八年级数学下学期期中测试卷（人教版，广东专用）02

八年级下学期期中考试数学试卷答案

（测试范围:第16章~第19章，满分:120分，时间：90分钟）

一、单选题（每题3分，共30分）

1．下列根式中是最简二次根式的是（ ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

试题分析：利用最简二次根式的定义分析得出答案.选项A：被开方数中含有分母，故不是最简二次根式；选项C：，故不是最简二次根式；选项D：，故不是最简二次根式.故选B.

考点：最简二次根式.

2．计算的结果为（      ）

A．±3 B．-3 C．3 D．9

【答案】C

【解析】

【分析】

根据=|a|进行计算即可．

【详解】

=|-3|=3，

故选：C.

【点睛】

此题考查了二次根式的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键.

3．下列长度的线段，首尾顺次相接不能拼成直角三角形的是（    ）

A．3，4，5 B． C．1，2，3 D．5，12，13

【答案】C

【分析】

根据勾股定理的逆定理逐项判断即可得．

【详解】

A、，能拼成直角三角形，此项不符题意

B、，能拼成直角三角形，此项不符题意

C、，不能拼成直角三角形，此项符合题意

D、，能拼成直角三角形，此项不符题意

故选：C．

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题关键．

4．已知平行四边形ABCD中，∠B=5∠A，则∠C=（　　）

A．30°    B．60°    C．120°    D．150°

【答案】A

【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∠A=∠C，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠B=5∠A，

∴∠A+5∠A=180°，

解得：∠A=30°，

∴∠C=30°，

故选：A．

5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件中不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．AB=AD B．OA=OB C．AC=BD D．DC⊥BC

【答案】A

【解析】

【分析】

根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．

【详解】

A、不能判定四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；

B、由AO＝BO可证明AC＝BD，能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；

C、AC＝BD能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；

D、DC⊥BC能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理．

6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝130°，连接BD，∠DBC等于（　　）

A．25° B．35° C．50° D．65°

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用菱形的性质得出∠C的度数，再利用等腰三角形的性质得出答案．

【详解】

∵在菱形ABCD中，∠A=130°，

∴∠C=130°，BC=DC，

∴∠DBC=∠CDB=（180°-130°）=25°．

故选A．

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质，正确应用菱形的性质是解题关键．

7．如图是边长为1的4×4的正方形网络，已知A，B，C三点均在正方形格点上，则点A到线段BC所在直线的距离是(　　)

A． B． C．2 D．2.5

【答案】C

【分析】

连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，根据勾股定理以及勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，再根据三角形的面积即可求得答案.

【详解】

连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，

由勾股定理可得：AB2=22+42=20，AC2=12+22=5，BC2=32+42=25，

AB2+AC2=BC2，

∴△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，

∴S△ABC=AB•AC==5，

又∵S△ABC=BC•AH，

∴AH=5，

∴AH=2，

即点A到线段BC所在直线的距离是2，

故选C.

  【点睛】

本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积等，用不同的方法表示三角形的面积是解题的关键.

8．已知一个三角形三边长为6，8，10，则这个三角形最大边的中线长是　　

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据勾股定理的逆定理可判定此三角形是直角三角形，则最大边上的中线即为斜边上的中线，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而得出结果．

【详解】

，

三边长分别为6、8、10的三角形是直角三角形，最大边是斜边为10．

最大边上的中线长为5．

故选C．

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

9．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若∠ABE＝25°，则∠EFC'的度数为（　　）

A．122.5° B．130° C．135° D．140°

【答案】A

【分析】

由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和∠BEF互补，欲求∠EFC′的度数，需先求出∠BEF的度数；根据折叠的性质知∠BEF＝∠DEF，而∠AEB的度数可在Rt△ABE中求得，由此可求出∠BEF的度数，即可得解．

【详解】

解：Rt△ABE中，∠ABE＝25°，

∴∠AEB＝ 65°；

由折叠的性质知：∠BEF＝∠DEF；

而∠BED＝180°﹣∠AEB＝115°，

∴∠BEF＝ 57.5°；

∵∠EBC′＝∠D＝∠BC′F＝∠C＝90°，

∴BE∥C′F，

∴∠EFC′＝180°﹣∠BEF＝122.5°．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查折叠的性质及平行线的性质，掌握折叠的性质及平行线的性质是解题的关键．

10．如图，正方形边长为4，对角线上有一动点，过作于，于，连结，则的最小值为（    ）

A． B．2 C．4 D．

【答案】A

【分析】

连接PB，由矩形性质可知EF=BP，由垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP最小，利用正方形性质求得AC的长，从而利用三角形面积求得BP的长即可即可．

【详解】

解：连接PB，∵，，正方形ABCD中，∠ABC=90°

∴四边形PFBE是矩形

∴EF=BP

当BP⊥AC时，BP最小，即EF最小

在正方形ABCD中，

∴，

解得：

∴EF的最小值为

故选：A．

【点睛】

本题主要考查的是矩形的判定与性质，正方形性质的应用，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．

二、填空题（每题4分，共28分）

11．当x___________ 时，式子在实数范围内无意义．

【答案】＜2  

【解析】

试题解析：由二次根式无意义的条件知：x-2<0，

解得：x<2.

12．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm、12cm，那么第三条斜边的长是 _________

【答案】13cm

【分析】

根据勾股定理计算即可．

【详解】

∵三角形是直角三角形，且两条直角边长分别为5cm、12cm

∴斜边长：cm

故答案为：13cm

【点睛】

本题考查勾股定理，掌握勾股定理求算是解题关键．

13．已知实数x，y满足＋(y＋2)2＝0，那么xy的值为________．

【答案】4

【分析】

首先利用二次根式以及偶次方的性质得出、的值，进而利用负指数幂的性质得出答案.

【详解】

，

，，

解得：，，

故.

故答案为：.

【点睛】

此题主要考查了二次根式以及偶次方的性质，正确得出，的值是解题关键.

14．在正方形ABCD中，∠CBF＝25°，BF交对角线AC于E点，则∠AED＝_____．

【答案】70°.

【解析】

【分析】

根据正方形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质进行求解.

【详解】

∵四边形ABCD是正方形，
∴直线AC是对称轴，∠ACB=45°，
∴∠AED=∠AEB，
∵∠AEB=∠EBC+∠ACB=25°+45°=70°，
∴∠AED=70°，
故答案是：70°.

【点睛】

本题考查正方形的性质、轴对称图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

15．如果等腰直角三角形的一条腰长为1，则它底边的长=________．

【答案】

【分析】

根据等腰直角三角形两腰相等及勾股定理求解即可.

【详解】

解：∵等腰直角三角形的一腰长为1，则另一腰长也为1

∴由勾股定理知，底边的长为

故答案为：.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的腰相等，勾股定理等知识点，熟练掌握基本的定理及图形的性质是解决此类题的关键.

16．已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E为BD上一点，OE＝1，连接AE，∠AOB＝60°，AB＝2，则AE的长为_________．

【答案】或

【分析】

由矩形的性质可得OA=OB，可证，△AOB是等边三角形，可得AO=AB=BO=2，由等边三角形的性质可证AE⊥BO，由勾股定理可求解．

【详解】

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB,又∠AOB＝60°

∴△AOB是等边三角形，

∴OA=OB=AB=2,

∵OE=1

∴点E是OB的中点或OD的中点，

如图

若点E是OB的中点，则AE⊥BO,

∴在Rt△AEO中，AE===,

若点E是OD的中点，则=2,
∴在Rt△中，===,

故AE的长是或.

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质，点E位置的确定是解决本题的关键，避免丢掉.

17．如图，矩形中，，，点从 开始沿折线以的速度运动，点从开始沿边以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当________时，四边形也为矩形．

【答案】

【分析】

四边形APQD为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，列出方程求解即可．

【详解】

根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20-t，解得t=4（s）．

故答案是：4．

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质．此题利用了矩形的对边相等的性质进行解题的．

三、解答题（每题6分，共18分）

18．先化简，再求值：，其中

【答案】，

【分析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可．

【详解】

解：原式

，

当时，

原式．

【点睛】

此题考查了分式的化简求值及二次根式的计算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．

19．如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．

【答案】4

【分析】

首先根据平行四边形的性质可得AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明∠2=∠3，根据等角对等边可得BC=CF=10，再用CF﹣CD即可算出DF的长．

【详解】

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC．

∵AB∥DC，

∴∠1=∠3，

又∵BF平分∠ABC，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴BC=CF=10，

∴DF=CF﹣DC=10﹣6=4．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

20．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片，使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求DG的长．

【答案】

【解析】

【分析】

设AG＝x，由勾股定理可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A′B的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22＝（4﹣x）2，解此方程即可求得AG的长，继而求得答案．

【详解】

解：设AG＝x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∵AB＝4，AD＝3，

∴BD＝＝5，

由折叠的性质可得：A′D＝AD＝3，A′G＝AG＝x，∠DA′G＝∠A＝90°，

∴∠BA′G＝90°，BG＝AB﹣AG＝4﹣x，A′B＝BD﹣A′D＝5﹣3＝2，

∵在Rt△A′BG中，A′G2+A′B2＝BG2，

∴x2+22＝（4﹣x）2，

解得：x＝，

∴AG＝，

∴在Rt△ADG中，DG＝

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理；解答的关键是利用勾股定理得到x2+22＝（4﹣x）2．

四、解答题（每题8分，共24分）

21．如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E．

（1）求证：AE=AB；

（2）若BC=8，CD=6，求DE的长度．

【答案】（1）见解析；（2）2

【分析】

（1）根据平行四边形的性质求出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1=∠2，根据角平分线的定义得出∠2=∠3，求出∠1=∠3即可；

（2）根据平行四边形的性质得出AD=BC=8，AB=CD=6，求出AE=AB=6即可．

【详解】

（1）证明：如图：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠1=∠2，

∵BE平分∠ABC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴AE=AB；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=8，AB=CD=6，

∴AE=AB=6，

∴DE=AB-AE=2．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．

22．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F两点，垂足是点O．

（1） 求证：△AOE≌△COF；

（2） 问：四边形AFCE是什么特殊的四边形？（直接写出结论，不需要证明）

【答案】（1）见解析  （2）四边形AFCE是菱形．

【分析】

（1）根据平行四边形ABCD的对边相互平行知，AD∥BC；然后由两直线平行，内错角相等，得∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO；最后根据全等三角形的判定定理ASA来证明△AOE≌△COF；
（2）由（1）可得AC与EF互相垂直平分，故可判断四边形AFCE是菱形.

【详解】

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC（
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC．
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，OA=OC．
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）由（1）得：△AOE≌△COF

∴OE=OF

又OA=OC

∴四边形AFCE是平行四边形

又∵EF⊥AC

∴四边形AFCE是菱形.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质．掌握平行四边形的性质与判定，菱形的判定定理是关键.

23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10；

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形.

(2)求四边形ABCD的面积.

【答案】（1）证明见解析（2）24.

【分析】

(1)根据勾股定理，可得EC的长，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD的形状;

(2)根据平行四边形的面积公式，即可求解．

【详解】

(1)在Rt△BCE中，由勾股定理得：

CE===5．

∵BE=DE=3，AE=CE=5，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）平行四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24.

所以平行四边形ABCD的面积为24.

五、解答题（每题10分，共20分）

24．如图，在平面直角坐标系中，点，，且，满足，点为上一个动点（不与，）重合），连接.

                    图1                                                         图2

（1）直接写出 ___________，___________；

（2）如图1，过点作的垂线交过点平行于轴的直线于点，若点，

求点的坐标；

（3）如图2，以为斜边在右侧作等腰，.连接，当点从向运动过程中，的面积是否发生变化，请判断并说明理由.

【答案】（1），；（2）；（3）面积不变为4，理由见解析.

【分析】

（1）根据完全平方公式即可化简，再根据非负性求解；

（2）过点作交轴于点，证明△APM为等腰直角三角形，再得到，得到，过作轴于点，根据得到

，故可得到OM，即可求出AC的长，即可求解；

（3）延长到，使， 得到为等腰三角形，再证明得到，根据直角三角形斜边上的中线性质得到AD=PD=DE,延长至点，使，得到四边形APFE为矩形，得到点在运动过程中，点在垂直平分线上运动，可得△BOD的BO边上的高为，再根据三角形的面积即可求解.

【详解】

（1）∵

∴a+b=0，a-4=0，

∴a=4,b=-4

故答案为：，；

（2）过点作交轴于点，

∵A（0,4）,B（-4,0）

∴∠BAO=45°，

∴△APM为等腰直角三角形，

∵∠OPC=∠MPA=90°

∴∠OPC-∠MPC=∠MPA-∠MPC

∴∠OPM=∠CPA

∴AP=MP，∠PAM=∠PMA=45°

又∠PAC=∠PMO=135°

∴，

，

过作轴于点，又，

，

，

；

（3）延长到，使，连接，，

∵△POD为等腰直角三角形，

∴PD=OD=DE，OD⊥PE

则为等腰三角形，

∴PO=EO

∴AO=BO，∠POE=∠AOB=90°，

∵∠POE-∠AOP=∠AOB-∠AOP

∴∠POB=∠EOA

∴（SAS）

，

∴AD=PD=DE,

延长至点，使，

∴AD=DF=PD=DE,

∴四边形APFE为矩形，

，即，

点在运动过程中，点在垂直平分线上运动，

∴△BOD的BO边上的高为，

.

【点睛】

此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及矩形的判定与性质.

25．已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF连接EF

（1）如图1，求证：∠BED=∠AFD；

（2）求证：BE2+CF2=EF2；

（3）如图2，当∠ABC=45°，若BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【分析】

（1）利用四边形内角和得出∠AED+∠AFD=180°，再根据补角的性质即可得；

（2）延长ED至点P，使ED=DP，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到直角三角形，由勾股定理及等量代换可得；

（3）由（2）结论求EF长，再通过全等证明DE=DF,由面积公式求解.

【详解】

解：（1）∵DE⊥DF,

∴∠EDF=90°,

∵∠BAC=90°,

∴∠AED+∠AFD=180°,

∵∠AED+∠BED=180°,

∴∠BED=∠AFD；

（2）如图，

延长ED至点P，使ED=DP，连接CP,EP,

∵FD⊥EP,

∴FD为EP的垂直平分线，

∴EF=FP,

∵ED=DP, ∠EDB=∠CDP，BD=CD，

∴△EDB≌PDC,

∴EB=CP, ∠B=∠DCP,

∵∠BAC=90°,

∴∠B+∠ACB=90°,

∴∠DCP+∠ACB=90°,

即∠ACP=90°,

由勾股定理得，CP2+CF2=FP2，

∴BE2+CF2=EF2；

（3）如图，∵BE2+CF2=EF2

∴52+122=EF2，

∴EF=13，

∵△ABC是等腰直角三角形，BD=CD,

∴AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∠BAD=∠B=∠C=45°,

∵∠EDF=90°

∴∠ADE=∠CDF,

∴△ADE≌CDF,

∴DE =DF= ,

∴S△DEF= .

【点睛】

本题为三角形的综合应用，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等，构造全等三角形、掌握“倍长中线”型全等三角形的模型是解答此题的关键．