专题18.12 《平行四边形》全章复习与巩固（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题18.12 《平行四边形》全章复习与巩固（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题18.12 《平行四边形》全章复习与巩固（专项练习）
一、单选题
1．关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　）
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形
2．如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( )

A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD
C．AB＝AF D．BE＝AD﹣DF
3．在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
4．如图，在△ABC 中，点 D 是边 BC 上的点（与 B、C 两点不重合），过点 D作 DE∥AC，DF∥AB，分别交 AB、AC 于 E、F 两点，下列说法正确的是（ ）

A．若 AD 平分∠BAC，则四边形 AEDF 是菱形
B．若 BD＝CD，则四边形 AEDF 是菱形
C．若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形
D．若 AD⊥BC，则四边形 AEDF 是矩形
5．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
6．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于( )

A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB 边上一动点，以PA，PC为边作□PAQC，则对角线PQ长度的最小值为( )

A．6 B．8 C．2 D．4
8．如图，□ABCD中，∠C＝108°，BE平分∠ABC，则∠AEB等于（ ）

A．18° B．36° C．72° D．108°
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°
10．正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分
C．四条边相等 D．对角线平分一组对角
11．如图是一个边长为15 cm的活动菱形衣帽架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，那么∠1的度数为(　　)

A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
12．如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第四个正方形的面积是（ ）

A． B． C． D．
13．在□ABCD中，AB=10，BC=14，E、F分别为边BC、AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（ ）
A．7 B．4或10 C．5或9 D．6或8
14．如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（ ）

A．AC=BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长
C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积
15．如图，E，F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
16．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（　　）

A．112° B．110° C．108° D．106°
17．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（　　）

A．8 B．8 C．4 D．6


二、填空题
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边AB上的中线，如果CD=BE，∠B=40°，那么∠BCE=_____度．

19．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为_____．

20．如图，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接DC并延长到点E，使CE＝14CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，若BF＝10，则AB的长为____．

21．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为_____．

22．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB=x，那么的取值范围是__________．
23．如图，在△MBN 中，已知：BM＝6，BN＝7，MN＝10，点 A C，D 分别是 MB，NB，MN 的中点，则四边形 ABCD 的周长 是_____．

24．如图，在中，已知点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积______.

25．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为__________．

26．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的取值范围是________．

27．如图，以菱形各边的中点为顶点作四边形，再以各边的中点为顶点作四边形，…，如此下去，得到四边形，若对角线长分别为和，请用含、的代数式表示四边形的周长________．

28．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是_____．

29．矩形的一边长是3.6㎝, 两条对角线的夹角为60º,则矩形对角线长是___________.

三、解答题
30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2）若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．


31． 将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点与重合，点 落到处，折痕为．
（1）求证：；
（2）连结，判断四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．



32．如图将矩形ABCD沿对角线AC对折,使△ABC落在△ACE的位置,且CE与AD相交于点F,求证:EF=DF.




32． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．






34．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC＝　 　cm．（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．



参考答案
1．C
【解析】
选项C中，满足矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，所以选C.
2．B
【解析】
A．由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．
又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故A正确；
B．∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故B错误；
C．由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故C正确；
D．由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故D正确；
故选B．
3．B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式：（1）两组对边平行①②；（2）两组对边相等③④；（3）一组对边平行且相等①③或②④，所以有四种组合．
【详解】（1）①②，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；
（2）③④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；
（3）①③或②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定；
共4种组合方法，
故选B．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
4．A
【分析】
由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
【详解】
解：A选项：若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；
B选项：若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；错误；
C选项：若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；错误；
D选项：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；错误；
故选A．
【点拨】
本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
5．C
【分析】
菱形的性质；含30度角的直角三角形的性质.
【详解】
如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1，故选C.

6．A
【详解】
解：∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴AB=24÷4=6cm，
∵对角线AC、BD相交于O点，
∴OB=OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=AB=×6=3cm．
故选A．
【点拨】
本题考查菱形的性质．
7．D
【解析】
试题解析：∵四边形APCQ是平行四边形，

∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB与P′，

∴△AP′O是等腰直角三角形，


∴PQ的最小值
故选D.
8．B
【分析】
首先根据平行四边形的性质，得出∠ABC的度数，又由BE平分∠ABC，得出∠ABE=∠CBE，∠AEB和∠CBE是内错角，相等，即可得出∠AEB.
【详解】
解：∵□ABCD中，∠C＝108°，
∴∠ABC=180°-108°=72°
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°
又∵∠AEB=∠CBE
∴∠AEB=36°
故答案为B.
【点拨】
此题主要考查利用平行四边形的性质求角的度数，熟练掌握即可解题.
9．A
【分析】
先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数.
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠1＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故选A．

【点拨】
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．A
【分析】
根据正方形和菱形的性质可以判断各个选项是否正确．
【详解】
解：正方形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故A符合题意；
正方形和菱形的对角线都互相垂直平分，故B不符合题意；
正方形和菱形的四条边都相等，故C不符合题意；
正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故D不符合题意，
故选：A．
【点拨】
本题考查正方形和菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握基本性质．
11．B
【解析】
【分析】
如图，根据已知可得△ABD是等边三角形，从而可求得∠1的度数为60°．
【详解】
如图，∵菱形的边长为AD=15 cm，
又AB＝BC＝15 cm，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠1＝60°，
故选B.

【点拨】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
12．A
【解析】
【分析】
由题可以发现，后面新得到的正方形是刚得到的正方形的面积的一半，因而得到第n个正方形的面积表达式即可解答．
【详解】
解：可以发现，后面新得到的正方形是刚得到的正方形的面积的一半，所以第n个正方形的面积可表示为 ，第4个为＝．
故选A.
【点拨】
本题是一道找规律的题目，得到第n个正方形的表达式是解题的关键．
13．D
【解析】
试题分析：如图设AE=x则BE=14-x
因为四边形AECF为正方形 所以∠AEC=∠AEB=90°
在△ABE中，有勾股定理可得解得x=6或8．
故选D．

考点：正方形的性质、勾股定理．

14．D
【分析】
根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．
【详解】
解：∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，
根据平行线之间的距离相等可得：△ABC与△PBC是同底等高的三角形，
故△ABC的面积等于△PBC的面积．
故选D．
【点拨】
本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．
15．C
【分析】
由折叠得：∠DEF=∠D′EF=60°，在由平行四边形的对边平行，得出内错角相等，得出△GEF是等边三角形，已知边长求出周长即可．
【详解】
解：∵∠DEF=60°，∴由翻折可知∠DEF=∠D′EF =60°，∴∠AEG=60°，
∵平行四边形ABCD中，AD//BC，∴∠EGF=∠AEG=60°，∠EFG=∠DEF=60°，
∴∠FEG=∠EGF=∠EFG＝60°，∴△EFG是个等边三角形，
∴△GEF的周长=3EF=3×6=18，
故选：C
【点拨】
考查平行四边形的性质、轴对称的性质和等边三角形的性质等知识，得到△GEF是等边三角形，是解决问题的关键．
16．D
【解析】
分析：由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°，再根据AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
详解：∵∠AGE=32°，
∴∠DGE=148°，
由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°．
∵AD∥BC，
∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
故选D．
点拨：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
17．D
【分析】
连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．
【详解】
解：如图，连接OB，

∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴BC=2，
∴AC=2BC=4，
∴AB=＝＝6，
故选D．
【点拨】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．
18．20．
【分析】
连接ED，再加上AD⊥BC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，很容易可以推出△ECD为等腰三角形，根据等腰三角形的性质：等边对等角，以及外角性质即可求出∠BCE的度数.
【详解】


如图，连接ED，
∵AD⊥BC，
∴△ABD是直角三角形，
∵CE是边AB上的中线，
∴ED= AB=BE，
∴∠EDB=∠B=40°，
又∵CD=BE，
∴ED= CD，
∴∠DEC=∠DCE，
∵∠EDB是△DEC的外角，
∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE=40°,
∴∠DCE=∠EDB=20°，
∵∠DCE即∠BCE，
∴∠BCE=20°.
【点拨】
本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
19．（）n﹣1
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC=；
同理可求：AE=，HE=，…，
∴第n个正方形的边长an=．
故答案为．
20．8
【详解】
∵点D是AB的中点，BF∥DE，∴DE是△ABF的中位线．∵BF=10，∴DE=12BF=5．∵CE=14CD，∴54CD=5，解得CD=4．∵△ABC是直角三角形，∴AB=2CD=8．
故答案为8．

21．2．
【分析】
根据作图过程可得得BE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB＝∠CBE，证出AE＝AB＝3，即可得出DE的长．
【详解】
根据作图的方法得：BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2；
故答案为：2．
【点拨】
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE＝AB是解决问题的关键．
22．3＜x＜11
【分析】
根据平行四边形的性质易知OA＝7，OB＝4，根据三角形三边关系确定范围．
【详解】
∵ABCD是平行四边形，AC＝14，BD＝8，
∴OA＝AC＝7，OB＝BD＝4，
∴7−4＜x＜7＋4，即3＜x＜11．
故答案为：3＜x＜11．

【点拨】
此题考查了平行四边形的性质及三角形三边关系定理，有关“对角线范围”的题，应联系“三角形两边之和、差与第三边关系”知识点来解决．
23．13
【分析】
根据中位线性质可以推出CD∥AB，AD∥BC，可得四边形ABCD为平行四边形，由中点可得四边形ABCD的周长
【详解】
∵点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，
∴CD∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC.
∵BM＝6，BN＝7，点A，C分别是MB，NB的中点，
∴AB=3，BC=3.5，
∴四边形ABCD的周长=（AB+BC）×2=（3+3.5）×2=13.
故答案为13
【点拨】
本题考查了中位线的性质，以及平行四边形的判定及性质，掌握中位线的性质及平行四边形的性质是解题的关键.
24．.
【分析】
根据AD为△ABC中线可知S△ABD=S△ACD，又E为AD中点，故，S△BEC=S△ABC，根据BF为△BEC中线，可知.
【详解】
由题中E、D为中点可知
，S△BEC=S△ABC
又为的中线，
∴.
【点拨】
本题考查了三角形中线的性质，牢固掌握并会运用即可解题.
25．＋1
【分析】
取AB的中点E,连接OD,OE,DE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB,利用勾股定理列式求出DE,然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大.
【详解】
解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，

∵∠AOB＝90°，AB＝2，
∴OE＝AE＝AB＝1，
∵BC＝1，四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，
∴DE＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OD＜OE＋DE，
∴当OD过点E时最大，最大值为＋1.
【点拨】
本题主要考查矩形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握性质是解题的关键.
26．
【解析】
【分析】
首先根据矩形的判定定理得出四边形AEPF为矩形，根据矩形对角线的性质以及直角三角形的性质得出AP的最小值和最大值，从而得出答案．
【详解】
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°， ∴四边形AEPF为矩形， ∵M为EF的中点，
∴AM=AP， 当AP⊥BC时，AP的值最小，当点P与点C重合时AC的值最大，
∴AP=， AP的最大值为12， ∴．
【点拨】
本题主要考查的是矩形的判定定理与性质，直角三角形斜边上的高线的计算法则，属于中等难度题型．将AM转化为矩形对角线的一半是解决这个问题的关键．
27．
【解析】
【分析】
根据图形，四边形A1B1C1D1的长为，宽为，四边形A2B2C2D2是菱形，边长为四边形A3B3C3D3的长为，宽为，四边形A4B4C4D4是菱形，边长为
依此类推，A2n-1B2n-1C2n-1D2n-1长为，宽为，四边形A2nB2nC2nD2n是菱形，边长为 四边形是矩形，计算周长即可．
【详解】
结合图形,脚码为奇数时,四边形A2n−1B2n−1C2n−1D2n−1是矩形,长为宽为
脚码为偶数时,四边形A2nB2nC2nD2n是菱形,边长为
∴四边形A2010B2010C2010D2010是菱形,边长为
周长为,即
∴四边形是矩形, 长为宽为
∴四边形的周长为：
故答案为：
【点拨】
考查菱形的性质, 矩形的性质，三角形中位线定理，熟练运用菱形和矩形的性质是解题的关键.
28．
【解析】
过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，先判断出四边形DPBE是矩形，再根据等角的余角相等求出∠ADP=∠CDE，再利用“角角边”证明△ADP和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DP，然后判断出四边形DPBE是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可．
解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，

∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP和△CDE中，
∠ADP=∠CDE，∠APD=∠E，AD=CD，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP=．
故答案为3．
“点拨”本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和正方形是解题的关键．
29．7.2cm或cm
【解析】
①边长3.6cm为短边时，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB，
∵两对角线的夹角为60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=3.6cm，
∴AC=BD=2OA=7.2cm；
②边长3.6cm为长边时，
∵四边形ABCD为矩形
∴OA=OB，
∵两对角线的夹角为60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=OB=AB，BD=2OB，∠ABD=60°，
∴OB=AB= ，
∴BD＝；

故答案是：7.2cm或cm．
30．（1）证明见解析；（2）9．
【分析】
(1)在Rt△ABC 中，E为AB的中点，则CEAB，BEAB，得到∠BCE＝∠EBC＝60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE＝∠BCE＝60°，又∠D＝60°，得∠AFE＝∠D＝60°，所以FC∥BD，又因为∠BAD＝∠ABC＝60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，由此即可得四边形BCFD是平行四边形；
(2)在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题.
【详解】
(1)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°，
在等边△ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°，
∵E为AB的中点，∴AE＝BE，
又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC，
在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，
∴CEAB，BEAB，
∴CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BCE＝∠EBC＝60°，
又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE＝∠BCE＝60°，
又∵∠D＝60°，∴∠AFE＝∠D＝60°，∴FC∥BD，
又∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，
∴四边形BCFD是平行四边形；
(2)在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，
∴BCAB＝3，AC==3，
∴S平行四边形BCFD＝3．
【点拨】
本题考查了平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
31．（1）证明见解析；（2）四边形AECF是菱形．证明见解析.
【分析】
（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，从而利用ASA判定△ABE≌△AD′F；
（2）四边形AECF是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证．
【详解】
解:（1）由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′，
∠C=∠D′AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD．
∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD，
即∠1+∠2=∠2+∠3．
∴∠1=∠3．
在△ABE和△AD′F中
∵
∴△ABE≌△AD′F（ASA）．

（2）四边形AECF是菱形．
证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠5=∠6．
∴∠4=∠6．
∴AF=AE．
∵AE=EC，
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AF=AE，
∴平行四边形AECF是菱形．
考点：1.全等三角形的判定；2.菱形的判定．
32．见解析
【分析】
先由四边形为矩形，得出AE=CD，∠E=∠D，再由对顶角相等，即可证明△AEF≌△CDF即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠E，AE=CD，
又∵∠AFE=∠CFD，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF(AAS)，
∴EF=DF.
33．（1）见解析；（2）四边形BECD是菱形，理由见解析；（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由见解析
【分析】（1）根据两组对边平行，证明四边形ADEC是平行四边形，再根据平行四边形的性质得到CE＝AD；
（2）先根据一组对边平行且相等，证明四边形BECD是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明CD＝BD，从而证明四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，证明是等腰直角三角形，再利用“三线合一”的性质证明CD⊥AB，从而证明四边形BECD是正方形．
（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
【点拨】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是熟练利用这些性质和判定进行证明．
34．（1）(10﹣2t)；（2）t＝2.5；（3）2.4或2
【分析】（1）根据P点的运动速度可得BP的长，再利用BC﹣BP即可得到CP的长；
（2）当t＝2.5时，△ABP≌△DCP，根据三角形全等的条件可得当BP＝CP时，再加上AB＝DC，∠B＝∠C可证明△ABP≌△DCP；
（3）此题主要分两种情况①当BA＝CQ，PB＝PC时，再由∠B＝∠C，可得△ABP≌△QCP；②当BP＝CQ，AB＝PC时，再由∠B＝∠C，可得△ABP≌△PCQ，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．
解：（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t秒时，BP＝2t，
则PC＝（10﹣2t）cm；
故答案为：（10﹣2t）；
（2）当t＝2.5时，△ABP≌△DCP，
∵当t＝2.5时，BP＝2.5×2＝5，
∴PC＝10﹣5＝5，
∵在△ABP和△DCP中，
，
∴△ABP≌△DCP（SAS）；
（3）①如图1，当BA＝CQ，PB＝PC时，再由∠B＝∠C，可得△ABP≌△QCP，

∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝BC＝5，
2t＝5，
解得：t＝2.5，
BA＝CQ＝6，
v×2.5＝6，
解得：v＝2.4（秒）．
②如图2，当BP＝CQ，AB＝PC时，再由∠B＝∠C，可得△ABP≌△PCQ，
∵AB＝6，
∴PC＝6，
∴BP＝10﹣6＝4，
2t＝4，
解得：t＝2，
CQ＝BP＝4，
2v＝4，
解得：v＝2；
综上所述：当v＝2.4秒或2秒时△ABP与△PQC全等．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．