十二年高考真题分类汇编(2010-2021) 数学 专题10 立体几何 Word版含解析

这是一份十二年高考真题分类汇编(2010-2021) 数学 专题10 立体几何 Word版含解析，共83页。
十二年高考真题分类汇编（2010—2021）数学
专题10立体几何
一．选择题：
1.(2021·全国I ·理5文10)在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：本题考查立体几何中的线面关系及解三角形的应用.如图，记正方体的棱长为a，则，所以，.在中，由余弦定理得，所以.又因为，所以即为直线PB与所成的角，所以直线PB与所成的角为.
2．(2020·全国I ·文3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

A． B． C． D．
答案：C
解析：由题意知，可将金字塔看成如图所示的正四棱锥，其中为的中点，为底面正方形的中心，连接，则底面，，，即正四棱锥的高为，侧面三角形的高为.设底面正方形的边长为，，则，正四棱锥的一个侧面三角形的面积为，在直角三角形中，，以该正四棱锥的高为边长的正方形的面积为，故，化简、整理得，得，令，则，因为，所以，即，所以其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为，故选C.
3．(2020·全国I ·文12)已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为
A． B． C． D．
答案：A
解析：因为的面积为，所以的半径.因为，所以为正三角形，又是的外接圆，所以由正弦定理得，得.因为，所以，由题易知平面，则球心到平面的距离为.设球的半径为，则，所以球的表面积，故选A.

4.(2019·浙江·T4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是(　　)

A.158 B.162 C.182 D.324
【答案】B
【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为2+62×3+4+62×3×6=162.

5.(2019·全国1·理T12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为(　　)
A.86π B.46π
C.26π D.6π
【答案】D
【解析】设PA=PB=PC=2x.
∵E,F分别为PA,AB的中点,
∴EF∥PB,且EF=12PB=x.
∵△ABC为边长为2的等边三角形,
∴CF=3.
又∠CEF=90°,∴CE=3-x2,AE=12PA=x.
在△AEC中,由余弦定理可知
cos∠EAC=x2+4-(3-x2)2×2·x.
作PD⊥AC于点D,∵PA=PC,
∴D为AC的中点,cos∠EAC=ADPA=12x.
∴x2+4-3+x24x=12x.
∴2x2+1=2.∴x2=12,即x=22.
∴PA=PB=PC=2.
又AB=BC=AC=2,
∴PA⊥PB⊥PC.
∴2R=2+2+2=6.
∴R=62.
∴V=43πR3=43π×668=6π.
故选D.
6.(2019·全国2·理T7文T7)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是(　　)
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平行的性质知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的必要条件,故选B.
7.(2019·全国3·理T8文T8)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则(　　)
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
【答案】B
【解析】如图,连接BD,BE.
在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,
∴BM,EN是相交直线,排除选项C、D.
作EO⊥CD于点O,连接ON.
作MF⊥OD于点F,连接BF.
∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥
CD,EO⊂平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.
同理,MF⊥平面ABCD.
∴△MFB与△EON均为直角三角形.
设正方形ABCD的边长为2,易知
EO=3,ON=1,MF=32,BF=22+94=52,
则EN=3+1=2,BM=34+254=7,
∴BM≠EN.故选B.
8.(2019·浙江·T8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则(　　)
A.β