考点11 平行线与全等三角形-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（解析版）

这是一份考点11 平行线与全等三角形-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（解析版），共71页。试卷主要包含了相交线与平行线，三角形的相关概念，10等内容，欢迎下载使用。

考点11. 平行线与全等三角形
知识框架：


基础知识点：
知识点1-1、相交线与平行线
1．垂直
1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．
2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．
2．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．
3．邻补角
1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．
3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．
4．对顶角定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．
2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．
5．平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
6．平行线的判定
1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．
4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行．
7．平行线的性质
1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补．
4）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：

做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：
8．平行线间的距离
1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．
知识点1-2、三角形的相关概念
1．三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．
2．三角形的三边关系
1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形的两边之差小于第三边．
2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．
3．三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
4．三角形中的重要线段
1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．
2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．
4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
知识点1-3全等三角形
1．三角形全等的判定定理：
1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2．全等三角形的性质：
1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
2）全等三角形的周长相等，面积相等；
3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．
知识点1--4等腰（等边）三角形
1．等腰三角形的性质
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
2．等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
3. 等边三角形
1）．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．
2）．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3）．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
重难点题型
题型1 对顶角和余角、（邻）补角
【解题技巧】1）．识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．2）．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个．
1．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是(　　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．
【详解】解：A、∠α与∠β互余，故本选项正确；B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项错误；
C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项错误；D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项错误；故选A.
【点睛】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
2．（2020·陕西中考真题）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（　　）
A．57° B．67° C．77° D．157°
【答案】B
【分析】根据∠A的余角是90°﹣∠A，代入求出即可．
【详解】解：∵∠A＝23°，∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°．故选：B．
【点睛】本题考查了余角的定义，注意：如果∠A和∠B互为余角，那么∠A=90°-∠B．
3．（2020·甘肃金昌市·中考真题）若，则的补角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据补角的定义即可得．
【详解】的补角的度数是故选：B．
【点睛】本题考查了补角的定义，熟记定义是解题关键．
4．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则_________．

【答案】
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，进而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能求出∠BOC．
【详解】解： ∠AOB=∠COD=90°， ∠AOC=∠BOD， 又∠AOD=108°，
∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°， ∠BOC=90°-18°=72°． 故答案为：．
【点睛】本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2020·广东广州市·中考真题）已知，则的补角等于________．
【答案】80
【分析】根据补角的概念计算即可．
【详解】∠A的补角=180°－100°=80°,故答案为:80．
【点睛】本题考查补角的概念,关键在于牢记基础知识．
6．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，点O在直线上，，则的度数是______．

【答案】
【分析】根据补角的定义，进行计算即可.
【详解】解：由图可知：∠AOC和∠BOC互补，∵，
∴∠BOC=180°-=，故答案为：.
【点睛】本题考查了补角的定义，和角的计算，关键是掌握角的运算方法.
7．（2020·四川南充市·中考真题）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．

【答案】38
【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【详解】解：∵两直线交于点O，∴∠1=∠2，∵∠1+∠2=76°，∴∠1=38°．故答案为：38．
【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．

题型2平行线的性质
【解题技巧】解决平行线性质求角度的问题，首先应在脑海中回顾下平行线的性质，再从所求角度出发，结合已知条件寻求所求角度与已知之间的数量关系，有时也会用到题中的隐含条件，如三角形内角和、三角形内外角关系等来求解．
1．（2020·山东滨州市·中考真题）如图，AB//CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（ ）

A．60° B．70° C．80° D．100°
【答案】B
【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠CPF=55°，
∵PF是∠EPC的平分线，∴∠CPE=2∠CPF=110°，∴∠EPD=180°-110°=70°，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（　　）

A．66° B．56° C．68° D．58°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝58°．故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解答本题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
3．（2020·广东深圳市·中考真题）一把直尺与30°的直角三角板如图所示，∠1=40°，则∠2=（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【分析】如图：根据直角三角形的性质可得，然后再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
【详解】解：如图：∵含30°直角三角形∴
∵直尺两边平行∴∠1+∠2+∠3=180°∴．故答案为D．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质和平行线的性质，其中灵活运用两直线平行、同旁内角互补的性质是解答本题的关键．
4．（2020·湖南长沙市·中考真题）如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线上，斜边AB平分，交直线GH于点E，则的大小为( )

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的性质求得∠DAE的度数，利用平行线的性质求得∠ACE的度数，即可求解．
【详解】∵AB平分，∠CAB=60，∴∠DAE=60，
∵FD∥GH，∴∠ACE+∠CAD=180，∴∠ACE=180-∠CAB-∠DAE=60，
∵∠ACB=90，∴∠ECB=90-∠ACE=30，故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
5．（2020·湖北襄阳市·中考真题）如图，，直线分别交，于点E，F，平分，若，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质求解，利用角平分线求解，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：，
平分，
故选．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2020·山东淄博市·中考真题）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（ ）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【详解】由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．
【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，
∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是解答本题的关键．
7．（2020·湖北宜昌市·中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数．

【答案】25°
【分析】使用平行线的性质得到，再根据得到结果．
【详解】解：∵∴
∵∴
【点睛】本题考查了平行线的性质，及角度间的加减计算，熟知平行线的性质是解题的关键．
8．（2020·河南中考真题）如图，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行线的性质即可求解．
【详解】如图，∵，∴∠1+∠3=180º，∵∠1=70º，∴∴∠3=180º-70º=110º，∵，∴∠2=∠3=110º，故选：B．

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．

题型3平行线的判定
【解题技巧】平行线的判定1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行．
1．（2020·湖北武汉市·中考真题）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．

【答案】证明见解析．
【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】平分，平分
，即．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．
2．（2020·湖南郴州市·中考真题）如图，直线被直线所截下列条件能判定的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．
【详解】A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
3．（2020·江西中考真题）如图，，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可对A进行判断；根据三角形外角的性质可对B进行判断；求出∠C，根据大角对大边，小角对小边可对D进行判断；求出可对C进行判断．
【详解】，，故选项A正确；，，
又，，故选项B正确；
，，，，故选项D正确；
，，
而，故选项C错误．故选C．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握性质与判定是解答此题的关键．
4．（2020·湖南岳阳市·中考真题）如图，，，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平行线的判定和性质，即可求出答案．
【详解】解：∵，，∴，∴，
∵，∴；故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
5．（2020·浙江金华市·中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）

A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】解：
∵由题意a⊥AB，b⊥AB，∴∠1=∠2∴a∥b
所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2020·湖北咸宁市·中考真题）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵__________，∴．

【答案】∠1=∠4（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定添加条件即可.
【详解】解：如图，若∠1=∠4，则a∥b，故答案为：∠1=∠4（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行线的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角解答.

题型4 平行线有关的辅助线问题
【解题技巧】除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：

做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：
1．（2020·湖南中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）

A．70° B．65° C．35° D．5°
【答案】B
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
2．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，，一块含的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作平行a和b的平行线,再根据平行的性质可知,再算出即可得出．
【详解】如图所示,过直角顶点作c∥a，∵，∴a∥b∥c，

∴,∴,∴．故选A．
【点睛】本题考查平行的性质,关键在于利用割补法将直角分成两个角度进行转换．
3．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）如图，四边形是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则的值为（ ）

A．1 B． C．2 D．无法确定
【答案】A
【分析】过点D作交AO于点E，由平行的性质可知，等量代换可得的值.
【详解】解：如图，过点D作交AO于点E，

四边形是矩形

故选：A.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.
4．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，直线于点，若，则的度数是（ ）

A．120° B．100° C．150° D．160°
【答案】C
【分析】延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出∠AFC的度数，再利用外角的性质求出∠ECF，从而求出∠ECD．
【详解】解：延长AE，与DC的延长线交于点F，
∵AB∥CD，∴∠A+∠AFC=180°，∵，∴∠AFC=60°，
∵AE⊥CE，∴∠AEC=90°，而∠AEC=∠AFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEC-∠F =30°，
∴∠ECD=180°-30°=150°，故选：C．

【点睛】本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和平行线的性质是解题的关键．
5．（2020·四川绵阳市·中考真题）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　）

A．16° B．28° C．44° D．45°
【答案】C
【分析】延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，
【详解】解：延长，交于，
是等腰三角形，，，，，
，，故选：．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
6．（2020·江苏南通市·中考真题）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（　　）

A．36° B．34° C．32° D．30°
【答案】A
【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数．
【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．

∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°，∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．
又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°．故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．

题型5 三角形的三边关系
【解题技巧】在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．
1．（2020·江苏宿迁市·中考真题）在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】∵在△ABC中，AB=1，BC=，∴﹣1＜AC＜+1，
∵﹣1＜2＜+1，4＞+1，5＞+1，6＞+1，∴AC的长度可以是2，
故选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及无理数的估算，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系解答．
2．（2020·湖南益阳市·中考真题）如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取值范围，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=3，BO=BD=4，
在△AOB中，4-3 【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
3．（2020·宁夏中考真题）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；
2、6、7；4、6、7； 其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况，
所以能构成三角形的概率是，故选：B．
【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边．
4．（2020·浙江绍兴市·中考真题）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论.
【详解】①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．故选：B.
【点睛】此题考查构成三角形的条件，三角形的三边关系，解题中运用不同情形进行讨论的方法，注意避免遗漏构成的情况.
5．（2020·江苏徐州市·中考真题）三角形的两边长分别为和，则第三边长可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系判断即可.
【详解】6-3=3＜第三边长＜6+3=9,只有6cm满足题意,故选C.
【点睛】本题考查三角形的三边范围计算,关键牢记三边关系.
6．（2020·山东滨州市·中考真题）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为________．
【答案】
【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可.
【详解】五根木棒，任意取三根共有10种情况：3、5、8 3、5、10 3、5、13 3、8、10
3、8、13 3、10、13 5、10、13 5、8、10 5、8、13 8、10、13
其中能组成三角形的有：①3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能构成三角形；
②5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能构成三角形；
③5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能构成三角形；
④8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能构成三角形；所以有4种方案符合要求，
故能构成三角形的概率是P==，故答案为：.
【点睛】此题考查三角形的三边关系，列举法求事件的概率，列举法求概率的关键是在列举所有情况时考虑要全面，不能重复也不能遗漏.
7．（2020·四川阿坝藏族羌族自治州·中考真题）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________．
【答案】17
【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案．
【详解】解：解方程得x1=2，x2=6，当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去；
当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.故答案为：17．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
8．（2020·山东济宁市·中考真题）已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是__________(写出一个即可)，
【答案】4（答案不唯一，在3＜x＜9之内皆可）
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于6-3=3，而小于6+3=9，
故第三边的长度3＜x＜9．故答案为：4（答案不唯一，在3＜x＜9之内皆可）．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．

题型6 三角形的内角和与外角
【解题技巧】三角形的内角和为180°，三角形的一个外角等于两个不相邻的内角之和。
1．（2020·湖南湘潭市·中考真题）如图，是的外角，若，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的外角的性质进行计算即可．
【详解】解：∵是的外角，∴=∠B+∠A
∴∠A=-∠B，∴∠A=60°选：D
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
2．（2020·四川广安市·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　）

A．210° B．110° C．150° D．100°
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，从而求出结论．
【详解】解：∵∠A=30°，∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°
∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°
故选A．
【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键．
3．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，，，，则的度数是 （ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行线的性质结合等腰三角形的性质求出∠CAD，再根据三角形内角和定理求出∠2．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD＝65°，
∵AD＝CD，∴∠DCA＝∠CAD＝65°，∴∠2＝180°−65°−65°＝50°．故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理和等腰三角形的性质，正确得出∠CAD的度数是解题关键．
4.（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）一个零件的形状如图所示，，则的度数是（ ）

A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【分析】延长DE与BC交于点F，则四边形ABFD是平行四边形，则∠A=∠F，利用三角形内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：延长DE与BC交于点F，如图：

∵，∴四边形ABFD是平行四边形，∴∠A=∠F，
在△BDF中，，∴，∴∠A=80°；故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线，求出∠F的度数．
5．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余角的性质，求出∠CAB=50°，由旋转的性质，得到，，然后求出，即可得到答案．
【详解】解：在中，，∴∠CAB=50°，
由旋转的性质，则，，∴，
∴；故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是掌握所学的性质，正确求出．
6．（2020·内蒙古）如图，是的外角，．若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质及三角形的内角和定理即可求解．
【详解】∵，∴∠B=∴∠A=180°-∠B-故选B．
【点睛】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和等于180°．
7．（2020·北京中考真题）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）

A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【答案】A
【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；
由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知
B选项为∠2＞∠3，C选项为∠1=∠4+∠5，D选项为∠2＞∠5．故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断．
8．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，在中，，垂足为D，与关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角形内角和定理，得到，由轴对称的性质，得到，根据外角的性质即可得到答案．
【详解】解：在中，，∴，
∵与关于直线AD对称，∴，
∴；故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的进行角度的计算．

题型7 三角形中的三条重要线段
【解题技巧】三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.
1．（2020·福建中考真题）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．
【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面积是．故选D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
2．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（ ）

A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4
【答案】A
【分析】由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．
【详解】解：∵点G为△ABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF＝＝1.7，故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，关键正确利用重心定义得EF为三角形的中位线．
3．（2020·山东淄博市·中考真题）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）

A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
【答案】A
【详解】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
【解答】解：设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，② 在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
4．（2019·黑龙江中考真题）如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD=________．

【答案】3.
【分析】先判断点G为△ABC的重心，然后利用三角形重心的性质求出AG，从而得到AD的长．
【解析】解：∵D、E分别是BC，AC的中点，∴点G为△ABC的重心，∴AG=2DG=2，
∴AD=AG+DG=2+1=3．故答案为3．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
5．（2021·四川绵阳市·中考模拟）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE,AD垂直相交于点O，则AB=______.

【答案】
【分析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代换得到BO2+ AO2=4，BO2+AO2=，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．
【解析】解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，
∴BD=BC=2，AE=AC=，点O为△ABC的重心，∴AO=2OD，OB=2OE，
∵BE⊥AD，∴BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=，∴BO2+AO2=4，BO2+AO2=，
∴BO2+AO2= ，∴BO2+AO2=5，∴AB==．故答案是：．
【点睛】考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
6．（2020·湖南湘潭市·中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为4，求的长度；
②若，求正方形的面积．
【答案】（1），；（2）都是定值，，；（3）①；②12．
【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）①证明△CME∽△ABM得，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；②分别求出S△BMC和S△ABM 即可.
【详解】（1）连接DE，如图，

∵点O是的重心，，是，C边上的中线，
为，边上的中点，为的中位线，，，
，，，，，
；
（2）由（1）可知，是定值；是定值；
（3）①∵四边形ABCD是正方形，，，
为CD的中点，
，即；
②，且 ∴，，，
， ，
又∴正方形ABCD的面积为：6+6=12．
【点睛】本题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是灵活运用三角形重心的性质．
7．（2020·四川攀枝花市·中考真题）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图是的重心．求证：．

【答案】见解析
【分析】过点D作DH∥AB交CE于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH，从而得到AE=2DH，再根据△AEG和△DHG相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证．
【详解】解：过点D作DH∥AB，交CE于点H，∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点，
∴DH是△BCE的中位线，∴BE=2DH，DH∥AB，∵CE是△BCE的中线，∴AE=BE，∴AE=2DH，
∵DH∥AB，∴△AEG∽△DHG，∴，∴AG=2GD，即AD=3GD.

【点睛】本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造成三角形的中位线和相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
题型8 全等三角形
【解题技巧】1）．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：
（1）已知两边
（2）已知一边、一角
（3）已知两角
2）．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．
1）SSS证全等
1．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．

【答案】见解析
【分析】连接AC，证明△ACE≌△ACF，得到∠CAE=∠CAF，再利用角平分线的性质定理得到CB=CD．
【详解】解：连接AC，∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，∴△ACE≌△ACF（SSS），∴∠CAE=∠CAF，
∵∠B=∠D=90°，∴CB=CD．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是连接AC，证明三角形全等．
2．（2020·云南中考真题）如图，已知，．求证：．

【答案】见详解．
【分析】根据SSS定理推出△ADB≌△BCA即可证明．
【详解】证明：在△ADB和△BCA中， ∴△ADB≌△BCA（SSS），∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能正确进行推理证明全等是解此题的关键．
3．（2020·湖南怀化市·中考真题）如图，在和中，，，，则________º．

【答案】130
【分析】证明△ABC≌△ADC即可．
【详解】∵，，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，∴∠D=∠B=130°，故答案为：130．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键．

2）SAS证全等
1．（2020·山东淄博市·中考真题）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．

【答案】见解析
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE（SAS）．
由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠B＝∠DCE，由SAS即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；
【点评】熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
2．（2020·吉林中考真题）如图，在中，，点在边上，且，过点作并截取，且点，在同侧，连接．求证：．

【答案】证明见详解
【分析】根据SAS即可证得．
【详解】证明：∵，∴∠A=∠EDB，
在△ABC和△DEB中，，∴（SAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3．（2020·广东广州市·中考真题）如图，，，．求的度数．

【答案】75°.
【分析】由三角形的内角和定理求出∠DCA=75°，再证明△ABC≌△ADC，即可得到答案.
【详解】∵,,∴∠DCA=75°,
∵,,AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BCA=∠DCA=75°.
【点睛】此题考查三角形的内角和定理，全等三角形的判定及性质，这是一道比较基础的三角形题.
4．（2020·四川宜宾市·中考真题）如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE．（1）求证：（2）若的面积为5，求的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）10．
【分析】（1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明；（2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到、，再结合以及解答即可．
【详解】证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD
在△ABD和△CED中，所以；
(2)∵在△ABC中，D 是BC的中点∴

∵．
答：三角形ACE的面积为10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
3）ASA证全等
1．（2020·贵州毕节市·中考真题）如图，在一个宽度为长的小巷内，一个梯子的长为，梯子的底端位于上的点，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点处，点到的距离为，梯子的倾斜角为；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点处，点到的距离为，且此时梯子的倾斜角为，则的长等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点C作CE⊥AD于点E，证明≌即可解决问题．
【详解】过点C作CE⊥AD于点E，则CE//AB，

，且PD=PC，为等边三角形，
， ，
，，
， ，∴ ，∴ ，
∴ ，，
在和中， ，∴≌，，故选：D．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，作辅助线CE是解答此题的关键．
2．（2020·江苏南京市·中考真题）如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， AB = AC ，ÐB = ÐC ，求证：BD = CE ．

【答案】见解析
【分析】要证BD=CE，只要证AD=AE即可，故需要先证明DABE ≌ DACD．
【详解】证明：在DABE 与DACD 中，,\DABE ≌ DACD( ASA) ．\ AD = AE ，
∴AB-AD=AC-AE,故BD = CE ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，属于比较基础的考查，牢固掌握相关的知识点即可．
3．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）已知：如图，在正方形中，对角线相交于点，点分别是边上的点，且．求证：．

【答案】见解析
【分析】由正方形的性质得出OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，再证明∠COE=∠DOF，从而得到△COE≌△DOF，即可证明CE=DF．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，
∵∠EOF=90°，即∠COE+∠COF=90°，∴∠COE=∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE=DF．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据正方形的性质得出条件证明全等．
4．（2020·湖北黄石市·中考真题）如图，．（1）求的度数；（2）若，求证：．

【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．
【分析】（1）根据AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE；
（2）证明△DAE≌△CBA，即可证明AD=BC．
【详解】（1）∵AB∥DE，∴∠E=∠CAB=40°，
∵∠DAB=70°，∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；
（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，
又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°，
∴△DAE≌△CBA（ASA），∴AD=BC．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠DAE的度数是解题关键．
4）AAS证全等
1．（2020·辽宁本溪市·中考真题）如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为_________．

【答案】2
【分析】依据三角形中位线定理，即可得到MN=BC=2，MNBC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2．
【详解】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=2，MN∥BC，∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，
∵点E是CN的中点，∴NE=CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD=MN=2．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
2．（2020·浙江温州市·中考真题）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．

【答案】（1）见解析；（2）13
【分析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解．
【详解】解：（1）∵∴
在△ABC和△DCE中∴△ABC≌△DCE
（2）由（1）可得BC=CE=5 在直角三角形ACE中

【点睛】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键．
3．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，于点，若，求证：．

【答案】证明见解析
【分析】利用AAS证明，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵，∴∠ADE=90°，
∵，∴∠ACB=∠ADE，
在和中 ，∴，
∴AE=AB，AC=AD，∴AE-AC=AB-AD，即EC=BD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
4．（2020·湖南衡阳市·中考真题）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．（1）求证：；（2）若，求的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）=80°
【分析】（1）利用已知条件和等腰三角形的性质证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC中利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵点D为BC的中点，∴BD=CD，
∵，，∴∠DEB=∠DFC=90°
在△BDE和△CDF中，∴，∴．
（2）∵∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED）=50°，∴∠C=50°，
在△ABC中，=180°-（∠B+∠C）=80°，故=80°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质并灵活应用是解题的关键．
5）HL
1．（2019·内蒙古巴彦淖尔市·中考真题）如图，在正方形中，，点分别在边和上，，，则的长是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正方形的性质得出∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=BC=CD=AD=1，证明Rt△ABE≌Rt△ADF得出∠BAE=∠DAF，求出∠DAF=15°，在AD上取一点G，使∠GFA=∠DAF=15°，则AG=FG，∠DGF=30°，由直角三角形的性质得出DF=FG=AG，DG=DF，设DF=x，则DG=x，AG=FG=2x，则2x+x=1，解得：x=2-，得出DF=2-，即可得出结果．
【详解】解：四边形是正方形，，
在和中， ，，，
，，，
在上取一点，使，如图所示：

，，
设，则，
，，解得：，，
；故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
2．（2021·陕西师大附中九年级其他模拟）如图，在中，垂直平分，垂足为E，平分于点M，的延长线于点N，己知，则（ ）

A．5 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】因为ED是BC的垂直平分线，那么BD=CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM=DN，再根据 HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM=CN．
【详解】解：连接BD，如图：

∵DE所在直线是BC的垂直平分线，∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，
在Rt△BMD与Rt△CDN中，∴Rt△BMD≌Rt△CDN（HL），∴BM=CN=4，故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用．

3．（2019·江苏南通市·中考真题）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．

【答案】70
【分析】先利用HL证明△ABE≌△CBF，可证∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°.
【详解】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，
∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为70.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
6．（2021·河北九年级一模）如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B，连接AB，AB与OP交于点E．（1）求证：ΔOPA≌ΔOPB；（2）若AB＝6，求AE的长．

【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）根据角平分线得PA＝PB，再根据PO＝PO，即可得到Rt△AOP≌Rt△BOP；
（2）根据等腰三角形的性质，得到AE＝BE，进而得出AE＝AB＝3．
【详解】（1）证明：∵OC平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB
又OP＝OP，∴RtΔOPA≌RtΔOPB；
（2）解：∵△OPA≌ΔOPB，∴OA＝OB．
又OE平分∠AOB，∴AE＝BE∴AE＝AB＝3．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键是明确相关定理，熟练运用已知条件进行证明和求解．

6）全等综合问题
1．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：

①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；∴∠OAC＝∠OBD，

由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，∴平分，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM∵△AOC≌△BOD，∴∠COM＝∠BOM，∵MO平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，
∵OA＝OB∴OA＝OC与矛盾，∴③错误；正确的有①②④；故选B．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
2．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．
【详解】解：∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中 AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE ∴△BAD≌△CAE ∴BD=CE 故①正确；
∵△BAD≌△CAE∴∠ABF=∠ACF∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°故②正确；

分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE∴S△BAD=S△CAE,∴
∵BD=CE∴AM=AN∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．故③错误；
∵平分∠BFE，∴故④正确．故答案为C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．

题型9 等腰三角形的性质
【解题技巧】1)．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
2)．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．
3)．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
4)．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 5)．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．
1．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ）
A．9 B．17或22 C．17 D．22
【答案】D
【分析】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可．
【详解】解：分两种情况：当腰为4时，，所以不能构成三角形；
当腰为9时，，所以能构成三角形，周长是：．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
2．（2020·湖南张家界市·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．2或4
【答案】A
【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
【详解】解：x2－6x+8=0 （x－4）（x－2）=0 解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
所以三角形的底边长为2，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
3．（2020·贵州铜仁市·中考真题）已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　)
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
【答案】B
【分析】当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论．
【详解】当m=4或n=4时，即x=4，∴方程为42﹣6×4+k+2=0，解得：k=6；
当m=n时，﹣6+k+2=0∵，，，
∴，解得：，
综上所述，k的值等于6或7，故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键．
4．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是_____．
【答案】10或11
【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，根据题意，正确分情况讨论是解题的关键．
5．（2020·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形的定义，分的内角为顶角和的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】（1）当的内角为这个等腰三角形的顶角
则另外两个内角均为底角，它们的度数为
（2）当的内角为这个等腰三角形的底角，则另两个内角一个为底角，一个为顶角
底角为，顶角为
综上，另外两个内角的度数分别是或故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
6．（2020·山东滨州市·中考真题）在等腰ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．
【答案】
【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°-2×50°=80°．故答案为：80°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两底角相等的性质．
7．（2020·湖北黄冈市·中考真题）已知：如图，在中，点在边上，，则_______度．

【答案】40
【分析】根据等边对等角得到，再根据三角形外角的性质得到，故，由三角形的内角和即可求解的度数．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：40．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和，熟练掌握几何知识并灵活运用是解题的关键．
8．（2020·湖北荆门市·中考真题）中，，D为的中点，，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接AD，用等腰三角形的“三线合一”，得到的度数，及，由得，得，计算的面积即可．
【详解】连接AD，如图所示：

∵，且D为BC中点
∴，且，∴中，
∵∴∴故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，及解直角三角形和三角形面积的计算，熟知以上知识是解题的关键．
9．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．
【详解】，AD是的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径
外接圆的面积为 故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键．
10．（2020·福建中考真题）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（ ）

A．10 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD的长．
【详解】∵是等腰三角形的顶角平分线∴CD=BD=5．故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．

题型10 等腰三角形的判定
【解题技巧】1)．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．
2)．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．
1．（2020·山东济宁市·中考真题）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（ ）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可．
【详解】解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，∴BC=AB，
∵AB=15海里/时×2时=30海里，∴BC=30海里，即海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大．
2．（2020·四川南充市·中考真题）如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（ ）

A． B． C．a-b D．b-a
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．
【详解】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，∴∠ABD=36°=∠A，∴BD=AD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，∴BD=BC，
∵AB=AC=a，BC=b，∴CD=AC-AD=a-b，故选：C．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答．
3．（2020·江苏常州市·中考真题）如图，在中，，D、E分别是、的中点，连接，在直线和直线上分别取点F、G，连接、．若，且直线与直线互相垂直，则的长为_______．

【答案】4或2
【分析】分当点F在点D右侧时，当点F在点D左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.
【详解】解：如图，当点F在点D右侧时，
过点F作FM∥DG，交直线BC于点M，过点B作BN⊥DE，交直线DE于点N，
∵D，E分别是AB和AC中点，AB=，∴DE∥BC，BD=AD=，∠FBM=∠BFD，
∴四边形DGMF为平行四边形，则DG=FM，∵DG⊥BF，BF=3DG，∴∠BFM=90°，
∴tan∠FBM==tan∠BFD，∴，
∵∠ABC=45°=∠BDN，∴△BDN为等腰直角三角形，∴BN=DN=，∴FN=3BN=9，DF=GM=6，
∵BF==，∴FM==，∴BM=，∴BG=10-6=4；

当点F在点D左侧时，过点B作BN⊥DE，交直线DE于N，过点B作BM∥DG，交直线DE于M，延长FB和DG，交点为H，可知：∠H=∠FBM=90°，四边形BMDG为平行四边形，∴BG=MD，BM=DG，
∵BF=3DG，∴tan∠BFD=，
同理可得：△BDN为等腰直角三角形，BN=DN=3，∴FN=3BN=9，∴BF=，
设MN=x，则MD=3-x，FM=9+x，在Rt△BFM和Rt△BMN中，有，
即，解得：x=1，即MN=1，∴BG=MD=ND-MN=2.

综上：BG的值为4或2.故答案为：4或2.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平行四边形的判定和性质，勾股定理，难度较大，解题的关键是根据题意画出图形，分清情况.
4．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接．（1）如图1，求证：；（2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．

【答案】（1）证明见解析；（2）、、、．
【分析】（1）可得，进而利用SAS证明，即可得出结论；
（2）由已知计算出图形中角的度数，由等角对等边即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图1，，，
在和中，，∴（SAS），∴；
（2）顶角为45°的等腰三角形有以下四个：、、、．
证明：∵，，∴，，
∵，，即：是等腰三角形，；
∴，∴，
∴，∴，
∴、即：、是等腰三角形，，
∵∴∠DBF=∠C=45°，，
又∵，∴，
∴、即：是等腰三角形，．
【点睛】本题考察了等腰三角形性质和判定及全等三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质和判定是解题关键．
5．（2020·浙江台州市·中考真题）如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．
【详解】证明：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，
理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，
∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO，∴△BOC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键．
6．（2020·广东中考真题）如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：是等腰三角形．

【答案】见解析
【分析】先证明，得到，，进而得到，故可求解．
【详解】证明：在和中
∴∴∴
又∵∴即∴是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．
7．（2020·贵州贵阳市·中考真题）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____．

【答案】
【分析】如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则由线段垂直平分线的性质可得CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠EFC=∠A=2∠CBE，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定可得FC=FG，设CE=EF=x，则可根据线段间的和差关系求出DF的长，进而可求出FC的长，然后根据勾股定理即可求出CD的长，再一次运用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，
∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，∵∠AEB=∠CEF，∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，
∵∠EFC=∠G+∠FCG，∴∠G=∠FCG，∴FC=FG，

设CE=EF=x，则AE=BE=11－x，∴DE=8－（11－x）=x－3，∴DF=x－（x－3）=3，
∵DG=DB=8，∴FG=5，∴CF=5，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，得，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键．
8．（2020·黑龙江牡丹江市·中考真题）如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则；⑥，正确的有___________．（只填序号）

【答案】①②③④⑤⑥
【分析】证明△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判断①；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到EF=EM，可判断③，同时得到∠MEF=∠MFE=45°，可判断②；再证明△DFM≌△NEM，得到△DMN为等腰直角三角形，得到DN=DM，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出DE=EM，再证明△ADE≌△ACE，得到DE=CE，则有，从而判断⑤；最后证明△CDM∽ADE，得到，结合BM=CM，AE=CF，可判断⑥.
【详解】解：∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ACE=∠CBF，
又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴BF=CE，故①正确；
由全等可得：AE=CF，BF=CE，∴AE-CE=CF=CE=EF，连接FM，CM，
∵点M是AB中点，∴CM=AB=BM=AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM，
∴∠DBF=∠DCM，又BM=CM，BF=CE，∴△BFM≌△CEM，∴FM=EM，∠BMF=∠CME，
∵∠BMC=90°，∴∠EMF=90°，即△EMF为等腰直角三角形，∴EF=EM=，故③正确，
∠MEF=∠MFE=45°，∵∠AEC=90°，∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正确，
设AE与CM交于点N，连接DN，∵∠DMF=∠NME，FM=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°，
∴△DFM≌△NEM，∴DF=EN，DM=MN，∴△DMN为等腰直角三角形，
∴DN=DM，而∠DEA=90°，∴，故④正确；
∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=45°，∵AE平分∠BAC， ∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°，
∵∠DEM=45°，∴∠EMD=67.5°，即DE=EM，
∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE，∴△ADE≌△ACE，∴DE=CE，
∵△MEF为等腰直角三角形，∴EF=，∴，故⑤正确；
∵∠CDM=∠ADE，∠CMD=∠AED=90°，∴△CDM∽ADE，∴，
∵BM=CM，AE=CF，∴，∴，故⑥正确；故答案为：①②③④⑤⑥.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等量代换，难度较大，解题的关键是添加辅助线，找到全等三角形说明角相等和线段相等.

题型11 等边三角形的性质
【解题技巧】1)．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2)．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
3)．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
1．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴上，点在直线上，若，且均为等边三角形，则线段的长度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得出∠AnOBn=30°，从而推出AnBn=OAn，得到BnBn+1=BnAn+1，算出B1A2=1，B2A3=2，B3A4=4，找出规律得到BnAn+1=2n-1，从而计算结果．
【详解】解：设△BnAnAn+1的边长为an，∵点B1，B2，B3，…是直线上的第一象限内的点，
过点A1作x轴的垂线，交直线于C，
∵A1（1，0），令x=1，则y=，∴A1C=，∴，∴∠AnOBn=30°，
∵均为等边三角形，∴∠BnAnAn+1=60°，∴∠OBnAn=30°，∴AnBn=OAn，
∵∠BnAn+1Bn+1=60°，∴∠An+1BnBn+1=90°，∴BnBn+1=BnAn+1，
∵点A1的坐标为（1，0），∴A1B1=A1A2=B1A2=1，A2B2=OA2=B2A3=2，A3B3=OA3=B3A4=4，...，
∴AnBn=OAn=BnAn+1=2n-1，∴=B2019A2020=，故选D．

【点睛】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键．
2．（2020·福建中考真题）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．
【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面积是．故选D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
3．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（　　）

A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解．
【详解】解：作AM⊥BC于M，如图：

重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．
∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°，
∴AM＝BM＝，∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝，
∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝；故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外心、等边三角形的性质以及旋转的性质，理解连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都为全等的等边三角形是关键．
4．（2020·海南中考真题）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出．
【详解】解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，∴cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，由旋转的性质可知：，且，
∴为等边三角形，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
5．（2020·贵州铜仁市·中考真题）已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．4
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可．
【详解】根据等边三角形的三线合一性质：设它的边长为x，可得：，
解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质，运用勾股定理列出方程求解是解答此类问题的常用方法．
6．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_____．

【答案】3
【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值为CF，根据等边三角形的性质得到BF＝AB＝6＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过C作CF⊥AB交AD于E，

则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值为CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，∴BF＝AB＝6＝3，
∴CF＝＝＝3，∴CE+EF的最小值为3，故答案为：3．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是画出符合条件的图形．
7．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．
（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．

【答案】（1）全等，理由见解析；（2）BD＝；（3）△ACD的面积为，AD＝．
【分析】（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；
（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；
（3）过点A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．
【详解】解：（1）全等，理由是：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，
∵△DCE都是等边三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，
∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴，∴BD＝；

（3）如图2，过点A作AF⊥CD于F，
∵B、C、E三点在一条直线上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，
在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，∴AF＝AC×sin∠ACF＝，
∴S△ACD＝，
∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×，FD＝CD﹣CF＝，
在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝，∴AD＝．

【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．

题型12 等边三角形的判定
【解题技巧】在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
1．（2020·湖北荆州市·中考真题）如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：；（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．


【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先利用旋转的性质证明△ABD为等边三角形，则可证，即再根据平行线的判定证明即可．（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．
【详解】（1）证明：由旋转性质得：
是等边三角形所以∴；
（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，
所以A，C两点经过的路径长之和为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、弧长公式等知识，熟练掌握这些知识点之间的联系及弧长公式是解答的关键．
2．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（问题解决）（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（类比探究）（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析
【分析】（1）在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；
（2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
【详解】（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；
（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．
3．（2020·四川乐山市·中考真题）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=_________．

【答案】
【分析】连接CE，设CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得AD=4x，AC=2x，BC=x，AB=3，再由已知证得CE∥AB，则有，由角平分线的性质得，进而求得的值.
【详解】连接CE，设CD=2x，在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30º，
∴∠D=60º，AD=4x，AC=，BC==x，AB=x，
∵点E为AD的中点，∴CE=AE=DE==2x，∴ΔCED为等边三角形，∴∠CED=60º，
∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30º+30º=60º，∴∠CED=∠BAD，∴AB∥CE，∴，
在ΔBAE中，∵∠BAE=∠CAD=30º∴AF平分∠BAE，∴，
∴，∴，故答案为：.

【点睛】本题考查了含30º的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找到相关知识的联系，确定解题思路，进而探究、推理并计算.
4．（2020·浙江台州市·中考真题）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是_____ ．

【答案】6
【分析】先说明△DEF是等边三角形，再根据E，F是边BC上的三等分求出BC的长，最后求周长即可.
【详解】解：∵等边三角形纸片ABC∴∠B=∠C=60°
∵DE∥AB，DF∥AC∴∠DEF=∠DFE=60°∴△DEF是等边三角形∴DE=EF=DF
∵E，F是边BC上的三等分点,BC=6∴EF=2∴DE=EF=DF=2∴△DEF= DE+EF+DF=6故答案为6．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三等分点的意义，灵活应用等边三角形的性质是正确解答本题的关键．
5．（2020·四川广元市·中考真题）如图所示，均为等边三角形，边长分别为，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的________________．（填序号）
① ② ③为等边三角形 ④ ⑤CM平分

【答案】①②③⑤
【分析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；
②过E作,根据等边三角形求出ED、CN的长，即可求出BE的长；
③由等边三角形的判定得出△CMN是等边三角形；
④证明△DMC∽△DBA，求出CM长；
⑤证明M、F、C、G四点共圆，由圆周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，得出∠BMC＝∠DMC，所以CM平分∠BMD.
【详解】解：连接MC，FG，过点E作EN⊥BD，垂足为N，
①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；①正确；
②∵△CDE都是等边三角形，且边长为3cm.∴CN=cm，EN=cm.
∵BC=5cm.∴，②正确；
③∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACG和△BCF中，
∴△ACG≌△BCF（ASA），∴CG＝CF而∠GCF＝60°，∴△CFG是等边三角形，③正确；
⑤∵∠EMD＝∠MBD＋∠MDB＝∠MAC＋∠MDB＝60°＝∠FCG，
∴M、F、C、G四点共圆，∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，
∴∠BMC＝∠DMC，∴CM平分∠BMD，⑤正确；
④∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA∴△DMC∽△DBA
∴∴∴CM=.④错误.故答案为：①②③⑤.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
6．（2020·湖北宜昌市·中考真题）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则________米．

【答案】48
【分析】先说明△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=48米．故答案为48．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，证得△ABC是等边三角形是解答本题的关键．
7．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，在中，，．将绕点B逆时针旋转60°，得到，则边的中点D与其对应点的距离是____________．

【答案】
【分析】先由旋转的旋转证明：为等边三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接
绕点B逆时针旋转60°， 分别为的中点，
为等边三角形，
为中点，
故答案为：

【点睛】本题考查的是旋转的旋转，直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．