（2），
，，
当时，元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润（元最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得，
解得，，
抛物线的开口向下，
当时，每天销售糕点的利润不低于6000元的利润，
又，
．
在中，，
随的增大而减小，
当时，，
即超市每天至少销售糕点460盒．
【点睛】
本题考查一次函数和二次函数的实际应用，理解题意，准确求出对应函数表达式，掌握一次函数和二次函数的基本性质是解题关键．
2．（2021·云南·云大附中九年级阶段练习）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）．
（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是 元；（收益＝售价﹣成本）
（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大，最大收益是多少？说明理由．


【答案】（1）2；（2）5月份，元，见解析
【分析】
（1）找出当x=6时，y1、y2的值，二者做差即可得出结论；
（2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y1、y2关于x的函数关系式，二者做差后利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
（1）当x=6时，y1=3，y2=1．
∵y1﹣y2=3﹣1=2，
∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．
（2）设y1=mx+n，y2=a（x﹣6）2+1．
将（3，5）、（6，3）代入y1=mx+n，得，解得：，
∴y1x+7；
将（3，4）代入y2=a（x﹣6）2+1，4=a（3﹣6）2+1，解得：a，
∴y2（x﹣6）2+1x2﹣4x+13，
设每千克该蔬菜销售利润为P，
∴P=y1﹣y2x+7﹣（x2﹣4x+13）x2x﹣6（x﹣5）2．
∵0，
∴当x=5时，P取最大值，最大值为．
答：5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，最大利润是元/千克．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出当x=6时y1﹣y2的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出y1、y2关于x的函数关系式．
3．（2021·湖北·武汉第三寄宿中学九年级阶段练习）近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间满足二次函数关系，其部分函数图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若跑道长度为900（m），是否够此无人机安全着陆？请说明理由；
（3）现对该无人机使用减速伞进行短距离着陆实验，要求无人机触地同时打开减速伞（开伞时间忽略不计），若减速伞的制动效果为开伞后每秒钟减少滑行距离20a（单位：m），无人机必须在200（单位：m）的短距跑道降落，请直接写出a的取值范围为 　 　．

【答案】（1）；（2）可以安全着陆，理由见解析；（3）
【分析】
（1）由图象可知抛物线过点，，，分别代入解析式求解方程组即可得出结论；
（2）将（1）中求出解析式化为顶点式，确定出无人机滑行需要的最远距离，然后与900比较大小即可得出结论；
（3）根据（2）的结论，求出使用减速伞后滑行至停下所需的滑行距离表达式，然后根据题意建立不等式求解即可．
【详解】
解：（1）设抛物线解析式为，
由图象可知抛物线过点，，，依次代入解析式得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）可以安全着陆，理由如下：
∵，
∴该抛物线开口向下，当时，取得最大值800，
即：该无人机从跑道起点开始滑行至停下，需要800m，
∵跑道长900＞800，
∴该无人机可以安全着陆；
（3）由（2）可知，该无人机从跑到起点开始滑行至停下，需要时间20秒，长度800m，
∵减速伞的制动效果为开伞后每秒钟减少滑行距离，
∴滑行至停下，使用减速伞后实际滑行距离为，
∵无人机必须在200m的短距跑道降落，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，理解题意，准确求出函数解析式，并能够通过对函数解析式的变形求出实际意义的量是解题关键．
4．（2021·江西·九年级阶段练习）2021年新冠肺炎依然在肆虐，“江西加油！中国加油！”每个人都在为抗击疫情而努力市场对口罩的需求依然很大，某公司销售一种进价为20元/袋的口罩，其销售量y（万袋）与销售价格x（元/袋）的变化如下表：
价格x（元/袋）
…
30
40
50
60
…
销售量y万袋）
…
5
4
3
2
…
同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计50万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，写出y（万袋）与x（元/袋）之间的一次函数解析式；
（2）求出该公司销售这种口罩的净得利润（万元）与销售价格x（元/袋）之间的函数解析式，当销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？
【答案】（1）函数解析式为；（2）当销售价格定为50元/袋时，净利润最大，最大值是40万元
【分析】
（1）设函数解析式为，根虎已知条件代入求解即可；
（2）根据题意，得，再根据二次函数最值问题求解即可；
【详解】
解：（1）设函数解析式为，
则，解得，
故函数解析式为．
（2）根据题意，得，
，
，
，
，
，
故当销售价格定为50元/袋时，净利润最大，最大值是40万元．
【点睛】
本题主要考查了一次函数解析式求解，二次函数的应用，准确计算是解题的关键．
5．（2021·贵州·遵义市第十二中学九年级期中）疫情从未远去，据云南省卫健委通报，连续天，云南省的本土日新增确诊病例均超过例，从月日到月日，短短一周时间，本轮疫情中的本土确诊病例累计已达例，为了抗击“新冠”疫情后期输入，我省的医疗物资供给正常，某药店销售每瓶进价为元的消毒液，市场调查发现，每天的销售量瓶与每瓶的售价元之间满足如图所示的函数关系．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）政府部门规定每瓶消毒液售价不得超过元，当每瓶的销售单价定为多少元时，药店可获得最大利润？最大利润是多少？


【答案】（1）；（2）当每瓶的销售单价定为元时，药店可获得最大利润，最大利润是元．
【分析】
（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求解即可；
（2）根据利润单盒利润销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值．
【详解】
解：（1）设与之间的函数关系式为，
由题意得：，
解得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）设每天利润为元，则


，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
又∵，
∴当时，最大，最大值为元，
∴当每瓶的销售单价定为元时，药店可获得最大利润，最大利润是元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据题意列出函数关系式．
6．（2021·福建闽侯·九年级期中）如图，四边形是一块边长为6米的正方形花圃，现将它改造为矩形的形状，其中点E在边上（不与点B重合），点G在的延长线上，，设的长为x米，改造后花圃的面积为y平方米．

（1）当改造后花圃的面积与原正方形花圃的面积相等时，求的长；
（2）当x为何值时，改造后的花圃的面积最大?并求出最大面积．
【答案】（1）BE＝4米；（2）当x＝2时，y的值最大为48平方米．
【分析】
（1）由题意易知AG=（6+3x）米，AE=（6-x）米，然后根据题意可列方程求解；
（2）由（1）可直接得出函数关系式，然后根据二次函数的性质可求解．
【详解】
（1）解：根据题意得：
（6－x）（6+3x）＝62
解得x1＝0(不合题意，舍去),x2＝4；
则BE＝4（米）；
（2）根据题意得：
y＝（6－x）（6+3x）
＝-3(x－2)2+48；
∵ 0＜x≤6，－3＜0,
∴ 当x＝2时，y的值最大为48m2．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是找准题意中的等量关系．
7．（2021·甘肃·临泽二中九年级期中）如图，在直角坐标系中，的直角顶点在轴上，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点移动同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点移动，当两个动点运动了秒时，解答下列问题：
（1）求点的坐标用含的代数式表示
（2）设的面积为，求与之间的函数表达式；
（3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（x，x）；（2） ；（3）存在，x的值是2秒或秒．
【分析】
（1）根据题意由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；
（2）根据题意由三角形的面积公式即可得出S是x的二次函数；
（3）由题意分两种情况：①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：，
作NP⊥OA于P，如图1所示：

则NP∥AB，
∴△OPN∽△OAB，
∴，
即，
解得：OP=x，PN=x，
∴点N的坐标是（x，x）；
（2）在△OMN中，OM=4-x，OM边上的高PN=x，
∴，
∴S与x之间的函数表达式为 ；
（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：
分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：

则MN∥AB，
此时OM=4-x，ON=1.25x，
∵MN∥AB，
∴△OMN∽△OAB，
∴，
即，
解得：x=2；
②若∠ONM=90°，如图3所示：

则∠ONM=∠OAB，
此时OM=4-x，ON=1.25x，
∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，
∴△OMN∽△OBA，
∴，
即，
解得：x=；
综上所述：x的值是2秒或秒．
【点睛】
本题是相似形综合题目，考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；本题难度较大，综合性强，需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果．
8．（2021·四川·南部县第二中学九年级阶段练习）如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度 BD为12米时，球移动的水平距离 PD为9米．已知山坡PA与水平方向PC的夹角为30°，于点C，P、A 两点相距米．请你以P为原点，直线 PC为轴建立适当的平面直角坐标系解决下列问题．


（1）求水平距离PC的长；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从P点直接打入球洞A，并说明理由．
【答案】（1）PC的长为12m；（2）y=- (x−9) 2+12；（3）小明不能一杆把高尔夫球从P点直接打入球洞A，理由见解析．
【分析】
（1）在Rt△PAC中，利用三角函数的知识即可求出PC的长度；
（2）分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式；
（3）把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符．
【详解】
解：（1）依题意得：∠ACP=90°，∠APC=30°，PA=8，
∴AC=PA=4，
∴PC==12，
∴PC的长为12m；
（2）以P为原点，PC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，


可知：顶点B（9，12），抛物线经过原点，
设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12，
将点P（0，0）的坐标代入可得：0=a（0-9）2+12，求得a=−，
故抛物线的解析式为：y=- (x−9) 2+12；
（3）由（1）知点C的坐标为（12，0），
由（1）得AC=4，
即可得点A的坐标为（12，4），
当x=12时，y=- (12−9)2+12=≠4，
故小明不能一杆把高尔夫球从P点直接打入球洞A．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力．
9．（2021·湖南凤凰·九年级期中）凤凰县某超市销售一种大米，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/斤千克）
6
6.5
7
7.5
销售量y（千克）
1000
900
800
700
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝−200x＋2200；（2）7元；（3）当定价为8元时，有最大利润1800元．
【分析】
（1）利用待定系数法即可求出解析式；
（2）根据销售利润＝销售量×（销售单价−成本）即可得出方程；
（3）设利润为w，列出w关于x的函数，根据函数的性质即可求出最大利润．
【详解】
解：（1）设一次函数为：y＝kx＋b，依题意得：
，
解得：
，
∴函数表达式为：y＝−200x＋2200；
（2）依题意得：（x−5）（−200x＋2200）＝1600，
整理得：x2−16x＋63＝0，
解得：x1＝7，x2＝9，
∵要惠及客户，
∴x＝7
答该天的销售单价应定为7元．
（3）设利润为w，依题意得：w＝（x−5）（−200x＋2200）＝−200x2＋3200x−11000＝−200（x−8）2＋1800．
故，当定价为8元时，有最大利润1800元．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是熟练掌握一次函数，二次函数的性质．
10．（2021·浙江·九年级期中）中国小将杨倩在2021东京奥运会射击比赛中，拿下中国第一枚金牌．某网店顺势推出纪念T恤衫，成本为30元/件，经市场调查发现每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出160元给希望工程，为了保证捐款后每天利润不低于3800元，求该纪念T恤衫的销售单价x的取值范围．

【答案】（1）；（2）当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，最大值为4000元；（3）
【分析】
（1）根据函数图象中的数据待定系数法求解析式即可；
（2）设利润为，根据题意可得，即，根据二次函数的性质即可求得最大值；
（3）根据题意列出不等式，根据二次函数的性质求得的范围
【详解】
解：（1）设y与x之间的函数关系式为；
将代入得：

解得
y与x之间的函数关系式为
（2）设利润为，则，
即
，开口向下
当时，
当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，最大值为4000元
（3）根据题意可得
即
当，解得
，开口向下
由（2）可知，当时取得最大值，


【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．（2021·湖北·荆州市荆南中学九年级期中）在荆州市“创建国家文明城市”活动中，好邻居超市购进一批“创文”用的劳动工具，每件成本价6元，每件销售单价x（元）与每天的销售量y（件）的关系如下表：
x（元）
．．．
7
8
9
10
．．．
y（件）
．．．
150
140
130
120
．．．
（1）若每天的销售量y（件）与单价x（元）成一次函数关系：求y与x的关系式；
（2）设超市销售这种劳动工具每天获得的利润为W（元），当销售单价x为何值时，超市每天可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）若超市销售这种劳动工具每天获得的利润最多不超过600元，最低不低于480元，那么超市该如何确定销售单价的波动范围？画出草图，结合图像直接写出销售单价x的取值范围．
【答案】（1）每天的销售量y（件）与单价x（元）成一次函数关系：；（2）当时，W最大=640元；（3）或，
【分析】
（1）利用待定系数法求每天的销售量y（件）与单价x（元）成一次函数关系，从表格中选取把（7,150），（8,140），代入解析式得解方程组即可；
（2）根据总利润=（每件售价-进价）×件数，列出函数关系式，再配方为顶点式即可;
（3）根据利润的边值，解得或，，解得或，再列出利润的范围得，解不等式即可，利用描点法画出草图即可．
【详解】
解：（1）∵每天的销售量y（件）与单价x（元）成一次函数关系：，
把（7,150），（8,140），代入解析式得，
解得，
每天的销售量y（件）与单价x（元）成一次函数关系：；
（2）;
∴当时，W最大=640元；
（3），开方得，解得或，
，开方得，解得或，
，
整理得，
∴或，
解得或，
x
…
10
12
14
16
18
…
w
…
480
600
640
600
480
…
描点（10，480），（12，600），（14，640），（16，600），（18，480），
用平滑曲线连结，实线部分为函数值范围对应部分是销售单价波动范围．

【点睛】
本题考查函数在营销问题中应用，待定系数法求每天的销售量y（件）与单价x（元）成一次函数关系，二次函数，抓住每天获得的利润为W（元）=（每天售价单价-进价）×每天的销售量，一元二次方程与不等式，掌握函数在营销问题中应用，待定系数法求每天的销售量y（件）与单价x（元）成一次函数关系，二次函数，抓住每天获得的利润为W（元）=（每天售价单价-进价）×每天的销售量，一元二次方程与不等式是解题关键．
12．（2021·山西孝义·九年级期中）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．

（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；
（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？
【答案】（1）y＝﹣0.01x2+0.6x；（2）16米
【分析】
（1）根据题意，可以设出抛物线的解析式，然后根据题意可以得到点B的坐标和顶点的横坐标，从而可以求得该抛物线的解析式；
（2）将（1）中的抛物线解析式化为顶点式，即可得到该函数的最大值，再根据OE＝7米，即可得到桥拱最高点到水面的距离是多少米．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
由题意可得，点B（﹣10，﹣7），顶点的横坐标为30，
∴，
解得，
即桥拱所在抛物线的函数关系表达式是y＝﹣0.01x2+0.6x；
（2）∵y＝﹣0.01x2+0.6x＝﹣0.01（x﹣30）2+9，
∴当x＝30时，y取得最大值9，
∵9+7＝16（米），
∴桥拱最高点到水面的距离是16米．
【点睛】
此题考查二次函数的性质和最值问题，熟练掌握，即可解题.
13．（2021·河南·南阳市第十三中学校九年级阶段练习）南阳某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．

（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣x+40（10≤x≤16）；（2）每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【分析】
（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【详解】
解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（10，30）、（16，24）代入，得：，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用和求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
14．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在矩形ABCD和等腰RtADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QMBE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QNBC，交CD于点N．分别连接PQ，PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当PQ⊥BD时，求t的值；
（2）设五边形PMDNQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）当PQ＝PM时，求t的值；
（4）若PM与AD相交于点W，分别连接QW和EW．在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠AWE＝∠QWD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）S（0＜t＜8）；（3）；（4）存在，
【分析】
（1）根据cos∠PBQ=，构建方程，可知结论．
（2）如图2中，过点P作PO⊥QM于点O．证明S=S四边形DQPM+S△DNQ=（PQ+DH）•QM+QN•ND=（HA+DH）•QM+QN•ND=•AD•QM+QN•ND，可得结论．
（3）如图3中，延长NQ交BE于点G．根据PQ=PM，构建方程求解即可．
（4）存在．证明△HQW∽△AEW，△MHW∽△PAW，推出，，推出，由此构建方程求解即可．
【详解】
解：（1）如图1中，

由题意，BP＝DQ＝t（cm），
在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝AD＝6cm，∠BAD＝90°，
∴BD=10（cm），
∵PQ⊥BD，
∴∠PQB＝90°，
∴cos∠PBQ，
∴，
∴；
答：当PQ⊥BD时，t的值为．
（2）如图2中，过点P作PO⊥QM于点O．

在等腰Rt△ADE中，AD＝AE＝6，∠EAD＝90°，
∴BE＝AB+AE＝8+6＝14（cm），
∵QM∥BE，
∴∠POH＝∠PAH＝∠OHA＝90°，
∴四边形OPAH是矩形，
∴PO＝AH，
∵QM∥EB，
∴∠DQM＝∠DBE，
∵∠QDM＝∠QDM，
∴△DQM∽△DBE，
∴，
∴，
∴QM（cm），
∵QN∥BC，
∴∠DNQ＝∠C＝90°，
∵∠CDB＝∠CDB，
∴△NDQ∽△CDB，
∴，
∴，
∴DN（cm），QN（cm）．
∴S＝S四边形DQPM+S△DNQ（PO+DH）•QMQN•ND
（HA+DH）•QMQN•ND
•AD•QMQN•ND

．
∴S与t之间的函数关系式为：S（0＜t＜8）．
（3）如图3中，延长NQ交BE于点G．

由（1）（2）可知DC∥AB，∠DNQ＝90°，PO⊥QM，
∵∠DNQ＝∠NGA＝∠BAD＝90°，
∴四边形NGAD是矩形，
∴BG＝CN＝（）（cm），
同理可证，四边形PGQO是矩形，
∴QO＝PG＝BP﹣CN＝t﹣（）＝（）（cm），
∴，
∴；
答：当PQ＝PM时，t的值为．
（4）存在．理由：如图4中，

由（2）得DN，QM，
∵QN∥BC，QM∥BE，
∴∠DNQ＝∠NQH＝∠NDH＝90°，
∴四边形NQHD是矩形，
∴QH＝DN，且∠QHD＝90°，
∴∠QHA＝∠DAE＝90°，
∵∠AWE＝∠QWD，
∴△HQW∽△AEW，
同理可证△MHW∽△PAW，
∴，，
∴，
∴
∴；
经检验，是分式方程的解；
答：在运动过程中，t的值为时，∠AWE＝∠QWD．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
15．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级阶段练习）某产品每件成本为25元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如表：
时间t/天
2
3
10
20
日销售量m/件
96
94
80
60
这20天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：y＝t+30（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）求出m关于t的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜6）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）
【分析】
（1）由题意得，设，根据表格中的数据，代入求解即可；
（2）设日销售利润为元，求得与的关系式，根据二次函数的性质求解最大值即可；
（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质，求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得，设，将，代入解析式，得
，解得，即
故答案为：
（2）设日销售利润为元，则由题意可得，



∵，开口向下
∴当时，.
在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元
（3）由题意得：
，
∴对称轴为：，
∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，且，
∴，
∴，
又∵
∴.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键．
16．（2021·福建省南平第一中学九年级期中）经调查某商品在某月天内的第天的销售数量（单位：件）关于的函数解析式为，销售价格（单位：元/件）关于的函数关系如图所示，设第天的销售额为（单位：元），回答下列问题：


（1）第天的销售量为________件，销售价格为________元/件，销售额为________元；
（2）求与之间的函数解析式；
（3）这个月第几天，该商品的销售额最大，最大销售额为多少？
【答案】（1），，；（2）当时，；当时，；（3）这个月第天，该商品的销售额最大，最大销售额为元
【分析】
（1）把x=20代入函数解析式求解即可得出销售量，然后由图象可得销售价格，进而问题可求解；
（2）当时，设与之间的函数解析式为，然后代入点，求解即可；当时，设与之间的函数解析式为，代入点，进行求解即可；
（3）由（2）可得当时，，进而根据函数的性质可求出此时的最大利润；当时，，则可得出此时的最大利润，然后问题可求解．
【详解】
解：（1）由题意可把x=20代入得：，
∴第天的销售量为件，
由图象可知销售价格为元/件，销售额为元；
故答案为24，20，480；
（2）当时，设与之间的函数解析式为，
将点，代入得：
，解得：，
，
当时，设与之间的函数解析式为，
将点，代入得：，解得：，
；
（3）当时，，
∵，
∴当时，有最大值；
当时，，
∵，
∴当时，有最大值．
，
这个月第天，该商品的销售额最大，最大销售额为元．
【点睛】
本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是根据函数图象得到函数解析式．

17．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：
产品
每件售价（万元）
每件成本（万元）
每年其他费用（万元）
每年最大产销量（件）
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40+0.05x2
80
其中a为常数，且3≤a≤5
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
【分析】（1）根据利润＝销售数量×每件的利润即可解决问题．
（2）根据一次函数的增减性，二次函数的增减性即可解决问题．
（3）根据题意分三种情形分别求解即可：①（1180﹣200a）＝440，②（1180﹣200a）＞440，③（1180﹣200a）＜440．
【解析】（1）y1＝（6﹣a）x﹣20，（0＜x≤200）
y2＝10x﹣40﹣0.05x2＝﹣0.05x2+10x﹣40．（0＜x≤80）．
（2）对于y1＝（6﹣a）x﹣20，∵6﹣a＞0，
∴x＝200时，y1的值最大＝（1180﹣200a）万元．
对于y2＝﹣0.05（x﹣100）2+460，
∵0＜x≤80，
∴x＝80时，y2最大值＝440万元．
（3）①1180﹣200a＝440，解得a＝3.7，
②1180﹣200a＞440，解得a＜3.7，
③1180﹣200a＜440，解得a＞3.7，
∵3≤a≤5，
∴当a＝3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同．
当3≤a＜3.7时，生产甲产品利润比较高．
当3.7＜a≤5时，生产乙产品利润比较高．
18．某种食品的销售价格y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是部分抛物线）．

（1）已知6月份这种食品的成本最低，求当月出售这种食品每千克的利润（利润＝售价﹣成本）是多少？
（2）求出售这种食品的每千克利润P与销售月份x之间的函数关系式；
（3）哪个月出售这种食品，每千克的利润最大？最大利润是多少？简单说明理由．
【分析】（1）将x＝6分别代入y1和y2，再用y1减去y2即可得出答案；
（2）设y1＝mx+n，y2＝a（x﹣6）2+1，将（3，5），（6，3）代入y1＝mx+n，得方程组，解得m和n的值；将（3，4）代入y2＝a（x﹣6）2+1，解得a的值，再由p＝y1﹣y2即可得出答案；
（3）将（2）中所得的每千克利润P与销售月份x之间的函数关系式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解析】（1）当x＝6时，y1＝3，y2＝1，
∵y1﹣y2＝3﹣1＝2，
∴6月份出售这种食品每千克的利润是2元；
（2）设y1＝mx+n，y2＝a（x﹣6）2+1，
将（3，5），（6，3）代入y1＝mx+n，
得3m+n=56m+n=3，
解得m=-23n=7，
∴y1=-23x+7．
将（3，4）代入y2＝a（x﹣6）2+1，
得4＝a（3﹣6）2+1，解得a=13，
∴y2=13（x﹣6）2+1
=13x2﹣4x+13，
∴P＝y1﹣y2
=-23x+7﹣（13x2﹣4x+13）
=-13x2+103x﹣6
（3）P=-13x2+103x﹣6
=-13（x﹣5）2+73，
∵-13＜0，
∴当x＝5时，P取最大值，最大值为73，
∴5月份出售这种食品，每千克的利润最大，最大利润是73元．
19．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

【分析】（1）矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，则ME＝BE，AM＝GH，而四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMDN＝2S矩形MEFN，即可证明；
（2）设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，则y=BC⋅AB=x(40-65x)=-65x2+40x，即可求解．
【解析】（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，AM＝GH．
∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；

（2）∵篱笆总长为100m，
∴2AB+GH+3BC＝100，
即2AB+12AB+3BC=100，
∴AB=40-65BC．
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
则y=BC⋅AB=x(40-65x)=-65x2+40x，
∵AB=40-65BC，
∴BE＝10-310x＞0，
解得x＜1003，
∴y=-65x2+40x（0＜x＜1003）．
20．为了探索函数y＝x+1x（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
x
…
14
13
12
1
2
3
4
5
…
y
…
174
103
52
2
52
103
174
265
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：

（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若0＜x1＜x2≤1，则y1　＞　y2；若1＜x1＜x2，则y1　＜　y2；
若x1•x2＝1，则y1　＝　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．
①请写出y与x的函数关系式；
②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？
【分析】（1）用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可．
（2）利用图象法解决问题即可．
（3）①总造价＝底面的造价+侧面的造价，构建函数关系式即可．
②转化为一元二次不等式解决问题即可．
【解析】（1）函数图象如图所示：

（2）若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2，
若x1•x2＝1，则y1＝y2．
故答案为＞，＜，＝．
（3）①由题意，y＝1+（2x+2x）×0.5＝1+x+1x（x＞0）．
②由题意1+x+1x≤3.5，
∵x＞0，
可得2x2﹣5x+2≤0，
解得：12≤x≤2
∴水池底面一边的长x应控制在12≤x≤2的范围内．
解法二：利用图象法，直接得出结论．