考点05 方程（组）与不等式（组）-2022年中考数学高频考点专题突破 （全国通用）（解析版）

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考点5.方程（组）与不等式（组）
知识框架：


基础知识点：
知识点1-1方程和方程的解的概念
1)等式的性质
等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．
等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．
2)方程:含有未知数的等式叫做方程．
3)方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．
知识点1-2一元一次方程及其解法
1)一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为．注意：x前面的系数不为0．
2)一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
3)一元一次方程的求解步骤
变形名称
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项
把方程化成的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
注：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．
知识点1-3 二元一次方程（组）及解的概念
1)二元一次方程:含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
2)二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
3)二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．
4)解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
5)二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
知识点1-4不等式的概念、性质及解集表示
1)不等式:一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2)不等式的基本性质

理论依据
式子表示
性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
若，则
性质2
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
若，，则或
性质3
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
若，，则或
注：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
3)不等式的解集及表示方法
不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．
不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
知识点1-5一元一次不等式及其解法
1）一元一次不等式:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
2）解一元一次不等式的一般步骤:解一元一次不等式的一般步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．
知识点1-6一元一次不等式组及其解法
1)一元一次不等式组：一般地，同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．
2)一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
3)一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．
4)几种常见的不等式组的解集:设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
不等式组
（其中）
数轴表示
解集
口诀



同大取大



同小取小



大小、小大中间找


无解
大大、小小取不了
注：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；
（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式组的最小整数解；
（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．
题型1 解一元一次方程
解题技巧：解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运算。因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确的目的。
对于多重括号，即可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号。有时，依据题目的数字特点，采取由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁。
同时，当括号前面的系数较大时，且各项有相同的因式时，也可以整体上把握，逆用分配律，可使方程求解过程更为简单。
1．（2020·湖南株洲·中考真题）关于x的方程的解为________．
【答案】4
【分析】方程移项、合并同类项、把x系数化为1，即可求出解．
【解析】解：方程，移项,得3x-x=8，合并同类项，得2x=8.解得x=4．故答案为：x=4．
【点睛】方程移项，把x系数化为1，即可求出解．
2．（2020·浙江衢州·中考真题）一元一次方程2x+1=3的解是x=_____．
【答案】1
【分析】将方程移项，然后再将系数化为1即可求得一元一次方程的解．
【解析】解：将方程移项得，2x=2，系数化为1得，x=1．故答案为：1．
【点睛】此题主要考查学生对解一元一次方程这一知识点的理解和掌握，此题比较简单，属于基础题
3．（2020·贵州铜仁·中考真题）方程2x+10＝0的解是_____．
【答案】x＝﹣5．
【分析】方程移项，把x系数化为1，即可求出解．
【解析】解：方程2x+10＝0，移项得：2x＝﹣10，解得：x＝﹣5．故答案为：x＝﹣5．
【点睛】此题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
4．（2019·山东济南·中考真题）代数式与代数式的和为4，则_____．
【答案】﹣1.
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解析】根据题意得：，去分母得：，
移项合并得：，解得：，故答案为﹣1.
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2020·四川凉山·中考真题）解方程：
【答案】
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
【解析】解：

【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
6．（2020·浙江杭州·中考真题）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程见解析
【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．
【解析】解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法．

题型2 一元一次方程的运用
1．（2020·湖北孝感·中考真题）有一列数，按一定的规律排列成，，3，，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中第一个数是______．
【答案】
【分析】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是，可设三个数为n，-3n，9n，据题意列式即可求解．
【解析】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是，可设第一个数是n，则三个数为n，-3 n，9n由题意：，解得：n=-81，故答案为：-81．
【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见的数列，列出方程是解题的关键．
2．（2019·四川南充·中考真题）关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．
【解析】解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选C．
【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．
3．（江苏宿迁·中考真题）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，同学们，你们能补出这个常数吗？它应是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设所缺的部分为x，则2y+y-x，把y=-代入，求得x=2．故选B．
4．（2020·西藏中考真题）观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（　　）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】A
【分析】根据探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，，第个相同的数是，进而可得的值．
【解析】解：第1个相同的数是，第2个相同的数是，
第3个相同的数是，第4个相同的数是，，
第个相同的数是，所以，解得．
答：第个相同的数是103，则等于18．故选：．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解题的关键．
5．（2020·广西玉林·中考真题）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（ ）
A．499 B．500 C．501 D．1002
【答案】C
【分析】根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n的值．
【解析】设最后三位数为x－4,x－2,x．由题意得: x－4+x－2+x=3000,
解得x=1002．n=1002÷2=501．故选C．
【点睛】本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤．
6．（湖北随州·中考真题）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将化为分数形式
由于=0.777…，设x=0.777…①
则10x=7.777…②
②﹣①得9x=7，解得x=，于是得=．
同理可得=，=1+=1+，
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
（基础训练）
（1）=　 　，=　 　；
（2）将化为分数形式，写出推导过程；
（能力提升）
（3）=　 　，=　 　；
（注：=0.315315…，=2.01818…）
（探索发现）
（4）①试比较与1的大小：　 　1（填“＞”、“＜”或“=”）
②若已知=，则=　 　．
（注：=0.285714285714…）
【答案】（1），；（2）；（3），；（4）①=；②.
【分析】根据阅读材料可知，每个整数部分为零的无限循环小数都可以写成分式形式，如果循环节有n位，则这个分数的分母为n个9，分子为循环节，据此逐一进行解答即可得.
【解析】（1）由题意知、，故答案为、；
（2）=0.232323……，设x=0.232323……①，则100x=23.2323……②，
②﹣①，得：99x=23，解得：x=，∴；
（3）同理：，，故答案为，；
（4）①=1，故答案为=；
②，故答案为.
【点睛】本题考查了规律探索和简单一元一次方程的应用，按照阅读材料的示例找到规律是解题的关键．

题型3 方程（组）中的新定义运算
解题技巧：根据新定义理解题意，灵活使用已有知识解决即可
1．（2020·湖北恩施·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（ ）．
A． B．1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．
【解析】解：由题意知：，
又，∴，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可．
2．（2020·江苏盐城·中考真题）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求出“九宫格”中的y，再求出x即可求解．
【解析】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y解得y=6∴8+x+6=2+5+8解得x=1故选A．

【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．
3．（2020·湖北随州·中考真题）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______．

【答案】9
【分析】本题首先根据每一横行数字之和为15求出第一个方格数字，继而根据对角线斜边数字和为15求出最后一格数字，最后根据每一竖行数字之和为15求出m．
【解析】设第一方格数字为x，最后一格数字为y，如下图所示：
由已知得：x+7+2=15，故x=6；因为x+5+y=15，将x=6代入求得y=4；
又因为2+m+y=15，将y=4代入求得m=9；故答案为：9．

【点睛】本题考查新题型，本质是一元一次方程求解，理清题意，按照图示所给信息逐步列方程求解即可．
4．（2020·宁夏中考真题）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：
鞋号（正整数）
22
23
24
25
26
27
……
脚长（毫米）






……
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据定义为如表2：
序号n
1
2
3
4
5
6
……
鞋号
22
23
24
25
26
27
……
脚长






……
脚长
160
165
170
175
180
185
……
定义：对于任意正整数m、n，其中．若，则．
如：表示，即．
（1）通过观察表2，猜想出与序号n之间的关系式，与序号n之间的关系式；
（2）用含的代数式表示；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
【答案】（1），；（2）鞋号为42的鞋适合的脚长范围是；（3）应购买44号的鞋．
【分析】（1）观察表格里的数据，可直接得出结论；（2）把n用含有an的式子表示出来，代入化简整理，再计算鞋号为42对应的n的值，代入求解即可；
（3）首先计算，再代入求出的值即可．
【解析】（1）
（2）由与解得：
把代入得 所以
则得：，即
答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是．
（3）根据可知能被5整除 而 所以
将代入中得 故应购买44号的鞋．
【点睛】此题主要考查了方程与不等式的应用，读懂题意是解题的关键．
5．（2019·河北中考真题）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即4+3＝7。则（1）用含x的式子表示m＝_____；（2）当y＝﹣2时，n的值为_____．

【答案】3x； 1
【分析】（1）根据上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，直接写出m即可；（2）先转换成加法形式，表示出m，n，y，再把y=-2代入解出x，即可求出n.
【解析】（1）根据上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，则m=x+2x=3x；
（2）由题知m=3x，n=2x+3，y=m+n，则y=3x+2x+3=5x+3，把y=-2代入，-2=5x+3，解得x=-1，则n=2×（-1）+3=1.
【点睛】本题是对新定义的考查，熟练理解题上新定义内容和一元一次方程是解决本题的关键.
6．（2020·湖北中考真题）对于实数，定义运算．若，则_____．
【答案】
【分析】根据给出的新定义分别求出与的值，根据得出关于a的一元一次方程，求解即可．
【解析】解：∵，
∴，，
∵，∴，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键．
7．（湖南常德·中考真题）阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ）
A． B． C． D．方程组的解为
【答案】C
【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得.
【解析】A、D==2×（-2）-3×1=﹣7，故A选项正确，不符合题意；
B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，故B选项正确，不符合题意；
C、Dy==2×12﹣1×3=21，故C选项不正确，符合题意；
D、方程组的解：x==2，y==﹣3，故D选项正确，不符合题意，故选C．
【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.

题型4 解二元一次方程组
解题技巧：代入消元法和加减消元法是2种基础的消元法，各有优劣：
1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数时（或易于转化为该形式时），用代入消元法。
例： x=2y+3x+3y=8
2）当方程组中，某一个未知数在两个方程中的系数相同或互为相反数时（或成倍数时），用加减消元法。
例： 2x+3y=72x+5y=9
3）无上述两种特征，依据个人喜好定方法。
例： 3x+2y=74x-4y=-4 2x-3y=3x+4y=-4
注意：当二元一次方程系数比较复杂时，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等）。通常要把每个方程整理成含有未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再利用消元法解方程。
1．（2020·湖南永州·中考真题）方程组的解是_________．
【答案】
【分析】直接利用加减消元法求解．
【解析】由①+②得：3x=6，解得x=2，
把x=2代入①中得，y=2，所以方程组的解为．故答案为：．
【点睛】考查了解二元一次方程组，解题关键是利用加减消元法实现消元．
2．（2020·北京中考真题）方程组的解为________．
【答案】
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解析】解：两个方程相加可得，∴，
将代入，可得，故答案为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
3．（2020·江苏连云港·中考真题）解方程组．
【答案】
【分析】根据题意选择用代入法解答即可．
【解析】解：，将②代入①中得．解得．
将代入②，得．所以原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解答关键是根据题目特点选择代入法或加减法解答问题．
4．（2020·四川乐山·）解二元一次方程组：
【答案】
【分析】方程组利用加减消元法，由②-①即可解答；
【解析】解：，②-①，得 ，解得：，
把代入①，得 ；∴原方程组的解为
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．（2020·天津中考真题）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用加减消元法解出的值即可．
【解析】解：①+②得：，解得：，
把代入②中得：，解得：，∴方程组的解为：；故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法，根据具体的方程组选取合适的方法是解决本类题目的关键．
6．（2020·浙江嘉兴·中考真题）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
【答案】D
【分析】根据各选项分别计算，即可解答．
【解析】方程组利用加减消元法变形即可．
解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；
C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；D、①﹣②×3无法消元，符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．

题型5 整体构造法求代数式的值
解题技巧： 某些代数式无需把每个未知数都求出来，而是通过观察各方程的系数关系，利用整体构造法直接求出代数式的值。
1．（2020·甘肃天水·中考真题）已知，，则的值为_________．
【答案】1
【分析】观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．
【解析】解：①，②，②-①得，2a+2b=2，解得：a+b=1,故答案为：1．
【点睛】此题主顾考查二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．
2．（2020·辽宁朝阳·中考真题）已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为__________________．
【答案】5
【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可．
【解析】解：，①+②，得3x+3y=6-3a，∴x+y=2-a，
∵，∴2-a=-3，∴a=5．故答案为：5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
3．（2020·贵州毕节·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点分别是，，则______．
【答案】-2
【分析】先将点A、B代入反比例函数中求得k、m值，再将点A、B代入一次函数中求得a、b，代入代数式中解之即可．
【解析】先将点A（-1，-4）、B（2，m）代入反比例函数中，
得：k=（-1）×（-4）=4，，
将点A（-1，-4）、B（2，2）代入中，
得：，②+①，∴-2，故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法、解二元一次方程组、求代数式的值等知识，熟练掌握待定系数法是解答的关键．
4．（2019·四川眉山·中考真题）已知关于x，y的方程组的解满足x+y＝5，则k的值为_____．
【答案】2
【分析】首先解方程组，利用k表示出x、y的值，然后代入x+y=5，即可得到一个关于k的方程，求得k的值．
【解析】，②+①，得3x+3y＝6k+3，解得x+y＝2k+1，
∵x+y＝5，∴2k+1＝5，解得k＝2．故答案为2
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
5．（2019·湖北鄂州·中考真题）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是____．
【答案】
【分析】首先解关于和的方程组，利用表示出，代入即可得到关于的不等式，求得的范围．
【解析】解：，①+②得，则，
根据题意得，解得．故答案是：．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把当作已知数表示出的值，再得到关于的不等式．
6．（2019·江苏南通·中考真题）已知a、b满足方程组，则a+b的值为( )
A．2 B．4 C．—2 D．—4
【答案】A
【分析】观察可知将两个方程相加得，化简即可求得答案.
【解析】，①+②，得5a+5b=10，所以a+b=2，故选A.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据二元一次方程组的特点灵活选用恰当的方法是解题的关键.

题型6方程组的解的运用
解题技巧：寻找二元一次方程，重点是观察并发现解中x，y之间的特征。
1．（2020·广东中考真题）已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）； （2）等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）关于x，y的方程组与的解相同．实际就是方程组
的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；
（2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状．
【解析】解：由题意列方程组：解得
将，分别代入和
解得， ∴，
（2） 解得 这个三角形是等腰直角三角形
理由如下：∵∴该三角形是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键．
2．（2020·浙江绍兴·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．
【答案】答案不唯一，如x﹣y．
【分析】根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用x，y代换即可.
【解析】∵关于x，y的二元一次方程组的解为，而1﹣1＝0，
∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y．故答案为：答案不唯一，如x﹣y.
【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键.
3．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A．3 B．3，－3 C． D．，－
【答案】C
【分析】将代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．
【解析】解：将代入二元一次方程中，
得到：，解这个关于x和y的二元一次方程组，
两式相加，解得，将回代方程中，解得，
∴，∴x＋2y的算术平方根为，故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
4．（2019·江苏常州·中考真题）若，是关于、的二元一次方程的解，则_____．
【答案】
【分析】把代入二元一次方程中即可求的值．
【解析】把代入二元一次方程中，，解得．故答案是：．
【点睛】本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．
5．（2019·辽宁朝阳·中考真题）关于x，y的二元一次方程组的解是，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的解的概念，把代入方程组中即可求出m、n的值，进一步即得答案.
【解析】解：把代入得：，解得：，∴，故选：D．
【点睛】本题考查的二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解的概念是求解的关键.
6．（2019·四川巴中·中考真题）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
【答案】B
【分析】将代入即可求出a与b的值；
【解析】解：将代入得：，∴；故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．

题型7 不等式的基本性质
解题技巧：不等式的性质，需要和等式的性质一起理解。，基本类似。有2个地方需要着重注意：①若不等式两边同时乘或除负数，则不等号需要变号；②不等号两边同乘0，不等式不再成立；同除0，无意义。
1．（2020·江苏宿迁·中考真题）若a＞b，则下列等式一定成立的是（　　）
A．a＞b+2 B．a+1＞b+1 C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|
【答案】B
【分析】利用不等式的基本性质判断即可．
【解析】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；
B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；
C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；
D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
2．（2020·江苏常州·中考真题）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】解：A、由x＜y可得：，故选项成立；
B、由x＜y可得：，故选项不成立；
C、由x＜y可得：，故选项不成立；
D、由x＜y可得：，故选项不成立；故选A.
【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（2020·贵州贵阳·中考真题）已知，下列式子不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质解答．
【解析】解：A、不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a−1＜b−1，故本选项不符合题意；
B、不等式a＜b的两边同时乘以-2，不等号方向改变，即，故本选项不符合题意；
C、不等式a＜b的两边同时乘以，不等式仍成立，即：，再在两边同时加上1，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意；
D、不等式a＜b的两边同时乘以m，当m>0，不等式仍成立，即；当m<0，不等号方向改变，即；当m=0时，；故不一定成立，故本选项符合题意，故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
4．（2020·浙江杭州·中考真题）若a＞b，则（　　）
A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1
【答案】C
【分析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C．
【解析】解：A、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；
B、a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；
C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意；
D、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．故选：C．
【点睛】此题考查不等式的性质，对性质的理解是关键．
5．（2019·四川广安·中考真题）若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案．
【解析】解：A、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故B错误；
C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C错误；
D、如；故D正确；故选D．
【点睛】主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．
6．（2019·江苏南京·中考真题）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，先判断c的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．
【解析】解：因为a＞b且ac＜bc，所以c＜0．
选项A符合a＞b，c＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是A．
选项B不满足a＞b，选项C、D不满足c＜0，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D．故选：A．
【点睛】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质．解决本题的关键是根据不等式的性质判断c的正负．

题型8 解一元一次不等式（组）
解题技巧：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，主要步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。这些步骤中，不等式乘除负数时需要变号，这是唯一一点与解一元一次方程不同地方，其余地方完全相同。还需要注意的点：①移项要变号；②去分母需要所有项都乘最小公倍数；③去括号，若括号前有系数，括号中每一项都要乘系数；若括号前时负号，括号中每一项都要变号。
首先分别求多个不等式的解集；然后将各个不等式的解集表示在数轴上；最后读取数轴上重叠部分，作为不等式组的最终解集。
1．（2020·辽宁大连·中考真题）不等式的解集是______．
【答案】
【分析】根据不等式的性质移项，合并同类项，系数化为一即可．
【解析】解：n 故答案为
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练运用不等式的性质运算是解题的关键．
2．（2020·吉林中考真题）不等式的解集为_______．
【答案】．
【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案．
【解析】解：，移项：，合并同类项：，系数化成１：，
所以不等式的解集为：；故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的解题步骤．
3．（2020·贵州毕节·中考真题）不等式的解集是_______．
【答案】．
【分析】移项，合并同类项即可求解．
【解析】解：，移项，得：，合并同类项，得：，
系数化为1，得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
4．（2020·江苏淮安·中考真题）解不等式．
解：去分母，得．
……
（1）请完成上述解不等式的余下步骤：
（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 （填“A”或“B”）
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A．
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；（2）根据不等式的性质即可得．
【解析】（1）去分母，得去括号，得
移项，得 合并同类项，得；
（2）不等式的性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
5．（2020·广东中考真题）不等式组的解集为（ ）
A．无解 B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解：解不等式2−3x≥−1，得：x≤1，解不等式x−1≥−2（x＋2），得：x≥−1，则不等式组的解集为−1≤x≤1，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（2020·湖北黄石·中考真题）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出每个不等式的解集，再求其公共部分即可．
【解析】解由①得， x＜−2；由②得，x≥−3，
所以不等式组的解集为．故选：C．
【点睛】本题的实质是求不等式的公共解，解答时要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7．（2020·山西中考真题）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别求出各不等式的解集，最后再确定不等式组的解集．
【解析】解：由①得x＞3由②得x＞5所以不等式组的解集为x＞5．故答案为A．
【点睛】本题考查了解不等式组，掌握不等式的解法和确定不等式组解集的方法是解答本题的关键．
8．（2020·江苏宿迁·中考真题）不等式组的解集是_____．
【答案】x＞1
【分析】解不等式x+2＞0得x＞﹣2，结合x＞1，利用口诀“同大取大”可得答案．
【解析】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，又x＞1，∴不等式组的解集为x＞1，故答案为：x＞1．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．

题型9 一元一次不等式（组）的整数解问题
解题技巧：先求出不等式的解集，再根据解集确定整数解
1．（2020·山东枣庄·中考真题）解不等式组，并求它的所有整数解的和．
【答案】−3⩽x<2，-5
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共部分，然后找出整数解，即可求解．
【解析】解不等式，得； 解不等式，得．
所以，不等式组的解集为．该不等式组的所有整数解为-3，-2，-1，0，1．
所以，该不等式组的所有整数解的和为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解决的关键是正确解出每个不等式的解集，然后根据限制条件求出不等式的整数解．
2．（2020·辽宁铁岭·中考真题）不等式组的整数解的个数是（ ）
A．2 B． 3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集，然后再求出整数解即可．
【解析】解：，解不等式组，得，∴不等式组的整数解有，0，1，2；共4个；
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法．
3．（2020·四川眉山·中考真题）不等式组的整数解有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集的确定规律：大小小大中间找，确定出不等式组的解集，再找出符合条件的整数即可．
【解析】解：解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣．
所以原不等式组的解集为﹣＜x≤2．其整数解为﹣1，0，1，2．共4个．故选：D．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握不等式组的解集的确定规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
4．（2020·青海中考真题）分解因式：________；不等式组的整数解为________．
【答案】
【分析】综合利用提取公因式法和公式法即可得；先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分得出不等式组的解集，由此即可得出答案．
【解析】；
解不等式①得解不等式②得
则不等式组的解为因此，不等式组的整数解故答案为：，．
【点睛】本题考查了利用提取公因式法和公式法分解因式、求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握因式分解的方法和一元一次不等式组的解法是解题关键．
5．（2020·山东聊城·中考真题）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】该不等式组的解集是，它的所有整数解为0，1，2．
【分析】分别求出两个不等式，确定不等式组的解集，写出整数解即可．
【解析】解：解不等式①，得． 解不等式②，得．
在同一数轴上表示出不等式①，②的解集：
所以该不等式组的解集是． 它的所有整数解为0，1，2．
【点睛】本题考查了解不等式组，确定不等式组的解集可以借助数轴分别表示各不等式的解集，确定公共部分即可．
6．（2019·山东济南·中考真题）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】原不等式组的所有整数解为3、4．
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解析】解①得：；解②得：；
∴原不等式组的解集为；∴原不等式组的所有整数解为3、4．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
7．（2019·山东德州·中考真题）不等式组的所有非负整数解的和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．
【解析】，解不等式①得：，解不等式②得：，
不等式组的解集为：，不等式组的所有非负整数解是：，，，，，
不等式组的所有非负整数解的和是，故选A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，确定不等式组得解集及其非负整数解是关键．

题型10 利用数轴表示一元一次不等式（组）的解
解题技巧：先求出不等式的解集，再根利用数轴表示即可
1．（2020·山东日照·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接求解一元一次不等式组即可排除选项．
【解析】解：不等式组，由①得：x≥1，由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为1≤x＜2．数轴上表示如图：，故选：D．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组，熟练掌握求解不等式组的方法及在数轴上表示出不等式组解集是解题的关键．
2．（2020·浙江嘉兴·中考真题）不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案．
【解析】解：去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x，移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3，合并，得：x＞﹣1，故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式及用数轴表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键，注意“＞”向右，“＜”向左，带等号用实心，不带等号用空心．
3．（2020·辽宁盘锦·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先将不等式移项、合并同类项、系数化为1求得其解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案．
【解析】解：解不等式：，移项得： 合并同类项得：
系数化为1得：，数轴上表示如图所示，故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式及再数轴上表示不等式解集的能力，掌握“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则是解题的关键．
4．（2020·云南昆明·中考真题）不等式组，的解集在以下数轴表示中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【解析】解：，
∵解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集是﹣1＜x≤3，
在数轴上表示为：，故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
5．（2020·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先得出不等式组的解集，再找到对应的数轴表示即可．
【解析】解：由题意可得：不等式组的解集为：-2≤x＜1，
在数轴上表示为：故选A.
【点睛】此题主要考查了不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．（2020·吉林长春·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出不等式的解集，再根据数轴的特点表示解集即可.
【解析】解：，解得，在数轴上表示解集为：，故选：D.
【点睛】此题考查了求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，掌握数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键.

题型11不等式组中的含参问题
解题技巧：（数形结合的思想）不等式组的解集通常是一个取值范围，可以在利用数轴进行表示。利用数形结合思想分析解集，能够更清晰表达解集之间的关系。最终结果能否取到等号，需要注重注意分析。
常见问题：有解、无解和几个整数解、已知解集求参数等
1．（2020·山东潍坊·中考真题）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集（含有字母a），利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范围即可．
【解析】解：解不等式得：，解不等式得：，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组有三个整数解，∴三个整数解为：2，3，4，
∴，解得：，故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个数得出关于a的不等式组．
2．（2020·四川广元·中考真题）关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
【解析】解：不等式组整理得：，解集为m＜x＜3，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，-1，∴-2≤m<-1，故选：C．
【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到-2≤m<-1是解此题的关键．
3．（2020·甘肃天水·中考真题）若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为(　　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先解不等式得出，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出，解之可得答案．
【解析】解：，，则，
不等式只有2个正整数解，不等式的正整数解为1、2，则，解得：，故选：．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出关于某一字母的不等式组．
4．（2020·四川遂宁·中考真题）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是______．
【答案】1＜m≤4
【分析】解不等式组得出其解集为﹣2＜x＜，根据不等式组有且只有三个整数解得出1＜≤2，解之可得答案．
【解析】解不等式，得：x＞﹣2，解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x＜，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜，
∵不等式组有且只有三个整数解，∴1＜≤2，解得：1＜m≤4，故答案为：1＜m≤4．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．
5．（2020·黑龙江鸡西·中考真题）若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
【解析】解：解不等式①得：x>1，解不等式②得：x<，∴不等式组的解集是1＜x＜，
∵x的一元一次不等式组有2个整数解，∴x只能取2和3，∴，解得：故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的取值范围．
1．（2020·山东德州·中考真题）若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得关于a的不等式，解之可得．
【解析】解：解不等式＞，得：，解不等式-3x＞-2x-a，得：x＜a，
∵不等式组的解集为，∴，故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解是，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的解集为得出关于a的不等式组，解之可得答案．
【解析】解不等式，得：，解不等式，得：，
∵不等式组的解集为，∴，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的解集得出关于a的不等式组是解答此题的关键．
3．（2020·四川内江·中考真题）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为_____________
【答案】40
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a5且a≠3，根据不等式组的解集为，即可得出a>0，找出0 【解析】解：分式方程的解为x=且x≠1，
∵分式方程的解为非负数，∴且≠1.∴a5且a≠3.
解不等式①，得.解不等式②，得y ∵关于y的不等式组的解集为，∴a>0.∴0 又a为整数，则a的值为1，2，4，5.符合条件的所有整数a的积为.故答案为：40.
【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为，找出a的取值范围是解题的关键．
4．（2019·云南中考真题）若关于x的不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2
【答案】D
【分析】先求出每一个不等式的解集，然后根据不等式组有解根据已知给的解集即可得出答案.
【解析】，由①得，由②得，
又不等式组的解集是x＞a，根据同大取大的求解集的原则，∴，
当时，也满足不等式的解集为，∴，故选D.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集，熟练掌握不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键.
5．（2019·内蒙古·中考真题）已知不等式组的解集为，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【解析】解： 由（1）得；由（2）得．
不等式组的解集为，，解得．故答案为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式，难度适中．

1．（2019·湖南永州·中考真题）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出m＜4，然后分别取m=2，0，-1，得出整数解的个数，即可求解．
【解析】解不等式2x﹣6+m＜0，得：x，解不等式4x﹣m＞0，得：x，
∵不等式组有解，∴，解得m＜4，
如果m＝2，则不等式组的解集为x＜2，整数解为x＝1，有1个；
如果m＝0，则不等式组的解集为0＜x＜3，整数解为x＝1，2，有2个；
如果m＝﹣1，则不等式组的解集为x，整数解为x＝0，1，2，3，有4个；故选C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．（2019·广西百色·中考模拟）若不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式解集的表示方法，根据比大的小比小的大取中间，因为有解，也就是有中间（公共部分），再确定n的范围．
【解析】由得
因为不等式组有解，则的取值范围是-m>1,即m<-1故选：D
【点睛】本题考查不等式组解集的表示方法，也可以画数轴出来再求解，比较简单．
3．（2019·重庆）使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣7 D．0
【答案】C
【分析】根据不等式组的解集的情况得出关于m的不等式,求得m的解集,再解分式方程得出x,根据x是非负整数得出m所有的m的和．
【解析】∵关于x的不等式组有解，∴1﹣2m＞m﹣2，解得m＜1，
由得x＝,
∵分式方程有非负整数解，∴x＝是非负整数，
∵m＜1，∴m＝﹣5，﹣2，∴﹣5﹣2＝﹣7，故选C．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解以及不等式的解集,解决本题的关键是要解含参数的分式方程和解不等式求得m的取值范围．
4．（2018·江苏高淳·中考模拟）若不等式组有解，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜2
【答案】A
【分析】根据不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分，所以在有解的情况下，k的值必须小于2．
【解析】已知不等式组有解，根据确定不等式组解集的方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到可得k＜2，故答案选A.
考点：确定不等式组解集的方法.

1．（2020·山东滨州·中考真题）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为________．
【答案】
【分析】先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解可得关于a的不等式，解不等式即得答案．
【解析】解：对不等式组，解不等式①，得，解不等式②，得，
∵原不等式组无解，∴，解得：．故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是关键．
2．（2019·山东聊城·中考真题）若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m的不等式，解之可得．
【解析】解不等式，得：x＞8，
∵不等式组无解，∴4m≤8，解得m≤2，故选A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．（广西贵港·中考真题）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
【答案】A
【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
【解析】∵不等式组无解，∴a﹣4≥3a+2，解得：a≤﹣3，故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.
4．（湖北恩施·中考真题）关于的不等式组无解，那么的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解不等式x﹣m＜0，得x＜m，解不等式3x﹣1＞2（x﹣1），得x＞﹣1，
由不等式组无解，可得m≤﹣1，故选A.
考点：解一元一次不等式组．

1．（2020·河南中考真题）已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为__________．

【答案】x＞a．
【分析】先根据数轴确定a，b的大小，再根据确定不等式组的解集原则：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）确定解集即可．
【解析】∵由数轴可知，a＞b，∴关于的不等式组的解集为x＞a，故答案为：x＞a．
【点睛】本题考查的是由数轴确定不等式组的解集，根据“大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）”得出不等式组的解集是解答此题的关键．
2．（2020·四川绵阳·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
【答案】≤m≤6
【分析】解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解．
【解析】解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，
①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0•x＜13恒成立；
②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，
∴m﹣6＜0，即m＜6，∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞，
∵x＞﹣4都能使x＞成立，∴﹣4≥，∴﹣4m+24≤2m+1，∴m≥，
综上所述，m的取值范围是≤m≤6．故答案为：≤m≤6．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．
3．（2019·黑龙江中考真题）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____．
【答案】a≤-1.
【分析】根据x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
【解析】解：∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，∴4a-3a-1＜0，解得：a＜1，
∵x=2不是这个不等式的解，∴2a-3a-1≥0，解得：a≤-1，∴a≤-1，故答案为：a≤-1．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．
4．（2019·辽宁丹东·中考真题）关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为_____．
【答案】3
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据题意得到关于a的方程，解之可得．
【解析】解：解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，解不等式a﹣x＞﹣1，得：x＜a+1，
∵不等式组的解集为2＜x＜4，∴a+1＝4，即a＝3，故答案为3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

题型12 不等式（组）中的新定义问题
1．（2020·湖南张家界·中考真题）阅读下面的材料：对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．根据上面的材料回答下列问题：（1）______；（2）当时，求x的取值范围．
【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥
【分析】（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出 解不等式即可判断x的取值范围．
【解析】解：（1）由题意得﹣1故答案为：﹣1；
（2）由题意得： 3（2x－3）≥2（x+2） 6x－9≥2x+4 4x≥13 x≥
∴x的取值范围为x≥．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
2．（2019·四川凉山·中考真题）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若（或），则或；②若（或），则或．
根据上述知识，求不等式的解集:
解：原不等式可化为：（1）或（2）．
由（1）得，，由（2）得，，∴原不等式的解集为：或
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式的解集为 ．（2）求不等式的解集（要求写出解答过程）
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．
【解析】解：（1）原不等式可化为：①或②．
由①得，空集，由②得，，∴原不等式的解集为：，故答案为．
（2）由知①或②，
解不等式组①，得：；解不等式组②，得：；
所以不等式的解集为或．
【点睛】考查解不等式、不等式组的能力，将原不等式转化为两个不等式组是解题的关键．
3．（2019·江苏扬州·中考真题）已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】D
【分析】分n+8与3n最大两种情况，根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组后求出正整数解即可得答案.
【解析】∵n+2 又∵n为正整数，∴n=3，4；当3n最大时，解得：4≤n<10，
又∵n为正整数，∴n=4，5，6，7，8，9，
综上：n的值可以为3、4、5、6、7、8、9，共7种可能，故选D.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，三角形三边关系，熟练掌握相关内容并正确分类讨论是解题的关键.
4．（2019·贵州黔东南·中考真题）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实，数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数，例如=4，，．请结合上述材料，解决下列问题：
（1）①_____，②_____；
（2）若，则的取值范围为_____；
（3）若，求的值；（4）如果，求的值．
【答案】（1）①，② ；（2）；（3）或；（4）．
【分析】（1）①根据平均数的定义计算即可．②求出三个数中的最小的数即可．
（2）根据不等式解决问题即可．（3）构建方程即可解决问题．（4）把问题转化为不等式组解决即可．
【解析】（1）①，②；故答案为： ， ．
（2），，解得，故答案为．
（3），，解得或．
（4），
又，，解得，．
【点睛】本题考查了不等式组，平均数，最小值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题．
5．（2019·山东济南·中考真题）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1．有以下结论：
①[﹣1.2]＝﹣2；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③[2a]＜[2a]+1；④存在唯一非零实数a，使得a2＝2[a]．
其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②③．
【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解析】①[﹣1.2]＝﹣2，故①正确；②[a﹣1]＝[a]﹣1，故②正确；
③[2a]＜[2a]+1，故③正确；④当a＝0时，a2＝2[a]＝0；当a＝时，a2＝2[a]＝2；原题说法是错误的．
故答案为①②③．
【点睛】本题考查新定义，解答本题的关键是明确题目中的新定义，可以判断出各个小题中的结论是否正确．
6．（2019·山东德州·中考真题）已知：表示不超过的最大整数．例：，．现定义：，例：，则______．
【答案】
【分析】根据题意列出代数式解答即可．
【解析】根据题意可得：，故答案为
【点睛】此题考查解一元一次不等式，关键是根据题意列出代数式解答．
7．（2019·湖北荆州·中考真题）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是__________．
【答案】．
【分析】根据定义运算的法则写出不等式，利用一元一次不等式求解即可.
【解析】解：依题意得：
解得．故答案是：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式，正确掌握题意是解题的关键.
8．（2019·北京中考真题）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4；

第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组







第2组







第3组







第4组







③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入补全上表；（2）若，，，则的所有可能取值为______；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．
【答案】（1）如表所示，见解析；（2）4，5，6；（3）23.
【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论；（2）根据题意列不等式即可得到结论；（3）根据题意列不等式，即可得到结论．
【解析】解：（1）

第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
x1
x1

x1



第2组

x2
x2

x2


第3组


x3
x3

x3

第4组



x4
x4

x4
（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，∴x1+x3≥8①，
∵x1+x3+x4≤14②，把①代入②得，x4≤6，∴4≤x4≤6，
∴x4的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6；
（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，
x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，①+②+④-③得，3x2≤28，，
，
∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，故答案为：23．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．