考点06 一元二次方程-2022年中考数学高频考点专题突破 （全国通用）（解析版）

考点6.一元二次方程
知识框架：


基础知识点：
知识点1-1一元二次方程的概念
1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2）一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
知识点1-2一元二次方程的解法
1）直接开平方法：适合于或形式的方程．
2．配方法
（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3）公式法
（1）把方程化为一般形式，即；
（2）确定的值；（3）求出的值；
（4）将的值代入即可．
4）因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
（常用提公因式和十字相乘）
知识点1-3一元二次方程根的判别式
1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
2）一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
知识点1-4一元二次方程根与系数关系
对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，
则，．
知识点1-5 利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．


题型1 利用一元二次方程的解求参数
解题技巧：紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。
1．（2020·甘肃金昌·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
【答案】B
【分析】首先把x=1代入，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m的值
【解析】解：把x=1代入得：=0，解得：m1=2，m2=﹣1
∵是一元二次方程，∴ ，∴，∴，故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．
2．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（ ）
A．0 B．1 C．−3 D．−1
【答案】B
【分析】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
【解析】解：根据题意得，解得；故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
3．（2020·江苏常州·中考真题）若关于x的方程有一个根是1，则_________．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．
【解析】解：把x=1代入方程得1+a-2=0，解得a=1．故答案是：1．
【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．（2020·贵州毕节·中考真题）关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______．
【答案】1
【分析】把方程的根代入原方程得到，解得k的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．
【解析】∵方程是一元二次方程，∴k+2≠0，即k≠-2；
又0是该方程的一个根，∴，解得，，，由于k≠-2，所以，k=1．答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．
5．（2020·四川内江·中考真题）已知关于x的一元二次方程有一实数根为，则该方程的另一个实数根为_____________
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【解析】解：把x=-1代入得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，
∵(m-1)2≠0，∴m1．∴m=4.∴方程为9x2+12x+3=0.
设另一个根为a,则-a=.∴a=-.故答案为: -．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
6．（2019·甘肃兰州·中考真题）是关于的一元一次方程的解，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值
【解析】将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.故选A.
【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键

题型2 解一元二次方程（一）
解题技巧：解一元二次方程的主要方法有：①配方法；②公式法；③因式分解法。建议：
①若能使用因式分解法，优先使用因式分解法，计算量较小；
②若无法使用因式分解法，或不熟练因式分解法，建议使用公式法，不用配方法。
小技巧：若△为整数，则可以使用十字相乘法。
1．（2020·辽宁营口·中考真题）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
【答案】D
【分析】利用因式分解法解方程．
【解析】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0， x﹣2＝0或x﹣3＝0，∴x1＝2，x2＝3．故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
2．（2020·山东泰安·中考真题）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【答案】A
【分析】根据配方法步骤解题即可．
【解析】解：移项得，配方得，
即，∴a=-4，b=21．故选：A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
3．（2020·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
【解析】解： 移项得，二次项系数化1的，
配方得即故选：A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
【答案】1
【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．
【解析】解 （x-3m）（x-m）=0 ∴x-3m=0或x-m=0
解得x1=3m,x2=m，∴3m-m=2解得m=1故答案为：1．
【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
5．（2020·四川乐山·中考真题）已知，且．则的值是_________．
【答案】4或-1
【分析】将已知等式两边同除以进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得．
【解析】将两边同除以得：
令 则 因式分解得：解得或
即的值是4或 故答案为：4或．
【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键．
6．（2019·西藏中考真题）一元二次方程的根是_____．
【答案】．
【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
【解析】，a=1，b=－1，c=－1，，
，所以，故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
7．（山东滨州·中考真题）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
【答案】（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3．（2）①x1＝1，x2＝8， ②x2－(1＋n)x＋n＝0；（3）x1＝1，x2＝8．
【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
【解析】（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3．
（2）①x1＝1，x2＝8；②x2－(1＋n)x＋n＝0．
（3）x2－9x＋8＝0 x2－9x＝－8 x2－9x＋＝－8＋
(x－)2＝ ∴x－＝±． ∴x1＝1，x2＝8．

题型3 解一元二次方程（二）
1．（2020·湖南张家界·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．2或4
【答案】A
【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
【解析】解：x2－6x+8=0 （x－4）（x－2）=0 解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
所以三角形的底边长为2，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
2．（2020·贵州黔东南·中考真题）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．24 C．16或24 D．48
【答案】B
【分析】解方程得出x＝4或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．故选：B．

【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
3．（2019·四川内江·中考真题）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（　　）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
【答案】A
【分析】通过解一元二次方程求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长．
【解析】解方程，得：或，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，故选：A．
【点睛】此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则
4．（2020·甘肃天水·中考真题）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______．
【答案】13
【分析】先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的
周长可求．
【解析】解：∵x2-8x+12=0，∴，∴x1=2，x2=6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，当x=2时，2+2＜5，不符合题意，
∴三角形的第三边长是6，∴该三角形的周长为：2+5+6=13．故答案为：13．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
5．（2020·四川甘孜·中考真题）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________．
【答案】17
【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案．
【解析】解：解方程得x1=2，x2=6，当x=2时，2+4=6-1；（2）1
【分析】（1）根据∆>0列不等式求解即可；（2）根据根与系数的关系求出a+b、ab的值，然后代入所给代数式计算即可.
【解析】解：（1）由题意得∆=4+4k>0，∴k>-1；
（2）∵a+b=-2，ab=-k，∴== = =1.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，．
2．（2020·四川南充·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
【解析】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴解得；
（2）由一元二次方程根与系数关系，
∵，∴即，解得．
又由（1）知：，∴．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于k的方程．
3．（2020·湖北中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】(1)根据建立不等式即可求解；(2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．
【解析】解：(1)由题意可知，，
整理得：，解得：，∴的取值范围是：．故答案为：．
(2)由题意得：，
由韦达定理可知：，，故有：，
整理得：，解得：，
又由(1)中可知，∴的值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．
4．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【答案】（1），2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．
【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可；（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
【解析】解：（1）∵，∴，2，3是“和谐三数组”；故答案为：，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴，，∴，
∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，∴，∴，∴=，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴或或，
即或或，解得：m=﹣4或﹣2或2．
【点睛】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
5．（2020·湖北黄石·中考真题）已知：关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为、，且满足，求m的值．
【答案】（1）m≥0（2）9
【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系可得=-，=-2，根据可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【解析】（1）根据题意得△＝（）2−4×（−2）≥0，且m≥0，
解得m≥−8且m≥0．故m的取值范围是m≥0；
（2）方程的两根为、，∴=-，=-2
∵∴
即m+8=17解得m＝9∴m的值为9．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1•x2＝．
6．（2020·湖北随州·中考真题）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）求出△的值即可证明；（2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可．
【解析】（1）证明：依题意可得
故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由根与系数的关系可得：
由，得，解得．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．

题型10 碰面问题（循环问题）
解题技巧：有2种类型
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分
∴m=12n（n-1）
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠
∴m=n（n-1）
1．（2020·广西河池·中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．
【解析】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9队．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
2．（2020·广西中考真题）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110 C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
【答案】D
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
【解析】解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝110．故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键．
3．（2019·新疆中考真题）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．
【解析】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，故选A．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.
4．（四川绵阳·中考真题）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】C
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
【解析】设参加酒会的人数为x人，依题可得：x（x-1）=55，化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），故答案为C.
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.
5．（2020·贵州黔南·中考真题）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：

（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为_____，当时，对应的______．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
【答案】（1）10，15；（2），1128；（3）20
【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；
（2）根据y值随x值的变化，可找出，再代入可求出当时对应的y值；
（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．故答案为：10；15．
（2）∵，∴，
当时，．故答案为：；1128．
（3）依题意，得：，化简，得：，
解得：（不合题意，舍去）．答：该班共有20名女生．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键．

题型11 增长率问题
解题技巧：设a为增长（下降）基础数量，b为增长（下降）后的数量，n为增长（下降）的次数，p为增长（下降）率。
增长（下降）次数
增长（下降） 前数量
增长（下降）量
增长（下降）后数量
1
a
ap
a±ap=a（1±p）
2
a（1±p）
a（1±p）p
a（1±p）±a（1±p）p= a （1±p）2
3
a（1±p）2
a （1±p）2p
a （1+p）2±a（1±p）2x= a （1±p）3
发现规律：①增长时：b=a（1+p）n； ②减少时：b=a（1-p）n
注：①本章考察一元二次方程，通常增长（下降）次数n为2；②通常设增长（下降）率为x；
③例求解得x=0.1，则表示增长（下降）10%。
1．（2020·湖北鄂州·中考真题）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先用含x的代数式表示出2020年底、2021年底用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的用户数量之和=8.72万户即得关于x的方程，解方程即得答案．
【解析】解：设全市用户数年平均增长率为，根据题意，得：，
解这个方程，得：，（不合题意，舍去）．∴x的值为40%．故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
2．（2020·浙江衢州·中考真题）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）

A．180（1﹣x）2=461 B．180（1+x）2=461 C．368（1﹣x）2=442 D．368（1+x）2=442
【答案】B
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．
【解析】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．
3．（2020·河南中考真题）国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．
【解析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，
∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元
即2019年我国快递业务收入为亿元，∴可列方程：，故选C．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程．
4．（2020·湖南湘西·中考真题）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【答案】（1）10%；（2）26620个
【分析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解．
（2）利用4月份平均日产量=3月份平均日产量×（1＋增长率）即可得出答案．
【解析】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：20000（1＋x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝−2.1（不合题意舍去），∴x＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；
（2）依据题意可得：24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（个），
答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个．
【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）年数＝增长后的量．
5.（2020·上海中考真题）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【答案】（1）504万元；（2）20%．
【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；
(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．
【解析】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2020·湖北宜昌·中考真题）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．
材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．
问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；
（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
【答案】（1）见解析；（2）55:72
【分析】(1)根据题意任意写出问题解答即可.
(2)根据题意列出等式，解出增长率再代入A，B的收益中计算即可.
【解析】解（1）问题1：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比
解答：
问题2：A公司营销区域面积比B公司营销区域的面积多多少？
解答：
问题3：求去年下半年公共营销区域面积与两个公司总营销区域面积的比
解答：
（2）方法一：
方法二：

方法三：
解得，（舍去）
设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为
今年上半年A，B公司产生的总经济收益为
去年下半年A，B公司产生的总经济收益为
去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为
【点睛】本题考查一元二次方程增长率的问题,关键在于理解题意列出等式方程.

题型12．图形问题
解题技巧：解决面积问题的关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后按照几何图形的面积公式列写等式方程，使问题得以解决。具体步骤为：①将实际问题中的图形归结到一个图形中，并列写等量关系式；②设未知数；③列方程；④求解方程并解答。
1．（2020·湖南衡阳·中考真题）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【解析】解：如图，设小道的宽为，则种植部分的长为，宽为
由题意得：．故选C．

【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．
2．（2020·西藏中考真题）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．

【答案】30m，20m
【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．
【解析】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，
根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．
3．（2020·山东济南·中考真题）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．

【答案】1
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
【解析】解：设道路的宽为x m，根据题意得：（10﹣x）（15﹣x）＝126，
解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），则道路的宽应为1米；故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
4．（2020·山西中考真题）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______．

【答案】
【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可．
【解析】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,由题意得:,
解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24,
整理得:2x2－11x+18=0．解得x=2或x=9(舍去)．故答案为2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程．
5．（2020·辽宁大连·中考真题）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．
【答案】x（x﹣12）＝864．
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2020·湖南邵阳·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________．
【答案】x(x+12)=864
【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．
【解析】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12，
故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，故答案：x(x+12)=864．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知数，列方程求解即可．
7．（2020·河北中考真题）用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，当时，．（1）求与的函数关系式．（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为（厘米），．①求与的函数关系式；②为何值时，是的3倍？（注：（1）及（2）中的①不必写的取值范围）

【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）设W=kx2，利用待定系数法即可求解；
（2）①根据题意列出函数，化简即可；②根据题意列出方程故可求解．
【解析】（1）设W=kx2,∵时，∴3=9k∴k=
∴与的函数关系式为；
（2）①∵薄板的厚度为xcm，木板的厚度为6cm∴厚板的厚度为（6-x）cm，
∴Q=∴与的函数关系式为；
②∵是的3倍∴-4x+12=3×解得x1=2,x2=-6(不符题意，舍去)
经检验，x=2是原方程的解，∴x=2时，是的3倍．
【点睛】此题主要考查函数与方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数或方程求解．

题型13 销售问题
解题技巧：利润问题中，等量关系式为：商品单件利润×商品销售件数=总利润，解题步骤与上述题型类似。
1．（2020·辽宁丹东·中考真题）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价（元/件）
60
65
70
销售量（件）
1400
1300
1200
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）与之间的函数表达式为；（2）这种衬衫定价为每件70元；（3）价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少．
【解析】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，， 解得，，
∴与之间的函数表达式为；
（2）设该种衬衫售价为x元，根据题意得，（x-50）(-20x+2600)=24000解得，，，
∵批发商场想尽量给客户实惠，∴，故这种衬衫定价为每件70元；
（3）设售价定为x元，则有：
=
∵ ∴
∵k=-20＜0，∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）．
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．
2．（2020·山东滨州·中考真题）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【答案】（1）450千克；（2）当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；（3）当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大
【分析】（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；（2）设每千克水果售价为元，根据题意列方程解答即可；（3）设月销售利润为元，每千克水果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．
【解析】解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克.
设每千克水果售价为元，由题意，得
即整理，得
配方，得解得
当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元
设月销售利润为元，每千克水果售价为元，由题意，得
即配方，得
，当时，有最大值
当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式二次函数的性质，正确理解题意，根据题意对应的列方程或是函数关系式进行解答，并正确计算．
3．（2019·辽宁锦州·中考真题）2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的销量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？
【答案】（1）y＝220﹣2x；（2）当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当x＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．
【分析】（1）根据月销量等于涨价前的月销量，减去涨价（x-60）与涨价1元每月少售出的件数2的乘积，化简可得；（2）月销售量乘以每件的利润等于利润2250，解方程即可；
（3）根据题意列出二次函数解析式，由顶点式，可知何时取得最大值及最大值是多少．
【解析】（1）由题意得，月销售量y＝100﹣2（x﹣60）＝220﹣2x（60≤x≤110，且x为正整数）
答：y与x之间的函数关系式为y＝220﹣2x．
（2）由题意得：（220﹣2x）（x﹣40）＝2250化简得：x2﹣150x+5525＝0解得x1＝65，x2＝85
答：当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元．
（3）设每个月获得利润w元，由（2）知w＝（220﹣2x）（x﹣40）＝﹣2x2+300x﹣8800
∴w＝﹣2（x﹣75）2+2450
∴当x＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题关键在于理解题意得到等量关系列出方程.
4．（2019·辽宁铁岭·中考真题）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）；（2）10元；（3）x为12时，日销售利润最大，最大利润960元
【分析】（1）根据题意得到函数解析式；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解析】解：（1）根据题意得，，
故y与x的函数关系式为；
（2）根据题意得，，解得：，（不合题意舍去），
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）根据题意得，，
，∴当时，w随x的增大而增大，当时，，
答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
5．（2019·山东东营·中考真题）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？
【答案】销售单价为元时，公司每天可获利元
【分析】根据题意设降价后的销售单价为元，由题意得到，则可得到答案.
【解析】解：设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个，
依题意，得：，
整理，得：，解得：．，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为元时，公司每天可获利元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的实际应用.
6．（2020·重庆中考真题）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加，求a的值．
【答案】（1）A品种去年平均亩产量是400、B品种去年平均亩产量是500千克；（2）10．
【分析】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案；（2）根据题意分别表示A品种、B品种今年的收入，利用总收入等于A品种、B品种今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案．
【解析】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得，
解得．答：A．B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得：．
令a%=m，则方程化为：．
整理得10m2-m=0，解得：m1=0（不合题意，舍去），m2=0.1
所以a%=0.1，所以a=10，答：a的值为10．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方法与步骤是解题的关键．
7．（2019·重庆中考真题）某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．
（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？
（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%，毎个摊位的管理费将会减少；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少．这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少，求a的值．
【答案】（1）该菜市场共有25个4平方米的摊位．（2）a的值为50．
【分析】（1）设该菜市场共有x个4平方米的摊位，则有2x个2.5平方米的摊位，根据菜市场毎月可收取管理费4500元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）由（1）可得出：5月份参加活动一的2.5平方米摊位及4平方米摊位的个数，再由参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】解：（1）设该菜市场共有x个4平方米的摊位，则有2x个2.5平方米的摊位，
依题意，得：，解得：．
答：该菜市场共有25个4平方米的摊位．
（2）由（1）可知：5月份参加活动一的2.5平方米摊位的个数为（个），5月份参加活动一的4平方米摊位的个数为（个）．
依题意，得：，整理，得：，
解得：（舍去），．答：a的值为50．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．