【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科） 不等式选讲（精解精析）

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编  （文科）

不等式选讲（精解精析）

1．(2021年高考全国乙卷文科)已知函数．

(1)当时，求不等式的解集;

(2)若，求a的取值范围．

【答案】（1）．（2）．

解析：（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，

则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，故或，

所以的解集为．

（2）依题意，即恒成立，

，故，

所以或，

解得．

所以的取值范围是．

【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．

2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知函数．

(1)画出的图像；

(2)求不等式的解集．

【答案】（1）详解解析；（2）．

【解析】（1）因为，作出图象，如图所示：

（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：

由，解得．

所以不等式的解集为．

【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．

3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求a的取值范围．

【答案】（1）或；（2）．

解析：（1）当时，．

当时，，解得：；

当时，，无解；

当时，，解得：；

综上所述：的解集为或．

（2）（当且仅当时取等号），

，解得：或，

的取值范围为．

【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．

4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．

(1)证明：ab+bc+ca<0；

(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．

解析：（1），

均不为，则，；

（2）不妨设，

由可知，，

，．

当且仅当时，取等号，

，即．

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．

5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)设，且．

(1)求的最小值；

(2)若成立，证明：或．

【答案】【答案】(1)；(2)见详解．

【官方解析】（1）由于

 故由已知得，当且仅当时等号成立．

 所以的最小值为．

  （2）由于

 故由已知得，当且仅当时等号成立．

 因此的最小值为

 由题设知，解得或．

【解法2】柯西不等式法

 (1)，

故，当且仅当时等号成立．

所以的最小值为．

(2)，所以．当且仅当时等号成立．

成立．

所以成立，所以有或．

【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．

6．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷文科)已知函数．

当时，求不等式的解集；

当时，，求的取值范围．

【答案】；

【官方解析】

当时，.

当时，；当时，.

所以，不等式的解集为.

因为，所以.

当，时，

所以，的取值范围是.

【分析】根据，将原不等式化为，分别讨论，，三种情况，即可求出结果；

分别讨论和两种情况，即可得出结果.

【解析】

当时，原不等式可化为；

当时，原不等式可化，即，显然成立，

此时解集为；

当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；

当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；

综上，原不等式的解集为；

当时，因为，所以由可得，

即，显然恒成立；所以满足题意；

当时，，因时， 显然不能成立，所以不满足题意；

综上，的取值范围是.  

【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.

7．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷文科)已知，，为正数，且满足．证明：

(1)；

(2)．

【答案】解：（1）因为，又，故有

．所以.

（2）因为为正数且，故有

所以．

8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)【选修4—5：不等式选讲】(10分)

设函数．

(1)画出的图象；

(2)当时，，求的最小值．

【答案】【官方解析】（1）

的图像如图所示

（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．

【民间解析】（1），可作出函数的图象如下图

（2）依题意可知在上恒成立，在上也恒成立

当时，恒成立即在上恒成立

所以，且，此时，

当时，即恒成立

结合，可知即

综上可知，所以当，时，取得最小值．

9．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)[选修4－5：不等式选讲](10分)

设函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围．

【答案】解析：（1）当时，

可得的解集为．

（2）等价于．

而，且当时等号成立，故等价于．

由可得或，所以的取值范围是．

10．(2018年高考数学课标卷Ⅰ文科)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若时不等式成立，求的取值范围．

【答案】解析：（1）当时，，即

故不等式的解集为．

（2）当时成立等价于当时成立．

若，则当时；

若，的解集为，所以，故．

综上，的取值范围为．

11．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷文科)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,．

(1)当时,求不等式的解集;

(2)若不等式的解集包含,求的取值范围

2017年高考数学新课标Ⅰ卷文科

【答案】(1);(2)． 【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,,讨论,得出最值的解集;(2)当时,．若的解集包含,等价于当时,,则在的最小值必为与之一,所以且,得,所以的取值范围为． 【解析】(1)当时,不等式等价于① 当时,①式化为,无解; 当时,①式化为,从而; 当时,①式化为,从而 所以不等式的解集为 (2)当时, 所以的解集包含,等价于当时, 又在的最小值必为与之一,所以,得． 所以的取值范围为． 【考点】绝对值不等式的解法,恒成立问题 【点评】零点分段法是解答绝对值不等式问题的常用方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图像解题．

12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)[选修4—5：不等式选讲](10分)

已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) 【解析】（1）因为

所以不等式等价于或或

由无解；由；由

综上可得不等式的解集为．

（2）解法一：先求不等式的解集为空集时的取值范围

不等式的解集为空集等价于不等式恒成立

记，则

当时，

当时，

当时，

所以

所以不等式的解集为空集时，

所以不等式的解集非空时，的取值范围为．

解法二：原式等价于存在，使成立，即

设

由（1）知

当时，，其开口向下，对称轴

所以

当时，，其开口向下，对称轴为

所以

当时，，其开口向下，对称轴为

所以

综上

所以的取值范围为．

【考点】绝对值不等式的解法

【点评】绝对值不等式的解法有三种：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

13．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知，证明：

(1)；

(2)．

【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式

【基本解法】（1）解法一：由柯西不等式得：

解法二：

解法三：

又，所以．

当时，等号成立．

所以，，即．

（2）解法一：由及得

所以．

解法二：（反证法）假设，则，两边同时立方得：

，

即，因为，

所以，即

，矛盾，所以假设不成立，

即．

解法三：因为，

所以：

．

又，所以: 。

所以，，即．

【考点】基本不等式；配方法

【点评】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形后若与二次函数有关，可用配方法．

14．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科)选修4—5:不等式选讲

已知函数.

(Ⅰ)当时,求不等式的解集;

(Ⅱ)设函数,当时,,求的取值范围.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).

【解析】(Ⅰ)当时,.

解不等式,得.因此,的解集为.

(Ⅱ)当时,

当时等号成立.

所以当时,等价于.①

当时,①等价于,无解.

当时,①等价于,解得

所以的取值范围是.

15．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数，为不等式的解集．

(I)求；

(II)证明：当时，．

【答案】（1）；（2）见解析

【官方解答】（1）

当时，由得，解得；

当时，恒成立；

当时，由，得，解得．

所以的解集．

（2）由（1）知，当时，，，从而

．

因此．

【民间解答】⑴当时，，若；

当时，恒成立；

当时，，若，．

综上可得，．

⑵当时，有

即， 

则，

则，

即，

证毕．

16．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数．

(I)画出的图像；

(II)求不等式的解集．

【答案】    (I)见解析   (II)

【官方解答】(I) ，如图所示：

(II)由得表达式及图像，当时，得或

当时，得或

故的解集为；的解集为

，解集为．

【民间解答】(I) 如上图所示：

(II)

当，，解得或

当，，解得或或

当，，解得或  或

综上，或或

，解集为．

17．(2015高考数学新课标2文科)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲

设均为正数，且，证明：

(Ⅰ)若，则；

(Ⅱ)是的充要条件．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．

解析：（Ⅰ）因为，，由题设，，得．因此．

（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所以，由（Ⅰ）得．

（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件．

考点：推理证明．

18．(2015高考数学新课标1文科)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数．

(Ⅰ)当时，求不等式的解集；

(Ⅱ)若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）

分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f（x）>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将化为分段函数，求出与轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于的不等式，即可解出的取值范围．

解析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，

等价于或或，解得，

所以不等式f（x）>1的解集为． 

（Ⅱ）由题设可得，，

 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，所以△ABC的面积为．

由题设得＞6，解得．

所以的取值范围为（2，+∞）． 

考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法

19．(2014高考数学课标2文科)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．

设函数=

(Ⅰ)证明：2；

(Ⅱ)若，求的取值范围．

【答案】解析：（Ⅰ），

  仅当时等号成立，所以2．

（Ⅱ）=

当时，=，解得

当时，=，解得

综上所述，的取值范围为．

考点：（1）三角不等式的运用（2）分类讨论的思想

难度：B

备注：高频考点

20．(2014高考数学课标1文科)选修4—5:不等式选讲

若,且．

(1)求的最小值;

(2)是否存在,使得?并说明理由．

【答案】解析:(1)由,得,且当时等号成立, 故,且当时等号成立, ∴的最小值为．                       (2)由,得,又由(1)知,二者矛盾, 所以不存在,使得成立．   考点:(1)证明不等式的基本方法;(2)反证法的应用 难度:B

21．(2013高考数学新课标2文科)设均为正数，且，证明：

(Ⅰ)；(Ⅱ)

【答案】证明：(1)由得

.

由题设得，

即.

所以，即.

(2)因为，

故，

即.

所以.

考点：（1）7.1.1不等式的性质；（2）7.1.3不等式性质的应用；（3）7.3.1利用基本不等式证明简单不等式

难度：C

备注：高频考点

22．(2013高考数学新课标1文科)选修4—5：不等式选讲

已知函数=,=．

(Ⅰ)当=2时，求不等式＜的解集；

(Ⅱ)设＞-1,且当∈[，)时，≤,求的取值范围．

【答案】（1）　　（2）（-1，]．

解析：当=-2时，不等式＜化为，

设函数=，=，

其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，∴原不等式解集是．

（Ⅱ）当∈[，)时，=，不等式≤化为，

∴对∈[，)都成立，故，即≤，

∴的取值范围为（-1，]．

考点：（1）12．3．1含绝对值不等式的解法；（2）12．3．3含绝对值的恒成立问题．

难度：Ｂ

备注：高频考点

23．(2012高考数学新课标文科)选修：不等式选讲

已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若的解集包含，求的取值范围．

【答案】（１）{ |≤1或≥8}　　（２）[－3,0]　

解析：（1）当时，

        或或

         或

      （2）原命题在上恒成立

在上恒成立

在上恒成立

考点：（１）12．3．1含绝对值不等式的解法；(2)12．3．3含绝对值的恒成立问题．

难度：Ｂ

备注：高频考点