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十二年高考真题分类汇编(2010-2021) 数学 文科数学 专题14 概率与统计word版含解析
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这是一份十二年高考真题分类汇编(2010-2021) 数学 文科数学 专题14 概率与统计word版含解析，共50页。试卷主要包含了故选D，4,不合题意;，故选C等内容，欢迎下载使用。
十二年高考真题分类汇编（2010—2021）文科数学
专题14 概率与统计
一．选择题：
1.(2021·全国1·文T7)在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：本题考查几何概型的计算.利用几何概型的计算公式，可得.
2．(2020·全国1·文T4)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为
A． B．
C． D．
答案：A
解析：根据题意作出图形，如图所示，在中任取3点，有10种可能情况，分别为，其中取到的3点共线有和2种可能情况，所以在中任取3点，则取到的3点共线的概率为，故选A.
3．(2020·全国1·文T5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是
A． B．
C． D．
答案：D
解析：散点图中点的分布形状与对数函数的图象类似，故选D.
4.(2019·全国2·文T4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A.23 B.35 C.25 D.15
【答案】B
【解析】设测量过该指标的3只兔子为a,b,c,剩余2只为A,B,则从这5只兔子中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{c,A,B},{b,A,B}共10种,其中恰有2只测量过该指标的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共6种,所以恰有2
只测量过该指标的概率为610=35,故选B.
5.(2019·全国3·文T3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( )
【答案】D
【解析】两位男同学和两位女同学排成一列,共有24种排法.两位女同学相邻的排法有12种,故两位女同学相邻的概率是12.故选D.
6.(2019·全国1·文T6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( )
A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生
【答案】C
【解析】由已知得将1 000名新生分为100个组,每组10名学生,用系统抽样46号学生被抽到,则第一组应为6号学生,
所以每组抽取的学生号构成等差数列{an},所以an=10n-4,n∈N*,
若10n-4=8,则n=1.2,不合题意;
若10n-4=200,则n=20.4,不合题意;
若10n-4=616,则n=62,符合题意;
若10n-4=815,则n=81.9,不合题意.
故选C.
7.(2018·全国2·文T5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
【答案】D
【解析】设2名男同学为男1,男2,3名女同学为女1,女2,女3,则任选两人共有(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男1,男2),(男2,女1),(男2,女2)(男2,女3)(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)共10种,其中选中两人都为女同学共(女1,女2),(女1,女3)、(女2,女3)3种,故P=310=0.3.
8.(2018·江苏·T3)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .
【答案】90
【解析】由题中茎叶图可知,5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91,故平均数为89+89+90+91+915=90.
9.(2018·全国1·理T3文T3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是( )
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A
【解析】设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D正确,故选A.
10.(2018·全国3·文T5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.7
【答案】B
【解析】设不用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4.
11.(2017·全国3·理T3文T3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( )
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
【答案】A
【解析】由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.
12.(2017·山东·文T8)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )
A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7
【答案】A
【解析】甲组数据为56,62,65,70+x,74;乙组数据为59,61,67,60+y,78.若两组数据的中位数相等,则65=60+y,所以y=5.
又两组数据的平均值相等,所以56+62+65+70+x+74=59+61+67+65+78,解得x=3.
13.(2017·全国1·理T2文T4)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )
A.14 B.π8
C.12 D.π4
【答案】B
【解析】不妨设正方形边长为2,则圆半径为1,正方形的面积为2×2=4,圆的面积为π×12=π.由图形的对称性,可知图中黑色部分的面积为圆面积的一半,即12πr2=12π,所以此点取自黑色部分的概率为π24=π8.
14.(2017·全国2·文T11)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A.110 B.15 C.310 D.25
【答案】D
【解析】从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张的情况如图所示.
总共有25种情况,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的情况有10种,故所求的概率为1025=25.
15.(2017·天津·文T3)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A.45 B.35 C.25 D.15
【答案】C
【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,共有(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫),(黄蓝),(黄绿),(黄紫),(蓝绿),(蓝紫),(绿紫)10种不同情况,记“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”为事件A,则事件A包含(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫)4个基本事件,则P(A)=410=25.故选C.
16.(2016·全国1·文T3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.13 B.12 C.23 D.56
【答案】C
【解析】总的基本事件是红黄,白紫;红白,黄紫;红紫,黄白,共3种.满足条件的基本事件是红黄,白紫;红白,黄紫,共2种.故所求事件的概率为P=23.
17.(2016·全国3·文T5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.815 B.18 C.115 D.130
【答案】C
【解析】密码的前两位共有15种可能,其中只有1种是正确的密码,因此所求概率为115.故选C.
18.(2016·北京·文T6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )
A.15 B.25 C.825 D.925
【答案】B
【解析】从甲、乙等5名学生中选2人有10种方法,其中2人中包含甲的有4种方法,故所求的概率为410=25.
19.(2016·山东·理T3文T3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56 B.60 C.120 D.140
【答案】D
【解析】自习时间不少于22.5小时为后三组,其频率和为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故人数为200×0.7=140,选D.
20.(2016·全国2·文T8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.710 B.58
C.38 D.310
【答案】B
【解析】因为红灯持续时间为40秒,
所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40-1540=58,故选B.
21.(2015·陕西·理T2文T2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )
A.93 B.123 C.137 D.167
【答案】C
【解析】由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).故选C.
22.(2015·山东·文T7)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤log12x+12≤1”发生的概率为( )
A.34 B.23 C.13 D.14
【答案】A
【解析】由-1≤log12x+12≤1,得log122≤log12x+12≤log1212,所以12≤x+12≤2,所以0≤x≤32.由几何概型可知,事件发生的概率为32-02-0=34.
23.(2015·福建·文T8)如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=x+1,x≥0,-12x+1,x<0 的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于( )
A.16 B.14 C.38 D.12
【答案】B
【解析】如图,设f(x)与y轴的交点为E,则E(0,1).
∵B(1,0),
∴yC=1+1=2.∴C(1,2).
又四边形ABCD是矩形,
∴D(-2,2).
∴S△DCE=12×[1-(-2)]×1=32.又S矩形=3×2=6,
∴由几何概型概率计算公式可得所求概率P=326=14.故选B.
24.(2015·湖北·文T4)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是( )
A.x与y负相关,x与z负相关
B.x与y正相关,x与z正相关
C.x与y正相关,x与z负相关
D.x与y负相关,x与z正相关
【答案】A
【解析】由y=-0.1x+1知y与x负相关,又因为y与z正相关,故z与x负相关.
25.(2015·湖北·文T8)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤12”的概率,p2为事件“xy≤12”的概率,则( )
A.p1
【解析】设点P的坐标为(x,y),由题意x,y∈[0,1],
所以点P在正方形OABC内,S正方形OABC=1×1=1.
画出直线x+y=12与正方形交于D,E两点,
画出曲线xy=12与正方形交于M,N两点.
而Rt△OAC的面积S=12.
由图可知:S△OED
A.310 B.15 C.110 D.120
【答案】C
【解析】从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为110.
27.(2015·广东·文T7)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )
A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1
【答案】B
【解析】设正品分别为A1,A2,A3,次品分别为B1,B2,从中任取2件产品,基本事件共有10种,分别为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},而其中恰有一件次品的基本事件有6种,由古典概型概率公式,得P=610=0.6.
28.(2015·湖南·文T2)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】依题意,应将35名运动员的成绩由好到差排序后分为7组,每组5人.然后从每组中抽取1人,其中成绩在区间[139,151]上的运动员恰好是第3,4,5,6组,因此,成绩在该区间上的运动员人数是4.
29.(2015·北京·文T4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )
类 别
人 数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
A.90 B.100 C.180 D.300
【答案】C
【解析】由已知分层抽样中青年教师的抽样比为3201600=15,
由分层抽样的性质可得老年教师的抽样比也等于15,
所以样本中老年教师的人数为900×15=180.故选C.
30.(2014·陕西·文T9)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为x和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A.x,s2+1002 B.x+100,s2+1002
C.x,s2 D.x+100,s2
【答案】D
【解析】由题意,得x=x1+x2+…+x1010,
yi=xi+100,所以y1,y2,…,y10的均值为x+100,方差不变.故选D.
31.(2014·重庆·文T3)某中学有高中生3 500人,初中生1 500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( )
A.100 B.150 C.200 D.250
【答案】A
【解析】由题意知,抽样比为703500=150,
所以n3500+1500=150,即n=100.故选A.
32.(2014·湖南·文T3)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则( )
A.p1=p2
【解析】由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p1=p2=p3.
33.(2014·广东·文T6)为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )
A.50 B.40 C.25 D.20
【答案】C
【解析】由题意知分段间隔为100040=25,故选C.
34.(2014·陕西·文T6)从正方形4个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )
A.15 B.25 C.35 D.45
【答案】B
【解析】设正方形的四个顶点为A,B,C,D,中心为O,从这5个点中任取2个点,一共有10种不同的取法:AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO,其中这2个点的距离小于该正方形边长的取法共有4种:AO,BO,CO,DO.因此由古典概型概率计算公式,可得所求概率P=410=25,故选B.
35.(2014·湖南·文T5)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为( )
A.45 B.35 C.25 D.15
【答案】B
【解析】由几何概型的概率公式可得P(X≤1)=35,故选B.
36.(2014·辽宁·文T6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A.π2 B.π4 C.π6 D.π8
【答案】B
【解析】所求概率为S半圆S长方形=12π×122×1=π4,故选B.
37.(2013·湖南·文T9)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为12,则ADAB=( )
A.12 B.14 C.32 D.74
【答案】D
【解析】如图,设AB=2x,AD=2y. 由于AB为最大边的概率是12,则P在EF上运动满足条件,且DE=CF=12x,即AB=EB或AB=FA.
∴2x=(2y)2+32x2,即4x2=4y2+94x2,
即74x2=4y2,∴y2x2=716.∴yx=74.
又ADAB=2y2x=yx=74,故选D.
38.(2013·全国1·文T3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.12 B.13 C.14 D.16
【答案】B
【解析】由题意知总事件数为6,分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为13
39.(2013·江西·理T4文T5)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B.07 C.02 D.01
【答案】D
【解析】选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01,故选D.
40.(2012·辽宁·文T11)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )
A.16 B.13 C.23 D.45
【答案】C
【解析】此概型为几何概型,由于在长为12 cm的线段AB上任取一点C,因此总的几何度量为12,满足矩形面积大于20 cm2的点在C1与C2之间的部分,如图所示.
因此所求概率为812,即23,故选C.
41.(2012·安徽·文T10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 ( )
A.15 B.25 C.35 D.45
【答案】B
【解析】记1个红球为A,2个白球为B1,B2,3个黑球为C1,C2,C3,则从中任取2个球,基本事件空间Ω={(A,B1),(A,B2),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(B1,B2),(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),(C1,C2),(C1,C3),(C2,C3)},共计15种,而两球颜色为一白一黑的有如下6种:(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),所以所求概率615=25.
42.(2011·全国·理T4文T6)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A.13 B.12 C.23 D.34
【答案】A
【解析】记三个小组分别为A,B,C,则甲、乙两位同学参加的小组情况有
(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C)共9种.
其中,甲、乙参加同一个兴趣小组有(A,A),(B,B),(C,C)3种.故所求概率P=39=13.
43.(2011·浙江·文T8)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A.110 B.310 C.35 D.910
【答案】D
【解析】由题意可知从5个球中任取3个球的所有情况有10种,所取的3个球至少有1个白球的情况有(10-1)种,根据古典概型公式得所求概率P=10-110=910.
二．填空题：
1.(2019·全国2·理T13文T14)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_____________.
【答案】0.98
【解析】由题意,得经停该高铁站的列车的正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2,其中车次数为10+20+10=40,
所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
39.240=0.98.
2.(2018·全国3·文T14)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 .
【答案】分层抽样
【解析】因大量客户且具有不同的年龄段,分层明显,故根据分层抽样的定义可知采用分层抽样最为合适.
3.(2017·江苏·T3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件.
【答案】18
【解析】抽取比例为601000=350,故应从丙种型号的产品中抽取300×350=18(件).
4.(2017·江苏,7)记函数f(x)=6+x-x2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是____________.
【答案】59
【解析】由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=3-(-2)5-(-4)=59.
5.(2015·福建·文T13)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为 .
【答案】25
【解析】设男生抽x人.女生有400人,男生有500人,
则x=500×45900=25.
6.(2015·湖北·文T14)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a= ;
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 .
【答案】36 000
【解析】(1)由频率分布直方图,得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)×0.1=1,解得a=3;
(2)消费金额在[0.5,0.9]的购物者的人数为10 000×(1-1.5×0.1-2.5×0.1)=10 000×0.6=6 000.
7.(2014·江苏·文T6)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株树木的底部周长小于100 cm.
【答案】24
【解析】底部周长小于100 cm的株数为(0.015+0.025)×10×60=24.
8.(2014·全国1·文T13)将2本不同的数学书和1本语文T书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为____________.
【答案】23
【解析】记两本数学书分别为a1,a2,语文T书为b,则3本书一共有6种不同的排法:a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,其中2本数学书相邻的排法有4种:a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,故所求概率为46=23.
9.(2014·全国2·文T13)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为__________.
【答案】13
【解析】基本事件有(红,白),(红,蓝),(红,红),(白,蓝),(白,白),(白,红),(蓝,白),(蓝,红),(蓝,蓝)共9种,而选择同一种颜色有3种情况,即(红,红),(白,白),(蓝,蓝),故P=39=13.
10.(2014·江苏·T4)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是___.
【答案】13
【解析】从1,2,3,6这4个数中随机地取2个数,不同的取法为{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}共6个基本事件,其中乘积为6的有{1,6},{2,3}两个基本事件,因此所求事件的概率为P=26=13.
11.(2014·浙江·文T14)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是_______.
【答案】13
【解析】甲、乙两人各抽取1张,一共有3×2=6种等可能的结果,两人都中奖的结果有2×1=2种,由古典概型计算公式可得所求概率为P=26=13.
12.(2014·福建·文T13)如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为____________.
【答案】0.18
【解析】由几何概型可知1801000=S阴影S正方形=S阴影1,
所以S阴影=0.18.故答案为0.18.
13.(2014·重庆·文T15)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________.(用数字作答)
【答案】932
【解析】用y轴表示小张到校时刻,用x轴表示小王到校时刻,建立如图直角坐标系.设小张到校的时刻为y,小王到校的时刻为x,则x-y≥5.
由题意,知0≤x≤20,0≤y≤20,可得可行域如图所示,其中,阴影部分表示小张比小王至少早5分钟到校.
由x-y=5,x=20得A(20,15).
易知B(20,20),C(5,0),D(20,0).
由几何概型概率公式,得所求概率P=S△ACDS正方形ODBE=12×15×1520×20=932.
14.(2013·全国2·文T13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是 .
【答案】0.2
【解析】基本事件空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}共有10个,记A=“其和为5”={(1,4),(2,3)}有2个,∴P(A)=210=0.2.
15.(2012·福建·文T14)一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是 .
【答案】12
【解析】∵2898=27,即每7人抽取2人,又知女运动员人数为98-56=42,∴应抽取女运动员人数为42×27=12.
考点111频率分布直方图与茎叶图
16.(2010·全国·文T14)设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N),再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为____________.
【答案】N1N
【解析】由随机数的几何意义可知,点(xi,yi)落在曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的概率为P=N1N.由直线x=0,x=1,y=0,y=1围成的小方形的面积S1=1.由几何概型可得P=SS1.
所以SS1=N1N,即S1=N1N,故S=N1N.
三．大题：
1.(2021·全国1·文T17) （12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
答案：（1）由题中的数据，可得，
，
，
.
（2），
，
所以，
则新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
2.(2020·全国1·文T17)（12分）
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为四个等级.加工业务约定：对于级品、级品、级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
频数
28
17
34
21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
答案：(1)由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为级品的概率的估计值为；
乙分厂加工出来的一件产品为级品的概率的估计值为.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
65
25
-5
-75
频数
40
20
20
20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
70
30
0
-70
频数
28
17
34
21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
3.(2019·天津·文T15)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.
【解析】(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.
②由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.
所以,事件M发生的概率P(M)=1115.
4.(2019·全国3·理T17文T17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:
记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
【解析】(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,
故a=0.35.
b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.
5.(2019·全国2·文T19)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组
[-0.20,0)
[0,0.20)
[0.20,0.40)
[0.40,0.60)
[0.60,0.80)
企业数
2
24
53
14
7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附:74≈8.602.
【解析】(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增
长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.
产值负增长的企业频率为2100=0.02.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.
(2)y=1100(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,
s2=1100∑i=15ni(yi-y)2
=1100[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6,
s=0.0296=0.02×74≈0.17.
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.
6.(2018·全国2·理T18文T18)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量
t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y^=-30.4+13.5t;根据2010年至
2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型
②:y=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
【解析】(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y^=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y^=99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010
年至2016年的数据建立的线性模型y^=99+17.5t可以较好地描述
2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)
7.(2018·全国1·文T19)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
频数
1
3
2
4
日用水量
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.7)
频数
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
频数
1
5
13
日用水量
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
频数
10
16
5
(1)在下图作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
【解析】(1)
(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x1=150(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x2=150(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.
估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).
8.(2018·北京·文T17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化,假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)
【解析】(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000.
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50,
故所求概率为502000=0.025.
(2)设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.
没有获得好评的电影共有
140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1 628(部).
由古典概型概率公式,得P(B)=16282000=0.814.
(3)第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大.
9.(2018·天津·文T15)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
【解析】(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.
②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.
所以,事件M发生的概率P(M)=521.
10.(2018·全国3·理T18文T18)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【解析】(1)第二种生产方式的效率更高.
理由如下:
①由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
②由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
③由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
④由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致
呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.
以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
(2)由茎叶图知m=79+812=80.
列联表如下:
超过m
不超过m
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
(3)由于K2=40(15×15-5×5)220×20×20×20=10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
11.(2017·全国2·文T19)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;
箱产量<50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附:,
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
【解析】(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62.
因此,事件A的概率估计值为0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量<50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
K2=200×(62×66-34×38)2100×100×96×104≈15.705.
由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.
12.(2017·山东·文T16)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
【解析】(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有
{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,则所求事件的概率为P=315=15.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有
{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2个,则所求事件的概率为P=29.
13.(2017·北京·文T17)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
【解析】(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100=20.
(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为
60×12=30.
所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.
所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.
14.(2017·全国1·文T19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得x=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi-x)2=116(∑i=116xi2-16x2)≈0.212,∑i=116(i-8.5)2≈18.439,∑i=116(xi-x)(i-8.5)=-2.78,
其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?
(ⅱ)在(x-3s,x+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)
附:样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数
r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2.0.008≈0.09.
【解析】(1)由样本数据得(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为
r=∑i=116(xi-x)(i-8.5)∑i=116(xi-x)2∑i=116(i-8.5)2=-2.780.212×16×18.439≈-0.18.
由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.
(2)(ⅰ)由于x=9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.
(ⅱ)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115(16×9.97-9.22)=10.02,
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为
10.02.∑i=116xi2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,
剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09.
15.(2017·全国3·文T18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
【解析】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为2+16+3690=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;
若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100.
所以,Y的所有可能值为900,300,-100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低
于20的频率为36+25+7+490=0.8,
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
16.(2016·全国1·文T19)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.
(1)若n=19,求y与x的函数解析式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
【解析】(1)当x≤19时,y=3 800;
当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.
所以y与x的函数解析式为
y=3800,x≤19,500x-5700,x>19,(x∈N).
(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000.
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500,因此
这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
1100(4 000×90+4 500×10)=4 050.
比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
17.(2016·全国2·文T18)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
【解析】(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为60+50200=0.55,
故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为
故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.
因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
18.(2016·北京·文T17)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:
(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.
【解析】(1)由用水量的频率分布直方图知,
该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.
依题意,w至少定为3.
(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
[2,4]
(4,6]
(6,8]
(8,10]
(10,12]
(12,17]
(17,22]
(22,27]
频率
0.1
0.15
0.2
0.25
0.15
0.05
0.05
0.05
根据题意,该市居民该月的人均水费估计为
4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).
19.(2016·山东·文T16)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.
小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
【解析】用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.
因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16.
(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).
所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.
(2)记“xy≥8”为事件B,“3
即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).
所以P(B)=616=38.
事件C包含的基本事件数共5个,
即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1). 所以P(C)=516.因为38>516,
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
20.(2016·全国3·理T18文T18)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
注:年份代码1—7分别对应年份2008—2014.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:∑i=17yi=9.32,∑i=17tiyi=40.17,∑i=17(yi-y)2=0.55,7≈2.646.
参考公式:相关系数r=∑i=1n(ti-t)(yi-y)∑i=1n(ti-t)2∑i=1n(yi-y)2,
回归方程y^=a^+b^t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为b^=∑i=1n(ti-t)(yi-y)∑i=1n(ti-t)2,a^=y−b^t.
【解析】(1)由折线图中数据和附注中参考数据得
t=4,∑i=17(ti-t)2=28,∑i=17(yi-y)2=0.55,
∑i=17(ti-t)(yi-y)=∑i=17tiyi-t∑i=17yi=40.17-4×9.32=2.89.
r≈2.890.55×2×2.646≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
(2)由y=9.327≈1.331及(1)得
b^=∑i=17(ti-t)(yi-y)∑i=17(ti-t)2=2.8928≈0.103,
a^=y−b^t≈1.331-0.103×4≈0.92.
所以,y关于t的回归方程为y^=0.92+0.10t.
将2016年对应的t=9代入回归方程得y^=0.92+0.10×9=1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.
21.(2015·全国1·理T19文T19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
x
y
w
∑i=18(xi-x)2
∑i=18(wi-w)2
∑i=18(xi-x)(yi-y)
∑i=18(wi-w)(yi-y)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi=xi,w=18∑i=18wi.(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:
①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率
和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1n(ui-u)(vi-v)∑i=1n(ui-u)2,α^=v−β^u.
【解析】(1)由散点图可以判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.
(2)令w=x,先建立y关于w的线性回归方程.
由于d^=∑i=18(wi-w)(yi-y)∑i=18(wi-w)2=108.81.6=68,
c^=y−d^w=563-68×6.8=100.6,
所以y关于w的线性回归方程为y^=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为y^=100.6+68x.
(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值
y^=100.6+6849=576.6,
年利润z的预报值z^=576.6×0.2-49=66.32.
②根据(2)的结果知,年利润z的预报值
z^=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12.
所以当x=13.62=6.8,即x=46.24时,z^取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.
22.(2015·重庆·文T17)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程y^=b^t+a^;
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.
附:回归方程y^=b^t+a^中,b^=∑i=1ntiyi-nty∑i=1nti2-nt2,a^=y−b^t.
【解析】(1)列表计算如下:
i
ti
yi
ti2
tiyi
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
∑
15
36
55
120
这里n=5,t=1n∑i=1nti=155=3,y=1n∑i=1nyi=365=7.2.
又ltt=∑i=1nti2-nt2=55-5×32=10,lty=∑i=1ntiyi-nty=120-5×3×7.2=12,从而b^=ltyltt=1210=1.2,a^=y−b^t=7.2-1.2×3=3.6,故所求回归方程为y^=1.2t+3.6.
(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
y^=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).
23.(2015·天津·文T15)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;
(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
①用所给编号列出所有可能的结果;
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.
【解析】(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.
因此,事件A发生的概率P(A)=915=35.
24.(2015·山东·文T16)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.
【解析】(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人.
所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P=1545=13.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有
{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},
{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},
{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},
共15个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2个.
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=215.
25.(2015·四川·文T17)一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车,乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就坐,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.
(1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就坐,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法.请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);
(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,求乘客P5坐到5号座位的概率.
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
【解析】(1)余下两种坐法如下表所示:
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,
则所有可能的坐法可用下表表示为
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
2
1
3
4
5
2
3
1
4
5
2
3
4
1
5
2
3
4
5
1
2
3
5
4
1
2
4
3
1
5
2
4
3
5
1
2
5
3
4
1
于是,所有可能的坐法共8种.
设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4.
所以P(A)=48=12.
答:乘客P5坐到5号座位的概率是12.
26.(2015·全国2·文T18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度
评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.
【解析】(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”.
由直方图得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,P(CB)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
27.(2015·广东·文T17)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.
、
(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
【解析】(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,得x=0.007 5,所以直方图中x的值是0.007 5.
(2)月平均用电量的众数是220+2402=230.
因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,
所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,由(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,得a=224,所以月平均用电量的中位数是224.
(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100=25(户),
月平均用电量在[240,260)的用户有0.007 5×20×100=15(户),
月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),
月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100=5(户),抽取
比例为1125+15+10+5=15,
所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15=5(户).
28.(2014·全国1·文T18)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:
质量指标
值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
26
38
22
8
(1)作出这些数据的频率分布直方图;
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?
【解析】(1)
(2)质量指标值的样本平均数为
x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.
s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.
由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.
29.(2014·全国2·文T19)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下:
(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数;
(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;
(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
【解析】(1)由所给茎叶图知,50位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是75,75,故样本中位数为75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.
50位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是66,68,故样本中位数为66+682=67,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.
(2)由所给茎叶图知,50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率
分别为550=0.1,850=0.16,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90
的概率的估计值分别为0.1,0.16.
(3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低,评价差异较大.(注:利用其他统计量进行分析,结论合理的也可).
30.(2014·北京·文T18)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18)
2
合计
100
(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;
(2)求频率分布直方图中的a,b的值;
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)
【解析】(1)根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名,所以样本中的学生课外阅读时间少于12小
时的频率是1-10100=0.9.
从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人,频率为0.17,所以a=频率组距=0.172=0.085.
课外阅读时间落在组[8,10)的有25人,频率为0.25,所以b=频率组距=0.252=0.125.
(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.
31.(2014·湖南·文T17)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:
(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b)
其中a,a分别表示甲组研发成功和失败;b,b分别表示乙组研发成功和失败.
(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.
【解析】(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数
为x甲=1015=23;
方差为s甲2=1151-232×10+0-232×5=29.
乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数为
x乙=915=35;
方差为s乙2=1151-352×9+0-352×6=625.
因为x甲>x乙,s甲2
在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是
(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),共7个.故事件E发生的频率为715.
将频率视为概率,即得所求概率为P(E)=715.
32.(2014·四川·文T16)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
【解析】(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种. 所以P(A)=327=19.
因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为19.
(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B, 则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.
所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.
因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为89.
则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.
所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.
因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为89.
33.(2014·天津·文T15)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).
(1)用表中字母列举出所有可能的结果;
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.
【解析】(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.
因此,事件M发生的概率P(M)=615=25.
34.(2013·全国1·文T18)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
【解析】(1)设A药观测数据的平均数为x,B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得
x=120(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,
y=120(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6.
由以上计算结果可得x>y,因此可看出A药的疗效更好.
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图:
从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上,而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好.
35.(2013·全国2·文T19)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(1)将T表示为X的函数;
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.
【解析】(1)(分段函数)当X∈[100,130)时,
T=500X-300(130-X)=800X-39 000.
当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.
所以T=800X-39000,100≤X<130,65000,130≤X≤150.
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
36.(2013·安徽·文T17)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如下:
(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1,x2,估计x1−x2的值.
【解析】(1)设甲校高三年级学生总人数为n.
由题意知,30n=0.05,即n=600.
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5.据此估计甲校
高三年级此次联考数学成绩及格率为1-530=56.
(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x'1,x'2.根据样本茎叶图可知,
30(x'1-x'2)=30x'1-30x'2=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15.
因此x'1-x'2=0.5.故x1−x2的估计值为0.5分.
37.(2012·全国·文T18)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
②若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.
【解析】(1)当日需求量n≥17时,利润y=85.
当日需求量n<17时,利润y=10n-85.
所以y关于n的函数解析式为
y=10n-85,n<17,85,n≥17(n∈N).
(2)①这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的
日利润的平均数为1100(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.
②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.
38.(2011·全国·文T19)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
(1)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标
值t的关系式为y=-2,t<94,2,94≤t<102,4,t≥102.
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润.
【解析】(1)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质品的频率为
22+8100=0.3,
所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为32+10100=0.42,
所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知,用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94,由试验结果知,质量指标值t≥94的频率为0.96.所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B配方生产的产品平均一件的利润为1100×[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68(元).
十二年高考真题分类汇编（2010—2021）文科数学
专题14 概率与统计
一．选择题：
1.(2021·全国1·文T7)在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：本题考查几何概型的计算.利用几何概型的计算公式，可得.
2．(2020·全国1·文T4)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为
A． B．
C． D．
答案：A
解析：根据题意作出图形，如图所示，在中任取3点，有10种可能情况，分别为，其中取到的3点共线有和2种可能情况，所以在中任取3点，则取到的3点共线的概率为，故选A.
3．(2020·全国1·文T5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是
A． B．
C． D．
答案：D
解析：散点图中点的分布形状与对数函数的图象类似，故选D.
4.(2019·全国2·文T4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A.23 B.35 C.25 D.15
【答案】B
【解析】设测量过该指标的3只兔子为a,b,c,剩余2只为A,B,则从这5只兔子中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{c,A,B},{b,A,B}共10种,其中恰有2只测量过该指标的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共6种,所以恰有2
只测量过该指标的概率为610=35,故选B.
5.(2019·全国3·文T3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( )
【答案】D
【解析】两位男同学和两位女同学排成一列,共有24种排法.两位女同学相邻的排法有12种,故两位女同学相邻的概率是12.故选D.
6.(2019·全国1·文T6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( )
A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生
【答案】C
【解析】由已知得将1 000名新生分为100个组,每组10名学生,用系统抽样46号学生被抽到,则第一组应为6号学生,
所以每组抽取的学生号构成等差数列{an},所以an=10n-4,n∈N*,
若10n-4=8,则n=1.2,不合题意;
若10n-4=200,则n=20.4,不合题意;
若10n-4=616,则n=62,符合题意;
若10n-4=815,则n=81.9,不合题意.
故选C.
7.(2018·全国2·文T5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
【答案】D
【解析】设2名男同学为男1,男2,3名女同学为女1,女2,女3,则任选两人共有(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男1,男2),(男2,女1),(男2,女2)(男2,女3)(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)共10种,其中选中两人都为女同学共(女1,女2),(女1,女3)、(女2,女3)3种,故P=310=0.3.
8.(2018·江苏·T3)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .
【答案】90
【解析】由题中茎叶图可知,5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91,故平均数为89+89+90+91+915=90.
9.(2018·全国1·理T3文T3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是( )
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A
【解析】设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D正确,故选A.
10.(2018·全国3·文T5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.7
【答案】B
【解析】设不用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4.
11.(2017·全国3·理T3文T3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( )
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
【答案】A
【解析】由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.
12.(2017·山东·文T8)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )
A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7
【答案】A
【解析】甲组数据为56,62,65,70+x,74;乙组数据为59,61,67,60+y,78.若两组数据的中位数相等,则65=60+y,所以y=5.
又两组数据的平均值相等,所以56+62+65+70+x+74=59+61+67+65+78,解得x=3.
13.(2017·全国1·理T2文T4)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )
A.14 B.π8
C.12 D.π4
【答案】B
【解析】不妨设正方形边长为2,则圆半径为1,正方形的面积为2×2=4,圆的面积为π×12=π.由图形的对称性,可知图中黑色部分的面积为圆面积的一半,即12πr2=12π,所以此点取自黑色部分的概率为π24=π8.
14.(2017·全国2·文T11)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A.110 B.15 C.310 D.25
【答案】D
【解析】从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张的情况如图所示.
总共有25种情况,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的情况有10种,故所求的概率为1025=25.
15.(2017·天津·文T3)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A.45 B.35 C.25 D.15
【答案】C
【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,共有(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫),(黄蓝),(黄绿),(黄紫),(蓝绿),(蓝紫),(绿紫)10种不同情况,记“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”为事件A,则事件A包含(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫)4个基本事件,则P(A)=410=25.故选C.
16.(2016·全国1·文T3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.13 B.12 C.23 D.56
【答案】C
【解析】总的基本事件是红黄,白紫;红白,黄紫;红紫,黄白,共3种.满足条件的基本事件是红黄,白紫;红白,黄紫,共2种.故所求事件的概率为P=23.
17.(2016·全国3·文T5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.815 B.18 C.115 D.130
【答案】C
【解析】密码的前两位共有15种可能,其中只有1种是正确的密码,因此所求概率为115.故选C.
18.(2016·北京·文T6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )
A.15 B.25 C.825 D.925
【答案】B
【解析】从甲、乙等5名学生中选2人有10种方法,其中2人中包含甲的有4种方法,故所求的概率为410=25.
19.(2016·山东·理T3文T3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56 B.60 C.120 D.140
【答案】D
【解析】自习时间不少于22.5小时为后三组,其频率和为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故人数为200×0.7=140,选D.
20.(2016·全国2·文T8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.710 B.58
C.38 D.310
【答案】B
【解析】因为红灯持续时间为40秒,
所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40-1540=58,故选B.
21.(2015·陕西·理T2文T2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )
A.93 B.123 C.137 D.167
【答案】C
【解析】由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).故选C.
22.(2015·山东·文T7)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤log12x+12≤1”发生的概率为( )
A.34 B.23 C.13 D.14
【答案】A
【解析】由-1≤log12x+12≤1,得log122≤log12x+12≤log1212,所以12≤x+12≤2,所以0≤x≤32.由几何概型可知,事件发生的概率为32-02-0=34.
23.(2015·福建·文T8)如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=x+1,x≥0,-12x+1,x<0 的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于( )
A.16 B.14 C.38 D.12
【答案】B
【解析】如图,设f(x)与y轴的交点为E,则E(0,1).
∵B(1,0),
∴yC=1+1=2.∴C(1,2).
又四边形ABCD是矩形,
∴D(-2,2).
∴S△DCE=12×[1-(-2)]×1=32.又S矩形=3×2=6,
∴由几何概型概率计算公式可得所求概率P=326=14.故选B.
24.(2015·湖北·文T4)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是( )
A.x与y负相关,x与z负相关
B.x与y正相关,x与z正相关
C.x与y正相关,x与z负相关
D.x与y负相关,x与z正相关
【答案】A
【解析】由y=-0.1x+1知y与x负相关,又因为y与z正相关,故z与x负相关.
25.(2015·湖北·文T8)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤12”的概率,p2为事件“xy≤12”的概率,则( )
A.p1
【解析】设点P的坐标为(x,y),由题意x,y∈[0,1],
所以点P在正方形OABC内,S正方形OABC=1×1=1.
画出直线x+y=12与正方形交于D,E两点,
画出曲线xy=12与正方形交于M,N两点.
而Rt△OAC的面积S=12.
由图可知:S△OED
A.310 B.15 C.110 D.120
【答案】C
【解析】从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为110.
27.(2015·广东·文T7)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )
A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1
【答案】B
【解析】设正品分别为A1,A2,A3,次品分别为B1,B2,从中任取2件产品,基本事件共有10种,分别为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},而其中恰有一件次品的基本事件有6种,由古典概型概率公式,得P=610=0.6.
28.(2015·湖南·文T2)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】依题意,应将35名运动员的成绩由好到差排序后分为7组,每组5人.然后从每组中抽取1人,其中成绩在区间[139,151]上的运动员恰好是第3,4,5,6组,因此,成绩在该区间上的运动员人数是4.
29.(2015·北京·文T4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )
类 别
人 数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
A.90 B.100 C.180 D.300
【答案】C
【解析】由已知分层抽样中青年教师的抽样比为3201600=15,
由分层抽样的性质可得老年教师的抽样比也等于15,
所以样本中老年教师的人数为900×15=180.故选C.
30.(2014·陕西·文T9)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为x和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A.x,s2+1002 B.x+100,s2+1002
C.x,s2 D.x+100,s2
【答案】D
【解析】由题意,得x=x1+x2+…+x1010,
yi=xi+100,所以y1,y2,…,y10的均值为x+100,方差不变.故选D.
31.(2014·重庆·文T3)某中学有高中生3 500人,初中生1 500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( )
A.100 B.150 C.200 D.250
【答案】A
【解析】由题意知,抽样比为703500=150,
所以n3500+1500=150,即n=100.故选A.
32.(2014·湖南·文T3)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则( )
A.p1=p2
【解析】由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p1=p2=p3.
33.(2014·广东·文T6)为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )
A.50 B.40 C.25 D.20
【答案】C
【解析】由题意知分段间隔为100040=25,故选C.
34.(2014·陕西·文T6)从正方形4个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )
A.15 B.25 C.35 D.45
【答案】B
【解析】设正方形的四个顶点为A,B,C,D,中心为O,从这5个点中任取2个点,一共有10种不同的取法:AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO,其中这2个点的距离小于该正方形边长的取法共有4种:AO,BO,CO,DO.因此由古典概型概率计算公式,可得所求概率P=410=25,故选B.
35.(2014·湖南·文T5)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为( )
A.45 B.35 C.25 D.15
【答案】B
【解析】由几何概型的概率公式可得P(X≤1)=35,故选B.
36.(2014·辽宁·文T6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A.π2 B.π4 C.π6 D.π8
【答案】B
【解析】所求概率为S半圆S长方形=12π×122×1=π4,故选B.
37.(2013·湖南·文T9)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为12,则ADAB=( )
A.12 B.14 C.32 D.74
【答案】D
【解析】如图,设AB=2x,AD=2y. 由于AB为最大边的概率是12,则P在EF上运动满足条件,且DE=CF=12x,即AB=EB或AB=FA.
∴2x=(2y)2+32x2,即4x2=4y2+94x2,
即74x2=4y2,∴y2x2=716.∴yx=74.
又ADAB=2y2x=yx=74,故选D.
38.(2013·全国1·文T3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.12 B.13 C.14 D.16
【答案】B
【解析】由题意知总事件数为6,分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为13
39.(2013·江西·理T4文T5)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B.07 C.02 D.01
【答案】D
【解析】选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01,故选D.
40.(2012·辽宁·文T11)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )
A.16 B.13 C.23 D.45
【答案】C
【解析】此概型为几何概型,由于在长为12 cm的线段AB上任取一点C,因此总的几何度量为12,满足矩形面积大于20 cm2的点在C1与C2之间的部分,如图所示.
因此所求概率为812,即23,故选C.
41.(2012·安徽·文T10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 ( )
A.15 B.25 C.35 D.45
【答案】B
【解析】记1个红球为A,2个白球为B1,B2,3个黑球为C1,C2,C3,则从中任取2个球,基本事件空间Ω={(A,B1),(A,B2),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(B1,B2),(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),(C1,C2),(C1,C3),(C2,C3)},共计15种,而两球颜色为一白一黑的有如下6种:(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),所以所求概率615=25.
42.(2011·全国·理T4文T6)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A.13 B.12 C.23 D.34
【答案】A
【解析】记三个小组分别为A,B,C,则甲、乙两位同学参加的小组情况有
(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C)共9种.
其中,甲、乙参加同一个兴趣小组有(A,A),(B,B),(C,C)3种.故所求概率P=39=13.
43.(2011·浙江·文T8)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A.110 B.310 C.35 D.910
【答案】D
【解析】由题意可知从5个球中任取3个球的所有情况有10种,所取的3个球至少有1个白球的情况有(10-1)种,根据古典概型公式得所求概率P=10-110=910.
二．填空题：
1.(2019·全国2·理T13文T14)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_____________.
【答案】0.98
【解析】由题意,得经停该高铁站的列车的正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2,其中车次数为10+20+10=40,
所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
39.240=0.98.
2.(2018·全国3·文T14)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 .
【答案】分层抽样
【解析】因大量客户且具有不同的年龄段,分层明显,故根据分层抽样的定义可知采用分层抽样最为合适.
3.(2017·江苏·T3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件.
【答案】18
【解析】抽取比例为601000=350,故应从丙种型号的产品中抽取300×350=18(件).
4.(2017·江苏,7)记函数f(x)=6+x-x2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是____________.
【答案】59
【解析】由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=3-(-2)5-(-4)=59.
5.(2015·福建·文T13)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为 .
【答案】25
【解析】设男生抽x人.女生有400人,男生有500人,
则x=500×45900=25.
6.(2015·湖北·文T14)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a= ;
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 .
【答案】36 000
【解析】(1)由频率分布直方图,得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)×0.1=1,解得a=3;
(2)消费金额在[0.5,0.9]的购物者的人数为10 000×(1-1.5×0.1-2.5×0.1)=10 000×0.6=6 000.
7.(2014·江苏·文T6)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株树木的底部周长小于100 cm.
【答案】24
【解析】底部周长小于100 cm的株数为(0.015+0.025)×10×60=24.
8.(2014·全国1·文T13)将2本不同的数学书和1本语文T书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为____________.
【答案】23
【解析】记两本数学书分别为a1,a2,语文T书为b,则3本书一共有6种不同的排法:a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,其中2本数学书相邻的排法有4种:a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,故所求概率为46=23.
9.(2014·全国2·文T13)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为__________.
【答案】13
【解析】基本事件有(红,白),(红,蓝),(红,红),(白,蓝),(白,白),(白,红),(蓝,白),(蓝,红),(蓝,蓝)共9种,而选择同一种颜色有3种情况,即(红,红),(白,白),(蓝,蓝),故P=39=13.
10.(2014·江苏·T4)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是___.
【答案】13
【解析】从1,2,3,6这4个数中随机地取2个数,不同的取法为{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}共6个基本事件,其中乘积为6的有{1,6},{2,3}两个基本事件,因此所求事件的概率为P=26=13.
11.(2014·浙江·文T14)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是_______.
【答案】13
【解析】甲、乙两人各抽取1张,一共有3×2=6种等可能的结果,两人都中奖的结果有2×1=2种,由古典概型计算公式可得所求概率为P=26=13.
12.(2014·福建·文T13)如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为____________.
【答案】0.18
【解析】由几何概型可知1801000=S阴影S正方形=S阴影1,
所以S阴影=0.18.故答案为0.18.
13.(2014·重庆·文T15)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________.(用数字作答)
【答案】932
【解析】用y轴表示小张到校时刻,用x轴表示小王到校时刻,建立如图直角坐标系.设小张到校的时刻为y,小王到校的时刻为x,则x-y≥5.
由题意,知0≤x≤20,0≤y≤20,可得可行域如图所示,其中,阴影部分表示小张比小王至少早5分钟到校.
由x-y=5,x=20得A(20,15).
易知B(20,20),C(5,0),D(20,0).
由几何概型概率公式,得所求概率P=S△ACDS正方形ODBE=12×15×1520×20=932.
14.(2013·全国2·文T13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是 .
【答案】0.2
【解析】基本事件空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}共有10个,记A=“其和为5”={(1,4),(2,3)}有2个,∴P(A)=210=0.2.
15.(2012·福建·文T14)一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是 .
【答案】12
【解析】∵2898=27,即每7人抽取2人,又知女运动员人数为98-56=42,∴应抽取女运动员人数为42×27=12.
考点111频率分布直方图与茎叶图
16.(2010·全国·文T14)设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N),再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为____________.
【答案】N1N
【解析】由随机数的几何意义可知,点(xi,yi)落在曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的概率为P=N1N.由直线x=0,x=1,y=0,y=1围成的小方形的面积S1=1.由几何概型可得P=SS1.
所以SS1=N1N,即S1=N1N,故S=N1N.
三．大题：
1.(2021·全国1·文T17) （12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
答案：（1）由题中的数据，可得，
，
，
.
（2），
，
所以，
则新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
2.(2020·全国1·文T17)（12分）
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为四个等级.加工业务约定：对于级品、级品、级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
频数
28
17
34
21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
答案：(1)由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为级品的概率的估计值为；
乙分厂加工出来的一件产品为级品的概率的估计值为.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
65
25
-5
-75
频数
40
20
20
20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
70
30
0
-70
频数
28
17
34
21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
3.(2019·天津·文T15)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.
【解析】(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.
②由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.
所以,事件M发生的概率P(M)=1115.
4.(2019·全国3·理T17文T17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:
记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
【解析】(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,
故a=0.35.
b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.
5.(2019·全国2·文T19)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组
[-0.20,0)
[0,0.20)
[0.20,0.40)
[0.40,0.60)
[0.60,0.80)
企业数
2
24
53
14
7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附:74≈8.602.
【解析】(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增
长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.
产值负增长的企业频率为2100=0.02.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.
(2)y=1100(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,
s2=1100∑i=15ni(yi-y)2
=1100[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6,
s=0.0296=0.02×74≈0.17.
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.
6.(2018·全国2·理T18文T18)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量
t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y^=-30.4+13.5t;根据2010年至
2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型
②:y=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
【解析】(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y^=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y^=99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010
年至2016年的数据建立的线性模型y^=99+17.5t可以较好地描述
2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)
7.(2018·全国1·文T19)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
频数
1
3
2
4
日用水量
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.7)
频数
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
频数
1
5
13
日用水量
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
频数
10
16
5
(1)在下图作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
【解析】(1)
(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x1=150(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x2=150(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.
估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).
8.(2018·北京·文T17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化,假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)
【解析】(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000.
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50,
故所求概率为502000=0.025.
(2)设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.
没有获得好评的电影共有
140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1 628(部).
由古典概型概率公式,得P(B)=16282000=0.814.
(3)第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大.
9.(2018·天津·文T15)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
【解析】(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.
②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.
所以,事件M发生的概率P(M)=521.
10.(2018·全国3·理T18文T18)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【解析】(1)第二种生产方式的效率更高.
理由如下:
①由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
②由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
③由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
④由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致
呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.
以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
(2)由茎叶图知m=79+812=80.
列联表如下:
超过m
不超过m
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
(3)由于K2=40(15×15-5×5)220×20×20×20=10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
11.(2017·全国2·文T19)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;
箱产量<50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附:,
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
【解析】(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62.
因此,事件A的概率估计值为0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量<50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
K2=200×(62×66-34×38)2100×100×96×104≈15.705.
由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.
12.(2017·山东·文T16)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
【解析】(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有
{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,则所求事件的概率为P=315=15.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有
{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2个,则所求事件的概率为P=29.
13.(2017·北京·文T17)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
【解析】(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100=20.
(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为
60×12=30.
所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.
所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.
14.(2017·全国1·文T19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得x=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi-x)2=116(∑i=116xi2-16x2)≈0.212,∑i=116(i-8.5)2≈18.439,∑i=116(xi-x)(i-8.5)=-2.78,
其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?
(ⅱ)在(x-3s,x+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)
附:样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数
r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2.0.008≈0.09.
【解析】(1)由样本数据得(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为
r=∑i=116(xi-x)(i-8.5)∑i=116(xi-x)2∑i=116(i-8.5)2=-2.780.212×16×18.439≈-0.18.
由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.
(2)(ⅰ)由于x=9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.
(ⅱ)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115(16×9.97-9.22)=10.02,
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为
10.02.∑i=116xi2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,
剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09.
15.(2017·全国3·文T18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
【解析】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为2+16+3690=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;
若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100.
所以,Y的所有可能值为900,300,-100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低
于20的频率为36+25+7+490=0.8,
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
16.(2016·全国1·文T19)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.
(1)若n=19,求y与x的函数解析式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
【解析】(1)当x≤19时,y=3 800;
当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.
所以y与x的函数解析式为
y=3800,x≤19,500x-5700,x>19,(x∈N).
(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000.
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500,因此
这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
1100(4 000×90+4 500×10)=4 050.
比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
17.(2016·全国2·文T18)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
【解析】(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为60+50200=0.55,
故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为
故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.
因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
18.(2016·北京·文T17)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:
(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.
【解析】(1)由用水量的频率分布直方图知,
该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.
依题意,w至少定为3.
(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
[2,4]
(4,6]
(6,8]
(8,10]
(10,12]
(12,17]
(17,22]
(22,27]
频率
0.1
0.15
0.2
0.25
0.15
0.05
0.05
0.05
根据题意,该市居民该月的人均水费估计为
4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).
19.(2016·山东·文T16)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.
小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
【解析】用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.
因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16.
(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).
所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.
(2)记“xy≥8”为事件B,“3
即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).
所以P(B)=616=38.
事件C包含的基本事件数共5个,
即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1). 所以P(C)=516.因为38>516,
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
20.(2016·全国3·理T18文T18)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
注:年份代码1—7分别对应年份2008—2014.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:∑i=17yi=9.32,∑i=17tiyi=40.17,∑i=17(yi-y)2=0.55,7≈2.646.
参考公式:相关系数r=∑i=1n(ti-t)(yi-y)∑i=1n(ti-t)2∑i=1n(yi-y)2,
回归方程y^=a^+b^t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为b^=∑i=1n(ti-t)(yi-y)∑i=1n(ti-t)2,a^=y−b^t.
【解析】(1)由折线图中数据和附注中参考数据得
t=4,∑i=17(ti-t)2=28,∑i=17(yi-y)2=0.55,
∑i=17(ti-t)(yi-y)=∑i=17tiyi-t∑i=17yi=40.17-4×9.32=2.89.
r≈2.890.55×2×2.646≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
(2)由y=9.327≈1.331及(1)得
b^=∑i=17(ti-t)(yi-y)∑i=17(ti-t)2=2.8928≈0.103,
a^=y−b^t≈1.331-0.103×4≈0.92.
所以,y关于t的回归方程为y^=0.92+0.10t.
将2016年对应的t=9代入回归方程得y^=0.92+0.10×9=1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.
21.(2015·全国1·理T19文T19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
x
y
w
∑i=18(xi-x)2
∑i=18(wi-w)2
∑i=18(xi-x)(yi-y)
∑i=18(wi-w)(yi-y)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi=xi,w=18∑i=18wi.(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:
①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率
和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1n(ui-u)(vi-v)∑i=1n(ui-u)2,α^=v−β^u.
【解析】(1)由散点图可以判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.
(2)令w=x,先建立y关于w的线性回归方程.
由于d^=∑i=18(wi-w)(yi-y)∑i=18(wi-w)2=108.81.6=68,
c^=y−d^w=563-68×6.8=100.6,
所以y关于w的线性回归方程为y^=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为y^=100.6+68x.
(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值
y^=100.6+6849=576.6,
年利润z的预报值z^=576.6×0.2-49=66.32.
②根据(2)的结果知,年利润z的预报值
z^=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12.
所以当x=13.62=6.8,即x=46.24时,z^取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.
22.(2015·重庆·文T17)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程y^=b^t+a^;
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.
附:回归方程y^=b^t+a^中,b^=∑i=1ntiyi-nty∑i=1nti2-nt2,a^=y−b^t.
【解析】(1)列表计算如下:
i
ti
yi
ti2
tiyi
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
∑
15
36
55
120
这里n=5,t=1n∑i=1nti=155=3,y=1n∑i=1nyi=365=7.2.
又ltt=∑i=1nti2-nt2=55-5×32=10,lty=∑i=1ntiyi-nty=120-5×3×7.2=12,从而b^=ltyltt=1210=1.2,a^=y−b^t=7.2-1.2×3=3.6,故所求回归方程为y^=1.2t+3.6.
(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
y^=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).
23.(2015·天津·文T15)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;
(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
①用所给编号列出所有可能的结果;
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.
【解析】(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.
因此,事件A发生的概率P(A)=915=35.
24.(2015·山东·文T16)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.
【解析】(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人.
所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P=1545=13.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有
{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},
{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},
{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},
共15个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2个.
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=215.
25.(2015·四川·文T17)一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车,乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就坐,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.
(1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就坐,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法.请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);
(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,求乘客P5坐到5号座位的概率.
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
【解析】(1)余下两种坐法如下表所示:
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,
则所有可能的坐法可用下表表示为
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
2
1
3
4
5
2
3
1
4
5
2
3
4
1
5
2
3
4
5
1
2
3
5
4
1
2
4
3
1
5
2
4
3
5
1
2
5
3
4
1
于是,所有可能的坐法共8种.
设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4.
所以P(A)=48=12.
答:乘客P5坐到5号座位的概率是12.
26.(2015·全国2·文T18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度
评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.
【解析】(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”.
由直方图得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,P(CB)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
27.(2015·广东·文T17)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.
、
(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
【解析】(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,得x=0.007 5,所以直方图中x的值是0.007 5.
(2)月平均用电量的众数是220+2402=230.
因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,
所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,由(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,得a=224,所以月平均用电量的中位数是224.
(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100=25(户),
月平均用电量在[240,260)的用户有0.007 5×20×100=15(户),
月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),
月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100=5(户),抽取
比例为1125+15+10+5=15,
所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15=5(户).
28.(2014·全国1·文T18)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:
质量指标
值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
26
38
22
8
(1)作出这些数据的频率分布直方图;
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?
【解析】(1)
(2)质量指标值的样本平均数为
x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.
s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.
由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.
29.(2014·全国2·文T19)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下:
(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数;
(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;
(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
【解析】(1)由所给茎叶图知,50位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是75,75,故样本中位数为75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.
50位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是66,68,故样本中位数为66+682=67,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.
(2)由所给茎叶图知,50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率
分别为550=0.1,850=0.16,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90
的概率的估计值分别为0.1,0.16.
(3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低,评价差异较大.(注:利用其他统计量进行分析,结论合理的也可).
30.(2014·北京·文T18)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18)
2
合计
100
(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;
(2)求频率分布直方图中的a,b的值;
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)
【解析】(1)根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名,所以样本中的学生课外阅读时间少于12小
时的频率是1-10100=0.9.
从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人,频率为0.17,所以a=频率组距=0.172=0.085.
课外阅读时间落在组[8,10)的有25人,频率为0.25,所以b=频率组距=0.252=0.125.
(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.
31.(2014·湖南·文T17)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:
(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b)
其中a,a分别表示甲组研发成功和失败;b,b分别表示乙组研发成功和失败.
(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.
【解析】(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数
为x甲=1015=23;
方差为s甲2=1151-232×10+0-232×5=29.
乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数为
x乙=915=35;
方差为s乙2=1151-352×9+0-352×6=625.
因为x甲>x乙,s甲2
在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是
(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),共7个.故事件E发生的频率为715.
将频率视为概率,即得所求概率为P(E)=715.
32.(2014·四川·文T16)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
【解析】(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种. 所以P(A)=327=19.
因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为19.
(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B, 则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.
所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.
因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为89.
则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.
所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.
因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为89.
33.(2014·天津·文T15)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).
(1)用表中字母列举出所有可能的结果;
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.
【解析】(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.
因此,事件M发生的概率P(M)=615=25.
34.(2013·全国1·文T18)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
【解析】(1)设A药观测数据的平均数为x,B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得
x=120(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,
y=120(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6.
由以上计算结果可得x>y,因此可看出A药的疗效更好.
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图:
从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上,而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好.
35.(2013·全国2·文T19)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(1)将T表示为X的函数;
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.
【解析】(1)(分段函数)当X∈[100,130)时,
T=500X-300(130-X)=800X-39 000.
当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.
所以T=800X-39000,100≤X<130,65000,130≤X≤150.
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
36.(2013·安徽·文T17)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如下:
(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1,x2,估计x1−x2的值.
【解析】(1)设甲校高三年级学生总人数为n.
由题意知,30n=0.05,即n=600.
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5.据此估计甲校
高三年级此次联考数学成绩及格率为1-530=56.
(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x'1,x'2.根据样本茎叶图可知,
30(x'1-x'2)=30x'1-30x'2=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15.
因此x'1-x'2=0.5.故x1−x2的估计值为0.5分.
37.(2012·全国·文T18)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
②若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.
【解析】(1)当日需求量n≥17时,利润y=85.
当日需求量n<17时,利润y=10n-85.
所以y关于n的函数解析式为
y=10n-85,n<17,85,n≥17(n∈N).
(2)①这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的
日利润的平均数为1100(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.
②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.
38.(2011·全国·文T19)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
(1)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标
值t的关系式为y=-2,t<94,2,94≤t<102,4,t≥102.
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润.
【解析】(1)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质品的频率为
22+8100=0.3,
所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为32+10100=0.42,
所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知,用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94,由试验结果知,质量指标值t≥94的频率为0.96.所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B配方生产的产品平均一件的利润为1100×[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68(元).
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