考点11 平行线与全等三角形-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（解析版）

这是一份考点11 平行线与全等三角形-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（解析版），共71页。试卷主要包含了相交线与平行线，三角形的相关概念，10等内容，欢迎下载使用。
考点11. 平行线与全等三角形
知识框架：


基础知识点：
知识点1-1、相交线与平行线
1．垂直
1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．
2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．
2．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．
3．邻补角
1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．
3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．
4．对顶角定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．
2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．
5．平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
6．平行线的判定
1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．
4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行．
7．平行线的性质
1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补．
4）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：

做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：
8．平行线间的距离
1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．
知识点1-2、三角形的相关概念
1．三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．
2．三角形的三边关系
1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形的两边之差小于第三边．
2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．
3．三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
4．三角形中的重要线段
1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．
2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．
4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
知识点1-3全等三角形
1．三角形全等的判定定理：
1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2．全等三角形的性质：
1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
2）全等三角形的周长相等，面积相等；
3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．
知识点1--4等腰（等边）三角形
1．等腰三角形的性质
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
2．等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
3. 等边三角形
1）．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．
2）．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3）．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
重难点题型
题型1 对顶角和余角、（邻）补角
【解题技巧】1）．识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．2）．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个．
1．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是(　　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．
【详解】解：A、∠α与∠β互余，故本选项正确；B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项错误；
C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项错误；D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项错误；故选A.
【点睛】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
2．（2020·陕西中考真题）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（　　）
A．57° B．67° C．77° D．157°
【答案】B
【分析】根据∠A的余角是90°﹣∠A，代入求出即可．
【详解】解：∵∠A＝23°，∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°．故选：B．
【点睛】本题考查了余角的定义，注意：如果∠A和∠B互为余角，那么∠A=90°-∠B．
3．（2020·甘肃金昌市·中考真题）若，则的补角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据补角的定义即可得．
【详解】的补角的度数是故选：B．
【点睛】本题考查了补角的定义，熟记定义是解题关键．
4．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则_________．

【答案】
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，进而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能求出∠BOC．
【详解】解： ∠AOB=∠COD=90°， ∠AOC=∠BOD， 又∠AOD=108°，
∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°， ∠BOC=90°-18°=72°． 故答案为：．
【点睛】本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2020·广东广州市·中考真题）已知，则的补角等于________．
【答案】80
【分析】根据补角的概念计算即可．
【详解】∠A的补角=180°－100°=80°,故答案为:80．
【点睛】本题考查补角的概念,关键在于牢记基础知识．
6．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，点O在直线上，，则的度数是______．

【答案】
【分析】根据补角的定义，进行计算即可.
【详解】解：由图可知：∠AOC和∠BOC互补，∵，
∴∠BOC=180°-=，故答案为：.
【点睛】本题考查了补角的定义，和角的计算，关键是掌握角的运算方法.
7．（2020·四川南充市·中考真题）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．

【答案】38
【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【详解】解：∵两直线交于点O，∴∠1=∠2，∵∠1+∠2=76°，∴∠1=38°．故答案为：38．
【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．

题型2平行线的性质
【解题技巧】解决平行线性质求角度的问题，首先应在脑海中回顾下平行线的性质，再从所求角度出发，结合已知条件寻求所求角度与已知之间的数量关系，有时也会用到题中的隐含条件，如三角形内角和、三角形内外角关系等来求解．
1．（2020·山东滨州市·中考真题）如图，AB//CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（ ）

A．60° B．70° C．80° D．100°
【答案】B
【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠CPF=55°，
∵PF是∠EPC的平分线，∴∠CPE=2∠CPF=110°，∴∠EPD=180°-110°=70°，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（　　）

A．66° B．56° C．68° D．58°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝58°．故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解答本题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
3．（2020·广东深圳市·中考真题）一把直尺与30°的直角三角板如图所示，∠1=40°，则∠2=（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【分析】如图：根据直角三角形的性质可得，然后再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
【详解】解：如图：∵含30°直角三角形∴
∵直尺两边平行∴∠1+∠2+∠3=180°∴．故答案为D．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质和平行线的性质，其中灵活运用两直线平行、同旁内角互补的性质是解答本题的关键．
4．（2020·湖南长沙市·中考真题）如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线上，斜边AB平分，交直线GH于点E，则的大小为( )

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的性质求得∠DAE的度数，利用平行线的性质求得∠ACE的度数，即可求解．
【详解】∵AB平分，∠CAB=60，∴∠DAE=60，
∵FD∥GH，∴∠ACE+∠CAD=180，∴∠ACE=180-∠CAB-∠DAE=60，
∵∠ACB=90，∴∠ECB=90-∠ACE=30，故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
5．（2020·湖北襄阳市·中考真题）如图，，直线分别交，于点E，F，平分，若，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质求解，利用角平分线求解，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：，
平分，
故选．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2020·山东淄博市·中考真题）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（ ）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【详解】由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．
【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，
∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是解答本题的关键．
7．（2020·湖北宜昌市·中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数．

【答案】25°
【分析】使用平行线的性质得到，再根据得到结果．
【详解】解：∵∴
∵∴
【点睛】本题考查了平行线的性质，及角度间的加减计算，熟知平行线的性质是解题的关键．
8．（2020·河南中考真题）如图，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行线的性质即可求解．
【详解】如图，∵，∴∠1+∠3=180º，∵∠1=70º，∴∴∠3=180º-70º=110º，∵，∴∠2=∠3=110º，故选：B．

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．

题型3平行线的判定
【解题技巧】平行线的判定1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行．
1．（2020·湖北武汉市·中考真题）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．

【答案】证明见解析．
【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】平分，平分
，即．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．
2．（2020·湖南郴州市·中考真题）如图，直线被直线所截下列条件能判定的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．
【详解】A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
3．（2020·江西中考真题）如图，，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可对A进行判断；根据三角形外角的性质可对B进行判断；求出∠C，根据大角对大边，小角对小边可对D进行判断；求出可对C进行判断．
【详解】，，故选项A正确；，，
又，，故选项B正确；
，，，，故选项D正确；
，，
而，故选项C错误．故选C．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握性质与判定是解答此题的关键．
4．（2020·湖南岳阳市·中考真题）如图，，，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平行线的判定和性质，即可求出答案．
【详解】解：∵，，∴，∴，
∵，∴；故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
5．（2020·浙江金华市·中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）

A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】解：
∵由题意a⊥AB，b⊥AB，∴∠1=∠2∴a∥b
所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2020·湖北咸宁市·中考真题）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵__________，∴．

【答案】∠1=∠4（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定添加条件即可.
【详解】解：如图，若∠1=∠4，则a∥b，故答案为：∠1=∠4（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行线的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角解答.

题型4 平行线有关的辅助线问题
【解题技巧】除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：

做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：
1．（2020·湖南中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）

A．70° B．65° C．35° D．5°
【答案】B
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
2．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，，一块含的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作平行a和b的平行线,再根据平行的性质可知,再算出即可得出．
【详解】如图所示,过直角顶点作c∥a，∵，∴a∥b∥c，

∴,∴,∴．故选A．
【点睛】本题考查平行的性质,关键在于利用割补法将直角分成两个角度进行转换．
3．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）如图，四边形是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则的值为（ ）

A．1 B． C．2 D．无法确定
【答案】A
【分析】过点D作交AO于点E，由平行的性质可知，等量代换可得的值.
【详解】解：如图，过点D作交AO于点E，

四边形是矩形

故选：A.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.
4．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，直线于点，若，则的度数是（ ）

A．120° B．100° C．150° D．160°
【答案】C
【分析】延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出∠AFC的度数，再利用外角的性质求出∠ECF，从而求出∠ECD．
【详解】解：延长AE，与DC的延长线交于点F，
∵AB∥CD，∴∠A+∠AFC=180°，∵，∴∠AFC=60°，
∵AE⊥CE，∴∠AEC=90°，而∠AEC=∠AFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEC-∠F =30°，
∴∠ECD=180°-30°=150°，故选：C．

【点睛】本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和平行线的性质是解题的关键．
5．（2020·四川绵阳市·中考真题）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　）

A．16° B．28° C．44° D．45°
【答案】C
【分析】延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，
【详解】解：延长，交于，
是等腰三角形，，，，，
，，故选：．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
6．（2020·江苏南通市·中考真题）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（　　）

A．36° B．34° C．32° D．30°
【答案】A
【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数．
【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．

∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°，∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．
又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°．故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．

题型5 三角形的三边关系
【解题技巧】在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．
1．（2020·江苏宿迁市·中考真题）在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】∵在△ABC中，AB=1，BC=，∴﹣1＜AC＜+1，
∵﹣1＜2＜+1，4＞+1，5＞+1，6＞+1，∴AC的长度可以是2，
故选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及无理数的估算，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系解答．
2．（2020·湖南益阳市·中考真题）如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取值范围，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=3，BO=BD=4，
在△AOB中，4-3