专题17.6 《勾股定理》全章复习与巩固（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题17.6  《勾股定理》全章复习与巩固（专项练习）

一、单选题

1．以下列各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（    ）

A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，， D．2，，3

2．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵大树在距地面5米的C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量树尖B与树桩A相距12米，则大树折断前高为（　　　）

A．13米 B．17米 C．18米 D．22米

3．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）

A．84 B．64 C．48 D．46

4．在中，，，，AD平分交BC于点D，那么点D到AB的距离是（    ）

A．4.8 B．4 C．3 D．

5．如图，在中，是的角平分线，于点，，，，则长是（　　）

A．1 B． C． D．2

6．如图，为修铁路需凿通隧道，测得，，，若每天凿，则把隧道凿通需要（　　　）

A．天 B．天 C．天 D．天

7．如图，在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为（2，0）和（0，3），则这两点之间的距离是（　　）

A． B． C．13 D．5

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC=12，BC=16，则AE的长为（　　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

9．若实数、满足，且、恰好是的两条边长，则第三条边长为（    ）．

A．5 B． C．5或 D．以上都不对

10．如图，，，若，，则是  

A．3 B．4 C．5 D．6

11．如图，设每个小方格的边长都为1，则图中以小方格顶点为端点且长度为的线段有（ ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

12．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG=GE，AF=3，FD=1，△ADG的面积为2，则点D到AB的距离为（　　　）

A． B． C． D．

13．在△ABC中，BC=a，AB=c，AC=b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（    ）．

A．∠A=∠B-∠C B．∠A：∠B：∠C=2：5：3 C．a：b：c=7：24：25              D．a：b：c=4：5：6

14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（    ）

A．3.6 B．2.4 C．4 D．3.2

15．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．

二、填空题

16．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D均在格点上，则∠CAB+∠CBA=____°．

17．在直角三角形中，已知两条直角边的长度分别为和，则斜边长为__________．

18．如图由于台风的影响，一棵树在离地面3m处折断，树顶落在离树干底部4m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是___________．

19．如图所示，一棵大树折断后倒在地上，则大树没折断前的高度的是________米．

20．等腰中，于点，则的长为______．

21．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯______m．

22．如上图，在中，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，若AC=6，BC=8，则线段CD的长为______．

23．如图，在中，点、、分别在、、上，且，，，，，则______度．

24．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，若AB＝3，BC＝5，CD＝6，则AD＝_______．

25．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于，，，则的长为_____．

26．如图，在中，，，，平分，，垂足为，则__________．

三、解答题

27．如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE=DC，BE=AC，点F为BC的中点，连结EF并延长至点M，使FM=EF，连结CM．

（1）求证：△BDE≌△ADC；

（2）求证：AC⊥MC；

（3）若AC=m，则点A、点M之间的距离为　　（用含m的代数式表示）．

28．已知长方形纸片ABCD，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．

（1）△BEF是等腰三角形吗？若是，请说明理由；

（2）若AB=4，AD=8，求BE的长．

29．如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．

（1）在BD的上方作△A'BD，使△A'BD≌△ADB（点A与点不重合）（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求四边形ABCD的面积．

30．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．

（1）若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？

（2）若BE⊥DC，垂足为E，求BE的长．

参考答案

1．解：A、∵22＋32＝13≠42＝16，故此选项错误；

B、∵42＋52＝41≠62＝36，故此选项错误；

C、∵12+=3=，此三角形是直角三角形；

D、∵22＋＝6≠42＝16，故此选项错误．
故选：C．

【点拨】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

2．解：Rt△ABC中，AC=5米，AB=12米，
由勾股定理，得：米，

∴树的高度为：AC+BC=18米，

故选：C．

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．

3．解：设中间直角三角形的边长分别为a、b、c，且a2=225，c2=289，

由勾股定理得b2=c2﹣a2=289﹣225=64，

∴字母A所代表的正方形的面积为b2=64，

故选：B．

【点拨】本题考查勾股定理的应用、正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解答的关键．

4．解：如图，过作于，

AD平分，

故选：

【点拨】本题考查的是勾股定理逆定理的应用，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．

5．解：∵于点，，，

∴ BD=2DE，

设DE=x，则BD=2DE=2x，

∴ ，

∴ ，

解得：

作于点，

是的角平分线，

，

，

，

∴ ，

∴ 在Rt△CDF中，，

∴

故选：．

【点拨】本题考查角平分线的性质、含30°角的直角三角形，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

6．解：∵，

∴.

在中，，，

∴，

∴隧道凿通需要（天），

∴天才能把隧道凿通．

故选：．

【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解本题的关键是正确的计算的长度．

7．解：∵A（2，0）和B（0，3），

∴OA=2，OB=3，

∴AB=．

故选：A．

【点拨】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

8．解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，

由勾股定理知：，

∵AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．

∴，

故选：C．

【点拨】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一．在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

9．解：∵，，

∴m-3=0，n-4=0，

解得m=3，n=4，

当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长==5；

当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=，

故选：C．

【点拨】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．

10．解：在和中，

∴△DAB≌△CBA，

∴，

∵，，

∴，

∴．

故选：C．

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及勾股定理，全等三角形常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、ASA、HL等，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，利用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．

11．解：∵=，
∴是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，
如图所示，AB，CD，BE，DF的长都等于；
故选：D．

【点拨】本题考查的知识点是勾股定理，找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长是解决本题的关键．

12．解：∵DG=GE ，

∴S∆ADG= S∆AEG=2，

∴S∆ADE=4，

由折叠的性质可知：∆ABD≅∆ADE，BE⊥AD，

∴S∆ABD= S∆ADE=4，∠AFB=90°，

∴，

∴BF=2，

∴AB=，

设点D到AB的距离为h，则，

∴h=8÷=，

故选B．

【点拨】本题主要考查折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握“等积法”求三角形的高，是解题的关键．

13．解：A、∵∠A=∠B-∠C，∴∠A+∠C =∠B，得到∠B=，即△ABC是直角三角形；

B、设∠A=2x，∠B=5x，∠C=3x，故，解得x=，

∴∠B=5x=，即△ABC是直角三角形；

C、设a=7x，则b=24x，c=25x，

∵，

∴，

∴△ABC是直角三角形；

D、设a=4x，b=5x，c=6x，

∵，

∴，

∴△ABC不是直角三角形；

故选：D．

【点拨】此题考查三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形根据边或角判定的方法是解题的关键．

14．解：连接BF，交AE于点H，如图：

∵是由沿AE折叠得到的，

∴BF⊥AE，BE=EF，

∵BC=6，点E为BC的中点，

∴BE=EF=CE=3，

∵在中，，即：，

∴AE=5，

∵，

解得：，

∴，

∵BE=EF=CE，

∴，，

∴，

∴是直角三角形，

∴，即：，

∴解得：．

故选：A．

【点拨】本题考查矩形性质和折叠问题，灵活运用等面积法和勾股定理是解题关键．

15．解：在AB上取一点G，使AG＝AF

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4

∴AB=5，

∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，

∴△AEF≌△AEG（SAS）

∴FE＝GE，

∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值，

故当C、E、G三点共线时，符合要求，

此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，

此时，，

∴CH==，

即：CE+EF的最小值为，

故选：D．

【点拨】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．

16．解：设每个小格边长为1，则由图可知：

∴，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴∠ACD=45°，

又∠ACD=∠CAB+∠CBA，

∴∠CAB+∠CBA=45°，

故答案为45．

【点拨】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理及三角形的外角性质是解题关键．

17．解：在直角三角形中，由勾股定理得：

斜边长．

故答案为：．

【点拨】本题考查了勾股定理，注意分清直角边长和斜边长，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

18．解：如图所示，AB=3m，BC=4m

根据勾股定理可得：AC=m

∴这棵树在折断前（不包括树根）长度是AC＋AB=8m

故答案为：8m．

【点拨】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决此题的关键．

19．解：在直角三角形ABC中，

则AB+BC=5+13=18（米）

【点拨】本题考查了勾股定理的运用，解题关键在于区分直角边和斜边，最后不能忘记计算AB+BC的和.

20．解：如图，当△此时锐角三角形时，

，

，

，，

，

，

，

，

当是钝角三角形时，同法可得，

故答案为2或18．

【点拨】

本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理求解的长是解题的关键．

21．解：根据勾股定理，楼梯水平长度为=12米，
则红地毯至少要12+5=17米长，

故答案为：17．

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．

22．解：折叠，

，

设则，

在中，由勾股定理得，

即

解得

即

故答案为：．

【点拨】本题考查勾股定理，涉及折叠的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

23．解：∵，，

∴，

∵，，

∴，即

在和中

∴

∴，

∵，

∴，

∴，

故答案是：80．

【点拨】此题主要考查了全等三角形的性质和判定，外角的性质以及三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和为．

24．解：AC⊥BD，

在中，

①

②

同理得，

③

④

①+②=③+④即

故答案为．

【点拨】本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

25．解：连接AE，

∵ AB=AC，∠A= ，

∴ ∠B=∠C=，

∵ED垂直平分AB，

∴AE=BE ，∠EAD= ，

∵BE=3，

∴DE=

∴，

∴AB=AC=2BD=，

∵ ∠A= ，

∴ ∠EAC= ，

∴，

故答案为：6．

【点拨】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、勾股定理、直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

26．解：在中，，，，

，

平分，，

，

在和中，，

，

，

，

设，则，

在中，，即，

解得，

即，

故答案为：．

【点拨】本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．

27．解：（1），

，

和都是直角三角形，

在和中，，

；

（2），

，

点F为BC的中点，

，

由对顶角相等得：，

在和中，，

，

，即，

，

又在中，，

，即，

；

（3）如图，连接AM，

，

，

，

，

，

是直角三角形，

，

即点A、点M之间的距离为．

【点拨】考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．

28．解：（1）是等腰三角形，理由如下：

四边形ABCD是长方形，

，

，

由折叠的性质得：，

，

是等腰三角形；

（2）四边形ABCD是长方形，

，

由折叠的性质得：，

设，则，

在中，，即，

解得，

即BE的长为5．

【点拨】本题考查了长方形与折叠问题、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．

29．解：（1）如图1所示，△A′BD即为所求；

（2）由（1）中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，连接A′C，如图2，

∵∠ADB+∠CBD=90°，
∴∠A′BD+∠CBD=90°，
即∠A′BC=90°，
∴A′B2+BC2=A′C2，
∵A′B=15，BC=20，
∴A′C=25，
在△A′CD中，A′D=24，CD=7，
∴A′D2+CD2=576+49=625，
∵A′C2=625，
∴A′D2+CD2=A′C2．
∴△A′DC是直角三角形，且∠A′DC=90°，
∴S四边形A′BCD＝S△A′BC+S△A′CD

∵S△A'BD=S△ABD，
∴S四边形ABCD=S四边形A'BCD=234．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，作图-复杂作图，正确的画出图形是解题的关键．

30．（1）解：连接BD，

在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，

∴BD=5

在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，

而122+52＝132，

即BC2+BD2＝CD2，

即∠DBC＝90°，

S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC•AD•ABDB•BC，

4×312×5＝36．

所以需费用36×200＝7200（元）

答：要7200元投入．

（2）作BE⊥CD，垂足为E，

在Rt△DBC中，

由于BD•BCCD•BE，

即BE．

【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，得出△DBC是直角三角形是解题关键．