十二年高考真题分类汇编（2010—2021） 数学 专题03 函数 Word版（含解析）

这是一份十二年高考真题分类汇编（2010—2021） 数学 专题03 函数 Word版（含解析），共43页。试卷主要包含了设，，，则，若，则，a2-2a≤0，画出三次函数g的图象如图所示,等内容，欢迎下载使用。
十二年高考真题分类汇编（2010—2021）数学专题03函数一．选择题：1.(2021•全国1•文T9理T4)设函数，则下列函数中为奇函数的是(   )A. B. C. D.答案：B解析：本题考查函数的性质.由，得，，所以，显然不是奇函数；是奇函数；显然不是奇函数；，显然不是奇函数.2.(2021•全国1•理T12)设，，，则(   )A. B. C. D.答案：B解析：本题考查代数式的大小比较、函数的图象与性质、导函数及其应用.由于，，，则有，可以排除选项A，D；设函数，则有，求导可得，当时，，则，故函数在上单调递增，所以，所以，可排除选项C.综上所述，.3．(2020•全国1•文T8)设，则A．  B．  C．  D． 答案：B解析：解法一 因为，所以，则有，所以，故选B.解法二 因为，所以，所以，所以，故选B.解法三 因为，所以，所以，两边同时平方得，所以，故选B.解法四 因为，所以，所以，故选B.解法五 令，两边同时取对数得，即，因为，所以，所以，所以，即，故选B.解法六 令，所以，即.由，得，所以，所以，，即，故选B.4.(2020•全国1•理T12)若，则(   )A. B. C. D.答案：B解析：解法一 令，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增.又，所以，所以.故选B.解法二 （取特值法）由，取，得，令，则在上单调递增，且，，所以，在上存在唯一的零点，所以，故，都不成立，排除A，D；取，得，令，则在上单调递增，且，，所以，在上存在唯一的零点，所以，故不成立，排除C.故选B.5.(2019•天津•理T8)已知a∈R,设函数f(x)=若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为(　　)A.[0,1]    B.[0,2] C.[0,e]     D.[1,e]【答案】C【解析】(1)当a≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a2-2a2+2a≥0.a2-2a≤0.∴0≤a≤2.而f(x)=x-aln x,f'(x)=1->0此时要使f(x)=x-aln x在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立.可知0≤a≤1.(2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a≥0,显然成立.此时f'(x)=,当x∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增.需f(a)=a-aln a≥0,ln a≤1,a≤e,可知1<a≤e.由(1)(2)可知,a∈[0,e],故选C.6.(2019•天津•文T8)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为(　　)A. B.C.∪{1} D.∪{1}【答案】D【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-+a,得a=.当直线过点B(1,2)时,有2=-+a,a=.故当≤a≤时,有两个相异点.当x>1时,f'(x0)=-=-,x0=2.此时切点为2,,此时a=1.故选D.7.(2019•浙江•T9)设a,b∈R,函数f(x)=若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则(　　)A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0【答案】C【解析】当x<0时,由x=ax+b,得x=,最多一个零点取决于x=与0的大小,所以关键研究当x≥0时,方程x3-(a+1)x2+ax=ax+b的解的个数,令b=x3-(a+1)x2=x2x-(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示,可以发现分类讨论的依据是(a+1)与0的大小关系.①若(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=(a+1)为奇重零点穿过,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b最多只能有一个交点,不符合题意.②若(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意.③若(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g(x)与y=b可以有两个交点,且此时要求x=<0,故-1<a<1,b<0,选C.8.(2019•北京•文T3)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)A.y= B.y=2-xC.y=lox D.y=【答案】A【解析】函数y=2-x,y=lox,y=在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=在区间(0,+∞)上单调递增,故选A.9.(2019•全国1•理T11)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数　②f(x)在区间内单调递增③f(x)在[-π,π]有4个零点　④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是(　　)A.①②④ B.②④ C.①④             D.①③【答案】C【解析】因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确;当<x<π时,f(x)=2sin x,它在区间内单调递减,故②错误;当0≤x≤π时,f(x)=2sin x,它有两个零点0和π;当-π≤x≤0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x,它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误;当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时,f(x)=2sin x;当x∈(2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时,f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确;综上可知①④正确,故选C.10.(2019•全国3•理T11文T12)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则(　　)A.f>f()>f()    B.f>f()>f()C.f()>f()>fD.f()>f()>f【答案】C【解析】∵f(x)是R上的偶函数,∴f=f(-log34)=f(log34).又y=2x在R上单调递增,∴log34>1=20>.又f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴f(log34)<f()<f(),∴f()>f()>f.故选C.11.(2019•全国1•理T3文T3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(　　)A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a【答案】B【解析】因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<c=0.20.3<0.20<1,所以a<c<b.故选B.12.(2019•天津•理T6)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为(　　)A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【答案】A【解析】∵a=log52<log5,b=log0.50.2>log0.50.5=1,c=0.50.2=）0.2>1,∴b>c>a.故选A.13.(2019•天津•文T5)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为(　　)A.c<b<a B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b命题点比较大小,指、对数函数的单调性.解题思路利用指、对数函数的单调性比较.【答案】A【解析】a=log27>log24=2.b=log38<log39<2,且b>1.又c=0.30.2<1,故c<b<a,故选A.14.(2019•全国1•T5)函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为(　　)【答案】D【解析】由f(-x)=-f(x)及区间[-π,π]关于原点对称,得f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除A.又f>1,f(π)=>0,排除B,C.故选D.15.(2019•全国3•理T7)函数y=在[-6,6]的图像大致为(　　)【答案】B【解析】设y=f(x)=,则f(-x)==-=-f(x),故f(x)是奇函数,图像关于原点对称,排除选项C.f(4)=>0,排除选项D.f(6)=≈7,排除选项A.故选B.16.(2019•浙江•T6)在同一直角坐标系中,函数y=,y=logax+(a>0,且a≠1)的图象可能是 (　　)【答案】D【解析】当0<a<1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=loga（x+）的图象过定点（,0）且单调递减,D选项符合;当a>1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=loga（x+）的图象过定点（,0）且单调递增,各选项均不符合.故选D.17.(2019•全国2•理T12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是(　　)A.-∞, B.-∞,C.-∞, D.-∞,【答案】B【解析】∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1).∵当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),∴f(x)的图象如图所示.∵当2<x≤3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),∴令4(x-2)(x-3)=-   , 整理得9x2-45x+56=0,即(3x-7)(3x-8)=0,解得x1=,x2=.∵当x∈(-∞,m]时,f(x)≥-恒成立,即m≤,故m∈-∞,.18.(2018•全国1•文T12)设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)A.(-∞,-1]             B.(0,+∞)C.(-1,0)             D.(-∞,0)【答案】D【解析】画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知:①当x+1≥0且2x≥0,即x≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意;②当x+1>0且2x<0,即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)显然成立;③当x+1≤0时,x≤-1,此时2x<0,若f(x+1)<f(2x),则x+1>2x,解得x<1.故x≤-1.综上所述,x的取值范围为(-∞,0).19.(2018•全国2•理T11文T12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= (　　)A.-50 B.0 C.2 D.50【答案】C【解析】∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.20.(2018•全国3•文T7)下列函数中,其图像与函数y=ln x的图像关于直线x=1对称的是(　　)A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)【答案】B【解析】设所求函数的图像上点P(x,y)关于x=1对称的点为Q(2-x,y),由题意知Q在y=ln x上,∴y=ln(2-x),故选B.21.(2018•上海•T16)设D是函数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数.若f(x)的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是(　　)A. B. C. D.0【答案】B【解析】若f(1)=,则f()=1,f(1)=-,与函数的定义矛盾,舍去;若f(1)=,则f=0,f(1)=-,与函数的定义矛盾,舍去;若f(1)=0,则f,f=-,与函数的定义矛盾,舍去.因此f(1)的可能取值只能是,故选B.22.(2018•全国3•理T12)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(　　)A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b【答案】B【解析】∵a=log0.20.3>0,b=log20.3<0,∴ab<0.又a+b=而lg 2-1<0,2lg 2-1<0,lg 3-1<0,lg 2>0,∴a+b<0.=log0.32+log0.30.2=log0.30.4<log0.30.3=1.∴ab<a+b.故选B.23.(2018•天津•理T5)已知a=log2e,b=ln 2,c= lo,则a,b,c的大小关系为(　　)A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b【答案】D【解析】因为c=lo=log23,a=log2e,且y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以log23>log2e>log22=1,即c>a>1.因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增,且b=ln 2,所以ln 2<ln e=1,即b<1.综上可知,c>a>b.故选D.24.(2018•天津•文T5)已知a=log3,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系为(　　)A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 【答案】D【解析】∵c=lo=log35>log3>log33=1,∴c>a>1.又b=（）<0=1,∴c>a>b.25.(2018•全国2•T3)函数f(x)=的图像大致为(　　)【答案】B【解析】∵f(-x)==-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A,令x=10,则f(10)=>1,排除C、D,故选B.26.(2018•全国3•理T7文T9)函数y=-x4+x2+2的图像大致为(　　)【答案】D【解析】当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=时,y=-+2>2.排除C.故选D.27.(2018•浙江•T5)函数y=2|x|sin 2x的图象可能是(　　)【答案】D【解析】因为在函数y=2|x|sin 2x中,y1=2|x|为偶函数,y2=sin 2x为奇函数,所以y=2|x|sin 2x为奇函数.所以排除选项A,B.当x=0,x=,x=π时,sin 2x=0,故函数y=2|x|sin 2x在[0,π]上有三个零点,排除选项C,故选D.28.(2018•全国1•理T9)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(　　)A.[-1,0)             B.[0,+∞)C.[-1,+∞)             D.[1,+∞)【答案】C【解析】要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选C.29.(2017•山东•理T1)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=(　　)A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1)【答案】D【解析】由4-x2≥0,得A=[-2,2],由1-x>0,得B=(-∞,1),故A∩B=[-2,1).故选D.30.(2017•山东•文T9)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=(　　)A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】C【解析】由x≥1时,f(x)=2(x-1)是增函数可知,若a≥1,则f(a)≠f(a+1),所以0<a<1,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1),解得a=,则f=f(4)=2(4-1)=631.(2017•全国1•理T5)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　)A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]【答案】D【解析】因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.所以x的取值范围是[1,3].32.(2017•天津•理T6)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(　　)A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a【答案】C【解析】∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.33.(2017•北京•理T5)已知函数f(x)=3x-,则f(x)(　　)A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数【答案】A【解析】因为f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x--3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.又y=3x和y=-在R上都是增函数,所以函数f(x)在R上是增函数.故选A.34.(2017•全国1•理T11)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(　　)A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z【答案】D【解析】由2x=3y=5z,同时取自然对数,得xln 2=yln 3=zln 5.由>1,可得2x>3y;再由<1,可得2x<5z;所以3y<2x<5z,故选D.35.(2017•全国2•文T8)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　　)A.(-∞,-2) B.(-∞,1)C.(1,+∞) D.(4,+∞)【答案】D【解析】由题意可知x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.故定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞),易知t=x2-2x-8在(-∞,-2)内单调递减,在(4,+∞)内单调递增.因为y=ln t在t∈(0,+∞)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D.36.(2017•全国1•文T9)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则(　　)A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称【答案】C【解析】f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x∈(1,2)时,x增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.37.(2017•山东•理T7)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是(　　)A.a+<log2(a+b) B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)< D.log2(a+b)<a+【答案】B【解析】不妨令a=2,b=,则a+=4,,log2(a+b)=log2∈(log22,log24)=(1,2),即<log2(a+b)<a+.故选B.38.(2017•浙江•理T5)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m(　　)A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关【答案】B【解析】因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f=b-中取,所以最值之差一定与a有关,与b无关,故选B.39.(2017•全国1•文T8)函数y=的部分图象大致为(　　)【答案】C【解析】令f(x)=,因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除选项B;因为f(π)==0,故排除选项D;因为f(1)=>0,故排除选项A.故选C.40.(2017•全国3•文T7)函数y=1+x+的部分图象大致为(　　)【答案】D【解析】当x=1时,y=1+1+sin 1=2+sin 1>2,故排除A,C;当x→+∞时,y→+∞,故排除B,满足条件的只有D,故选D.41.(2017•山东•理T10)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是(　　) A.(0,1]∪[2,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,]∪[2,+∞) D.(0,]∪[3,+∞)【答案】B【解析】在同一直角坐标系中,分别作出函数f(x)=(mx-1)2=m2（x-）2与g(x)=+m的大致图象.分两种情形:(1)当0<m≤1时,≥1,如图①,当x∈[0,1]时,f(x)与g(x)的图象有一个交点,符合题意;(2)当m>1时,0<<1,如图②,要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点,只需g(1)≤f(1),即1+m≤(m-1)2,解得m≥3或m≤0(舍去).综上所述,m∈(0,1]∪[3,+∞).故选B.42.(2017•天津•文T8)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是(　　)A.[-2,2] B.[-2,2]C.[-2,2] D.[-2,2]【答案】A【解析】若a=2,则当x=0时,f(0)=2,而+a=2,不等式不成立,故排除选项C、D.若a=-2,则当x=0时,f(0)=2,而+a=2,不等式不成立,故排除选项B.故选A.43.(2017•全国3•理T11文T12)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(　　)A.- B. C. D.1【答案】C【解析】∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1)=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=f(x),即x=1为f(x)图象的对称轴.∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1,即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a= .44.(2017•北京•理T8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(　　)(参考数据:lg 3≈0.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093【答案】D【解析】设=x=,两边取对数,得lg x=lg=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与最接近的是1093.故选D.45.(2016•全国2•文T10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 (　　)A.y=x B.y=lg xC.y=2x D.y=【答案】D【解析】y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞).y=x的定义域和值域均为R;y=lg x的定义域为(0,+∞),值域为R;y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞);y=的定义域与值域均为(0,+∞).故选D.46.(2016•北京•文T4)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是(　　)A.y=B.y=cos xC.y=ln(x+1)    D.y=2-x【答案】D【解析】选项A,y=在(-∞,1)和(1,+∞)上为增函数,故在(-1,1)上为增函数;选项B,y=cos x在(-1,1)上先增后减;选项C,y=ln(x+1)在(-1,+∞)上递增,故在(-1,1)上为增函数;选项D,y=2-x=x在R上为减函数,故在(-1,1)上是减函数.47.(2016•山东•文T9)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f,则f(6)= (　　)A.-2 B.-1 C.0 D.2【答案】D【解析】由题意可知,当-1≤x≤1时,f(x)为奇函数;所以f(6)=f(5×1+1)=f(1).而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.所以f(6)=2.故选D.48.(2016•全国1•文T8)若a>b>0,0<c<1,则(　　)A.logac<logbc B.logca<logcbC.ac<bc             D.ca>cb【答案】B【解析】对于A,logac=,logbc=,∵0<c<1,∴lg c<0,而a>b>0,∴lg a>lg b,但不能确定lg a,lg b的正负,故logac与logbc大小不能确定,A不正确;对于B,在lg a>lg b两边同乘以一个负数,不等号改变,得logca<logcb,B正确;对于C,∵0<c<1,∴幂函数y=xc在(0,+∞)上为增函数.∵a>b>0,∴ac>bc,故C不正确;对于D,∵0<c<1,∴指数函数y=cx在R上为减函数.∵a>b>0,∴ca<cb,故D不正确.49.(2016•全国1•理T8)若a>b>1,0<c<1,则(　　)A.ac<bc                      B.abc<bacC.alogbc<blogac              D.logac<logbc【答案】C【解析】特殊值验证法,取a=3,b=2,c=,因为,所以A错;因为3>2,所以B错;因为log3=-log32>-1=log2,所以D错;因为3log2=-3<2log3=-2log32,所以C正确.故选C.50.(2016•全国3•理T6)已知a=,b=,c=2,则(　　)A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b【答案】A【解析】因为a==b,c=2=a,所以b<a<c.51.(2016•全国3•文T7)已知a=,b=,c=2,则(　　)A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【答案】A【解析】因为a=,c=2,b=,且函数y=在[0,+∞)内是增函数,所以,即b<a<c.故选A.52.(2016•全国2•文T12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi=(　　)A.0 B.m C.2m D.4m【答案】B【解析】由题意可知,y=f(x)与y=|x2-2x-3|的图象都关于x=1对称,所以它们的交点也关于x=1对称.当m为偶数时,xi=2×=m;当m为奇数时,xi=2×+1=m,故选B.53.(2016•全国1•T9)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为(　　)【答案】D【解析】特殊值验证法,取x=2,则y=2×4-e2≈8-2.7182≈0.6∈(0,1),排除A,B;当0<x<2时,y=2x2-ex,则y'=4x-ex,由函数零点的判定可知,y'=4x-ex在(0,2)内存在零点,即函数y=2x2-ex在(0,2)内有极值点,排除C,故选D.54.(2016•浙江•文T3)函数y=sin x2的图象是(　　)【答案】D【解析】∵f(-x)=sin(-x)2=sin x2=f(x),∴y=sin x2的图象关于y轴对称,排除A,C;又当x=±时,sin≠1,∴排除B,故选D.55.(2016•浙江•文T7)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|,且f(x)≥2x,x∈R.(　　)A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b【答案】B【解析】∵f(x)≥|x|且f(x)≥2x,∴f(x)表示的区域如图阴影部分所示.∵对于选项A和选项C而言,无论f(a)≤|b|还是f(a)≥|b|,均有a≤b或a≥b都成立,∴选项A和选项C均不正确;对于选项B,若f(a)≤2b,只能得到a≤b,故选项B正确;对于选项D,若f(a)≥2b,由图象可知a≥b与a≤b均有可能,故选项D不正确.56.(2015•湖北•文T7)设x∈R,定义符号函数sgnx=则(　　)A.|x|=x|sgn x| B.|x|=xsgn |x|C.|x|=|x|sgn x D.|x|=xsgn x【答案】D【解析】利用排除法逐项验证求解.当x<0时,|x|=-x,x|sgn x|=x;xsgn|x|=x,|x|sgn x=(-x)•(-1)=x,故排除A,B,C项,选D.57.(2015•重庆•文T3)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是(　　)A.[-3,1]                       B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)               D.(-∞,-3)∪(1,+∞)【答案】D【解析】要使函数有意义,应满足x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,故函数的定义域是(-∞,-3)∪(1,+∞).58.(2015•湖北•文T6)函数f(x)= +lg 的定义域为(　　)A.(2,3)             B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4] D.(-1,3)∪(3,6]【答案】C【解析】要使函数有意义,需即即2<x<3或3<x≤4.故函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4].59.(2015•全国1•文T10)已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=(　　)A.- B.- C.- D.-【答案】A【解析】当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.∴f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-2=-.60.(2015•陕西•文T4)设f(x)=则f(f(-2))=(　　)A.-1 B. C. D.【答案】C【解析】f(f(-2))=f=1-.61.(2015•山东•文T10)设函数f(x)=若f=4,则b=(　　)A.1 B. C. D.【答案】D【解析】∵f=3×-b=-b,∴f=f.当-b<1,即b>时,f=3×-b=4,∴b=(舍去).当-b≥1,即b≤时,f=4,即-b=2,∴b=.综上,b=62.(2015•全国2•文T12)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(　　)A.B.∪(1,+∞)C.D.【答案】A【解析】函数f(x)的定义域为R,又由题意可知f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.当x>0时,f(x)=ln(1+x)-,因为y1=ln(1+x)单调递增,y2=-亦为单调递增,所以f(x)在(0,+∞)为增函数.由f(x)>f(2x-1)⇔f(|x|)>f(|2x-1|),得|x|>|2x-1|,解得x∈.63.(2015•北京•文T3)下列函数中为偶函数的是(　　)A.y=x2sin x B.y=x2cos xC.y=|ln x| D.y=2-x【答案】B【解析】A选项中函数为奇函数,B选项中函数为偶函数,C选项中函数定义域为(0,+∞)不具有奇偶性,D选项中函数既不是奇函数也不是偶函数.故选B.64.(2015•天津•文T7)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(　　)A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a【答案】B【解析】∵f(-x)=2|-x-m|-1=2|x+m|-1,且f(x)为偶函数,∴2|x+m|-1=2|x-m|-1对任意的x∈R恒成立,解得m=0.∴f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数.∵a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),c=f(2m)=f(0),且0<log23<log25,∴f(0)<f(log23)<f(log25),即c<a<b.65.(2015•全国2•理T5)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=(　　)A.3 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】∵f(-2)=1+log24=3,f(log212)==6,∴f(-2)+f(log212)=9.66.(2015•全国2•理T10文T11)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(　　)【答案】B【解析】当x∈0,时,f(x)=tan x+,图象不是线段,从而排除A,C;∵f=fπ=1+,f=2,2<1+,∴f<f=fπ,从而排除D.故选B.67.(2015•安徽•文T10)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是(　　)A.a>0,b<0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<0,c>0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0【答案】A【解析】由图象可知f(0)=d>0,f'(x)=3ax2+2bx+c,x1,x2为方程3ax2+2bx+c=0的两根,因此x1+x2=-,x1•x2=.由图象可知x∈(-∞,x1)时,f'(x)>0,所以a>0.而由图象知x1,x2均为正数,所以->0,>0,由此可得b<0,c>0,故选A.68.(2015•浙江•文T5)函数f(x)=cos x(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(　　)【答案】D【解析】因为f(-x)=-x+cos(-x)=-x-cos x=-f(x),所以f(x)为奇函数.排除A,B;又f(π)=cos π=-π+<0,排除C,故选D.69.(2015•天津•文T8)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为(　　)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】因为f(x)=所以f(2-x)=⇒f(2-x)=f(x)+f(2-x)=所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=其图象如图所示.显然函数图象与x轴有2个交点,故函数有2个零点.70.(2015•北京•理T7)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是 (　　)A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2}【答案】C【解析】如图,作出函数f(x)与y=log2(x+1)的图象.易知直线BC的方程为y=-x+2,由得D点坐标为(1,1).由图可知,当-1<x≤1时,f(x)≥log2(x+1),所以所求解集为{x|-1<x≤1}.71.(2014•江西•理T3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R),若f[g(1)]=1,则a=(　　)A.1      B.2 C.3   D.-1【答案】A【解析】由题意可知f[g(1)]=1=50,得g(1)=0,代入g(x),则a-1=0,即a=1.故选A.72.(2014•山东•理T3)函数f(x)=的定义域为(　　)A. B.(2,+∞)C.∪(2,+∞) D.∪[2,+∞)【答案】C【解析】要使函数有意义,应有(log2x)2>1,且x>0,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或0<x<.所以函数f(x)的定义域为∪(2,+∞).73.(2014•江西•文T4,)已知函数f(x)= (a∈R),若f[f(-1)]=1,则a=(　　)A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】由题意可知f(-1)=21=2,则f[f(-1)]=f(2)=a•22=4a=1.故a=74.(2014•全国1•理T3文T5)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　)A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数【答案】C【解析】由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于A选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),f(x)g(x)为奇函数,故A错误;对于B选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)为偶函数,故B错误;对于C选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,f(x)|g(x)|为奇函数,故C正确;对于D选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x)•g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.75.(2014•北京•文T6)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(　　)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)【答案】C【解析】由题意知f(1)=-log21=6>0,f(2)=-log22=3-1=2>0,f(4)=-log24=-2=-<0.故f(2)•f(4)<0.由零点存在性定理可知,包含f(x)零点的区间为(2,4).76.(2013•全国1•理T11)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(　　)A.(-∞,0]          B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]【答案】D【解析】由y=|f(x)|的图象知:①当x>0时,y=ax只有a≤0时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除B,C.②当x≤0时,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x.故由|f(x)|≥ax得x2-2x≥ax.当x=0时,不等式为0≥0成立.当x<0时,不等式等价于x-2≤a.∵x-2<-2,∴a≥-2.综上可知,a∈[-2,0].77.(2013•全国2•文T12)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(　　)A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)C.(0,+∞) D.(-1,+∞)【答案】D【解析】由题意可得,a>x-(x>0).令f(x)=x-,该函数在(0,+∞)上为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故a>-1时,存在正数x使原不等式成立.78.(2013•全国2•理T8)设a=log36,b=log510,c=log714,则(　　)A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c【答案】D【解析】根据公式变形,a==1+,b==1+,c==1+,因为lg 7>lg 5>lg 3,所以,即c<b<a.故选D.79.(2013•全国2•文T8)设a=log32,b=log52,c=log23,则(　　)A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b【答案】D【解析】∵a=log32>log3,∴a∈（,1）.∵b=log52<log5,∴b∈（0,）.∵c=log23>log22=1,即c>1,∴c>a>b.80.(2013•全国1•文T9)函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的图象大致为(　　)【答案】C【解析】由f(x)=(1-cos x)sin x知其为奇函数.可排除B.当x∈时,f(x)>0,排除A.当x∈(0,π)时,f'(x)=sin2x+cos x(1-cos x)=-2cos2x+cos x+1.令f'(x)=0,得x=π.故极值点为x=π,可排除D,故选C.81.(2013•北京•理T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=(　　)A.ex+1 B.ex-1 C.e-x+1 D.e-x-1【答案】D【解析】依题意,f(x)向右平移1个单位之后得到的函数应为y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移1个单位的结果,∴f(x)=e-x-1,故选D.82.(2012•全国•文T11)当0<x≤时,4x<logax,则a的取值范围是(　　)A. B. C.(1,) D.(,2)【答案】B【解析】由0<x≤,且logax>4x>0,可得0<a<1,由=loga可得a=.令f(x)=4x,g(x)=logax,若4x<logax,则说明当0<x≤时,f(x)的图象恒在g(x)图象的下方(如下图所示),此时需a>.综上可得a的取值范围是.83.(2012•全国•理T10)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为(　　)【答案】B【解析】当x=1时,y=<0,排除A;当x=0时,y不存在,排除D;f'(x)='=,因定义中要求x>-1,故-1<x<0时,f'(x)<0,故y=f(x)在(-1,0)上单调递减,故选B.84.(2012•湖北•文T6)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为(　　)【答案】B【解析】y=f(x)y=f(-x)y=f[-(x-2)]=f(2-x)y=-f(2-x),故选B.85.(2012•全国•理T12)设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为 (　　)A.1-ln 2 B.(1-ln 2) C.1+ln 2 D.(1+ln 2)【答案】B【解析】由题意知函数y=ex与y=ln(2x)互为反函数,其图象关于直线y=x对称,两曲线上点之间的最小距离就是y=x与y=ex最小距离的2倍,设y=ex上点(x0,y0)处的切线与y=x平行,有=1,x0=ln 2,y0=1,∴y=x与y=ex的最小距离是(1-ln 2),∴|PQ|的最小值为(1-ln 2)×2=(1-ln 2).86.(2011•全国•理T2文T3)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)单调递增的函数是(　　) A.y=x3   B.y=|x|+1C.y=-x2+1             D.y=2-|x|【答案】B【解析】A中y=x3是奇函数不满足题意;由y=|x|+1的图象可知B满足题意;C中y=-x2+1在(0,+∞)上为减函数,故不满足题意;D中y=2-|x|在(0,+∞)上为减函数,故不满足题意,故选B.87.(2011•全国•文T10)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(　　)A. B. C. D.【答案】C【解析】∵f(x)是R上的增函数且图象是连续的,且f+4×-3=-2<0,f+4×-3=-1>0,∴f(x)在内存在唯一零点.88.(2011•全国•理T12)函数y=的图象与函数y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】由题意知y=的图象是双曲线,且关于点(1,0)成中心对称.又y=2sin πx的周期为T==2,也关于点(1,0)成中心对称,因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称,如图所示,可知两个图象在[-2,4]上有8个交点,因此8个交点的横坐标和x1+x2+…+x8=4×2=8.89.(2011•全国•文T12)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有(　　)A.10个 B.9个    C.8个 D.1个【答案】A【解析】根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下:可验证当x=10时,y=|lg 10|=1;0<x<10时,|lg x|<1;x>10时|lg x|>1.结合图象知y=f(x)与y=|lg x|的图象交点共有10个.90.(2010•全国•理T8)设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=(　　)A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}【答案】B【解析】f(x-2)>0等价于f(|x-2|)>0=f(2),又∵f(x)=x3-8(x≥0)为增函数,∴|x-2|>2.解得x>4或x<0.91.(2010•全国•文T9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}等于(　　)A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}【答案】B【解析】f(x)=f(x-2)=令f(x-2)>0⇒x>4或x<0.92.(2010•全国•理T11文T12)已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是(　　)A.(1,10)             B.(5,6) C.(10,12)            D.(20,24)【答案】C【解析】因为-lg a=lg b⇒ab=1,所以abc=c,也就是说只需要求出c的取值范围即可,如下图所示,绘制出图象,平移一条平行于x轴的直线,可以发现c的取值范围是10<c<12,因此10<abc<12.二．填空题：1.(2019•全国2•理T14)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=　　. 【答案】-3【解析】∵ln 2∈(0,1),f(ln 2)=8,f(x)是奇函数,∴f(-ln 2)=-8.∵当x<0时,f(x)=-eax,∴f(-ln 2)=-e-aln 2=-8,∴e-aln 2=8,∴-aln 2=ln 8,∴-a=3,∴a=-3.2.(2019•北京•T14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　元; (2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　. 【答案】（1）130（2）15【解析】(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,y<120元时,李明得到的金额为y•80%,符合要求.y≥120元时,有(y-x)•80%≥y•70%成立,即8(y-x)≥7y,x≤,即x≤=15.所以x的最大值为15.3.(2019•北京•理T13)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=　　;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是　　. 【答案】-1    (-∞,0]【解析】若函数f(x)=ex+ae-x为奇函数,则f(-x)=-f(x),e-x+aex=-(ex+ae-x),(a+1)(ex+e-x)=0对任意的x恒成立,则a=-1.若函数f(x)=ex+ae-x是R上的增函数,则f'(x)=ex-ae-x≥0恒成立,即a≤e2x,故a≤0.4.(2018•全国3•文T16)已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=　　. 【答案】-2【解析】令g(x)=ln(-x),g(-x)=ln(+x),∴g(x)+g(-x)=ln(1+x2-x2)=0,∴g(x)为奇函数.∴f(x)=g(x)+1.∴f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2.∴f(-a)=-2.5.(2018•江苏•T9)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=则f(f(15))的值为 . 【解析】由f(x+4)=f(x),得函数f(x)的周期为4,所以f(15)=f(16-1)=f(-1)=.因此f(f(15))=f=cos.6.(2018•全国1•文T13)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=　　. 【答案】-7【解析】因为f(3)=log2(9+a)=1,所以9+a=2,即a=-7.7.(2019•浙江•T16)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤,则实数a的最大值是_______________【答案】【解析】由题意知,|f(t+2)-f(t)|=|a(6t2+12t+8)-2|≤有解,即-≤a(6t2+12t+8)-2≤有解,所以≤a≤有解,因为6t2+12t+8∈[2,+∞),所以∈0,,∈0,,所以只需要0<a≤,即amax=.8.(2019•江苏•T4)函数y= 的定义域是　　. 【答案】[-1,7]【解析】要使式子有意义,则7+6x-x2≥0,解得-1≤x≤7.9.(2018•江苏•T5)函数f(x)=的定义域为　　. 【答案】[2,+∞)【解析】要使函数f(x)有意义,则log2x-1≥0,解得x≥2,即函数f(x)的定义域为[2,+∞).10.(2018•北京•理T13)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是_____________【答案】f(x)=(答案不唯一). 【解析】画出f(x)=的图象如图所示,满足f(x)>f(0),x∈(0,2].但f(x)在[0,2]上不是增函数. 11.(2018•上海•T11)已知常数a>0,函数f(x)=的图像经过点P,Q.若2p+q=36pq,则a=　　.【答案】6【解析】∵f(x)=的图像经过点P,Q,∴=-,两式相加,得=1,即=1,化简,得2•2p+q+a(p•2q+q•2p)=2p+q+a(p•2q+q•2p)+a2pq,即2p+q=a2pq=36pq,∴a2=36.∵a>0,∴a=6.12.(2018•上海•T4)设常数a∈R,函数f(x)=log2(x+a).若f(x)的反函数的图像经过点(3,1),则a=　　. 【答案】7【解析】因为互为反函数的函数的图像关于直线y=x对称,所以函数f(x)=log2(x+a)的图像经过点(1,3),所以3=log2(1+a),即1+a=23,解得a=7.13.(2018•上海•T7)已知α∈,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=　　. 【答案】-1【解析】因为幂函数f(x)=xα为奇函数,所以α只能为-1,1,3.又函数f(x)=xα在(0,+∞)上递减,所以α=-1.14.(2018•天津•理T14)已知a>0,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是　　. 【答案】(4,8)【解析】作出函数f(x)的示意图,如图.l1是过原点且与抛物线y=-x2+2ax-2a相切的直线,l2是过原点且与抛物线y=x2+2ax+a相切的直线.由图可知,当直线y=ax在l1,l2之间(不含直线l1,l2)变动时,符合题意.由消去y,整理得x2-ax+2a=0.由Δ=0,得a=8(a=0舍去).由消去y,整理得x2+ax+a=0.由Δ=0,得a=4(a=0舍去).综上,得4<a<8.15.(2018•浙江•T15)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是　　.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是　　. 【答案】(1,4)    (1,3]∪(4,+∞)【解析】当λ=2时,f(x)=当x≥2时,f(x)=x-4<0,解得x<4,∴2≤x<4.当x<2时,f(x)=x2-4x+3<0,解得1<x<3,∴1<x<2.综上可知,1<x<4,即f(x)≤0的解集为(1,4).分别画出y1=x-4和y2=x2-4x+3的图象如图,由函数f(x)恰有2个零点,结合图象可知1<λ≤3或λ>4.故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).16.(2018•上海•T19)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.【解析】(1)由题意知,当30<x<100时,f(x)=2x+-90>40,即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,∴当x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0<x≤30时,g(x)=30•x%+40(1-x%)=40-;当30<x<100时,g(x)=•x%+40(1-x%)=x+58.所以g(x)=则g'(x)=令g'(x)=0,即x-=0,解得x=32.5.当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100时,g(x)单调递增.说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当32.5%的人自驾时,人均通勤时间最少.17.(2018•天津•文T14)已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是. 【答案】【解析】当x>0时,f(x)≤|x|可化为-x2+2x-2a≤x,即+2a-≥0,所以a≥;当-3≤x≤0时,f(x)≤|x|可化为x2+2x+a-2≤-x,即x2+3x+a-2≤0.对于函数y=x2+3x+a-2,其图象的对称轴方程为x=-.因为当-3≤x≤0时,y≤0,所以当x=0时,y≤0,即a-2≤0,所以a≤2.综上所述,a的取值范围为.18.(2017•全国2•文T14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=　　. 【答案】12【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=12.19.(2017•浙江•T17)已知a∈R,函数f(x)=+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是 【答案】【解析】x∈[1,4],x+∈[4,5].令t=x+,则f(x)=|t-a|+a,结合数轴易知,t=为[4,5]的对称轴,当a≤时,a靠近左端点4,此时|t-a|≤|5-a|=5-a,f(x)max=5-a+a=5,符合题意;当a>时,a靠近右端点5,此时|t-a|≤|4-a|=a-4,f(x)max=a-4+a=2a-4>5,不符合题意.综上可得,a的取值范围是.20.(2017•全国3•理T15文T16)设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是　　【解析】由题意得当x>时,2x+>1恒成立,即x>;当0<x≤时,2x+x-+1>1恒成立,即0<x≤;当x≤0时,x+1+x-+1>1,解得x>-,即-<x≤0.综上,x的取值范围是.21.(2017•山东•文T14)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=　　. 【答案】6【解析】由f(x+4)=f(x-2)知,f(x)为周期函数,其周期T=6.又f(x)为偶函数,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1)=f(-1)=61=6.22.(2016•江苏•T5)函数y=的定义域是　　. 【答案】[-3,1]【解析】要使函数有意义,必须3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,所以-3≤x≤1.23.(2016•北京•文T10)函数f(x)= (x≥2)的最大值为　　. 【答案】2【解析】∵f(x)=1+在[2,+∞)上是减函数,∴f(x)的最大值为2.24.(2016•全国3•理T15)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是　　. 【答案】y=-2x-1【解析】当x>0时,-x<0,则f(-x)=ln x-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f'(x)=-3,f'(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.25.(2016•天津•理T13)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是 　. 【答案】【解析】由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)>f(-)可化为f(2|a-1|)>f(),则2|a-1|<,解得<a<.26.(2016•四川•文T14)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f+f(2)=　　. 【答案】-2【解析】因为函数f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,所以f(2)=f(0+2)=f(0)=0,f=f=f=-f=-=-2,所以f+f(2)=-2.27.(2016•山东•文T15)已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是　　.【答案】(3,+∞)【解析】当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.其所在抛物线的顶点为P(m,4m-m2).函数y=f(x)的图象与直线x=m的交点为Q(m,m).(分类讨论)(1)点P在点Q的上方或与Q点重合时,即4m-m2≥m,也就是m(m-3)≤0时,解得0≤m≤3,又因为m>0,所以0<m≤3.此时函数的图象如图①所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多只有两个交点,不合题意;(2)点P在点Q的下方时,即4m-m2<m,也就是m(m-3)>0时,解得m<0或m>3,又因为m>0,所以m>3.此时函数的图象如图②所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多可有三个交点,符合题意.所以m>3.28.(2016•天津•文T14)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是       　.【答案】【解析】由函数f(x)在R上单调递减可得解得≤a≤.作出函数y=|f(x)|,y=2-的图象如图.由图象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2-有且仅有一个解;在(-∞,0)上,|f(x)|=2-同样有且仅有一个解,所以3a<2,即a<.综上可得≤a<,所以a的取值范围是.29.(2015•全国•2文T13)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a=　　. 【答案】-2【解析】由题意知f(-1)=4,得-a+2=4,∴a=-2.30.(2015•浙江•文T12)已知函数f(x)=则f(f(-2))=　-　,f(x)的最小值是　.【答案】2-6【解析】f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+-6=-;当x≤1时,f(x)min=0;当x>1时,f(x)=x+-6≥2-6,当且仅当x=,即x=时,f(x)取最小值2-6;因为2-6<0,所以f(x)的最小值为2-6.31.(2015•全国1•理T13)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=　　. 【答案】1【解析】∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+)=ln,f(1)=ln(1+),因此ln(+1)-ln a=ln(+1),于是ln a=0,∴a=1.32.(2015•山东•理T14)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=. 【答案】【解析】f(x)=ax+b是单调函数,当a>1时,f(x)是增函数,∴无解.当0<a<1时,f(x)是减函数,∴综上,a+b=+(-2)=-.33.(2015•北京•文T10)2-3,,log25三个数中最大的数是　　. 【答案】log25【解析】2-3=<1,,log25>log24=2>,所以log25最大.34.(2015•安徽•文T14)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为____________　【答案】—【解析】在同一坐标系画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=—.35.(2015•湖南•理T15)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是　　. 【答案】(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】要使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)图象与直线y=b有两个不同的交点.当0≤a≤1时,由f(x)的图象知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=b不可能有两个交点.当a<0时,由f(x)的图象(如图①)知,f(x)在(-∞,a]上递增,在(a,0)上递减,在[0,+∞)上递增,且a3<0,a2>0,所以,当0<b<a2时,f(x)图象与y=b有两个不同交点.当a>1时,由f(x)的图象(如图②)知,f(x)在(-∞,a]上递增,在(a,+∞)上递增,但a3>a2,所以当a2<b≤a3时,f(x)图象与y=b有两个不同的交点.综上,实数a的取值范围是a<0或a>1.36.(2015•北京•理T14)设函数f(x)=①若a=1,则f(x)的最小值为　　; ②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是. 【答案】-1∪[2,+∞)【解析】①当a=1时,f(x)=当x<1时,2x-1∈(-1,1);当x≥1时,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞).故f(x)的最小值为-1.②若函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴有一个交点,则a>0,并且当x=1时,f(1)=2-a>0,所以0<a<2.同时函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有一个交点,所以≤a<1.若函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴没有交点,则函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有两个不同的交点,当a≤0时,函数f(x)=2x-a的图象与x轴无交点,函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1上与x轴也无交点,不满足题意.当21-a≤0,即a≥2时,函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象与x轴的两个交点x1=a,x2=2a都满足题意.综上,a的取值范围为∪[2,+∞).37.(2015•湖北•文T13)函数f(x)=2sin xsin-x2的零点个数为　　.【答案】2【解析】f(x)=2sin xsin-x2=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2.如图所示,在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=x2的图象,当x≥0时,两图象有2个交点,当x<0时,两图象无交点,综上,两图象有2个交点,即函数的零点个数为2.38.(2014•全国1•文T15)设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是　　. 【答案】(-∞,8]【解析】当x<1时,由f(x)=ex-1≤2,解得x≤1+ln 2,又x<1,所以x的取值范围是x<1;当x≥1时,由f(x)=≤2,解得x≤8,又x≥1,所以x的取值范围是1≤x≤8.综上,x的取值范围是x≤8,即(-∞,8].39.(2014•安徽•文T14)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=则f+f=. 【答案】　【解析】由题意知原式=f+f=f+f-=-f-f=-×1--sinπ=-.40.(2014•全国2•文T15,)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=　　. 【答案】3【解析】∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(1)=f(3).∴f(-1)=3.41.(2014•全国2•理T15)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是　　. 【答案】(-1,3)【解析】∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|).∴f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>f(2).又∵f(x)在[0,+∞)上单调递减,∴|x-1|<2,解得-2<x-1<2,即-1<x<3.42.(2013•全国1•理T16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为　　. 【答案】16【解析】∵点(1,0),(-1,0)在f(x)的图象上,且图象关于直线x=-2对称,∴点(-5,0),(-3,0)必在f(x)的图象上,∴f(-5)=(1-25)(25-5a+b)=0,f(-3)=(1-9)(9-3a+b)=0.∴a=8,b=15.∴f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=-(x+1)(x-1)(x+3)(x+5)=-(x2+4x+3)(x2+4x-5).令t=x2+4x=(x+2)2-4≥-4,则f(x)=-(t+3)(t-5)=-(t2-2t-15)=-[(t-1)2-16]=16-(t-1)2,当t=1时,f(x)max=16.43.(2012•全国•文T16)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　. 【答案】2【解析】f(x)==1+,设g(x)=,则g(-x)=-g(x),∴g(x)是奇函数.由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.44.(2011•湖北•文T15)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为　　级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的　倍. 【答案】6     10 000【解析】第一空,lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6,第二空,设9级地震时最大振幅为A1,5级地震时最大振幅为A2,则9=lg A1-(-3),5=lg A2-(-3),所以A1=106,A2=102, =10 000.