考点06 一元二次方程-2022年中考数学高频考点专题突破 （全国通用）（原卷版）

考点6.一元二次方程
知识框架：


基础知识点：
知识点1-1一元二次方程的概念
1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2）一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
知识点1-2一元二次方程的解法
1）直接开平方法：适合于或形式的方程．
2．配方法
（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3）公式法
（1）把方程化为一般形式，即；
（2）确定的值；（3）求出的值；
（4）将的值代入即可．
4）因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
（常用提公因式和十字相乘）
知识点1-3一元二次方程根的判别式
1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
2）一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
知识点1-4一元二次方程根与系数关系
对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，
则，．
知识点1-5 利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．


题型1 利用一元二次方程的解求参数
解题技巧：紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。
1．（2020·甘肃金昌·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
2．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（ ）
A．0 B．1 C．−3 D．−1
3．（2020·江苏常州·中考真题）若关于x的方程有一个根是1，则_________．
4．（2020·贵州毕节·中考真题）关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______．
5．（2020·四川内江·中考真题）已知关于x的一元二次方程有一实数根为，则该方程的另一个实数根为_____________
6．（2019·甘肃兰州·中考真题）是关于的一元一次方程的解，则（ ）
A． B． C．4 D．

题型2 解一元二次方程（一）
解题技巧：解一元二次方程的主要方法有：①配方法；②公式法；③因式分解法。建议：
①若能使用因式分解法，优先使用因式分解法，计算量较小；
②若无法使用因式分解法，或不熟练因式分解法，建议使用公式法，不用配方法。
小技巧：若△为整数，则可以使用十字相乘法。
1．（2020·辽宁营口·中考真题）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
2．（2020·山东泰安·中考真题）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
3．（2020·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
5．（2020·四川乐山·中考真题）已知，且．则的值是_________．
6．（2019·西藏中考真题）一元二次方程的根是_____．
7．（山东滨州·中考真题）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．



题型3 解一元二次方程（二）
1．（2020·湖南张家界·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．2或4
2．（2020·贵州黔东南·中考真题）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．24 C．16或24 D．48
3．（2019·四川内江·中考真题）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（　　）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
4．（2020·甘肃天水·中考真题）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______．
5．（2020·四川甘孜·中考真题）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________．
6．（2019·内蒙古通辽·中考真题）一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（　　）
A．48 B．24 C．24或40 D．48或80

题型4 解高次方程
解题技巧：解此类方程的要点，是基于观察或适当的代数变形，通过换元法（整体代入法），将方程转化为一元二次方程处理。
注：求解过程中，若采用了“去分母”等化为整式的手法，则可能产生增根。因此，所求出的解应该要验根。
1．（2020·湖北随州·中考真题）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·上海中考真题）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
3．（2020·湖南中考真题）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
4．（2020·湖北荆州·中考真题）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），
解：设，则有，原方程可化为：，
续解：



5．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值．




6．（上海中考真题）方程组的解是_____．

题型5利用△判定一元二次方程根的情况
解题技巧：一元二次方程的判别式△与方程的根有密切关系：①△＞0⇌方程有两个不等的实根；②△=0⇌方程有两个相等的实根，即方程仅有一个实根；③△＜0⇌方程无实数根
注：在判断一元二次方程ax2+bx+c=0的根的时候，存在隐含条件：a≠0
1．（2020·江苏南京·中考真题）关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
2．（2020·山东滨州·中考真题）对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
3．（2020·湖北荆州·中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
4．（2020·河南中考真题）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根
5．（2020·安徽中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·山东潍坊·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
7．（2020·浙江湖州·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关

题型6 利用一元二次方程的根的情况求参数
【解题技巧】一元二次方程的判别式△与方程的根有密切关系：①△＞0⇌方程有两个不等的实根；②△=0⇌方程有两个相等的实根，即方程仅有一个实根；③△＜0⇌方程无实数根
注：在判断一元二次方程ax2+bx+c=0的根的时候，存在隐含条件：a≠0
1．（2020·贵州黔西·中考真题）已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
2．（2020·四川雅安·中考真题）如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
3．（2019·湖南邵阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是____．
4．（2020·湖南怀化·中考真题）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·四川攀枝花·中考真题）若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）．
A． B． C．0 D．1
6．（2019·湖北咸宁·中考真题）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·江苏中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于_______．
题型7 利用韦达定理求对称式的值
解题技巧：尽量将所求的式子转化成x1+x2项、x1x2项和常数项组成的式子，然后用韦达定理代入求值即可。常见的对称式有：
， ， ，
，，
1．（2020·贵州遵义·中考真题）已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A．5 B．10 C．11 D．13
2．（2020·四川眉山·中考真题）设，是方程的两个实数根，则的值为______．
3．（2020·江苏南通·中考真题）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．
4．（2020·四川宜宾·中考真题）一元二次方程的两根为，则_______
5．（2019·广西玉林·中考真题）若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
6．（2020·贵州黔南·中考真题）对于实数a，b，定义运算“”，例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则_________．
7．（2019·四川眉山·中考真题）设、是方程的两个实数根，则的值为_____．

题型8 利用韦达定理求字母系数的值
解题技巧：方程中虽然有字母，但我们将字母视为常数进行分析：
①先用韦达定理求解出用字母表示的x1+x2与x1x2的值；②此刻，题干还会告知一个条件，利用对称式的一些变形，将x1+x2与x1x2用字母表示的值代入这个条件，得到关于字母的方程；③解方程得到字母的值。
最后将所求的字母的值带入原方程检验是否为非负数，否则舍去。
注：因为x1、x2是方程的根，我们还可以将x1、x2代入方程得到2个等式，帮组解题。
1．（2019·四川成都·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为____.
2．（2019·广东广州·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（ ）
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
3．（2019·山东潍坊·中考真题）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
4．（2020·湖北省·中考真题）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或4


题型9 判别式与韦达定理综合运用
1．（2020·广西玉林·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求的值．





2．（2020·四川南充·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．




3．（2020·湖北中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值．




4．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．



5．（2020·湖北黄石·中考真题）已知：关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为、，且满足，求m的值．





6．（2020·湖北随州·中考真题）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．





题型10 碰面问题（循环问题）
解题技巧：有2种类型
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分
∴m=12n（n-1）
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠
∴m=n（n-1）
1．（2020·广西河池·中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2020·广西中考真题）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110 C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
3．（2019·新疆中考真题）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）
A． B． C． D．
4．（四川绵阳·中考真题）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
5．（2020·贵州黔南·中考真题）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：

（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为_____，当时，对应的______．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？

题型11 增长率问题
解题技巧：设a为增长（下降）基础数量，b为增长（下降）后的数量，n为增长（下降）的次数，p为增长（下降）率。
增长（下降）次数
增长（下降） 前数量
增长（下降）量
增长（下降）后数量
1
a
ap
a±ap=a（1±p）
2
a（1±p）
a（1±p）p
a（1±p）±a（1±p）p= a （1±p）2
3
a（1±p）2
a （1±p）2p
a （1+p）2±a（1±p）2x= a （1±p）3
发现规律：①增长时：b=a（1+p）n； ②减少时：b=a（1-p）n
注：①本章考察一元二次方程，通常增长（下降）次数n为2；②通常设增长（下降）率为x；
③例求解得x=0.1，则表示增长（下降）10%。
1．（2020·湖北鄂州·中考真题）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·浙江衢州·中考真题）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）
A．180（1﹣x）2=461 B．180（1+x）2=461 C．368（1﹣x）2=442 D．368（1+x）2=442

3．（2020·河南中考真题）国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( )
A． B．
C． D．
4．（2020·湖南湘西·中考真题）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？



5.（2020·上海中考真题）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．



6．（2020·湖北宜昌·中考真题）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．
材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．
问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；
（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．



题型12．图形问题
解题技巧：解决面积问题的关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后按照几何图形的面积公式列写等式方程，使问题得以解决。具体步骤为：①将实际问题中的图形归结到一个图形中，并列写等量关系式；②设未知数；③列方程；④求解方程并解答。
1．（2020·湖南衡阳·中考真题）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．

2．（2020·西藏中考真题）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．


3．（2020·山东济南·中考真题）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．

4．（2020·山西中考真题）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______．

5．（2020·辽宁大连·中考真题）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．
6．（2020·湖南邵阳·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________．
7．（2020·河北中考真题）用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，当时，．（1）求与的函数关系式．（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为（厘米），．①求与的函数关系式；②为何值时，是的3倍？（注：（1）及（2）中的①不必写的取值范围）




题型13 销售问题
解题技巧：利润问题中，等量关系式为：商品单件利润×商品销售件数=总利润，解题步骤与上述题型类似。
1．（2020·辽宁丹东·中考真题）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价（元/件）
60
65
70
销售量（件）
1400
1300
1200
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？


2．（2020·山东滨州·中考真题）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？


3．（2019·辽宁锦州·中考真题）2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的销量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？



4．（2019·辽宁铁岭·中考真题）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．




5．（2019·山东东营·中考真题）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？




6．（2020·重庆中考真题）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加，求a的值．




7．（2019·重庆中考真题）某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．
（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？
（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%，毎个摊位的管理费将会减少；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少．这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少，求a的值．