2021_2022学年新教材高中数学基础练15二次函数与一元二次方程不等式的应用含解析新人教A版必修第一册

二次函数与一元二次方程、不等式的应用(30分钟　60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．不等式>0的解集是(　　)A．{x|x>1}       B．{x|－1<x<1}C．{x|x<－1}      D．{x|x<－1或x>1}【解析】选B.分式不等式>0等价于(1－x)(x＋1)>0，即(x－1)(x＋1)<0，x≠－1，解一元二次不等式得：－1<x<1.故不等式>0的解集是{x|－1<x<1}．2．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是(　　)A．{a|0<a<4}      B．{a|0≤a<4}C．{a|0<a≤4}      D．{a|0≤a≤4}【解析】选D.由题意知a＝0时，满足条件．a≠0时，由得0<a≤4，所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤4}．【补偿训练】 已知对任意正实数不等式x2－ax＋2>0恒成立，求实数a的取值范围是(　　).A．{a|a<2}　　　　　　 B．{a|a>－2}C．{a|a>－6}        D．{a|a<－6}【解析】选A.令f(x)＝x2－ax＋2＝＋2－，(1)当a≤0时f(x)在(0，＋∞)上为单调递增的．f(0)＝2>0，故a≤0时，x2－ax＋2>0恒成立．(2)当a>0时f(x)＝x2－ax＋2的对称轴为x＝.所以当x∈(0，＋∞)时f(x)min＝2－.若x2－ax＋2>0在x∈(0，＋∞)上恒成立，只要2－>0即可，所以0<a<2.综上，若x2－ax＋2>0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为{a|a<2}．3．不等式<1的解集是(　　)A．{x|x<－1或x>1}       B．{x|x>1}C．{x|x<－1}        D．{x|－1<x<1}【解析】选A.因为<1，所以－1<0，即<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，所以x<－1或x>1.4．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a＝(　　)A．    B．    C．    D．【解析】选A.由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝.5．已知p：x2－3x＋2≤0，q：x2－4x＋4－m2≤0.若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(　　)A．{m|m≤0}      B．{m|m≥1}C．{0}       D．{m|m≤－1或m≥1}【解析】选D.p：x2－3x＋2≤0，1≤x≤2，q：x2－4x＋4－m2≤0，2－|m|≤x≤2＋|m|，p是q的充分不必要条件，则，|m|≥1，所以m≤－1或m≥1.6．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)A．{m|－2<m<2}       B．{m|－2<m≤2}C．{m|m<－2或m≥2}      D．{m|m<2}【解析】选B.因为mx2＋2mx－4<2x2＋4x，所以(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.当m＝2时，4>0，x∈R，满足题意；当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，解得－2<m<2.此时，x∈R，满足题意．综上所述，－2<m≤2.二、填空题(每小题5分，共10分)7．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．【解析】设桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x－8)(x＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为.第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为 升，此时桶内有纯农药液升．依题意，得x－8－≤28%·x.由于x＞0，原不等式化为9x2－150x＋400≤0，即(3x－10)(3x－40)≤0.解得≤x≤.又x＞8，所以8＜x≤.答案：8．若不等式ax2＋ax－1≤0的解集为实数集R，则实数a的取值范围为________．【解析】(1)当a＝0时，得到－1<0，所以不等式的解集为R；(2)当a>0时，二次函数y＝ax2＋ax－1开口向上，函数值y不是恒小于等于0，所以解集为R不可能．(3)当a<0时，二次函数y＝ax2＋ax－1开口向下，由不等式的解集为R，得Δ＝a2＋4a≤0，即a(a＋4)≤0，解得－4≤a≤0，所以－4≤a<0；综上，a的取值范围为{a|－4≤a≤0}．答案：{a|－4≤a≤0}三、解答题(每小题10分，共20分)9．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出x的范围．(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．【解析】(1)由题意得y＝100·100.因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0.即0≤x≤2，所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，x∈{x|0≤x≤2}．(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.所以x的取值范围是.10．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b.(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.【解析】(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x＝1与x＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，得解得(2)原不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，可化为x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅.综上所述，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2<x<c}；当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c<x<2}；当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为∅.(35分钟　70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．不等式≤0的解集是(　　)A．{x|x<－1或－1<x≤2}       B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x≤－1或x≥2}         D．{x|－1<x≤2}【解析】选D.≤0⇔(x＋1)(x－2)≤0，且x≠－1，即－1<x≤2.2．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)A．{a|a>4或a<－4}      B．{a|－4<a<4}C．{a|a≥4或a≤－4}       D．{a|－4≤a≤4}【解析】选A.不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.3．(多选题)在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的(　　)A．最小值是－      B．最小值是－2C．最大值是       D．最大值是2【解析】选AC.原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，x2－x－1＝－≥－，所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤.4．已知关于x的不等式>0的解集是，则a的值为(　　)A．－1　　　　B．　　　　C．1　　　　D．2【解析】选D.由题意可得a≠0且不等式等价于a(x＋1)>0，由解集的特点可得a>0且＝，故a＝2.二、填空题(每小题5分，共20分)5．若关于x的不等式x2－4x＋3>0恒成立，则a的取值范围是________．【解析】①当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式可化为24x＋3>0，不满足题意；若a＝1，不等式可化为3>0，满足题意．②当a2＋4a－5≠0时，不等式恒成立，需满足解得1<a<19.综上，可得a的取值范围是1≤a<19.答案：1≤a<196．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．【解析】生产者不亏本时有y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).故生产者不亏本时的最低产量是150台．答案：1507．若函数f(x)＝的定义域是R，求实数a的取值范围是________．【解析】因为f(x)的定义域为R，所以不等式ax2＋2ax＋2>0恒成立．(1)当a＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a≠0时，有即所以0<a<2.综上可知，实数a的取值范围是{a|0≤a<2}．答案：{a|0≤a<2}8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是______．【解析】由题意得3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去).所以x≥20，即x的最小值为20.答案：20三、解答题(共30分)9．(10分)(1)解关于x的不等式：<－3；(2)关于x的不等式ax2－x＋b>0的解集为{x|－2<x<1}，求不等式bx2＋ax－1≤0的解集．【解析】(1)由<－3，可知＋3<0，即<0，不等式左右同乘(1－x)2，得(x－1)(2x－5)<0，解得：1<x<，所以不等式的解集为；(2)由题意可知方程ax2－x＋b＝0的两根为－2，1，所以，解得，则不等式bx2＋ax－1≤0，即为2x2－x－1≤0，其解集为.10．(10分)已知关于x的不等式<1.(1)当a＝1时，解该不等式．(2)当a为任意实数时，解该不等式．【解析】(1)当a＝1时，不等式化为<1，化为<0，所以1<x<2，解集为{x|1<x<2}．(2)由<1，得<0，即(ax－2)(x－1)<0.当＝1，即a＝2时，解集为∅；当>1，即0<a<2时，解集为；当<1，即a>2时，解集为；当a＝0时，解集为{x|x>1}；当a<0时，解集为.11．(10分)已知不等式mx2－2x－m＋1<0.(1)若对任意实数x不等式恒成立，求m的取值范围．(2)若对一切－2≤m≤2的所有实数不等式恒成立，求x的取值范围．【解析】(1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．当m＝0时，不等式变为1－2x<0，对任意实数x不恒成立，故m＝0不满足；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足图象开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即则m无解．综上可知不存在这样的m，使不等式恒成立．(2)设g(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，当x2－1＝0时，即x＝±1，检验得x＝1时符合题意；当x2≠1时，则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当－2≤m≤2时在x轴下方，所以即解①，得x<或x>，解②，得<x<.由①②，得<x<，且x≠1，综上得x的取值范围为.