还剩69页未读，
继续阅读
所属成套资源：2022年中考数学高频考点专题突破
成套系列资料，整套一键下载
考点12 图形的相似-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（解析版）
展开
考点12. 图形的相似
知识框架：
基础知识点：
知识点1-1比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．
2．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3．比例的性质
性质
内容
性质1
=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性质2
如果=，那么．
性质3
如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．
4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．
知识点1-2相似三角形的判定及性质
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3）三边对应成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
知识点1-3相似多边形
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
2．性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的对应角相等；3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
知识点1-4位似图形
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
4．画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
重难点题型
题型1比例线段及其性质
【解题技巧】1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
2．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
1．（2020·贵州毕节市·中考真题）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入=+1中即可求出结论．
【解析】∵，∴=+1=+1=．故选D．
【点睛】本题考查了比例的性质．
2．（2020·甘肃金昌市·中考真题）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）
A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米
【答案】A
【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．故答案为：A
【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
3．（2020·湖南娄底市·中考真题）若，则________．
【答案】
【分析】根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．
【详解】由可得，，
代入．故答案为．
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．
4．（2020·湖南湘潭市·中考真题）若，则________．
【答案】
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可；
【详解】由可设，，k是非零整数，
则．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
5．（2020·四川泸州市·中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】解：过点A作AF⊥BC，∵AB=AC，∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，∴即，
解得CD=，同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，故选：A.
【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
题型2平行线分线段成比例
【解题技巧】
1．（2020·江苏南京市·）如图，在和中，D、分别是AB、上一点，．
（1）当时，求证： 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格
（2）当时，判断与是否相似，并说明理由
【答案】（1），；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）根据证得△△，推出，再证明结论；
（2）作DE∥BC，∥，利用三边对应成比例证得△，再推出，证得，即可证明△△．
【详解】（1）∵，∴，
∵，∴，∴△△，∴，
∵，∴△△，故答案为：，；
（2）如图，过点D、分别作DE∥BC，∥，
DE交AC于点E，交于点，
∵DE∥BC，∴△△，∴，
同理：，又，∴，∴，
同理：，∴，即，∴，
又，∴，∴△△， ∴，
∵DE∥BC，∴，同理：，∴，
又，∴△△．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，比例的性质，正确作出辅助线是解答第2问的关键．
4．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．
【详解】解：∵DE//AB，∴∴的值为．故答案为A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键．
5．（2020·四川成都市·中考真题）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴.∵AB=5，BC=6，EF=4，∴.∴DE=.故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
6．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
【详解】解：∵，∴△AEF∽△ACD，
∴，故选项A错误；∴，
∵，∴△CEG∽△CAB，∴，
∴，故选项B错误；，故选项D错误；
∵，∴，∵，∴，
∴，故选项正确C． 故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能得出正确的比例式是解此题的关键．
7．（2020·吉林中考真题）如图，．若，，则______．
【答案】10
【分析】根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值．
【详解】解：∵，∴，
又∵，，∴，∴，故答案为：10．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8．（2020·山东临沂市·中考真题）如图，在中，D，E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则___________．
【答案】1
【分析】利用平行线分线段成比例得到EF=2,再利用中位线得到DH的长即可.
【详解】解:∵D，E为边的三等分点，，∴EF:DG:AC=1:2:3
∵AC=6,∴EF=2, 由中位线定理得到,在△AEF中,DH平行且等于 故答案是:1
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用和中位线的性质,熟悉平行线之间的性质是解题关键.
题型3相似多边形
【解题技巧】1．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形．
2．相似多边形对应边的比叫做相似比．
3．多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
4．相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
1．（2021·福建莆田市·中考模拟）下列四组图形中，一定相似的是( )
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
【答案】D
【分析】根据相似多边形的定义对各选项进行判定.
【详解】A中，正方形的四条边都相等，而矩形的四条边不一定相等，∴不一定相似；
B中，正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，∴不一定相似；
C中，菱形的四条边都相等，即两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，∴不一定相似；
D中，正五边形的五条边都相等，五个角都相等，故两个正五边形的对应边的比相等，对应角也相等，∴一定相似．故选D．
2．（2021·山西中考模拟）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【答案】D
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
3．（2019·甘肃庆阳市·中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
【答案】B
【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选B．
【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
4．（2021·海南中考模拟）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
【答案】B
【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【详解】
解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则 设DF=xcm，得到：解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2．
【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
5．（2017·贵州六盘水市·中考模拟）矩形的两边长分别为a,b,下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4,b=+2 B．a=4,b=-2 C．a=2,b=+1 D．a=2,b=-1
【答案】D
【解析】黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即宽：长= ，只有选项D中b：a= ，
故选D．
6．（2019·辽宁朝阳市·中考真题）如图，直线与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，中的阴影部分的面积分别为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为_____．
【答案】．
【分析】因为所有的正方形都相似，所以只要求出第一个阴影正方形的面积和第二个阴影正方形与第一个阴影正方形的相似比即可依此规律求解.根据题意和正方形的性质可得，所以它们的正切相等，等于，据此可求出OB的长，再用OA－OB即为第一个阴影正方形的边长，于是S1可得；同理可求得与AB的关系，进而可求得与的关系；以此规律类推可求得Sn与S1的关系，整理即得答案.
【详解】解：在直线中，当时，；当时，；
∴，，∴，
∵，，∴，
∴，∴．
∵正方形ABCA1中的四个小正方形都与△AOB全等，∴第一个阴影正方形的边长为：，
∴，同理：，
∴， ∴，∴，
同理可得，，…，．故答案为：．
【点睛】本题是一次函数与正方形的规律探求综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点、正方形的性质、锐角三角函数和相似多边形的性质，难度较大，解答时需充分理解题意、注意知识的前后联系，解答的关键是找出解题的规律，正确得出Sn与S1的关系.
7．（2019·四川内江市·中考真题）如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则_____．
【答案】．
【分析】根据题意利用正方形的性质求出是等腰直角三角形，设，则，，根据题意列出方程即可解答
【详解】设，则，，
∵四边形是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，即，，
∵，，∴，，
∴，故答案为．
【点睛】此题考查正方形的性质，相似多边形的性质，解题关键在于求出是等腰直角三角形
8．（2021·山东枣庄市·中考模拟）如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=________
【答案】
【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．
【详解】∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，∴四边形ABEF是正方形，
∵AB=1，设AD=x，则FD=x−1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，，
解得x1=,x2= (负值舍去)，经检验x1=是原方程的解.
【点睛】本题考查了折叠的性质及相似多边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
题型4判定相似的条件
【解题技巧】
1．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】解：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC，
A、若，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；
B、若，且∠DAE=∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项B符合题意；
C、若∠B=∠D，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意；
D、若∠C=∠AED，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
2．（2020·山东德州市·九年级月考）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果．
【详解】∵∠DAE＝∠BAC，∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意，
当时，∵∠B不一定等于∠AED，∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意，
当时，△ADE∽△ACB．故③符合题意，综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键
3．（2020·河北邢台市·九年级期末）如图，是的边上的一点，下列条件不可能是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定判断各选项即可进行解答．
【详解】解： A、∵∠ACP＝∠B，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、∵，缺少夹角相等，∴不可判定△ACP∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠APC＝∠ACB，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、∵，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．要找的对应边与对应角，公共角是很重要的一个量，要灵活加以利用．
4．（2020·湖南张家界市·九年级期中）如图，点、分别在的边、上，且与不平行．下列条件中，能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．
【详解】解:在与中，∵，且，∴．故选:A．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定:
（1）平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；
（4）两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似．
5．（2020·安徽亳州市·九年级二模）如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（ ）
A．∠AED＝∠B B．∠BDE+∠C＝180° C．AD•BC＝AC•DE D．AD•AB＝AE•AC
【答案】C
【分析】A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
B：根据题意可得到∠ADE=∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【详解】解：A、由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
B、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
C、由AD•BC=AC•DE，得ADAC=DEBC不能判断△ADE∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.D、由AD•AB=AE•AC得ADAC=AEAB，∠A=∠A，故能确定△ADE∽△ACB，故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）；
有两组角对应相等的两个三角形相似．
6．（2019·上海徐汇区·中考模拟）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得．
【详解】解：A选项：由∠ADC=∠ACB，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
B选项：由不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；
C选项：由∠ACD=∠B，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
D选项：由AC2=AD•AB，即，且∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
题型5 相似比的应用
【解题技巧】
1．（2020·广西中考真题）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．
【详解】解：∵四边形EFGH是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴．
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，∴解得：x=20所以，AN=20．故选：B．
【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
2．（2020·湖南永州市·中考真题）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（ ）
A． B．25 C．35 D．63
【答案】B
【分析】在中，，即可判断，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
【详解】解：∵∴∴
∵∴∴∴
∵∴∴故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度不大，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．
3．（2020·四川内江市·中考真题）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（ ）
A．30 B．25 C．22．5 D．20
【答案】D
【分析】首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．
【详解】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20故本题选择D
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．
4．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，边长为4的等边中，D、E分别为AB，AC的中点，则的面积是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，由此可得△ADE和△ABC相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC的面积．
【详解】等边的边长为4，，
点D，E分别是的边AB，AC的中点，是的中位线，
，，，，即，
∽，相似比为，故：：4，
即，故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．
5．（2020·吉林中考真题）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．
【答案】
【分析】先根据三角形中位线定理得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得的面积，由此即可得出答案．
【详解】点，分别是边，的中点
，即
又则四边形的面积为故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
6．（2020·山东东营市·中考真题）如图，为平行四边形边上一点，分别为上的点，且的面积分别记为．若则____．
【答案】
【分析】证明△PEF∽△PAD，再结合△PEF的面积为2可求出△PAD的面积，进而求出平行四边形ABCD的面积，再用平行四边形ABCD的面积减去△PAD的面积即可求解．
【详解】解：∵∴，且∠APD=∠EPF，∴△PEF∽△PAD，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且△PEF的面积为2可知，
，∴，
过P点作平行四边形ABCD的底AD上的高PH，
∴，∴ ，即平行四边形ABCD的面积为，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质等，熟练掌握其性质是解决本题的关键．
7．（2020·江苏南通市·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____．
【答案】
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
【详解】解：∵，，，
∴，∴△ABC∽△DEF，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．
8．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在中，点E是的中点，，的延长线交于点F．若的面积为1，则四边形的面积为________．
【答案】3
【分析】根据□ABCD的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC是△ABF的中位线；然后根证明△ABF∽△CEF，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及△ECF的面积为1求得△ABF的面积；最后根据图示求得S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3．
【详解】解：∵在□ABCD中，AB∥CD，点E是CD中点，∴EC是△ABF的中位线；
在△ABF和△CEF中，∠B=∠DCF，∠F=∠F，∴△ABF∽△ECF，
∴，∴S△ABF：S△CEF=1：4；
又∵△ECF的面积为1，∴S△ABF=4，∴S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3．故答案为：3．
【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质；解得此题的关键是根据平行四边形的性质及三角形的中位线的判定证明EC是△ABF的中位线，从而求得△ABF与△CEF的相似比．
题型6相似三角形的实际应用
1．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）在平行四边形中，E为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图1，在上找出一点M，使点M是的中点；
（2）如图2，在上找出一点N，使点N是的一个三等分点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接对角线AC,BD，再连接E与对角线的交点，与BC的交点即为M点；
（2）连接CE交BD即为N点，根据相似三角形的性质可得,于是DN=BD．
【详解】解：（1）如图1，点M即为所求；
（2）如图2，点N即为所求．
【点睛】此题主要考查平行四边形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的特点．
2．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
【答案】48mm
【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【详解】设正方形的边长为x mm，则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，∴EF∥GH，∴△AEF∽△ABC，∴,即，
解得x＝48 mm，∴这个正方形零件的边长是48mm．
【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
3．（2020·上海中考真题）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．
【答案】7米．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BDAC，∴△ACE∽△DBE，
∴，∴，∴AC=7(米)，故答案为：7(米) ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．
4．（2020·山西中考真题）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似
【答案】D
【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度
故选：D.
【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
5．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．
【详解】解：∵，∴AC=1.2m+12.8m=14m
∵标杆和建筑物CD均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE∽△ACD
∴,即,解得CD=17.5m．故答案为A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．
6．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ）
A．或 B．15 C． D．
【答案】A
【分析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．
【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，
若m是斜边，则；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，
若n是斜边，则；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10不能同时取，
即当m=5，，，当，n=10，，故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．
7．（2020·广西玉林市·中考真题）一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
【答案】B
【分析】设截成的两边的长分别为xcm、ycm，然后根据相似三角形对应边成比例，分两种情况求解即可．
【详解】解：设截成的两边的长分别为xcm、ycm，若从60cm长的木条上截取，
∵x+y≤60<120，∴不符合题意；若从120cm长的木条上截取，
①当60cm与75cm是对应边时，∵两三角形相似，∴，解得x=80，y=96，
∵80+96=176cm>120cm，∴此种情况不符合题意；
②当60cm与100cm是对应边时，∵两三角形相似，∴，解得x=45，y=72，
∵60cm <45+72=117cm<120cm，∴从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条；
③当60cm与120cm是对应边时，∵两三角形相似，∴，解得x=37.5，y=50，
∵60cm <37.5+50=87.5cm<120cm，∴从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条；
综上所述，共有两种截法：方法一：从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条，方法二：从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条．故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于根据对应边的不同分情况讨论．
题型7 位似图形
【解题技巧】1．如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2．位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k．
1．（2020·河北中考真题）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
【答案】A
【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．
【详解】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形．故选：A
【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形．
2．（2020·重庆）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【详解】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），∴DF＝=，故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
3．（2020·重庆中考真题）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质即可得出答案．
【详解】由位似变换的性质可知，
△ABC与△DEF的相似比为：1∶2△ABC与△DEF的面积比为：1∶4故选C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
4．（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
【答案】A
【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.
【详解】解：设投影三角尺的对应边长为xcm,
∵三角尺与投影三角尺相似,∴8：x＝2：5,解得x＝20.故选:A.
【点睛】本题主要考查了位似变换的应用.
5．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
【答案】B
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为，而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
6．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）如图，三个顶点的坐标分别为，以点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是____________．
【答案】或
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或即可得到点B′的坐标．
【详解】解：∵以点为位似中心，相似比为，将缩小，
∴点的对应点B′的坐标是（2，4）或（-2，-4）．故答案为：（2，4）或（-2，-4）．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
7．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，请画出；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用位似的性质，找出点A2、B2、C2的位置，然后画出图形即可．
【详解】解：（1）位置正确；用直尺画图；
（2）位置正确；用直尺画图．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握所学的性质正确的做出图形．
8．（2020·辽宁丹东市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为，，，先以原点为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2：1，然后再把绕原点逆时针旋转90°得到．（1）画出，并直接写出点的坐标；（2）画出，直接写出在旋转过程中，点到点所经过的路径长．
【答案】（1）见解析，A1(-2，-4)；（2）见解析，．
【分析】（1）连接AO、BO、CO，并延长到2AO、2BO、2CO，长度找到各点的对应点，顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理列式求出OA，然后利用弧长公式列式计算即可得解．
【详解】（1）如图所示，A1(-2，-4)；
（2）如图所示，∵OA=∴的长为：．
【点睛】本题考查了平移变换作图和轴对称图形的作法及画位似图形．注意：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
题型8相似三角形性质与判定综合
【解题技巧】1．相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
2．相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
1．（2020·贵州铜仁市·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
【答案】C
【分析】先判断出∠H＝90°，进而求出AH＝HF＝1＝BE．进而判断出△EHF≌△CBE（SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判断出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2＝17，即可得出①正确；先判断出四边形APFH是矩形，进而判断出矩形AHFP是正方形，得出AP＝PH＝AH＝1，同理：四边形ABQP是矩形，得出PQ＝4，BQ＝1，FQ＝5，CQ＝3，再判断出△FPG∽△FQC，得出,求出PG＝，再根据勾股定理求得EG＝，即△AEG的周长为8，判断出②正确；先求出DG＝，进而求出DG2+BE2＝，在求出EG2=≠，判断出③错误，即可得出结论．
【详解】解：如图，在正方形ABCD中,AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4,∠B＝∠BAD＝90°,∴∠HAD＝90°,
∵HF∥AD,∴∠H＝90°,∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°,∴∠AFH＝∠HAF.
∵AF＝,∴AH＝HF＝1＝BE.∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC,
∴△EHF≌△CBE（SAS）,∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE,
∵∠BCE+∠BEC＝90°,∴HEF+∠BEC＝90°,∴∠FEC＝90°,∴△CEF是等腰直角三角形,
在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4,∴EC2＝BE2+BC2＝17,∴S△ECF＝EF•EC＝EC2＝,故①正确:
过点F作FQ⊥BC于Q,交AD于P,∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD,∴四边形APFH是矩形,
∵AH＝HF,∴矩形AHFP是正方形,∴AP＝PH＝AH＝1,同理：四边形ABQP是矩形,
∴PQ＝AB＝4,BQ＝AP1,FQ＝FP+PQ＝5,CQ＝BC﹣BQ＝3,
∵AD∥BC,∴△FPG∽△FQC,∴,∴,∴PG＝,∴AG＝AP+PG＝,
在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG＝,
∴△AEG的周长为AG+EG+AE＝=8，故②正确；
∵AD＝4，∴DG＝AD﹣AG＝,∴DG2+BE2＝+1＝,
∵EG2＝（）2＝≠,∴EG2≠DG2+BE2,故③错误,∴正确的有①②,故选:C.
【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用,结合了全等三角形,勾股定理,三角形相似等知识点解题.
2．（2020·浙江温州市·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14 B．15 C． D．
【答案】A
【分析】连接EC，CH，设AB交CR于点J，先证得△ECP∽△HCQ，可得，进而可求得CQ＝10，AC:BC＝1:2，由此可设AC＝a，则BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可证得四边形ABQC为平行四边形，由此可得AB＝CQ＝10，再根据勾股定理求得，，利用等积法求得，进而可求得CR的长．
【详解】解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J，
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，∴∠ACE＝∠BCH＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，∴∠ACE＋∠ACB＋∠BCH＝180°，∠ACB＋∠BCI＝180°，
∴点E、C、H在同一直线上，点A、C、I在同一直线上，
∵DE∥AI∥BH，∴∠CEP＝∠CHQ，∵∠ECP＝∠QCH，∴△ECP∽△HCQ，∴，
∵PQ＝15，∴PC＝5，CQ＝10，∵EC:CH＝1:2，∴AC:BC＝1:2，
设AC＝a，则BC＝2a，∵PQ⊥CR，CR⊥AB，∴CQ∥AB，
∵AC∥BQ，CQ∥AB，∴四边形ABQC为平行四边形，∴AB＝CQ＝10，
∵，∴，∴（舍负）∴，，
∵，∴，∵JR＝AF＝AB＝10，∴CR＝CJ＋JR＝14，故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键．
3．（2020·湖北孝感市·中考真题）如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根据正方形性质和已知条件可知BC=CD=5,再由旋转可知DE=BF,设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x，然后再证明△ABG∽△CEF，根据相似三角形的性质列方程求出x，最后求CE即可．
【详解】解：∵，∴BC=BG+GC=2+3=5
∵正方形∴CD=BC=5设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x
∵AH⊥EF，∠ABG=∠C=90°∴∠HFG+∠AGF=90°，∠BAG+∠AGF=90° ∴∠HFG=∠BAG
∴△ABG∽△CEF∴ ,即，解得x=∴CE=CD-DE=5-=．故答案为B．
【点睛】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程求出DE的长是解答本题的关键．
4．（2020·四川眉山市·中考真题）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证．
【详解】
解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形∴∠EAG=∠BAD=90°
又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG∴∠EAB=∠GAD∴①正确
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形∴AD=DC，AG=FG
∴AC=AD，AF=AG∴，即
又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC∴∠DAG=∠CAF∴∴②正确
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线∴∠AFH=∠ACF=45°
又∵∠FAH=∠CAF∴△HAF∽△FAC∴即
又∵AF=AE∴∴③正确
④由②知又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线∴∠ADG=∠ACF=45°
∴DG在正方形另外一条对角线上∴DG⊥AC∴④正确故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明．
5．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】①根据折叠、矩形的性质进行推理即可；②根据等高三角形的面积比等于底边的比计算分析即可；③由矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定定理计算分析即可；④由矩形的性质可得CD的长，根据CE＝CD﹣ED求得CE的值，则可求得答案．
【详解】解：①由折叠的性质可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°．故①正确；
②由折叠的性质可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，∴HF＝BF﹣BH＝4，
∴＝＝＝，∴2S△BFG＝5S△FGH；故②正确；
③∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABF中，AF＝＝8，设GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，
在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴AG＝3，∴FD＝2；
同理可得ED＝，∴＝＝2，＝＝，
∴≠，∴△ABG与△DEF不相似，故③错误；
④∵CD＝AB＝6，ED＝，∴CE＝CD﹣ED＝，∴＝，∴4CE＝5ED．故④正确．
综上所述，正确的结论的序号为①②④，故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
6．（2020·山西中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．
【答案】
【分析】过点F作FH⊥AC于H，则∽，设FH为x，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的长．
【详解】如解图，过点作于，∵，∴，∴，
∵，点是的中点，∴，
∵，∴∽∴∴，
设为，则，由勾股定理得，
又∵，∴，则，
∵且，∴∽，∴，
即，解得，∴．
∵∴
∴∴故答案为：
【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形．
7．（2020·上海中考真题）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．(2) 由BE2=AB•AE，得到=，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解．
【详解】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．
∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．
∵CDBH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．
(2)∵BE2=AB•AE，∴=，∵AGBC，∴=，∴=，
∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（2020·贵州遵义市·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据正方形的性质以及EF⊥DE，证明△DME≌△ENF即可；
（2）根据勾股定理计算出DF，根据平行线的性质得到，计算出DG，FG的值，利用特殊角的锐角三角函数计算出DE的值，最后证明△DGE∽△AGF，利用相似比列出方程即可求出GE的值．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，且MN∥BC，∴四边形ANMD是矩形，∠BAC=45°，
∴∠ANM=∠DMN=90°，EN=AN=DM，∴∠DEM+∠EDM=90°，
∵EF⊥DE，∴∠DEM+∠FEN=90°，∴∠EDM=∠FEN， ∴在△DME与△ENF中
∠DME=∠ENF=90°，DM=EN，∠EDM=∠FEN，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；
（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∠DAB=90°，∴DF=，
∴，即，解得：DG=，∴FG=DF-DG=，
又∵DE=EF，EF⊥DE，∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，DE=EF=，∴∠GAF=∠GDE=45°，
又∵∠DGE=∠AGF，∴△DGE∽△AGF，∴，即，解得：，∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质以及相似三角形的性质及判定，第（1）问的解题关键是证明△DME≌△ENF，第（2）问的解题关键是通过相似三角形的性质列出方程．
题型9相似三角形的基本模型
1）A字型
【方法点拨】基本模型：
A字型（平行） 反A字型（不平行）
1．（2020·江苏宝应·）如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论．
【解析】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；
（2）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
2．（2020·上海浦东新·初三三模）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．
【答案】（1）4；（2）
【分析】（1）分别求出CD，BC，BD，证明，根据相似性质即可求解；
（2）先证明，再证明，根据相似三角形性质求解即可．
【解析】解：（1）∵平分，，∴．
在中，，，，∴．
在中，，，，∴．∴．
∵，∴∴．∴．
（2）∵点是线段的中点，∴．
∵，∴∴．∴．
∵，∴∴∴．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题．
3．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，中，，点D从点B出发，沿边以的速度向终点C运动，过点D作，交边（或）于点E．设点D的运动时间为，的面积为．
（1）当点D与点A重合时，求t的值；（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）；（2）当时，当＜时，
【分析】（1）利用勾股定理求解的长，从而可得答案；（2）分，＜两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解的两条直角边，再利用面积公式列函数关系式即可．
【详解】解：（1），
（2）如图，当时，点在上，由题意得：
当＜时，点在上，如图，由题意得：
同理：
综上：当时，当＜时，
【点睛】本题考查的是几何动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，考查了利用面积公式列函数关系式，分类讨论思想，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①BE＝4；②45
【分析】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；
（2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；
②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，∴＝＝，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴＝，解得：BE＝4；
②∵＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与性质．
2）X字型
【方法点拨】基本模型：
X字型（平行） 反X字型（不平行）
1．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，矩形中，，点E在边上，与相交于点F．设，，当时，y关于x的函数解析式为_____．
【答案】
【分析】利用矩形的性质可求得BAD为直角三角形，即可利用勾股定理得到BD的长，求证FEDFCB，运用相似三角形的性质建立等式即可求解．
【详解】∵四边形是矩形∴∠BAD=，BC=AD=8，AB=CD=6
∴在ABD中，BD=∴FD=BD−BF=10−y
又∵ADBC∴FEDFBC∴∴∴故答案为
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质建立等式是解题的关键．
2．（2020·四川宜宾市·中考真题）在直角三角形ABC中，是AB的中点，BE平分交AC于点E连接CD交BE于点O，若，则OE的长是________．
【答案】
【分析】过E点作EG⊥AB于G点，根据三角形面积公式求出CE=EG=3，延长CD交过B作BF⊥BC于F，可得△ACD≌△BFD，得到BF=8,再根据△CEO∽△FBO，找到比例关系得到EO=BE，再求出BE即可求解．
【详解】过E点作EG⊥AB于G点，∵BE平分∴CE=EG,
设CE=EG=x,∵,∴AB=
∵S△ABC= S△ABE+S△BCE，故
即解得x=3∴CE=3,
延长CD交过B作BF⊥BC于F，∵D是AB中点∴AD=BD
又AC∥BF∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF∴△ACD≌△BFD，∴BF=AC=8,
∵AC∥BF∴△CEO∽△FBO，∴∴EO=BE=×=，故答案为：．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定、角平分线的性质及相似三角形的判定与性质．
3．（2020·海南中考真题）四边形是边长为的正方形，是的中点，连结，点是射线上一动点(不与点重合)，连结，交于点．
（1）如图1，当点是边的中点时，求证：；
（2）如图2，当点与点重合时，求的长；
（3）在点运动的过程中，当线段为何值时，？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】(1)根据正方形的性质得到AB=AD，再由E、F分别是AB、BC的中点即可证明；
(2)证明，然后再根据对应边成比例即可求出AG；
(3)先证明DM=MG，然后在Rt△ADM中由勾股定理求出DM，进而求出CM，再证明，根据对应边成比例即可求出BF．
【详解】解：(1)证明:四边形是正方形，，
点分别是的中点，，，.
(2)在正方形中，，，
，，，即，．故答案为：．
(3)当时，.理由如下:由(2)知，当点与重合(即)时，，
点应在的延长线上(即)，如图所示，设交于点，
若使，则有，，
又，，，
在中，，即，
，，
，，，即，∴，
∴当时，．故答案为：．
【点睛】此题是四边形和相似三角形的综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，中点的性质，解本题的关键是三角形相似的判定的应用，难点是准确找出相似三角形．
4．（2020·四川攀枝花市·中考真题）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图是的重心．求证：．
【答案】见解析
【分析】过点D作DH∥AB交CE于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH，从而得到AE=2DH，再根据△AEG和△DHG相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证．
【详解】解：过点D作DH∥AB，交CE于点H，
∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点，∴DH是△BCE的中位线，∴BE=2DH，DH∥AB，
∵CE是△BCE的中线，∴AE=BE，∴AE=2DH，
∵DH∥AB，∴△AEG∽△DHG，∴，∴AG=2GD，即AD=3GD.
【点睛】本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造成三角形的中位线和相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
3）AX型
【方法点拨】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
1．（2021·乡宁县枣岭乡谭坪中学初三期中）如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，_____．
【答案】12
【分析】如图（见解析），延长BQ交射线EF于点M，先根据中位线定理得出，再根据角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的定义得出，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质得出，从而可求出EM的长．
【解析】如图，延长BQ交射线EF于点M
、分别是、的中点
平分
由得
即故答案为：12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
2．（2020·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键．
3．（2021·全国初三专题练习）已知如图，在梯形中，，、的延长线相交于点，、相交于点，连结并延长交于点，交于点．那么线段与是否相等？请说明理由．
【答案】见解析
【分析】由可得到∽，∽，∽．以及∽，∽，∽．再由相似三角形的性质得到比例式，变形整理可得出结论．
【解析】相等．理由如下：∵，∴∽，∽，∽．
∴，，．∴．∴．
∵，∴∽，∽，∽．
∴，，．∴．
∴．∴．∴．∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质定理的应用，利用比例式进行变形推理是本题的一个关键．
4．（2020·湖南湘潭市·中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为4，求的长度；
②若，求正方形的面积．
【答案】（1），；（2）都是定值，，；（3）①；②12．
【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）①证明△CME∽△ABM得，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；②分别求出S△BMC和S△ABM 即可.
【详解】（1）连接DE，如图，
∵点O是的重心，，是，C边上的中线，
为，边上的中点，为的中位线，
，，，，，
，，
；
（2）由（1）可知，是定值；是定值；
（3）①∵四边形ABCD是正方形，，，
为CD的中点，
，即；
②，且∴，，，
，，
又∴正方形ABCD的面积为：6+6=12．
【点睛】本题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是灵活运用三角形重心的性质．
4）母子型
【方法点拨】
图1垂直母子型条件：，图1结论：；
图2斜交母子字型条件：，图2结论：；
1.（2021•越城区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（ ）
A．3：2 B．2：3 C．3：13 D．2：13．
【分析】只要证明△ACD∽△CBD，可得ACBC=CDBD=64=32，由此即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，
∴ACBC=CDBD=64=32∴BCAC=23，故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
2．（2021·浙江绍兴市·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（ ）
A．2 B． C．2或
（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．
求证：与互为母子三角形．
（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．
【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3．
【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论；
（2）根据两角对应相等两三角形相似得出，再根据从而得出结论；（3）根据题意画出图形，分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论；
【详解】（1）∵与互为母子三角形，∴或2故选：C
（2）是的角平分线，，
，．
又，与互为母子三角形．
（3）如图，当分别在线段上时，
与互为母子三角形，，，
是中线，，又，．
，，．
如图，当分别在射线上时，
与互为母子三角形，，，
是中线，，又，．
，，．综上所述，或3
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．
3．（2021·湖南益阳市·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC；
（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长．
【详解】（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．
又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．
（2）∵△AED∽△ADC，∴，即，
∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．
4.（2021·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（2）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，∴，∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴．
∵AB=10，BC=12，∴，∴BP=．
“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．
5）旋转型（手拉手）
【方法点拨】基本模型：
旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.
1．（2020·辽宁沈阳市·中考真题）在中，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接．
（1）如图，当时，①求证：；②求的度数：
（2）如图2，当时，请直接写出和的数量关系为__________；
（3）当时，若时，请直接写出点到的距离为__________．
【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）；（3）或．
【分析】（1）①通过证明即可得证；②根据得到，故即可求解；
（2）通过证明，对应线段成比例可得；
（3）分两种情形，解直角三角形求出即可解决问题．
【详解】解：（1）①证明：∵，，，
∴与都是等边三角形，∴，，，
∴，即，∴，∴；
②∵，∴，∵，∴，
∵是等边三角形，∴，∴；
（2）∵，，，∴，，
∴，即，
∴，∴，即，故答案为：；
（3）过点作于，过点作交的延长线于．
如图中，当是钝角三角形时，
在中，，，，，，
，，由（2）可知，，
，，，
如图中，当是锐角三角形时，同法可得，，，
综上所述，满足条件的的值为或．故答案为：或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
2．（2020·广西中考真题）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）求证：CD平分∠ACB；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，判断出OA＝OB＝OC＝OD，即可得出结论；
（2）先求出∠COD＝150°，利用等腰三角形的性质得出∠ODC＝15°，进而求出∠BDC＝30°，进而求出∠BCD＝45°，即可得出结论；（3）先判断出，得出DF2＝BF•EF，再利用勾股定理得出OD2+OF2＝DF2，即可得出结论．
【详解】证明：（1）如图，连接OD，OC，
在Rt中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，∴OC＝OA＝OB，
在Rt中，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上；
（2）连接OC，OD，由（1）知，OA＝OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，
在Rt中，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠BOC＝60°，
在Rt中，∠DAB＝45°，∴∠ABD＝45°＝∠DAB，∴AD＝BD，
∵点O是AB的中点，∴OD⊥AB，∴∠BOD＝90°，∠ODB＝∠ADB＝45°，
∴∠COD＝150°，∴∠OCD＝∠ODC＝15°，∴∠BDC＝∠ODB﹣∠ODC＝30°，
∵∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝105°，∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠BDC＝45°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝45°＝∠BCD，∴CD平分∠ACB；
（3）由（2）知，∠BCD＝45°，∵∠ABC＝60°，∴∠BEC＝75°，∴∠AED＝75°，
∵DF∥BC，∴∠BFD＝∠ABC＝60°，
∵∠ABD＝45°，∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED，
∵∠DFE＝∠BFD，∴，∴，∴DF2＝BF•EF，
连接OD，则∠BOD＝90°，OB＝OD，在Rt中，根据勾股定理得，OD2+OF2＝DF2，
∴OB2+OF2＝BF•EF，即BO2+OF2＝EF•BF．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，四点共圆的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
3．（2020·山东济南市·中考真题）在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ．线段BE与线段CF的数量关系是 ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①，；②仍然成立，证明见解析；（2），理由见解析．
【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．证明（SAS），可得结论．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论．
（2）结论：BE＝．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明，可得结论．
【详解】解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．
∵CA＝CB，∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AD＝AE，
∴AT⊥DE，DT＝ET，∴AB垂直平分DE，∴BD＝BE，
∵∠BCD＝90°，DF＝FB，∴CF＝BD，∴CF＝BE．
故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．
②结论不变．解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，
由①得： 设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，
点F是BD的中点，则DF＝FB＝a+x，∵AM＝BM，∴y+a＝a+2x，∴y＝2x，即AD＝2FM，
∵AM＝BM，EN＝BN，∴AE＝2MN，MN∥AE，∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，
∴∠CMF＝∠BMN＝90°，∴（SAS），∴CF＝BN，∵BE＝2BN，∴CF＝BE．
解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．
∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，
∵∠CAB＝45°，∴∠CAG＝90°，∴AC⊥AG，∴AC∥DE，
∵∠ACB＝∠CBT＝90°， ∴AC∥BT∥，
∵AG＝BT，∴DG＝BT＝EG，∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，
∴BD与GT互相平分，
∵点F是BD的中点，∴BD与GT交于点F，∴GF＝FT，由旋转可得；
是等腰直角三角形，∴CF＝FG＝FT，∴CF＝BE．
（2）结论：BE＝．理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．
∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，
∵AT＝TB，∴CT⊥AB， ∴AT＝，∴AB＝，
∵DF＝FB，AT＝TB，∴TF∥AD，AD＝2FT，∴∠FTB＝∠CAB＝30°，
∵∠CTB＝∠DAE＝90°，∴∠CTF＝∠BAE＝60°，
∵∠ADE＝∠ACB＝60°， ∴AE＝AD＝FT，
∴，∴，∴，∴．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
4．（2020·山东中区·初三二模）在中，，将绕点顺时针方向旋转角至的位置．（1）如图1，当旋转角为时，连接与交于点，则 ．（2）如图2，在（1）条件下，连接，延长交于点，求的长．
【答案】（1）2；（2）；（3）的值最大，此时.
【分析】(1)由旋转60°可知，△ACC’为等边三角形，进而AC=2即可求解.
(2)过点B作BH⊥CD于H，求得△CBH三边之比为，进而求出CH和BH的长，再求得△DBH为等腰直角三角形，最后得到CD=DH+CH即可求解.
【解析】解：(1) ∵旋转前后对应的边相等，∴AC=AC’
又∵旋转60°，∴△ACC’为等边三角形∴.故答案为.
(2)如图2中，作于，如下图所示：
是等边三角形，，
，，且△DBH为等腰直角三角形，
.
.故答案为：.
【点睛】本题综合考察了旋转图形的性质、含30°角的直角三角形三边之比、相似三角形的性质和判定、圆的相关知识等，熟练掌握线段绕其端点旋转60°会得到等边三角形这个特点进而求解本题.
5．（2020·洛阳市第二外国语学校二模）已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．
（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
【答案】（1）1；（2）不成立，＝，理由见解析；（3）E为AD中点时，的最小值 ＝sinα
【分析】（1）取AC的中点M，连接EM，BF，可知△ABC和△EFC都是等边三角形，证明△ACE≌△BCF（SAS），可得结论．（2）连接BF，证明△ACE∽△BCF，可得结论．
【解析】（1）连接BF，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，
∵线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，∴EC＝EF，∠CEF＝60°，∴△EFC都是等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∴＝1．
（2）不成立，结论：＝．证明：连接BF，
∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠CEF＝90°，
∴△ABC和△CEF为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，
∴＝＝，∴△ACE∽△BCF，∴∠CBF＝∠CAE＝α，∴＝＝．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
6）K字型（一线三等角）
【方法点拨】基本模型：
如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角）
如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角）
如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC.
1．（2020·河北中考真题）如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．（1）当点在上时，求点与点的最短距离；（2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长；（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；（4）
【分析】（1）根据当点在上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；
（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得，根据=可得 ，可得，求出AB=5，即可解出MP；
（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；
（4）先求出移动的速度==，然后先求出从Q平移到K耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．
【详解】（1）当点在上时，PA⊥BC时PA最小，
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，∴PAmin=tanC·=×4=3；
（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，
S上=S△APQ，S下=S四边形BPQC，
∵，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，
当=时，，∴，AE=·，
根据勾股定理可得AB=5，∴，解得MP=；
（3）当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，由（2）可知sinC=，∴d=PQ，
∵AP=x+2，∴，∴PQ=，∴d==，
当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，d=CP·sinC=（11-x）=-x+，
综上；
（4）AM=2
②P在BC上时，K与Q重合时CQ=CK=5-=，
∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP，∴∠QPC=∠BAP，
又∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCQ，设BP=y，CP=8-y，，即，
整理得y2-8y=，（y-4）2=，解得y1=，y2=，÷=10秒，÷=22秒，
∴点被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．
2．（2020·江苏苏州市·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；
根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】证明：（1）∵四边形是矩形，∴，．∴，
∵，∴．∴，∴．
解：（2）∵，∴．
∵，是的中点，∴．
∴在中，．
又∵，∴，∴．
【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.
3．（2020·湖南长沙市·中考真题）在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：（2）若，求EC的长；
（3）若，记，求的值．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）只要证明∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC即可；（2）因为△AFE是△ADE翻折得到的，得到AF=AD=4，根据勾股定理可得BF的长，从而得到CF的长，根据△ABF∽△FCE，得到，从而求出EC的长；（3）根据△ABF∽△FCE，得到∠CEF=∠BAF=，所以tan+tan=，设CE=1，DE=x，可得到AE，AB，AD的长，根据△ABF∽△FCE，得到，将求出的值代入化简会得到关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出CE，CF，EF，AF的值，代入tan+tan=即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，
∵△AFE是△ADE翻折得到的，∴∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，∴AF=AD=4，
∴BF=，∴CF=BC-BF=AD-BF=2，
由（1）得△ABF∽△FCE，∴，∴，∴EC=．
（3）
解：由（1）得△ABF∽△FCE，∴∠CEF=∠BAF=，
∴tan+tan=，设CE=1，DE=x，
∵，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=
∵△ABF∽△FCE，∴，∴，∴，
∴，∴，∴x2-4x+4=0，解得x=2，
∴CE=1，CF=，EF=x=2，AF= AD==，
∴tan+tan==．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用方程的思想思考问题．
4．（2020·四川雅安市·中考真题）如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．（1）求证：；（2）若，求的面积；
（3）请直接写出为何值时，的面积最大．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）5
【分析】（1）先判断出CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE=∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；（2）先求出BE=8，进而表示出EG=2+FG，由△BAE∽△GEF，得出，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF=，即可得出结论.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCG=90°，
∵CF平分∠DCG，∴∠FCG=∠DCG=45°，∵∠G=90°，∴∠GCF=∠CFG=45°，∴FG=CG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B=∠G=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，∴∠BAE=∠FEG，
∵∠B=∠G=90°，∴△BAE∽△GEF；
（2）∵AB=BC=10，CE=2，∴BE=8，∴FG=CG，∴EG=CE+CG=2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，∴，∴，∴FG=8，
∴S△ECF=CE•FG=×2×8=8；
（3）设CE=x，则BE=10-x，∴EG=CE+CG=x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，∴，∴，
∴FG=10-x，∴S△ECF=×CE×FG=×x•（10-x）=，
当x=5时，S△ECF最大=，∴当EC=5时，的面积最大.
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．
知识框架：
基础知识点：
知识点1-1比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．
2．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3．比例的性质
性质
内容
性质1
=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性质2
如果=，那么．
性质3
如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．
4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．
知识点1-2相似三角形的判定及性质
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3）三边对应成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
知识点1-3相似多边形
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
2．性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的对应角相等；3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
知识点1-4位似图形
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
4．画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
重难点题型
题型1比例线段及其性质
【解题技巧】1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
2．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
1．（2020·贵州毕节市·中考真题）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入=+1中即可求出结论．
【解析】∵，∴=+1=+1=．故选D．
【点睛】本题考查了比例的性质．
2．（2020·甘肃金昌市·中考真题）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）
A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米
【答案】A
【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．故答案为：A
【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
3．（2020·湖南娄底市·中考真题）若，则________．
【答案】
【分析】根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．
【详解】由可得，，
代入．故答案为．
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．
4．（2020·湖南湘潭市·中考真题）若，则________．
【答案】
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可；
【详解】由可设，，k是非零整数，
则．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
5．（2020·四川泸州市·中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】解：过点A作AF⊥BC，∵AB=AC，∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，∴即，
解得CD=，同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，故选：A.
【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
题型2平行线分线段成比例
【解题技巧】
1．（2020·江苏南京市·）如图，在和中，D、分别是AB、上一点，．
（1）当时，求证： 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格
（2）当时，判断与是否相似，并说明理由
【答案】（1），；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）根据证得△△，推出，再证明结论；
（2）作DE∥BC，∥，利用三边对应成比例证得△，再推出，证得，即可证明△△．
【详解】（1）∵，∴，
∵，∴，∴△△，∴，
∵，∴△△，故答案为：，；
（2）如图，过点D、分别作DE∥BC，∥，
DE交AC于点E，交于点，
∵DE∥BC，∴△△，∴，
同理：，又，∴，∴，
同理：，∴，即，∴，
又，∴，∴△△， ∴，
∵DE∥BC，∴，同理：，∴，
又，∴△△．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，比例的性质，正确作出辅助线是解答第2问的关键．
4．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．
【详解】解：∵DE//AB，∴∴的值为．故答案为A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键．
5．（2020·四川成都市·中考真题）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴.∵AB=5，BC=6，EF=4，∴.∴DE=.故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
6．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
【详解】解：∵，∴△AEF∽△ACD，
∴，故选项A错误；∴，
∵，∴△CEG∽△CAB，∴，
∴，故选项B错误；，故选项D错误；
∵，∴，∵，∴，
∴，故选项正确C． 故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能得出正确的比例式是解此题的关键．
7．（2020·吉林中考真题）如图，．若，，则______．
【答案】10
【分析】根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值．
【详解】解：∵，∴，
又∵，，∴，∴，故答案为：10．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8．（2020·山东临沂市·中考真题）如图，在中，D，E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则___________．
【答案】1
【分析】利用平行线分线段成比例得到EF=2,再利用中位线得到DH的长即可.
【详解】解:∵D，E为边的三等分点，，∴EF:DG:AC=1:2:3
∵AC=6,∴EF=2, 由中位线定理得到,在△AEF中,DH平行且等于 故答案是:1
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用和中位线的性质,熟悉平行线之间的性质是解题关键.
题型3相似多边形
【解题技巧】1．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形．
2．相似多边形对应边的比叫做相似比．
3．多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
4．相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
1．（2021·福建莆田市·中考模拟）下列四组图形中，一定相似的是( )
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
【答案】D
【分析】根据相似多边形的定义对各选项进行判定.
【详解】A中，正方形的四条边都相等，而矩形的四条边不一定相等，∴不一定相似；
B中，正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，∴不一定相似；
C中，菱形的四条边都相等，即两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，∴不一定相似；
D中，正五边形的五条边都相等，五个角都相等，故两个正五边形的对应边的比相等，对应角也相等，∴一定相似．故选D．
2．（2021·山西中考模拟）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【答案】D
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
3．（2019·甘肃庆阳市·中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
【答案】B
【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选B．
【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
4．（2021·海南中考模拟）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
【答案】B
【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【详解】
解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则 设DF=xcm，得到：解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2．
【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
5．（2017·贵州六盘水市·中考模拟）矩形的两边长分别为a,b,下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4,b=+2 B．a=4,b=-2 C．a=2,b=+1 D．a=2,b=-1
【答案】D
【解析】黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即宽：长= ，只有选项D中b：a= ，
故选D．
6．（2019·辽宁朝阳市·中考真题）如图，直线与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，中的阴影部分的面积分别为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为_____．
【答案】．
【分析】因为所有的正方形都相似，所以只要求出第一个阴影正方形的面积和第二个阴影正方形与第一个阴影正方形的相似比即可依此规律求解.根据题意和正方形的性质可得，所以它们的正切相等，等于，据此可求出OB的长，再用OA－OB即为第一个阴影正方形的边长，于是S1可得；同理可求得与AB的关系，进而可求得与的关系；以此规律类推可求得Sn与S1的关系，整理即得答案.
【详解】解：在直线中，当时，；当时，；
∴，，∴，
∵，，∴，
∴，∴．
∵正方形ABCA1中的四个小正方形都与△AOB全等，∴第一个阴影正方形的边长为：，
∴，同理：，
∴， ∴，∴，
同理可得，，…，．故答案为：．
【点睛】本题是一次函数与正方形的规律探求综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点、正方形的性质、锐角三角函数和相似多边形的性质，难度较大，解答时需充分理解题意、注意知识的前后联系，解答的关键是找出解题的规律，正确得出Sn与S1的关系.
7．（2019·四川内江市·中考真题）如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则_____．
【答案】．
【分析】根据题意利用正方形的性质求出是等腰直角三角形，设，则，，根据题意列出方程即可解答
【详解】设，则，，
∵四边形是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，即，，
∵，，∴，，
∴，故答案为．
【点睛】此题考查正方形的性质，相似多边形的性质，解题关键在于求出是等腰直角三角形
8．（2021·山东枣庄市·中考模拟）如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=________
【答案】
【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．
【详解】∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，∴四边形ABEF是正方形，
∵AB=1，设AD=x，则FD=x−1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，，
解得x1=,x2= (负值舍去)，经检验x1=是原方程的解.
【点睛】本题考查了折叠的性质及相似多边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
题型4判定相似的条件
【解题技巧】
1．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】解：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC，
A、若，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；
B、若，且∠DAE=∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项B符合题意；
C、若∠B=∠D，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意；
D、若∠C=∠AED，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
2．（2020·山东德州市·九年级月考）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果．
【详解】∵∠DAE＝∠BAC，∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意，
当时，∵∠B不一定等于∠AED，∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意，
当时，△ADE∽△ACB．故③符合题意，综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键
3．（2020·河北邢台市·九年级期末）如图，是的边上的一点，下列条件不可能是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定判断各选项即可进行解答．
【详解】解： A、∵∠ACP＝∠B，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、∵，缺少夹角相等，∴不可判定△ACP∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠APC＝∠ACB，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、∵，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．要找的对应边与对应角，公共角是很重要的一个量，要灵活加以利用．
4．（2020·湖南张家界市·九年级期中）如图，点、分别在的边、上，且与不平行．下列条件中，能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．
【详解】解:在与中，∵，且，∴．故选:A．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定:
（1）平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；
（4）两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似．
5．（2020·安徽亳州市·九年级二模）如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（ ）
A．∠AED＝∠B B．∠BDE+∠C＝180° C．AD•BC＝AC•DE D．AD•AB＝AE•AC
【答案】C
【分析】A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
B：根据题意可得到∠ADE=∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【详解】解：A、由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
B、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
C、由AD•BC=AC•DE，得ADAC=DEBC不能判断△ADE∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.D、由AD•AB=AE•AC得ADAC=AEAB，∠A=∠A，故能确定△ADE∽△ACB，故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）；
有两组角对应相等的两个三角形相似．
6．（2019·上海徐汇区·中考模拟）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得．
【详解】解：A选项：由∠ADC=∠ACB，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
B选项：由不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；
C选项：由∠ACD=∠B，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
D选项：由AC2=AD•AB，即，且∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
题型5 相似比的应用
【解题技巧】
1．（2020·广西中考真题）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．
【详解】解：∵四边形EFGH是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴．
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，∴解得：x=20所以，AN=20．故选：B．
【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
2．（2020·湖南永州市·中考真题）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（ ）
A． B．25 C．35 D．63
【答案】B
【分析】在中，，即可判断，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
【详解】解：∵∴∴
∵∴∴∴
∵∴∴故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度不大，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．
3．（2020·四川内江市·中考真题）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（ ）
A．30 B．25 C．22．5 D．20
【答案】D
【分析】首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．
【详解】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20故本题选择D
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．
4．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，边长为4的等边中，D、E分别为AB，AC的中点，则的面积是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，由此可得△ADE和△ABC相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC的面积．
【详解】等边的边长为4，，
点D，E分别是的边AB，AC的中点，是的中位线，
，，，，即，
∽，相似比为，故：：4，
即，故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．
5．（2020·吉林中考真题）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．
【答案】
【分析】先根据三角形中位线定理得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得的面积，由此即可得出答案．
【详解】点，分别是边，的中点
，即
又则四边形的面积为故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
6．（2020·山东东营市·中考真题）如图，为平行四边形边上一点，分别为上的点，且的面积分别记为．若则____．
【答案】
【分析】证明△PEF∽△PAD，再结合△PEF的面积为2可求出△PAD的面积，进而求出平行四边形ABCD的面积，再用平行四边形ABCD的面积减去△PAD的面积即可求解．
【详解】解：∵∴，且∠APD=∠EPF，∴△PEF∽△PAD，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且△PEF的面积为2可知，
，∴，
过P点作平行四边形ABCD的底AD上的高PH，
∴，∴ ，即平行四边形ABCD的面积为，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质等，熟练掌握其性质是解决本题的关键．
7．（2020·江苏南通市·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____．
【答案】
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
【详解】解：∵，，，
∴，∴△ABC∽△DEF，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．
8．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在中，点E是的中点，，的延长线交于点F．若的面积为1，则四边形的面积为________．
【答案】3
【分析】根据□ABCD的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC是△ABF的中位线；然后根证明△ABF∽△CEF，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及△ECF的面积为1求得△ABF的面积；最后根据图示求得S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3．
【详解】解：∵在□ABCD中，AB∥CD，点E是CD中点，∴EC是△ABF的中位线；
在△ABF和△CEF中，∠B=∠DCF，∠F=∠F，∴△ABF∽△ECF，
∴，∴S△ABF：S△CEF=1：4；
又∵△ECF的面积为1，∴S△ABF=4，∴S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3．故答案为：3．
【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质；解得此题的关键是根据平行四边形的性质及三角形的中位线的判定证明EC是△ABF的中位线，从而求得△ABF与△CEF的相似比．
题型6相似三角形的实际应用
1．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）在平行四边形中，E为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图1，在上找出一点M，使点M是的中点；
（2）如图2，在上找出一点N，使点N是的一个三等分点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接对角线AC,BD，再连接E与对角线的交点，与BC的交点即为M点；
（2）连接CE交BD即为N点，根据相似三角形的性质可得,于是DN=BD．
【详解】解：（1）如图1，点M即为所求；
（2）如图2，点N即为所求．
【点睛】此题主要考查平行四边形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的特点．
2．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
【答案】48mm
【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【详解】设正方形的边长为x mm，则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，∴EF∥GH，∴△AEF∽△ABC，∴,即，
解得x＝48 mm，∴这个正方形零件的边长是48mm．
【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
3．（2020·上海中考真题）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．
【答案】7米．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BDAC，∴△ACE∽△DBE，
∴，∴，∴AC=7(米)，故答案为：7(米) ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．
4．（2020·山西中考真题）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似
【答案】D
【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度
故选：D.
【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
5．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．
【详解】解：∵，∴AC=1.2m+12.8m=14m
∵标杆和建筑物CD均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE∽△ACD
∴,即,解得CD=17.5m．故答案为A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．
6．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ）
A．或 B．15 C． D．
【答案】A
【分析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．
【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，
若m是斜边，则；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，
若n是斜边，则；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10不能同时取，
即当m=5，，，当，n=10，，故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．
7．（2020·广西玉林市·中考真题）一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
【答案】B
【分析】设截成的两边的长分别为xcm、ycm，然后根据相似三角形对应边成比例，分两种情况求解即可．
【详解】解：设截成的两边的长分别为xcm、ycm，若从60cm长的木条上截取，
∵x+y≤60<120，∴不符合题意；若从120cm长的木条上截取，
①当60cm与75cm是对应边时，∵两三角形相似，∴，解得x=80，y=96，
∵80+96=176cm>120cm，∴此种情况不符合题意；
②当60cm与100cm是对应边时，∵两三角形相似，∴，解得x=45，y=72，
∵60cm <45+72=117cm<120cm，∴从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条；
③当60cm与120cm是对应边时，∵两三角形相似，∴，解得x=37.5，y=50，
∵60cm <37.5+50=87.5cm<120cm，∴从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条；
综上所述，共有两种截法：方法一：从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条，方法二：从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条．故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于根据对应边的不同分情况讨论．
题型7 位似图形
【解题技巧】1．如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2．位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k．
1．（2020·河北中考真题）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
【答案】A
【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．
【详解】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形．故选：A
【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形．
2．（2020·重庆）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【详解】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），∴DF＝=，故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
3．（2020·重庆中考真题）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质即可得出答案．
【详解】由位似变换的性质可知，
△ABC与△DEF的相似比为：1∶2△ABC与△DEF的面积比为：1∶4故选C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
4．（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
【答案】A
【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.
【详解】解：设投影三角尺的对应边长为xcm,
∵三角尺与投影三角尺相似,∴8：x＝2：5,解得x＝20.故选:A.
【点睛】本题主要考查了位似变换的应用.
5．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
【答案】B
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为，而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
6．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）如图，三个顶点的坐标分别为，以点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是____________．
【答案】或
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或即可得到点B′的坐标．
【详解】解：∵以点为位似中心，相似比为，将缩小，
∴点的对应点B′的坐标是（2，4）或（-2，-4）．故答案为：（2，4）或（-2，-4）．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
7．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，请画出；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用位似的性质，找出点A2、B2、C2的位置，然后画出图形即可．
【详解】解：（1）位置正确；用直尺画图；
（2）位置正确；用直尺画图．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握所学的性质正确的做出图形．
8．（2020·辽宁丹东市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为，，，先以原点为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2：1，然后再把绕原点逆时针旋转90°得到．（1）画出，并直接写出点的坐标；（2）画出，直接写出在旋转过程中，点到点所经过的路径长．
【答案】（1）见解析，A1(-2，-4)；（2）见解析，．
【分析】（1）连接AO、BO、CO，并延长到2AO、2BO、2CO，长度找到各点的对应点，顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理列式求出OA，然后利用弧长公式列式计算即可得解．
【详解】（1）如图所示，A1(-2，-4)；
（2）如图所示，∵OA=∴的长为：．
【点睛】本题考查了平移变换作图和轴对称图形的作法及画位似图形．注意：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
题型8相似三角形性质与判定综合
【解题技巧】1．相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
2．相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
1．（2020·贵州铜仁市·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
【答案】C
【分析】先判断出∠H＝90°，进而求出AH＝HF＝1＝BE．进而判断出△EHF≌△CBE（SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判断出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2＝17，即可得出①正确；先判断出四边形APFH是矩形，进而判断出矩形AHFP是正方形，得出AP＝PH＝AH＝1，同理：四边形ABQP是矩形，得出PQ＝4，BQ＝1，FQ＝5，CQ＝3，再判断出△FPG∽△FQC，得出,求出PG＝，再根据勾股定理求得EG＝，即△AEG的周长为8，判断出②正确；先求出DG＝，进而求出DG2+BE2＝，在求出EG2=≠，判断出③错误，即可得出结论．
【详解】解：如图，在正方形ABCD中,AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4,∠B＝∠BAD＝90°,∴∠HAD＝90°,
∵HF∥AD,∴∠H＝90°,∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°,∴∠AFH＝∠HAF.
∵AF＝,∴AH＝HF＝1＝BE.∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC,
∴△EHF≌△CBE（SAS）,∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE,
∵∠BCE+∠BEC＝90°,∴HEF+∠BEC＝90°,∴∠FEC＝90°,∴△CEF是等腰直角三角形,
在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4,∴EC2＝BE2+BC2＝17,∴S△ECF＝EF•EC＝EC2＝,故①正确:
过点F作FQ⊥BC于Q,交AD于P,∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD,∴四边形APFH是矩形,
∵AH＝HF,∴矩形AHFP是正方形,∴AP＝PH＝AH＝1,同理：四边形ABQP是矩形,
∴PQ＝AB＝4,BQ＝AP1,FQ＝FP+PQ＝5,CQ＝BC﹣BQ＝3,
∵AD∥BC,∴△FPG∽△FQC,∴,∴,∴PG＝,∴AG＝AP+PG＝,
在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG＝,
∴△AEG的周长为AG+EG+AE＝=8，故②正确；
∵AD＝4，∴DG＝AD﹣AG＝,∴DG2+BE2＝+1＝,
∵EG2＝（）2＝≠,∴EG2≠DG2+BE2,故③错误,∴正确的有①②,故选:C.
【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用,结合了全等三角形,勾股定理,三角形相似等知识点解题.
2．（2020·浙江温州市·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14 B．15 C． D．
【答案】A
【分析】连接EC，CH，设AB交CR于点J，先证得△ECP∽△HCQ，可得，进而可求得CQ＝10，AC:BC＝1:2，由此可设AC＝a，则BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可证得四边形ABQC为平行四边形，由此可得AB＝CQ＝10，再根据勾股定理求得，，利用等积法求得，进而可求得CR的长．
【详解】解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J，
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，∴∠ACE＝∠BCH＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，∴∠ACE＋∠ACB＋∠BCH＝180°，∠ACB＋∠BCI＝180°，
∴点E、C、H在同一直线上，点A、C、I在同一直线上，
∵DE∥AI∥BH，∴∠CEP＝∠CHQ，∵∠ECP＝∠QCH，∴△ECP∽△HCQ，∴，
∵PQ＝15，∴PC＝5，CQ＝10，∵EC:CH＝1:2，∴AC:BC＝1:2，
设AC＝a，则BC＝2a，∵PQ⊥CR，CR⊥AB，∴CQ∥AB，
∵AC∥BQ，CQ∥AB，∴四边形ABQC为平行四边形，∴AB＝CQ＝10，
∵，∴，∴（舍负）∴，，
∵，∴，∵JR＝AF＝AB＝10，∴CR＝CJ＋JR＝14，故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键．
3．（2020·湖北孝感市·中考真题）如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根据正方形性质和已知条件可知BC=CD=5,再由旋转可知DE=BF,设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x，然后再证明△ABG∽△CEF，根据相似三角形的性质列方程求出x，最后求CE即可．
【详解】解：∵，∴BC=BG+GC=2+3=5
∵正方形∴CD=BC=5设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x
∵AH⊥EF，∠ABG=∠C=90°∴∠HFG+∠AGF=90°，∠BAG+∠AGF=90° ∴∠HFG=∠BAG
∴△ABG∽△CEF∴ ,即，解得x=∴CE=CD-DE=5-=．故答案为B．
【点睛】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程求出DE的长是解答本题的关键．
4．（2020·四川眉山市·中考真题）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证．
【详解】
解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形∴∠EAG=∠BAD=90°
又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG∴∠EAB=∠GAD∴①正确
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形∴AD=DC，AG=FG
∴AC=AD，AF=AG∴，即
又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC∴∠DAG=∠CAF∴∴②正确
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线∴∠AFH=∠ACF=45°
又∵∠FAH=∠CAF∴△HAF∽△FAC∴即
又∵AF=AE∴∴③正确
④由②知又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线∴∠ADG=∠ACF=45°
∴DG在正方形另外一条对角线上∴DG⊥AC∴④正确故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明．
5．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】①根据折叠、矩形的性质进行推理即可；②根据等高三角形的面积比等于底边的比计算分析即可；③由矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定定理计算分析即可；④由矩形的性质可得CD的长，根据CE＝CD﹣ED求得CE的值，则可求得答案．
【详解】解：①由折叠的性质可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°．故①正确；
②由折叠的性质可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，∴HF＝BF﹣BH＝4，
∴＝＝＝，∴2S△BFG＝5S△FGH；故②正确；
③∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABF中，AF＝＝8，设GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，
在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴AG＝3，∴FD＝2；
同理可得ED＝，∴＝＝2，＝＝，
∴≠，∴△ABG与△DEF不相似，故③错误；
④∵CD＝AB＝6，ED＝，∴CE＝CD﹣ED＝，∴＝，∴4CE＝5ED．故④正确．
综上所述，正确的结论的序号为①②④，故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
6．（2020·山西中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．
【答案】
【分析】过点F作FH⊥AC于H，则∽，设FH为x，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的长．
【详解】如解图，过点作于，∵，∴，∴，
∵，点是的中点，∴，
∵，∴∽∴∴，
设为，则，由勾股定理得，
又∵，∴，则，
∵且，∴∽，∴，
即，解得，∴．
∵∴
∴∴故答案为：
【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形．
7．（2020·上海中考真题）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．(2) 由BE2=AB•AE，得到=，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解．
【详解】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．
∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．
∵CDBH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．
(2)∵BE2=AB•AE，∴=，∵AGBC，∴=，∴=，
∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（2020·贵州遵义市·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据正方形的性质以及EF⊥DE，证明△DME≌△ENF即可；
（2）根据勾股定理计算出DF，根据平行线的性质得到，计算出DG，FG的值，利用特殊角的锐角三角函数计算出DE的值，最后证明△DGE∽△AGF，利用相似比列出方程即可求出GE的值．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，且MN∥BC，∴四边形ANMD是矩形，∠BAC=45°，
∴∠ANM=∠DMN=90°，EN=AN=DM，∴∠DEM+∠EDM=90°，
∵EF⊥DE，∴∠DEM+∠FEN=90°，∴∠EDM=∠FEN， ∴在△DME与△ENF中
∠DME=∠ENF=90°，DM=EN，∠EDM=∠FEN，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；
（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∠DAB=90°，∴DF=，
∴，即，解得：DG=，∴FG=DF-DG=，
又∵DE=EF，EF⊥DE，∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，DE=EF=，∴∠GAF=∠GDE=45°，
又∵∠DGE=∠AGF，∴△DGE∽△AGF，∴，即，解得：，∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质以及相似三角形的性质及判定，第（1）问的解题关键是证明△DME≌△ENF，第（2）问的解题关键是通过相似三角形的性质列出方程．
题型9相似三角形的基本模型
1）A字型
【方法点拨】基本模型：
A字型（平行） 反A字型（不平行）
1．（2020·江苏宝应·）如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论．
【解析】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；
（2）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
2．（2020·上海浦东新·初三三模）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．
【答案】（1）4；（2）
【分析】（1）分别求出CD，BC，BD，证明，根据相似性质即可求解；
（2）先证明，再证明，根据相似三角形性质求解即可．
【解析】解：（1）∵平分，，∴．
在中，，，，∴．
在中，，，，∴．∴．
∵，∴∴．∴．
（2）∵点是线段的中点，∴．
∵，∴∴．∴．
∵，∴∴∴．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题．
3．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，中，，点D从点B出发，沿边以的速度向终点C运动，过点D作，交边（或）于点E．设点D的运动时间为，的面积为．
（1）当点D与点A重合时，求t的值；（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）；（2）当时，当＜时，
【分析】（1）利用勾股定理求解的长，从而可得答案；（2）分，＜两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解的两条直角边，再利用面积公式列函数关系式即可．
【详解】解：（1），
（2）如图，当时，点在上，由题意得：
当＜时，点在上，如图，由题意得：
同理：
综上：当时，当＜时，
【点睛】本题考查的是几何动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，考查了利用面积公式列函数关系式，分类讨论思想，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①BE＝4；②45
【分析】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；
（2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；
②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，∴＝＝，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴＝，解得：BE＝4；
②∵＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与性质．
2）X字型
【方法点拨】基本模型：
X字型（平行） 反X字型（不平行）
1．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，矩形中，，点E在边上，与相交于点F．设，，当时，y关于x的函数解析式为_____．
【答案】
【分析】利用矩形的性质可求得BAD为直角三角形，即可利用勾股定理得到BD的长，求证FEDFCB，运用相似三角形的性质建立等式即可求解．
【详解】∵四边形是矩形∴∠BAD=，BC=AD=8，AB=CD=6
∴在ABD中，BD=∴FD=BD−BF=10−y
又∵ADBC∴FEDFBC∴∴∴故答案为
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质建立等式是解题的关键．
2．（2020·四川宜宾市·中考真题）在直角三角形ABC中，是AB的中点，BE平分交AC于点E连接CD交BE于点O，若，则OE的长是________．
【答案】
【分析】过E点作EG⊥AB于G点，根据三角形面积公式求出CE=EG=3，延长CD交过B作BF⊥BC于F，可得△ACD≌△BFD，得到BF=8,再根据△CEO∽△FBO，找到比例关系得到EO=BE，再求出BE即可求解．
【详解】过E点作EG⊥AB于G点，∵BE平分∴CE=EG,
设CE=EG=x,∵,∴AB=
∵S△ABC= S△ABE+S△BCE，故
即解得x=3∴CE=3,
延长CD交过B作BF⊥BC于F，∵D是AB中点∴AD=BD
又AC∥BF∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF∴△ACD≌△BFD，∴BF=AC=8,
∵AC∥BF∴△CEO∽△FBO，∴∴EO=BE=×=，故答案为：．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定、角平分线的性质及相似三角形的判定与性质．
3．（2020·海南中考真题）四边形是边长为的正方形，是的中点，连结，点是射线上一动点(不与点重合)，连结，交于点．
（1）如图1，当点是边的中点时，求证：；
（2）如图2，当点与点重合时，求的长；
（3）在点运动的过程中，当线段为何值时，？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】(1)根据正方形的性质得到AB=AD，再由E、F分别是AB、BC的中点即可证明；
(2)证明，然后再根据对应边成比例即可求出AG；
(3)先证明DM=MG，然后在Rt△ADM中由勾股定理求出DM，进而求出CM，再证明，根据对应边成比例即可求出BF．
【详解】解：(1)证明:四边形是正方形，，
点分别是的中点，，，.
(2)在正方形中，，，
，，，即，．故答案为：．
(3)当时，.理由如下:由(2)知，当点与重合(即)时，，
点应在的延长线上(即)，如图所示，设交于点，
若使，则有，，
又，，，
在中，，即，
，，
，，，即，∴，
∴当时，．故答案为：．
【点睛】此题是四边形和相似三角形的综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，中点的性质，解本题的关键是三角形相似的判定的应用，难点是准确找出相似三角形．
4．（2020·四川攀枝花市·中考真题）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图是的重心．求证：．
【答案】见解析
【分析】过点D作DH∥AB交CE于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH，从而得到AE=2DH，再根据△AEG和△DHG相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证．
【详解】解：过点D作DH∥AB，交CE于点H，
∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点，∴DH是△BCE的中位线，∴BE=2DH，DH∥AB，
∵CE是△BCE的中线，∴AE=BE，∴AE=2DH，
∵DH∥AB，∴△AEG∽△DHG，∴，∴AG=2GD，即AD=3GD.
【点睛】本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造成三角形的中位线和相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
3）AX型
【方法点拨】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
1．（2021·乡宁县枣岭乡谭坪中学初三期中）如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，_____．
【答案】12
【分析】如图（见解析），延长BQ交射线EF于点M，先根据中位线定理得出，再根据角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的定义得出，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质得出，从而可求出EM的长．
【解析】如图，延长BQ交射线EF于点M
、分别是、的中点
平分
由得
即故答案为：12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
2．（2020·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键．
3．（2021·全国初三专题练习）已知如图，在梯形中，，、的延长线相交于点，、相交于点，连结并延长交于点，交于点．那么线段与是否相等？请说明理由．
【答案】见解析
【分析】由可得到∽，∽，∽．以及∽，∽，∽．再由相似三角形的性质得到比例式，变形整理可得出结论．
【解析】相等．理由如下：∵，∴∽，∽，∽．
∴，，．∴．∴．
∵，∴∽，∽，∽．
∴，，．∴．
∴．∴．∴．∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质定理的应用，利用比例式进行变形推理是本题的一个关键．
4．（2020·湖南湘潭市·中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为4，求的长度；
②若，求正方形的面积．
【答案】（1），；（2）都是定值，，；（3）①；②12．
【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）①证明△CME∽△ABM得，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；②分别求出S△BMC和S△ABM 即可.
【详解】（1）连接DE，如图，
∵点O是的重心，，是，C边上的中线，
为，边上的中点，为的中位线，
，，，，，
，，
；
（2）由（1）可知，是定值；是定值；
（3）①∵四边形ABCD是正方形，，，
为CD的中点，
，即；
②，且∴，，，
，，
又∴正方形ABCD的面积为：6+6=12．
【点睛】本题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是灵活运用三角形重心的性质．
4）母子型
【方法点拨】
图1垂直母子型条件：，图1结论：；
图2斜交母子字型条件：，图2结论：；
1.（2021•越城区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（ ）
A．3：2 B．2：3 C．3：13 D．2：13．
【分析】只要证明△ACD∽△CBD，可得ACBC=CDBD=64=32，由此即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，
∴ACBC=CDBD=64=32∴BCAC=23，故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
2．（2021·浙江绍兴市·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（ ）
A．2 B． C．2或
（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．
求证：与互为母子三角形．
（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．
【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3．
【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论；
（2）根据两角对应相等两三角形相似得出，再根据从而得出结论；（3）根据题意画出图形，分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论；
【详解】（1）∵与互为母子三角形，∴或2故选：C
（2）是的角平分线，，
，．
又，与互为母子三角形．
（3）如图，当分别在线段上时，
与互为母子三角形，，，
是中线，，又，．
，，．
如图，当分别在射线上时，
与互为母子三角形，，，
是中线，，又，．
，，．综上所述，或3
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．
3．（2021·湖南益阳市·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC；
（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长．
【详解】（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．
又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．
（2）∵△AED∽△ADC，∴，即，
∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．
4.（2021·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（2）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，∴，∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴．
∵AB=10，BC=12，∴，∴BP=．
“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．
5）旋转型（手拉手）
【方法点拨】基本模型：
旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.
1．（2020·辽宁沈阳市·中考真题）在中，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接．
（1）如图，当时，①求证：；②求的度数：
（2）如图2，当时，请直接写出和的数量关系为__________；
（3）当时，若时，请直接写出点到的距离为__________．
【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）；（3）或．
【分析】（1）①通过证明即可得证；②根据得到，故即可求解；
（2）通过证明，对应线段成比例可得；
（3）分两种情形，解直角三角形求出即可解决问题．
【详解】解：（1）①证明：∵，，，
∴与都是等边三角形，∴，，，
∴，即，∴，∴；
②∵，∴，∵，∴，
∵是等边三角形，∴，∴；
（2）∵，，，∴，，
∴，即，
∴，∴，即，故答案为：；
（3）过点作于，过点作交的延长线于．
如图中，当是钝角三角形时，
在中，，，，，，
，，由（2）可知，，
，，，
如图中，当是锐角三角形时，同法可得，，，
综上所述，满足条件的的值为或．故答案为：或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
2．（2020·广西中考真题）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）求证：CD平分∠ACB；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，判断出OA＝OB＝OC＝OD，即可得出结论；
（2）先求出∠COD＝150°，利用等腰三角形的性质得出∠ODC＝15°，进而求出∠BDC＝30°，进而求出∠BCD＝45°，即可得出结论；（3）先判断出，得出DF2＝BF•EF，再利用勾股定理得出OD2+OF2＝DF2，即可得出结论．
【详解】证明：（1）如图，连接OD，OC，
在Rt中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，∴OC＝OA＝OB，
在Rt中，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上；
（2）连接OC，OD，由（1）知，OA＝OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，
在Rt中，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠BOC＝60°，
在Rt中，∠DAB＝45°，∴∠ABD＝45°＝∠DAB，∴AD＝BD，
∵点O是AB的中点，∴OD⊥AB，∴∠BOD＝90°，∠ODB＝∠ADB＝45°，
∴∠COD＝150°，∴∠OCD＝∠ODC＝15°，∴∠BDC＝∠ODB﹣∠ODC＝30°，
∵∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝105°，∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠BDC＝45°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝45°＝∠BCD，∴CD平分∠ACB；
（3）由（2）知，∠BCD＝45°，∵∠ABC＝60°，∴∠BEC＝75°，∴∠AED＝75°，
∵DF∥BC，∴∠BFD＝∠ABC＝60°，
∵∠ABD＝45°，∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED，
∵∠DFE＝∠BFD，∴，∴，∴DF2＝BF•EF，
连接OD，则∠BOD＝90°，OB＝OD，在Rt中，根据勾股定理得，OD2+OF2＝DF2，
∴OB2+OF2＝BF•EF，即BO2+OF2＝EF•BF．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，四点共圆的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
3．（2020·山东济南市·中考真题）在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ．线段BE与线段CF的数量关系是 ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①，；②仍然成立，证明见解析；（2），理由见解析．
【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．证明（SAS），可得结论．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论．
（2）结论：BE＝．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明，可得结论．
【详解】解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．
∵CA＝CB，∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AD＝AE，
∴AT⊥DE，DT＝ET，∴AB垂直平分DE，∴BD＝BE，
∵∠BCD＝90°，DF＝FB，∴CF＝BD，∴CF＝BE．
故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．
②结论不变．解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，
由①得： 设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，
点F是BD的中点，则DF＝FB＝a+x，∵AM＝BM，∴y+a＝a+2x，∴y＝2x，即AD＝2FM，
∵AM＝BM，EN＝BN，∴AE＝2MN，MN∥AE，∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，
∴∠CMF＝∠BMN＝90°，∴（SAS），∴CF＝BN，∵BE＝2BN，∴CF＝BE．
解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．
∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，
∵∠CAB＝45°，∴∠CAG＝90°，∴AC⊥AG，∴AC∥DE，
∵∠ACB＝∠CBT＝90°， ∴AC∥BT∥，
∵AG＝BT，∴DG＝BT＝EG，∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，
∴BD与GT互相平分，
∵点F是BD的中点，∴BD与GT交于点F，∴GF＝FT，由旋转可得；
是等腰直角三角形，∴CF＝FG＝FT，∴CF＝BE．
（2）结论：BE＝．理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．
∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，
∵AT＝TB，∴CT⊥AB， ∴AT＝，∴AB＝，
∵DF＝FB，AT＝TB，∴TF∥AD，AD＝2FT，∴∠FTB＝∠CAB＝30°，
∵∠CTB＝∠DAE＝90°，∴∠CTF＝∠BAE＝60°，
∵∠ADE＝∠ACB＝60°， ∴AE＝AD＝FT，
∴，∴，∴，∴．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
4．（2020·山东中区·初三二模）在中，，将绕点顺时针方向旋转角至的位置．（1）如图1，当旋转角为时，连接与交于点，则 ．（2）如图2，在（1）条件下，连接，延长交于点，求的长．
【答案】（1）2；（2）；（3）的值最大，此时.
【分析】(1)由旋转60°可知，△ACC’为等边三角形，进而AC=2即可求解.
(2)过点B作BH⊥CD于H，求得△CBH三边之比为，进而求出CH和BH的长，再求得△DBH为等腰直角三角形，最后得到CD=DH+CH即可求解.
【解析】解：(1) ∵旋转前后对应的边相等，∴AC=AC’
又∵旋转60°，∴△ACC’为等边三角形∴.故答案为.
(2)如图2中，作于，如下图所示：
是等边三角形，，
，，且△DBH为等腰直角三角形，
.
.故答案为：.
【点睛】本题综合考察了旋转图形的性质、含30°角的直角三角形三边之比、相似三角形的性质和判定、圆的相关知识等，熟练掌握线段绕其端点旋转60°会得到等边三角形这个特点进而求解本题.
5．（2020·洛阳市第二外国语学校二模）已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．
（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
【答案】（1）1；（2）不成立，＝，理由见解析；（3）E为AD中点时，的最小值 ＝sinα
【分析】（1）取AC的中点M，连接EM，BF，可知△ABC和△EFC都是等边三角形，证明△ACE≌△BCF（SAS），可得结论．（2）连接BF，证明△ACE∽△BCF，可得结论．
【解析】（1）连接BF，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，
∵线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，∴EC＝EF，∠CEF＝60°，∴△EFC都是等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∴＝1．
（2）不成立，结论：＝．证明：连接BF，
∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠CEF＝90°，
∴△ABC和△CEF为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，
∴＝＝，∴△ACE∽△BCF，∴∠CBF＝∠CAE＝α，∴＝＝．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
6）K字型（一线三等角）
【方法点拨】基本模型：
如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角）
如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角）
如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC.
1．（2020·河北中考真题）如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．（1）当点在上时，求点与点的最短距离；（2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长；（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；（4）
【分析】（1）根据当点在上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；
（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得，根据=可得 ，可得，求出AB=5，即可解出MP；
（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；
（4）先求出移动的速度==，然后先求出从Q平移到K耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．
【详解】（1）当点在上时，PA⊥BC时PA最小，
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，∴PAmin=tanC·=×4=3；
（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，
S上=S△APQ，S下=S四边形BPQC，
∵，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，
当=时，，∴，AE=·，
根据勾股定理可得AB=5，∴，解得MP=；
（3）当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，由（2）可知sinC=，∴d=PQ，
∵AP=x+2，∴，∴PQ=，∴d==，
当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，d=CP·sinC=（11-x）=-x+，
综上；
（4）AM=2
②P在BC上时，K与Q重合时CQ=CK=5-=，
∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP，∴∠QPC=∠BAP，
又∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCQ，设BP=y，CP=8-y，，即，
整理得y2-8y=，（y-4）2=，解得y1=，y2=，÷=10秒，÷=22秒，
∴点被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．
2．（2020·江苏苏州市·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；
根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】证明：（1）∵四边形是矩形，∴，．∴，
∵，∴．∴，∴．
解：（2）∵，∴．
∵，是的中点，∴．
∴在中，．
又∵，∴，∴．
【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.
3．（2020·湖南长沙市·中考真题）在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：（2）若，求EC的长；
（3）若，记，求的值．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）只要证明∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC即可；（2）因为△AFE是△ADE翻折得到的，得到AF=AD=4，根据勾股定理可得BF的长，从而得到CF的长，根据△ABF∽△FCE，得到，从而求出EC的长；（3）根据△ABF∽△FCE，得到∠CEF=∠BAF=，所以tan+tan=，设CE=1，DE=x，可得到AE，AB，AD的长，根据△ABF∽△FCE，得到，将求出的值代入化简会得到关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出CE，CF，EF，AF的值，代入tan+tan=即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，
∵△AFE是△ADE翻折得到的，∴∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，∴AF=AD=4，
∴BF=，∴CF=BC-BF=AD-BF=2，
由（1）得△ABF∽△FCE，∴，∴，∴EC=．
（3）
解：由（1）得△ABF∽△FCE，∴∠CEF=∠BAF=，
∴tan+tan=，设CE=1，DE=x，
∵，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=
∵△ABF∽△FCE，∴，∴，∴，
∴，∴，∴x2-4x+4=0，解得x=2，
∴CE=1，CF=，EF=x=2，AF= AD==，
∴tan+tan==．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用方程的思想思考问题．
4．（2020·四川雅安市·中考真题）如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．（1）求证：；（2）若，求的面积；
（3）请直接写出为何值时，的面积最大．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）5
【分析】（1）先判断出CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE=∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；（2）先求出BE=8，进而表示出EG=2+FG，由△BAE∽△GEF，得出，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF=，即可得出结论.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCG=90°，
∵CF平分∠DCG，∴∠FCG=∠DCG=45°，∵∠G=90°，∴∠GCF=∠CFG=45°，∴FG=CG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B=∠G=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，∴∠BAE=∠FEG，
∵∠B=∠G=90°，∴△BAE∽△GEF；
（2）∵AB=BC=10，CE=2，∴BE=8，∴FG=CG，∴EG=CE+CG=2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，∴，∴，∴FG=8，
∴S△ECF=CE•FG=×2×8=8；
（3）设CE=x，则BE=10-x，∴EG=CE+CG=x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，∴，∴，
∴FG=10-x，∴S△ECF=×CE×FG=×x•（10-x）=，
当x=5时，S△ECF最大=，∴当EC=5时，的面积最大.
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．
相关资料
更多
