十二年高考真题分类汇编(2010-2021) 数学 专题06 平面向量 Word版含解析

这是一份十二年高考真题分类汇编(2010-2021) 数学 专题06 平面向量 Word版含解析，共22页。

十二年高考真题分类汇编（2010—2021）数学
专题06 平面向量
一．选择题：
1.(2019·全国2·文T3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=(　　)
A.2 B.2 C.52 D.50
【答案】A
【解析】由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=(-1)2+12=2,故选A.
2.(2019·全国·1理T7文T8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
【答案】B
【解析】因为(a-b)⊥b,
所以(a-b)·b=a·b-b2=0,
所以a·b=b2.
所以cos=a·b|a|·|b|=|b|22|b|2=12,
所以a与b的夹角为π3,故选B.
3.(2018·全国1·理T6文T7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=(　　)
A.34AB−14AC B.14AB−34AC
C.34AB+14AC D.14AB+34AC
【答案】A
【解析】如图,EB=-BE
=-12(BA+BD)
=12AB−14BC
=12AB−14(AC−AB)
=34AB−14AC.
4.(2018·全国2·T4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)
A.4 B.3 C.2 D.0
【答案】B
【解析】a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.
5.(2018·北京·理T6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2.
∵a,b均为单位向量,∴1-6a·b+9=9+6a·b+1.
∴a·b=0,故a⊥b,反之也成立.故选C.
6.(2018·浙江·T9)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是(　　)
A.3-1 B.3+1 C.2 D.2-3
【答案】A
【解析】∵b2-4e·b+3=0,∴(b-2e)2=1,∴|b-2e|=1.
如图所示,平移a,b,e,使它们有相同的起点O,以O为原点,向量e所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则b的终点在以点(2,0)为圆心,半径为1的圆上,|a-b|就是线段AB的长度.要求|AB|的最小值,就是求圆上动点到定直线的距离的最小值,也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长,因此|a-b|的最小值为-1.

7.(2018·天津·理T8)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则
A.2116 B.32
C.2516 D.3

【答案】A
【解析】如图,以D为坐标原点建立直角坐标系.连接AC,由题意知∠CAD=∠CAB=60°,∠ACD=∠ACB=30°,则D(0,0),A(1,0),B（32,32）,C(0,3).设E(0,y)(0≤y≤3),则AE=(-1,y),BE=（-32,y-32）,∴AE·BE=32+y2-32y=（y-34）2+2116,∴当y=34时,AE·BE有最小值2116.

8.(2018·天津·文T8)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,则BC·OM的值为(　　)
A.-15 B.-9
C.-6 D.0
【答案】C
【解析】连接MN,∵BM=2MA,CN=2NA,∴AC=3AN,AB=3AM.∴MN∥BC,且MNBC=13,∴BC=3MN=3(ON−OM),
∴BC·OM=3(ON−OM)·OM=3(ON·OM-|OM|2)=32×1×-12-1=-6.
9.(2017·全国2·理T12)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是(　　)
A.-2 B.-32
C.-43 D.-1
【答案】B
【解析】以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.
可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).
设P(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).
所以PB+PC=(-2x,-2y).
所以PA·(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322−32≥-32.
当点P的坐标为0,32时,PA·(PB+PC)取得最小值为-32,故选
10.(2017·全国3·理T12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为(　　)
A.3 B.22 C.5 D.2
【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,1),B(0,0),D(2,1).

设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=|BC|·|CD||BD|=2×15=255,即圆的方程是(x-2)2+y2=45.
易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).
由AP=λAB+μAD,
得x=2μ,y-1=-λ,所以μ=x2,λ=1-y,
所以λ+μ=12x-y+1.
设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.
因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,
所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离d≤r,
即|2-z|14+1≤255,解得1≤z≤3,
11.(2017·全国2·文T4)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(　　)
A.a⊥b B.|a|=|b|
C.a∥b D.|a|>|b|
【答案】A
【解析】由|a+b|=|a-b|,平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0.又a,b为非零向量,故a⊥b,故选A.
12.(2016·四川·文T9)已知正三角形ABC的边长为23,平面ABC内的动点P,M满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是(　　)
A.434 B.494
C.37+634 D.37+2334
【答案】B
【解析】设△ABC的外心为D,则|DA|=|DB|=|DC|=2.
以D为原点,直线DA为x轴,过D点的DA的垂线
为y轴,建立平面直角坐标系,
则A(2,0),B(-1,-3),C(-1,3).
设P(x,y),由已知|AP|=1,得(x-2)2+y2=1,
∵PM=MC,∴Mx-12,y+32.
∴BM=x+12,y+332.
∴BM2=(x+1)2+(y+33)24,它表示圆(x-2)2+y2=1上点(x,y)与点(-1,-33)距离平方的14,
∴(|BM|2)max=14[32+(0+33)2+1]2=494,
故选B.
13.(2016·天津·文T7)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为 (　　)
A.-58 B.18 C.14 D.118
【答案】B
【解析】方法1(基向量法):如图所示,选取AB,AC为基底,则AF=AB+BE+EF=AB+12BC+12DE=AB+12(AC−AB)+12×12AC=12AB+34AC,BC=AC−AB.
故AF·BC=（12AB+34AC）·(AC−AB)
=34AC2−14AC·AB−12AB2
=34−14×1×1×12−12=18.
14.(2016·全国2·理T3)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=(　　)
A.-8 B.-6 C.6 D.8
【答案】D
【解析】由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)⊥b,得4×3+(m-2)×(-2)=0,解得m=8.故选D.
15.(2015·全国2·文T4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】C
【解析】由已知2a+b=(1,0),
所以(2a+b)·a=1×1+0×(-1)=1.故选C.
16.(2015·福建·文T7)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于(　　)
A.-32 B.-53 C.53 D.32
【答案】A
【解析】∵a=(1,2),b=(1,1),∴c=(1+k,2+k).
∵b⊥c,∴b·c=1+k+2+k=0.∴k=-32
17.(2015·广东·文T9)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD·AC=(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】A
【解析】AC=AB+AD=(3,-1),
所以AD·AC=(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5.
18.(2015·山东·理T4)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则BD·CD=(　　)
A.-32a2 B.-34a2
C.34a2 D.32a2
【答案】D
【解析】如图,设BA=a,BC=b.
则BD·CD=(BA+BC)·BA=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos 60°=a2+12a2=32a2.

19.(2015·四川·理T7)设四边形ABCD为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4.若点M,N满足BM=3MC,DN=2NC,则AM·NM=(　　)
A.20 B.15 C.9 D.6
【答案】C
【解析】如图所示,AM=AB+BM=AB+34AD,NM=13AB−14AD,
所以AM·NM=(AB+34AD)·（13AB−14AD）
=13|AB|2-316|AD|2+14AB·AD−14AB·AD
=13×36-316×16=9.
20.(2015·福建·理T9)已知AB⊥AC,|AB|=1t,|AC|=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PB·PC的最大值等于(　　)
A.13 B.15 C.19 D.21
【答案】A
【解析】以点A为原点,AB,AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图.
则A(0,0),B1t,0,C(0,t),
∴AB|AB|=(1,0),AC|AC|=(0,1).
∴AP=AB|AB|+4AC|AC|=(1,0)+4(0,1)=(1,4).
∴点P的坐标为(1,4),PB=1t-1,-4,PC=(-1,t-4).
∴PB·PC=1-1t-4t+16=-1t+4t+17≤-4+17=13,当且仅当1t=4t,即t=12时取“=”.
∴PB·PC的最大值为13.
21.(2015·全国1·文T2)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=(　　)
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
【答案】A
【解析】∵AB=OB−OA=(3,1),AC=(-4,-3),
∴BC=AC−AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
22.(2015·重庆·理T6)若非零向量a,b满足|a|=223|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为(　　)
A.π4 B.π2 C.3π4 D.π
【答案】A
【解析】由(a-b)⊥(3a+2b)知(a-b)·(3a+2b)=0,即3|a|2-a·b-2|b|2=0.设a与b的夹角为θ,则3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0,即3·223|b|2−223|b|2cos θ-2|b|2=0,整理,得cos θ=22.故θ=π4.
23.(2015·重庆·文T7)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为(　　)
A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π6
【答案】C
【解析】因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,
即2|a|2+a·b=0.
设a与b的夹角为θ,则有2|a|2+|a||b|cos θ=0.
又|b|=4|a|,所以2|a|2+4|a|2cos θ=0,
则cos θ=-12,从而θ=2π3.
24.(2015·全国1·理T7)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则(　　)
A.AD=-13AB+43AC
B.AD=13AB−43AC
C.AD=43AB+13AC
D.AD=43AB−13AC
【答案】A
【解析】如图,
∵AD=AB+BD,BC=3CD,
∴AD=AB+43BC=AB+43(AC−AB)
=-13AB+43AC.
25.(2014·全国1·文T6)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=(　　)
A.AD B.12AD
C.BC D.12BC
【答案】A
【解析】EB+FC=-12(BA+BC)-12(CA+CB)=-12(BA+CA)=12(AB+AC)=12×2AD=AD,故选A.
26.(2014·山东·文T7)已知向量a=(1,3),b=(3,m),若向量a,b的夹角为π6,则实数m=(　　)
A.23 B.3 C.0 D.-3
【答案】B
【解析】∵cos=a·b|a||b|,
∴cosπ6=3+3m2×32+m2,解得m=3.
27.(2014·北京·文T3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=(　　)
A.(5,7) B.(5,9)
C.(3,7) D.(3,9)
【答案】A
【解析】2a-b=(4-(-1),8-1)=(5,7).故选A.
28.(2014·广东·文T3)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=(　　)
A.(-2,1) B.(2,-1)
C.(2,0) D.(4,3)
【答案】B
【解析】由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故选B.
29.(2014·福建·理T8)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是(　　)
A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
【答案】B
【解析】对于A,C,D,都有e1∥e2,故选B.
30.(2014·全国2·理T3文T4)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.5
【答案】A
【解析】∵|a+b|=10,∴(a+b)2=10.
∴|a|2+|b|2+2a·b=10, ①
∵|a-b|=6,∴(a-b)2=6,
∴|a|2+|b|2-2a·b=6, ②
由①-②得a·b=1,故选A.
31.(2014·大纲全国·文T6)已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】由已知得|a|=|b|=1,=60°,
∴(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos-|b|2
=2×1×1×cos 60°-12=0,故选B.
32.(2014·大纲全国·理T4)若向量a,b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=(　　)
A.2 B.2 C.1 D.22
【答案】B
【解析】∵(a+b)⊥a,|a|=1,
∴(a+b)·a=0.∴|a|2+a·b=0.∴a·b=-1.
又(2a+b)⊥b,∴(2a+b)·b=0.∴2a·b+|b|2=0.
∴|b|2=2.∴|b|=2.故选B.
33.(2014·重庆·理T4)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=(　　)
A.-92 B.0 C.3 D.152
【答案】C
【解析】由已知(2a-3b)⊥c,可得(2a-3b)·c=0,
即(2k-3,-6)·(2,1)=0,展开化简,得4k-12=0,
所以k=3.故选C.
34.(2012·陕西·文T7)设向量a=(1,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ等于(　　)
A.22 B.12 C.0 D.-1
【答案】C
【解析】∵a⊥b,∴a·b=0,
∴-1+2cos2θ=0,即cos 2θ=0.
35.(2012·重庆·理T6)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= (　　)
A.5 B.10 C.25 D.10
【答案】B
【解析】由a⊥c,得a·c=2x-4=0,解得x=2.由b∥c得12=y-4,解得y=-2,所以a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),|a+b|=10.故选B.
36.(2010·全国·文T2)a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于(　　)
A.865 B.-865 C.1665 D.-1665
【答案】C
【解析】b=(2a+b)-2a=(3,18)-(8,6)=(-5,12),
因此cos=a·b|a||b|=165×13=1665.
二．填空题：
1.(2021·全国I·文T13)已知向量，，若，则__________.
答案：
解析：本题考查平面向量的计算.由得，解得.
2.(2021·全国I·理T14)已知向量，，若，则____________.
答案：
解析：本题考查平面向量的坐标运算、向量的位置关系以及数量积.由于，，结合可得，解得.
3．(2020·全国I·文T14)设向量，若，则 .
答案：5
解析：因为，所以，所以.
4.(2020·全国I·理T14)设为单位向量，且，则___________.
答案：
解析：解法一 为单位向量，且，，，，，.
解法二 如图，设，，利用平行四边形法则得，，为正三角形，.


5.(2019·全国3·文T13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos=　. 
【答案】−210
【解析】cos=a·b|a||b|=2×(-8)+2×622+22×(-8)2+62=-422×10=-210.
6.(2019·北京·文T9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=　　. 
【答案】8
【解析】∵a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b,
∴a·b=0,即-4×6+3m=0,即m=8.
7.(2019·天津·T14)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则BD·AE=　　　　. 
【答案】-1
【解析】∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°.
∵EA=EB,∴∠EAB=30°.
∠AEB=120°.
在△AEB中,EA=EB=2,
BD·AE=(BA+AD)·(AB·BE)
=-BA2+BA·BE+AD·AB+AD·BE
=-12+23×2×cos 30°+5×23×cos 30°+5×2×cos 180°=-22+6+15=-1.
8.(2019·全国3·理T13)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,则cos=   　. 
【答案】23
【解析】∵a,b为单位向量,
∴|a|=|b|=1.
又a·b=0,c=2a-5b,
∴|c|2=4|a|2+5|b|2-45a·b=9,∴|c|=3.
又a·c=2|a|2-5a·b=2,
∴cos=a·c|a|·|c|=21×3=23.
9.(2019·浙江·T17)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最小值是　　,最大值是  　. 
【答案】0 25
【解析】(基向量处理)
λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD=(λ1-λ3+λ5-λ6)AB+(λ2-λ4+λ5+λ6)AD,要使|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最小,只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0,

此时只需要取λ1=1,λ2=-1,λ3=1,λ4=1,λ5=1,λ6=1,此时|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|min=0,由于λ5AC+λ6BD=±2AB或±2AD,取其中的一种λ5AC+λ6BD=2AB讨论(其他三种类同),此时λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD=(λ1-λ3+2)AB+(λ2-λ4)AD,要使|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最大,只需要使|λ1-λ3+2|,|λ2-λ4|最大,取λ1=1,λ2=1,λ3=-1,λ4=-1,此时|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|=|4AB+2AD|=25,综合几种情况可得|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|max=25.
10.(2019·江苏·T12)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若AB·AC=6AO·EC,则ABAC的值是  　. 

【答案】3
【解析】如图,过点D作DF∥CE,交AB于点F,
由BE=2EA,D为BC中点,知BF=FE=EA,AO=OD.
又AB·AC=6AO·EC
=3AD·(AC−AE)
=32(AB+AC)·AC-13AB
=32（AB·AC−13AB2+AC2−13AB·AC）
=32（23AB·AC−13AB2+AC2）
=AB·AC−12AB2+32AC2,
得12AB2=32AC2,即|AB|=3|AC|,故ABAC=3.
11.(2018·北京·文T9)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=　　. 
【答案】-1
【解析】由题意,得ma-b=(m+1,-m).
∵a⊥(ma-b),∴a·(ma-b)=0,即m+1=0,
∴m=-1.
12.(2018·上海·T8)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F是y轴上的两个动点,且|EF|=2,则AE·BF的最小值为  　. 
【答案】-3
【解析】依题意,设E(0,a),F(0,b),不妨设a>b,则
a-b=2,AE=(1,a),BF=(-2,b),a=b+2,
所以AE·BF=(1,a)·(-2,b)=-2+ab=-2+(b+2)b=b2+2b-2=(b+1)2-3,
故所求最小值为-3.
13.(2018·江苏·T2)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB·CD=0,则点A的横坐标为  　. 
【答案】3
【解析】设A(a,2a)(a>0),则由圆心C为AB的中点得Ca+52,a,☉C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.将其与y=2x联立解得xD=1,D(1,2).因为AB=(5-a,-2a),CD=1-a+52,2-a,AB·CD=0,所以(5-a)·1-a+52+(-2a)(2-a)=0,即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.
因为a>0,所以a=3.
14.(2018·全国3·T13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=   　. 
【答案】12
【解析】2a+b=(4,2),c=(1,λ),
由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=12.
15.(2017·全国1·文T13)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直,则m=　　.
【答案】7
【解析】因为a=(-1,2),b=(m,1),
所以a+b=(m-1,3).
因为a+b与a垂直,所以(a+b)·a=0,即-(m-1)+2×3=0,解得m=7.
16.(2017·山东·文T11)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=　　. 
【答案】-3
【解析】∵a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.
17.(2017·全国1·理T13)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=　　.
【答案】2
【解析】因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4·|a|·|b|·cos 60°+4|b|2=22+4×2×1×12+4×1=12,
所以|a+2b|=12=23.
18.(2017·天津,理13文14)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC−AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为  　. 
【答案】311
【解析】由题意,知|AB|=3,|AC|=2,
AB·AC=3×2×cos 60°=3,
AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=13AB+23AC,
所以AD·AE=（13AB+23AC）·(λAC−AB)
=λ-23AB·AC−13AB2+2λ3AC2
=λ-23×3-13×32+2λ3×22
=113λ-5=-4,解得λ=311.
19.(2017·江苏·T12)如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为α,且tan α=7,OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),则m+n=　　. 
【答案】3
【解析】由tan α=7可得cos α=152,sin α=752,
则152=OA·OC|OA|·|OC|=m+nOA·OB2,
由cos∠BOC=22可得22=OB·OC|OB|·|OC|=mOA·OB+n2,
因为cos ∠AOB=cos (α+45°)=cos αcos 45°-sin αsin 45°=152×22−752×22=-35,所以OA·OB=-35,所以m-35n=15,-35m+n=1,
所以25m+25n=65,所以m+n=3.
20.(2017·山东·理T12)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若3 e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是  　. 
【答案】33
【解析】∵e1,e2是互相垂直的单位向量,
∴可设a=3e1-e2=(3,-1),b=e1+λe2=(1,λ).
则=60°.
∴cos=cos 60°=a·b|a||b|=3-λ2λ2+1=12,
即3-λ=λ2+1,解得λ=33.
21.(2017·江苏·理T13)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是  　. 
【答案】[-52,1]
【解析】设P(x,y),由PA·PB≤20,易得x2+y2+12x-6y≤20.把x2+y2=50代入x2+y2+12x-6y≤20得2x-y+5≤0.
由2x-y+5=0,x2+y2=50,可得x=-5,y=-5或x=1,y=7.由2x-y+5≤0表示的平面区域及P点在圆上,可得点P在圆弧EPF上,所以点P横坐标的取值范围为[-52,1].

22.(2017·北京·文T12)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO·AP的最大值为　　. 
【答案】6
【解析】方法1:设P(cos α,sin α),α∈R,则AO=(2,0),AP=(cos α+2,sin α),AO·AP=2cos α+4.
当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6.
故AO·AP的最大值为6.
方法2:设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,AO=(2,0),AP=(x+2,y),AO·AP=2x+4,故AO·AP的最大值为6.
23.(2016·北京·文T9)已知向量a=(1,3),b=(3,1),则a与b夹角的大小为  　. 
【答案】π6
【解析】设a与b的夹角为θ,则cos θ=a·b|a||b|=232×2=32,且两个向量夹角范围是[0,π],∴所求的夹角为π6.
24.(2016·全国1·文T13)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=　　.
【答案】−23
【解析】∵a⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=0,
解得x=-23.
25.(2016·山东·文T13)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为　　. 
【答案】-5
【解析】由a⊥(ta+b)可得a·(ta+b)=0,
所以ta2+a·b=0,
而a2=12+(-1)2=2,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,所以有t×2+10=0,解得t=-5.
26.(2016·全国2·文T13)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=　　.
【答案】-6
【解析】因为a∥b,所以-2m-4×3=0,解得m=-6.
27.(2016·全国1·理T13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　.
【答案】-2
【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2,
∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.
28.(2015·浙江·文T13)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=12.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=   　. 
【答案】233
【解析】因为b·e1=b·e2=1,|e1|=|e2|=1,由数量积的几何意义,知b在e1,e2方向上的投影相等,且都为1,所以b与e1,e2所成的角相等.由e1·e2=12知e1与e2的夹角为60°,所以b与e1,e2所成的角均为30°,即|b|cos 30°=1,所以|b|=1cos30°=233.
29.(2015·全国2·理T13)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=   　. 
【答案】12
【解析】由题意知存在实数t∈R,使λa+b=t(a+2b),得λ=t,1=2t,解得λ=12.
30.(2015·北京·理T13)在△ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x=   　,y=   　. 
【答案】12−16
【解析】如图,∵MN=MC+CN=13AC−12BC
=13AC−12(AC−AB)
=12AB−16AC,
∴x=12,y=-16.
31.(2014·湖北·理T11)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=　　. 
【答案】±3
【解析】由题意得(a+λb)·(a-λb)=0,即a2-λ2b2=0,则a2=λ2b2,
λ2=a2b2=(32+32)2[12+(-1)2]2=182=9.故λ=±3.
32.(2014·陕西·理T3)设0<θ<π2,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,则tan θ=  　. 
【答案】12
【解析】由a∥b,得sin 2θ=cos2θ,即2sin θcos θ=cos2θ,
因为0<θ<π2,所以cos θ≠0,所以2sin θ=cos θ.
所以tan θ=12.
33.(2014·重庆·文T12)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=10,则a·b=　　. 
【答案】10
【解析】由题意得|a|=210,所以a·b=|a||b|cos=210×10×12=10.
34.(2014·全国1·理T15)已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=12(AB+AC),则AB与AC的夹角为　　.
【答案】90°
【解析】由AO=12(AB+AC),可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°.故AB与AC的夹角为90°.
35.(2014·湖北·文T12)若向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OA·OB=0,则|AB|=   　. 
【答案】25
【解析】设B(x,y),由|OA|=|OB|,可得10=x2+y2, ①
OA·OB=x-3y=0, ②
由①②得x=3,y=1或x=-3,y=-1,
所以B(3,1)或B(-3,-1),
故AB=(2,4)或AB=(-4,2),|AB|=25,
36.(2013·江苏·T10)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为  　. 
【答案】12
【解析】由题意作图如图.

∵在△ABC中,DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC−AB)=-16AB+23AC=λ1AB+λ2AC,∴λ1=-16,λ2=23.
故λ1+λ2=12.
37.(2013·北京·理T13)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ=　　. 

【答案】4
【解析】可设a=-i+j,i,j为单位向量且i⊥j,
则b=6i+2j,c=-i-3j.
∵c=λa+μb=(6μ-λ)i+(λ+2μ)j,
∴6μ-λ=-1,λ+2μ=-3,解得λ=-2,μ=-12.∴λμ=4.
38.(2013·全国1·T13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=　　. 
【答案】2
【解析】b·c=ta·b+(1-t)|b|2.
又|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60°,b·c=0,
∴0=t|a||b|cos 60°+(1-t),0=12t+1-t.
∴t=2.
39.(2013·全国2·理T13文T14)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE·BD=　　. 
【答案】2
【解析】以{AB,AD}为基底,则AB·AD=0,
而AE=12AB+AD,BD=AD−AB,
∴AE·BD=12AB+AD·(AD−AB)
=-12|AB|2+|AD|2=-12×22+22=2.
40.(2013·天津·理T12)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若AC·BE=1,则AB的长为  　. 
【答案】12
【解析】如图所示,在平行四边形ABCD中,AC=AB+AD,BE=BC+CE=-12AB+AD.
所以AC·BE=(AB+AD)·-12AB+AD=-12|AB|2+|AD|2+12AB·AD=-12|AB|2+14|AB|+1=1,解方程得|AB|=12(舍去|AB|=0).所以线段AB的长为12.

41.(2013·北京·文T14)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足AP=λAB+μAC(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为　　. 
【答案】3
【解析】AP=λAB+μAC,AB=(2,1),AC=(1,2).
设P(x,y),则AP=(x-1,y+1).
∴x-1=2λ+μ,y+1=λ+2μ,得λ=2x-y-33,μ=2y-x+33,
∵1≤λ≤2,0≤μ≤1,可得6≤2x-y≤9,0≤x-2y≤3,如图.
可得A1(3,0),B1(4,2),C1(6,3),
|A1B1|=(4-3)2+22=5,
两直线间距离d=|9-6|22+1=35,∴D的面积S=|A1B1|·d=3.
42.(2012·全国·理T13文T15)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=   　.
【答案】32
【解析】∵a,b的夹角为45°,|a|=1,
∴a·b=|a|×|b|cos 45°=22|b|,
|2a-b|2=4-4×22|b|+|b|2=10,
∴|b|=32.
43.(2012·安徽·文T11)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|= .
【答案】2
【解析】由题意,可得a+c=(3,3m).
由(a+c)⊥b,得(a+c)·b=0,
即(3,3m)·(m+1,1)=3(m+1)+3m=0,
解之,得m=-12.∴a=(1,-1),|a|=2.
44.(2011·全国·文T13)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=　　.
【答案】1
【解析】由已知可得|a|=|b|=1,且a与b不共线,
所以a·b≠1,a·b≠-1.
由已知向量a+b与向量ka-b垂直,
所以(a+b)·(ka-b)=0,
即ka2-b2+(k-1)a·b=0,
即k-1+(k-1)a·b=0,所以(k-1)(1+a·b)=0.
因为a·b≠-1,即a·b+1≠0,
所以k-1=0,即k=1.