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考点12 图形的相似-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（原卷版）
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这是一份考点12 图形的相似-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（原卷版），共32页。试卷主要包含了线段的比，比例中项，比例的性质，画位似图形的步骤等内容，欢迎下载使用。
考点12. 图形的相似
知识框架：
基础知识点：
知识点1-1比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．
2．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3．比例的性质
性质
内容
性质1
=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性质2
如果=，那么．
性质3
如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．
4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．
知识点1-2相似三角形的判定及性质
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3）三边对应成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
知识点1-3相似多边形
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
2．性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的对应角相等；3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
知识点1-4位似图形
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
4．画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
重难点题型
题型1比例线段及其性质
【解题技巧】1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
2．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
1．（2020·贵州毕节市·中考真题）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·甘肃金昌市·中考真题）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）
A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米
3．（2020·湖南娄底市·中考真题）若，则________．
4．（2020·湖南湘潭市·中考真题）若，则________．
5．（2020·四川泸州市·中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型2平行线分线段成比例
【解题技巧】
1．（2020·江苏南京市·）如图，在和中，D、分别是AB、上一点，．
（1）当时，求证： 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格
（2）当时，判断与是否相似，并说明理由
2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·四川成都市·中考真题）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
4．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·吉林中考真题）如图，．若，，则______．
6．（2020·山东临沂市·中考真题）如图，在中，D，E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则___________．
题型3相似多边形
【解题技巧】1．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形．
2．相似多边形对应边的比叫做相似比．
3．多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
4．相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
1．（2021·福建莆田市·中考模拟）下列四组图形中，一定相似的是( )
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
2．（2021·山西中考模拟）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
3．（2019·甘肃庆阳市·中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
4．（2021·海南中考模拟）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
5．（2017·贵州六盘水市·中考模拟）矩形的两边长分别为a,b,下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4,b=+2 B．a=4,b=-2 C．a=2,b=+1 D．a=2,b=-1
6．（2019·辽宁朝阳市·中考真题）如图，直线与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，中的阴影部分的面积分别为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为_____．
7．（2019·四川内江市·中考真题）如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则_____．
8．（2021·山东枣庄市·中考模拟）如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=________
题型4判定相似的条件
【解题技巧】
1．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东德州市·九年级月考）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．（2020·河北邢台市·九年级期末）如图，是的边上的一点，下列条件不可能是的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·湖南张家界市·九年级期中）如图，点、分别在的边、上，且与不平行．下列条件中，能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·安徽亳州市·九年级二模）如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（ ）
A．∠AED＝∠B B．∠BDE+∠C＝180° C．AD•BC＝AC•DE D．AD•AB＝AE•AC
6．（2019·上海徐汇区·中考模拟）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB
题型5 相似比的应用
【解题技巧】
1．（2020·广西中考真题）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·湖南永州市·中考真题）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（ ）
A． B．25 C．35 D．63
3．（2020·四川内江市·中考真题）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（ ）
A．30 B．25 C．22．5 D．20
4．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，边长为4的等边中，D、E分别为AB，AC的中点，则的面积是
A． B． C． D．
5．（2020·吉林中考真题）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．
6．（2020·山东东营市·中考真题）如图，为平行四边形边上一点，分别为上的点，且的面积分别记为．若则____．
7．（2020·江苏南通市·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____．
8．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在中，点E是的中点，，的延长线交于点F．若的面积为1，则四边形的面积为________．
题型6相似三角形的实际应用
1．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）在平行四边形中，E为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图1，在上找出一点M，使点M是的中点；
（2）如图2，在上找出一点N，使点N是的一个三等分点．
2．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
3．（2020·上海中考真题）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．
4．（2020·山西中考真题）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似
5．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是( )
A． B． C． D．
6．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ）
A．或 B．15 C． D．
7．（2020·广西玉林市·中考真题）一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
题型7 位似图形
【解题技巧】1．如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2．位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k．
1．（2020·河北中考真题）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
2．（2020·重庆）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
3．（2020·重庆中考真题）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
4．（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
5．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
6．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）如图，三个顶点的坐标分别为，以点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是____________．
7．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，请画出；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为．
8．（2020·辽宁丹东市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为，，，先以原点为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2：1，然后再把绕原点逆时针旋转90°得到．（1）画出，并直接写出点的坐标；（2）画出，直接写出在旋转过程中，点到点所经过的路径长．
题型8相似三角形性质与判定综合
【解题技巧】1．相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
2．相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
1．（2020·贵州铜仁市·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
2．（2020·浙江温州市·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14 B．15 C． D．
3．（2020·湖北孝感市·中考真题）如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
4．（2020·四川眉山市·中考真题）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）
6．（2020·山西中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．
7．（2020·上海中考真题）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．
8．（2020·贵州遵义市·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．
题型9相似三角形的基本模型
1）A字型
【方法点拨】基本模型：
A字型（平行） 反A字型（不平行）
1．（2020·江苏宝应·）如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．
2．（2020·上海浦东新·初三三模）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．
3．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，中，，点D从点B出发，沿边以的速度向终点C运动，过点D作，交边（或）于点E．设点D的运动时间为，的面积为．
（1）当点D与点A重合时，求t的值；（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
4．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
2）X字型
【方法点拨】基本模型：
X字型（平行） 反X字型（不平行）
1．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，矩形中，，点E在边上，与相交于点F．设，，当时，y关于x的函数解析式为_____．
2．（2020·四川宜宾市·中考真题）在直角三角形ABC中，是AB的中点，BE平分交AC于点E连接CD交BE于点O，若，则OE的长是________．
3．（2020·海南中考真题）四边形是边长为的正方形，是的中点，连结，点是射线上一动点(不与点重合)，连结，交于点．
（1）如图1，当点是边的中点时，求证：；
（2）如图2，当点与点重合时，求的长；
（3）在点运动的过程中，当线段为何值时，？请说明理由．
4．（2020·四川攀枝花市·中考真题）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图是的重心．求证：．
3）AX型
【方法点拨】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
1．（2021·乡宁县枣岭乡谭坪中学初三期中）如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，_____．
2．（2020·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国初三专题练习）已知如图，在梯形中，，、的延长线相交于点，、相交于点，连结并延长交于点，交于点．那么线段与是否相等？请说明理由．
4．（2020·湖南湘潭市·中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为4，求的长度；
②若，求正方形的面积．
4）母子型
【方法点拨】
图1垂直母子型条件：，图1结论：；
图2斜交母子字型条件：，图2结论：；
1.（2021•越城区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（ ）
A．3：2 B．2：3 C．3：13 D．2：13．
2．（2021·浙江绍兴市·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（ ）
A．2 B． C．2或
（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．
求证：与互为母子三角形．
（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．
3．（2021·湖南益阳市·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
4.（2021·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
5）旋转型（手拉手）
【方法点拨】基本模型：
旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.
1．（2020·辽宁沈阳市·中考真题）在中，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接．
（1）如图，当时，①求证：；②求的度数：
（2）如图2，当时，请直接写出和的数量关系为__________；
（3）当时，若时，请直接写出点到的距离为__________．
2．（2020·广西中考真题）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）求证：CD平分∠ACB；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．
3．（2020·山东济南市·中考真题）在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ．线段BE与线段CF的数量关系是 ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
4．（2020·山东中区·初三二模）在中，，将绕点顺时针方向旋转角至的位置．（1）如图1，当旋转角为时，连接与交于点，则 ．（2）如图2，在（1）条件下，连接，延长交于点，求的长．
5．（2020·洛阳市第二外国语学校二模）已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．
（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
6）K字型（一线三等角）
【方法点拨】基本模型：
如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角）
如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角）
如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC.
1．（2020·河北中考真题）如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．（1）当点在上时，求点与点的最短距离；（2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长；（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．
2．（2020·江苏苏州市·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；（2）若，，求的长．
3．（2020·湖南长沙市·中考真题）在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：（2）若，求EC的长；
（3）若，记，求的值．
4．（2020·四川雅安市·中考真题）如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．（1）求证：；（2）若，求的面积；
（3）请直接写出为何值时，的面积最大．
考点12. 图形的相似
知识框架：
基础知识点：
知识点1-1比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．
2．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3．比例的性质
性质
内容
性质1
=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性质2
如果=，那么．
性质3
如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．
4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．
知识点1-2相似三角形的判定及性质
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3）三边对应成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
知识点1-3相似多边形
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
2．性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的对应角相等；3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
知识点1-4位似图形
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
4．画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
重难点题型
题型1比例线段及其性质
【解题技巧】1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
2．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
1．（2020·贵州毕节市·中考真题）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·甘肃金昌市·中考真题）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）
A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米
3．（2020·湖南娄底市·中考真题）若，则________．
4．（2020·湖南湘潭市·中考真题）若，则________．
5．（2020·四川泸州市·中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型2平行线分线段成比例
【解题技巧】
1．（2020·江苏南京市·）如图，在和中，D、分别是AB、上一点，．
（1）当时，求证： 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格
（2）当时，判断与是否相似，并说明理由
2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·四川成都市·中考真题）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
4．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·吉林中考真题）如图，．若，，则______．
6．（2020·山东临沂市·中考真题）如图，在中，D，E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则___________．
题型3相似多边形
【解题技巧】1．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形．
2．相似多边形对应边的比叫做相似比．
3．多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
4．相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
1．（2021·福建莆田市·中考模拟）下列四组图形中，一定相似的是( )
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
2．（2021·山西中考模拟）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
3．（2019·甘肃庆阳市·中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
4．（2021·海南中考模拟）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
5．（2017·贵州六盘水市·中考模拟）矩形的两边长分别为a,b,下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4,b=+2 B．a=4,b=-2 C．a=2,b=+1 D．a=2,b=-1
6．（2019·辽宁朝阳市·中考真题）如图，直线与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，中的阴影部分的面积分别为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为_____．
7．（2019·四川内江市·中考真题）如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则_____．
8．（2021·山东枣庄市·中考模拟）如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=________
题型4判定相似的条件
【解题技巧】
1．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东德州市·九年级月考）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．（2020·河北邢台市·九年级期末）如图，是的边上的一点，下列条件不可能是的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·湖南张家界市·九年级期中）如图，点、分别在的边、上，且与不平行．下列条件中，能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·安徽亳州市·九年级二模）如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（ ）
A．∠AED＝∠B B．∠BDE+∠C＝180° C．AD•BC＝AC•DE D．AD•AB＝AE•AC
6．（2019·上海徐汇区·中考模拟）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB
题型5 相似比的应用
【解题技巧】
1．（2020·广西中考真题）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·湖南永州市·中考真题）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（ ）
A． B．25 C．35 D．63
3．（2020·四川内江市·中考真题）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（ ）
A．30 B．25 C．22．5 D．20
4．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，边长为4的等边中，D、E分别为AB，AC的中点，则的面积是
A． B． C． D．
5．（2020·吉林中考真题）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．
6．（2020·山东东营市·中考真题）如图，为平行四边形边上一点，分别为上的点，且的面积分别记为．若则____．
7．（2020·江苏南通市·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____．
8．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在中，点E是的中点，，的延长线交于点F．若的面积为1，则四边形的面积为________．
题型6相似三角形的实际应用
1．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）在平行四边形中，E为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图1，在上找出一点M，使点M是的中点；
（2）如图2，在上找出一点N，使点N是的一个三等分点．
2．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
3．（2020·上海中考真题）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．
4．（2020·山西中考真题）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似
5．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是( )
A． B． C． D．
6．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ）
A．或 B．15 C． D．
7．（2020·广西玉林市·中考真题）一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
题型7 位似图形
【解题技巧】1．如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2．位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k．
1．（2020·河北中考真题）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
2．（2020·重庆）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
3．（2020·重庆中考真题）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
4．（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
5．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
6．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）如图，三个顶点的坐标分别为，以点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是____________．
7．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，请画出；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为．
8．（2020·辽宁丹东市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为，，，先以原点为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2：1，然后再把绕原点逆时针旋转90°得到．（1）画出，并直接写出点的坐标；（2）画出，直接写出在旋转过程中，点到点所经过的路径长．
题型8相似三角形性质与判定综合
【解题技巧】1．相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
2．相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
1．（2020·贵州铜仁市·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
2．（2020·浙江温州市·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14 B．15 C． D．
3．（2020·湖北孝感市·中考真题）如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
4．（2020·四川眉山市·中考真题）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）
6．（2020·山西中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．
7．（2020·上海中考真题）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．
8．（2020·贵州遵义市·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．
题型9相似三角形的基本模型
1）A字型
【方法点拨】基本模型：
A字型（平行） 反A字型（不平行）
1．（2020·江苏宝应·）如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．
2．（2020·上海浦东新·初三三模）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．
3．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，中，，点D从点B出发，沿边以的速度向终点C运动，过点D作，交边（或）于点E．设点D的运动时间为，的面积为．
（1）当点D与点A重合时，求t的值；（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
4．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
2）X字型
【方法点拨】基本模型：
X字型（平行） 反X字型（不平行）
1．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，矩形中，，点E在边上，与相交于点F．设，，当时，y关于x的函数解析式为_____．
2．（2020·四川宜宾市·中考真题）在直角三角形ABC中，是AB的中点，BE平分交AC于点E连接CD交BE于点O，若，则OE的长是________．
3．（2020·海南中考真题）四边形是边长为的正方形，是的中点，连结，点是射线上一动点(不与点重合)，连结，交于点．
（1）如图1，当点是边的中点时，求证：；
（2）如图2，当点与点重合时，求的长；
（3）在点运动的过程中，当线段为何值时，？请说明理由．
4．（2020·四川攀枝花市·中考真题）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图是的重心．求证：．
3）AX型
【方法点拨】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
1．（2021·乡宁县枣岭乡谭坪中学初三期中）如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，_____．
2．（2020·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国初三专题练习）已知如图，在梯形中，，、的延长线相交于点，、相交于点，连结并延长交于点，交于点．那么线段与是否相等？请说明理由．
4．（2020·湖南湘潭市·中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为4，求的长度；
②若，求正方形的面积．
4）母子型
【方法点拨】
图1垂直母子型条件：，图1结论：；
图2斜交母子字型条件：，图2结论：；
1.（2021•越城区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（ ）
A．3：2 B．2：3 C．3：13 D．2：13．
2．（2021·浙江绍兴市·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（ ）
A．2 B． C．2或
（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．
求证：与互为母子三角形．
（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．
3．（2021·湖南益阳市·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
4.（2021·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
5）旋转型（手拉手）
【方法点拨】基本模型：
旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.
1．（2020·辽宁沈阳市·中考真题）在中，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接．
（1）如图，当时，①求证：；②求的度数：
（2）如图2，当时，请直接写出和的数量关系为__________；
（3）当时，若时，请直接写出点到的距离为__________．
2．（2020·广西中考真题）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）求证：CD平分∠ACB；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．
3．（2020·山东济南市·中考真题）在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ．线段BE与线段CF的数量关系是 ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
4．（2020·山东中区·初三二模）在中，，将绕点顺时针方向旋转角至的位置．（1）如图1，当旋转角为时，连接与交于点，则 ．（2）如图2，在（1）条件下，连接，延长交于点，求的长．
5．（2020·洛阳市第二外国语学校二模）已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．
（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
6）K字型（一线三等角）
【方法点拨】基本模型：
如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角）
如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角）
如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC.
1．（2020·河北中考真题）如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．（1）当点在上时，求点与点的最短距离；（2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长；（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．
2．（2020·江苏苏州市·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；（2）若，，求的长．
3．（2020·湖南长沙市·中考真题）在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：（2）若，求EC的长；
（3）若，记，求的值．
4．（2020·四川雅安市·中考真题）如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．（1）求证：；（2）若，求的面积；
（3）请直接写出为何值时，的面积最大．
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