备战2022年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学仿真试题03（原卷版）+(解析版)

2022年1月福建省普通高中学业水平合格性考试

数学仿真试题（三）

（考试时间：90分钟；满分：100分）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．

参考公式：

样本数据的标准差

其中为样本平均数

柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，

其中，S分别为上、下底面面积，h为高

锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高

球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题  45分）

一、选择题（本大题有15小题，每小题3分，共45分．每小题只有一个选项符合题意）

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

由题意，根据并集的定义.

故选：C

2．如图，一个空间几何体的三视图都是半径为2的圆，则这个几何体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由三视可知该几何体是半径为2的球，

所以该球的表面积为，

故选：D.

3．已知成等比数列，且，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【详解】

解：因为成等比数列，所以，即，所以

故选：A

4．福州地铁二号线“福州大学站”的一个安保员，某日将负责的车箱从中午一点开始的十班下车的人数统计如下：3､6､7､3､10､4､6､7､6､8，则这组数据的众数为（    ）

A．3 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【详解】

3､6､7､3､10､4､6､7､6､8按从小到大排列3､3､4､6､6､6､7､7､8､10

所以众数为6

故选：B

5．从编号为1~100的球中取出1球，所得的编号是4的倍数的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

从编号为1~100的球中取出1球，基本事件共100个，

其中所得的编号是4的倍数的基本事件有25个，

故所得的编号是4的倍数的概率为.

故选：B.

6．函数，的最小正周期是（    ）

A．2π B．π

C． D．

【答案】B

【详解】

解：根据三角函数的周期公式得函数的最小正周期为.

故选：B

7．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

要使函数有意义，则，解得.

所以函数的定义域为.

故选：B.

8．若，则有（    ）

A．最小值 B．最小值

C．最大值 D．最大值

【答案】B

【详解】

因为，由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，所以，当时，则有最小值.

故选：B.

9．直线与直线平行，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

直线的斜率为，

因为直线与直线平行，

所以，

故选：D

10．如图，在平行四边形中，，，，则（    ）（用，表示）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意，在平行四边形中，，，，

根据平面向量的线性运算法则，可得

.

故选：D.

11．不等式的解集为（　　）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】A

【详解】

由不等式可得，

解得：或，

所以原不等式的解集为：或

故选：A．

12．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，.

故选：D.

13．下列函数既是奇函数又是减函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

对于A：是指数函数，为非奇非偶函数，A错误；

对于B：在定义域R上是减函数，又，所以函数在定义域上是奇函数，B正确；

对于C：在定义域上没有单调性，C错误；

对于D：是对数函数，是非奇非偶函数，D错误.

故选：B

14．已知，则，， 的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，，

所以，又因为，

故，

故选：C.

15．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

当时，，所以排除A，D，

当时，，所以排除B，

故选：C

第Ⅱ卷（非选择题  55分）

（请考生在答题卡上作答）

二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）

16．已知平面向量，，若，则___________.

【答案】

【详解】

由，得，即，解得.

故答案为：

17．函数的零点是___________.

【答案】和

【详解】

令y=0，即，解得：和

故答案为：和

18．在锐角中，，则角的大小为___________.

【答案】

【详解】

解：由，得，

由余弦定理：，

又因为A为锐角三角形的内角，

所以，

故答案为：.

19．在等差数列中，，，则______．

【答案】12

【详解】

解：由等差数列的性质可得

，

则，得

故答案为：12.

20．若，满足约束条件，则的最小值为_______________________．

【答案】

【详解】

，

作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由得，由图可知，当直线经过点时，取得最小值．

故答案为：

三、解答题（本大题有5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21．（本小题满分6分）

已知角终边上有一点，求下列各式的值．

（1）；   

（2）

【答案】（1）；（2）

【详解】

（1）

（2），

原式上下同时除以

.

22．（本小题满分8分）

如图所示：在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）详见解答；（2）.

【详解】

（1）为中点，，

平面平面，平面平面，

平面，平面平面，

平面平面；

（2）且，分别为的中点，

，

平面，，

.

23．（本小题满分8分）

已知的展开式中的系数是-35，

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）1（2）

【详解】

试题解析：∵，

∴，∴.

（1）令时，，①

令时，.

∴.

（2）令时，.②

①-②得.

24．（本小题满分8分）

已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若圆与直线：交于，两点，_____________，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.

【详解】

（Ⅰ）设圆心坐标为，半径为.

由圆的圆心在直线上，知：.

又∵圆与轴相切于点，

∴，，则.

∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.

（Ⅱ）如果选择条件①：，而，

∴圆心到直线的距离，则，解得或.

如果选择条件②：，而，

∴圆心到直线的距离，则，解得或.

25．（本小题满分10分）

某个体服装店经营某种服装，在某周内每天获纯利（元）与该周每天销售这种服装件数之间的一组数据关系如下表所示．

已知，，．

（1）求，；

（2）画出散点图；

（3）求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程（结果保留两位小数）；

（4）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元．（精确到1元）

注：，．

【答案】（1），；（2）作图见解析；（3）；（4）146元．

【详解】

（1），；

（2）散点图如图所示．

（3）由散点图知与具有线性相关关系，设回归直线方程为．

∵，，，，，

∴，，

∴回归直线方程为；

（4）当时，．

∴该周内某天的销售量为20件时，估计这天可获纯利146元．