八年级数学下学期期中测试卷02（山东济南专用）

八年级数学下学期期中测试卷02（山东济南专用）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分150分，试题共27题，选择12道、填空6道、解答9道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：B．

2．若x＜y，则下列式子不成立的是（　　）

A．x﹣1＜y﹣1 B．﹣2x＜﹣2y C．x+3＜y+3 D．

【分析】根据不等式的性质进行答题．

【解析】A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等式仍然成立，即x﹣1＜y﹣1．故本选项错误；

B、在不等式x＜y的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2x＞﹣2y．故本选项正确；

C、在不等式x＜y的两边同时加3，不等式仍然成立，即x+3＜y+3．故本选项错误；

D、在不等式x＜y的两边同时除以2，不等式仍然成立，即，故本选项错误．

故选：B．

3．下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　）

①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1；

②x3+x＝x（x2+1）；

③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2；

④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．

【解析】①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；

②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；

③整式的乘法，故③不是因式分解；

④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；

故选：B．

4．已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（　　）

A．x≥﹣1 B．x＞1 C．﹣3＜x≤﹣1 D．x＞﹣3

【分析】根据不等式组解集在数轴上的表示方法可知，不等式组的解集是指它们的公共部分，即﹣1及其右边的部分．

【解析】两个不等式的解集的公共部分是：﹣1及其右边的部分．即大于等于﹣1的数组成的集合．

故选：A．

5．如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACB＝105°，则∠B的大小为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．40°

【分析】根据边相等的角相等，用∠B表示出∠CDA，然后就可以表示出∠ACB，求解方程即可．

【解析】设∠B＝x

∵AC＝DC＝DB

∴∠CAD＝∠CDA＝2x

∴∠ACB＝（180°﹣4x）+x＝105°

解得x＝25°．

故选：C．

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（　　）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm

【分析】先求出∠ACD＝30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答．

【解析】在Rt△ABC中，

∵CD是斜边AB上的高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），

∵AD＝3cm，

在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，

在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm．

∴AB的长度是12cm．

故选：D．

7．如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形A'OB'，若∠AOB＝21°，则∠AOB′的度数是（　　）

A．21° B．24° C．45° D．66°

【分析】由旋转的性质可得∠AOB＝∠A'OB'＝21°，∠A'OA＝45°，可求∠AOB′的度数．

【解析】∵将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形A'OB'，

∴∠AOB＝∠A'OB'＝21°，∠A'OA＝45°

∴∠AOB'＝∠A'OA﹣∠A'OB'＝24°

故选：B．

8．把（a2+1）2﹣4a2分解因式得（　　）

A．（a2+1﹣4a）2 B．（a2+1+2a）（a2+1﹣2a） 

C．（a+1）2（a﹣1）2 D．（a2﹣1）2

【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．

【解析】原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2，

故选：C．

9．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（　　）

A．12 B．10 C．8 D．6

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据△BCE的周长等于18，求出AC的长．

【解析】∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，

由题意得，BC+CE+BE＝18，

则BC+CE+AE＝18，即BC+AC＝18，又BC＝8，

∴AC＝10，

故选：B．

10．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点是A（1，3），B（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A′的坐标为（﹣2，0），则点B的对应点B′的坐标为（　　）

A．（﹣3，2） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣1，﹣2） D．（0，﹣2）

【分析】利用平移变换的性质解决问题即可．

【解析】观察图象可知，点B的对应点B′的坐标为（﹣1，﹣2）．

故选：C．

11．如图，已知函数y＝kx+b图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集为（　　）

A．x＞5 B．x＜5 C．x＞4 D．x＜4

【分析】根据图象得出一次函数图象和x轴的交点坐标为（4，0），y随x的增大而减小，再得出不等式的解集即可．

【解析】∵从图象可知：一次函数图象和x轴的交点坐标为（4，0），y随x的增大而减小，

∴不等式kx+b＜0的解集是x＞4，

故选：C．

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E．过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF，AF．现有如下结论：

①AD平分∠CAB；②BF＝2；③AD⊥CF；④AF＝2；⑤∠CAF＝∠CFB．

其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【分析】①错误．由CD＝DB，推出AD是△ACB的中线，如果是角平分线，则AC＝AB，显然与已知矛盾，故错误．

②正确．易证△DBF是等腰直角三角形，故BF＝BD＝2．

③正确．由△ACD≌△CBF，推出∠CAD＝∠BCF，由∠BCF+∠ACF＝90°，推出∠CAD+∠ACF＝90°，即AD⊥CF．

④正确．在Rt△ACD中，AD2，易证AF＝AD＝2．

⑤正确．于△ACD≌△CBF，推出AD＝CF＝AF，推出∠CAF＝∠FCA，于AC∥BF，即可推出∠CFB＝∠FCA＝∠CAF．

【解析】①错误．∵CD＝DB，

∴AD是△ACB的中线，如果是角平分线，则AC＝AB，显然与已知矛盾，故错误．

②正确．易证△DBF是等腰直角三角形，故BF＝BD＝2．

③正确．∵AC＝BC，∠ACD＝∠CBF，CD＝BF，

∴△ACD≌△CBF，

∴∠CAD＝∠BCF，

∵∠BCF+∠ACF＝90°，

∴∠CAD+∠ACF＝90°，

∴AD⊥CF．

④正确．在Rt△ACD中，AD2，易证AF＝AD＝2．

⑤正确．∵△ACD≌△CBF，

∴AD＝CF＝AF，

∴∠CAF＝∠FCA，

∵AC∥BF，

∴∠CFB＝∠FCA＝∠CAF．

故选：B．

二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）

13．分解因式：4a3b2﹣6a2b2＝　2a2b2（2a﹣3）　．

【分析】直接找出公因式进而提取分解因式即可．

【解析】4a3b2﹣6a2b2＝2a2b2（2a﹣3）．

故答案为：2a2b2（2a﹣3）．

14．在如图所示的草坪上，铺设一条宽为2的小路，则小路的面积为　16　．

【分析】根据平移的性质得到小路的为长是8，宽是2的一矩形，根据矩形的面积公式解答．

【解析】根据题意知，小路的面积＝2×8＝16．

故答案是：16．

15．有10名菜农，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排　4　人种茄子．

【分析】设安排x人种茄子，则由题意知：0.5×3x+0.8×2（10﹣x）≥15.6，解不等式即可．

【解析】设安排x人种茄子，则种辣椒的人数为10﹣x．

由每人可种茄子3亩或辣椒2亩可得：

种茄子有3x亩，辣椒有2（10﹣x）亩．

由种茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元得：

0.5×3x+0.8×2（10﹣x）≥15.6，

x≤4．

故最多只能安排4人种茄子．

故答案为：4．

16．不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围是　a≤2　．

【分析】根据不等式组的公共解集即可确定a的取值范围．

【解析】由不等式组的解集为x＞2，可得a≤2．

故答案为：a≤2

17．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝　5　．

【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM＝PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．

【解析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，

在Rt△OPD中，cos60°，OP＝12，

∴OD＝6，

∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，

∴MD＝NDMN＝1，

∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．

故答案为：5．

18．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有　①②③　（填序号）

①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°

【分析】①根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC＝60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，求出∠PBQ＝60°，即可判断①；

②根据勾股定理的逆定理即可判断得出②；

③根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断；

④求出∠APC＝150°﹣∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断④．

【解析】①∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

∵△BQC≌△BPA，

∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，

PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，

∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，

∴△BPQ是等边三角形，

所以①正确；

②PQ＝PB＝4，

PQ2+QC2＝42+32＝25，

PC2＝52＝25，

∴PQ2+QC2＝PC2，

∴∠PQC＝90°，

∴△PCQ是直角三角形，

所以②正确；

③∵△BPQ是等边三角形，

∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，

∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，

所以③正确；

④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，

∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，

∴∠QPC≠30°，

∴∠APC≠120°．

所以④错误．

所以正确的有①②③．

三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

19．把下列多项式分解因式．

（1）b2﹣b

（2）2xy﹣6y；

（3）a2﹣9b2；

（4）2x2﹣4x+2．

【分析】（1）原式提取b即可得到结果；

（2）原式提取2y即可得到结果；

（3）原式利用平方差公式分解即可；

（4）原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．

【解析】（1）原式＝b（b﹣1）；

（2）原式＝2y（x﹣3）；

（3）原式＝（ a+3b）（ a﹣3b）；

（4）原式＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2．

20．解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的所有整数解．

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．

【解析】，

∵解不等式①得：x＞2，

解不等式②得：x≤4，

∴不等式组的解集是2＜x≤4，

在数轴上表示不等式组的解集为：，

所以不等式组的所有整数解是3，4．

21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，2），C（﹣1，4）（注：每个方格的边长均为1个单位长度）．

（1）将△ABC沿着水平方向向右平移6个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）作出将△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出的坐标；

（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．

【分析】（1）将点A，B，C分别向右平移6各单位，顺次连接对应点即可得出答案；

（2）分别将A，B，C绕原点O绕旋转180°，再顺次连接对应点即可得出答案；

（3）连接三组对应点，可得三线段交于同一点，据此可得．

【解析】（1）如图，△A1B1C1即为所求：

（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2（3，﹣5）、B2（4，﹣2）、C2（1，﹣4）．

（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心点P的坐标为（3，0）．

22如图，△ABC中，AB＝AC，D点在BC上，∠BAD＝30°，且∠ADC＝60°，BD＝3，求CD．

【分析】求出∠B、∠C、∠DAC的度数，根据等腰三角形的判定方法以及含30度直角三角形的性质即可解决问题．

【解答】证明：∵∠ADC＝60°，∠BAD＝30°，

∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°＝∠BAD，

∴BD＝AD＝3，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝30°，

∴∠BAC＝120°，

∴∠DAC＝120°﹣30°＝90°，

∴CD＝2AD＝6．

23．比较下面两列算式结果的大小（在横线上选“＞”“＜““＝”）

42+32　＞　2×4×3

（﹣2）2+22　＞　2×（﹣2）×2

22+22　＝　2×2×2

（1）通过观察归纳，得20002+20012　＞　2×2000×2001．

（2）写出能反映这种规律的一般结论：　a2+b2≥2ab　．

（3）用所学知识说明所得结论的正确性．

【分析】（1）根据题意得出规律解答即可；

（2）根据规律解答即可；

（3）通过作差法比较大小，然后总结出规律，并借助数学知识验证规律是否成立．

【解析】42+32＞2×4×3

（﹣2）2+22＞2×（﹣2）×2

22+22＝2×2×2

（1）（20002+20012）﹣2×2000×2001＝1＞0；故20002+20012＞2×2000×2001．

（2）设a，b是任意实数，则a2+b2≥2ab．

（3）由a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，得a2+b2≥2ab

结论：a2+b2≥2ab；

故答案为：＞；＞；＝；＞；a2+b2≥2ab．

24．某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元．

（1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？

（2）工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品，根据规定购买的总费用不超过1100元，则工会最多可以购买多少支钢笔？

【分析】（1）首先用未知数设出买一支钢笔和一本笔记本所需的费用，然后根据关键语“购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元”，列方程组求出未知数的值，即可得解．

（2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80﹣x，根据总费用不超过1100元，列出不等式解答即可．

【解析】（1）设一支钢笔需x元，一本笔记本需y元，由题意得

解得：

答：一支钢笔需16元，一本笔记本需10元；

（2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80﹣x，由题意得

16x+10（80﹣x）≤1100

解得：x≤50

答：工会最多可以购买50支钢笔．

25如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE＝AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG．

（1）求证：BE＝BF；

（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．

【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，BD＝AD，∠BCD＝30°，由“SAS”可证△ABF≌△CBE，可得BF＝BE；

（2）通过证明△BEF是等边三角形，可得BG＝GF，由三角形中位线定理可得AF＝2GD，AF∥DG．

【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形

∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°

∵CD⊥AB，AC＝BC

∴BD＝AD，∠BCD＝30°，

∵AF⊥AC

∴∠FAC＝90°

∴∠FAB＝∠FAC﹣∠BAC＝30°

∴∠FAB＝∠ECB，且AB＝BC，AF＝CE

∴△ABF≌△CBE（SAS）

∴BF＝BE

（2）AF＝2GD，AF∥DG

理由如下：

连接EF，

∵△ABF≌△CBE

∴∠ABF＝∠CBE，

∵∠ABE+∠EBC＝60°

∴∠ABE+∠ABF＝60°，且BE＝BF

∴△BEF是等边三角形，且GE⊥BF

∴BG＝FG，且BD＝AD

∴AF＝2GD，AF∥DG

26．阅读下面材料，根据要求解答问题：求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．

解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②

解不等式组①得：x．解不等式组②得x＜﹣3．

∴不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集为x或x＜﹣3．

请你仿照上述方法解决下列问题：

（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．

（2）求不等式0的解集．

【分析】（1）将不等式转换为两个不等式组①或②，分别求解；

（2）将不等式转换为两个不等式①或②，分别求解；

【解析】（1）（2x﹣3）（x+1）＜0可得：

①或②，

解不等式①得：无解；

解不等式组②得：﹣1＜x；

∴不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集为：﹣1＜x；

（2）0可得：

①或②，

解不等式①得：x≥3；

解不等式组②得：x＜﹣2；

∴不等式0的解集为：x≥3或x＜﹣2；

27．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上．

（1）如图1，F是线段AD上的一点，连接CF，若AF＝CF；

①求证：点F是AD的中点；

②判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．

【分析】（1）①如图1，由AF＝CF得到∠1＝∠2，则利用等角的余角相等可得∠3＝∠ADC，然后根据等腰三角形的判定定理得FD＝FC，易得AF＝FD；

②先利用等腰直角三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，则可证明△ADC≌△BEC得到AD＝BE，∠1＝∠CBE，由于AD＝2CF，∠1＝∠2，则BE＝2CF，再证明∠CBE+∠3＝90°，于是可判断CF⊥BE；

（2）延长CF到G使FG＝CF，连接AG、DG，如图2，易得四边形ACDG为平行四边形，则AG＝CD，AG∥CD，于是根据平行线的性质得∠GAC＝180°﹣∠ACD，所以CD＝CE＝AG，再根据旋转的性质得∠BCD＝α，所以∠BCE＝∠DCE+∠BCD＝90°+α＝90°+90°﹣∠ACD＝180°﹣∠ACD，得到∠GAC＝∠ECB，接着可证明△AGC≌△CEB，得到CG＝BE，∠2＝∠1，所以BE＝2CF，和前面一样可证得CF⊥BE．

【解答】（1）①证明：如图1，

∵AF＝CF，

∴∠1＝∠2，

∵∠1+∠ADC＝90°，∠2+∠3＝90°，

∴∠3＝∠ADC，

∴FD＝FC，

∴AF＝FD，

即点F是AD的中点；

②BE＝2CF，BE⊥CF．理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，

在△ADC和△BEC中

，

∴△ADC≌△BEC，

∴AD＝BE，∠1＝∠CBE，

而AD＝2CF，∠1＝∠2，

∴BE＝2CF，

而∠2+∠3＝90°，

∴∠CBE+∠3＝90°，

∴CF⊥BE；

（2）仍然有BE＝2CF，BE⊥CF．理由如下：

延长CF到G使FG＝CF，连接AG、DG，如图2，

∵AF＝DF，FG＝FC，

∴四边形ACDG为平行四边形，

∴AG＝CD，AG∥CD，

∴∠GAC+∠ACD＝180°，即∠GAC＝180°﹣∠ACD，

∴CD＝CE＝AG，

∵△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），

∴∠BCD＝α，

∴∠BCE＝∠DCE+∠BCD＝90°+α＝90°+90°﹣∠ACD＝180°﹣∠ACD，

∴∠GAC＝∠ECB，

在△AGC和△CEB中

，

∴△AGC≌△CEB，

∴CG＝BE，∠2＝∠1，

∴BE＝2CF，

而∠2+∠BCF＝90°，

∴∠BCF+∠1＝90°，

∴CF⊥BE．