专题15.15《分式》全章复习与巩固（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题15.15 《分式》全章复习与巩固（专项练习）

一、单选题

1．下列代数式中，属于分式的是（    ）

A．5x B． C． D．

2．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是米/秒，则所列方程正确的是（   ）

A． B．

C． D．

3．若代数式有意义，则实数的取值范围是（　　）

A．=0 B．=4 C．≠0 D．≠4

4．关于的分式方程有解，则字母的取值范围是（  ）

A．或 B． C． D．且

5．生物学家发现一种病毒的长度约为0.000043mm，用科学记数法表示这个数的结果为（单位：mm）（　　）

A．4.3×10﹣5 B．4.3×10﹣4 C．4.3×10﹣6 D．43×10﹣5

6．已知a、b为实数且ab=1，设，则P、Q的大小关系为（    ）

A．P＞Q B．P＜Q C．P=Q D．大小关系不能确定

7．几名同学租一辆面包车去旅游，面包车的租价为240元，出发时又增加了2名同学，结果每个同学比原来少分摊了4元钱车费，设参加旅游的同学共x人，则所列方程为（       ）

A． B．

C． D．

8．若分式的值等于0，则x的值是(    )

A．2 B． C． D．不存在

9．如果分式中的x和y都同时缩小为原来的，那么分式的值（      ）

A．缩小到原来的 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大 2 倍

10．若有意义，则x的取值范围是（      ）

A．x>3 B．x<2 C． D．

11．设 (A，B为常数)，则(　　)

A． B． C． D．

12．下列各式计算正确的是(　　)

A． B． C． D．

13．计算的结果是(　　)

A． B． C． D．

14．已知a＝，b＝－|-|，c＝(－2)3，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b

二、填空题

15．化简:＝  __________.

16．已知x为正整数，分式的值也是整数，则x的值可能为_________.

17．若分式方程有增根,则k的值是_________.

18．对于正数x，规定f(x)＝，例如f(3)＝＝，f()＝＝，计算：f(2020)＋f(2019)＋…＋f(1)＋f()＋f()＋…+ f()＋f()＝_________．

19．分式方程＝－2的解为_____．

20．如果,那么的值为__________.

21．分式的最简公分母是 ______________.

22．已知x－3y＝0，且y≠0，则的值等于________．

23．化简：（1_____．

24．当x＝________时，分式的值与的值互为相反数．

25．计算：______．

26．当______，分式的值为零．

27．若a2＋5ab－b2＝0，则－的值为_____．

28．若单项式2ax+1b与﹣3a3by+4是同类项，则xy=_____．

29．分式、、、中，最简分式的个数是____个．

三、解答题

30．计算（1）．;      （2）     

(3)      ．;    （4）解方程:

31．先化简，再求值：(x－2＋)÷，其中x＝(π－2019)0－＋()－1.

32．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．

（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？

（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？

（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？

32．在“母亲节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.5倍，求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？

34．观察以下等式：

第1个等式：，

第2个等式：，

第3个等式：，

第4个等式：，

第5个等式：，

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：                    ；

（2）写出你猜想的第n个等式：                    (用含n的等式表示)，并证明.

参考答案

1．C

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，从而得出答案．

【详解】

根据分式的定义
A．是整式，答案错误；
B．是整式，答案错误；
C．是分式，答案正确；
D．是根式，答案错误；
故选C．

【点拨】本题考查了分式的定义，在解题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．

2．C

【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．

【详解】

小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，

∵小进比小俊少用了40秒，

方程是，

故选C．

【点拨】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．

3．D

【解析】

由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4，

故选D.

4．D

【分析】根据题意先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据“关于的分式方程有解”，即且建立不等式，进而即可求的取值范围.

【详解】

解：，

去分母得：，

去括号得：，

移项，合并同类项得：，

∵关于的分式方程有解，

∴，且，

即，

系数化为1得：，

∴且，

即，，

综上所述：关于的分式方程有解，则字母的取值范围是，，

故选：D.

【点拨】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的求解方法以及根据分式方程的解和分母不为0的前提求字母的取值范围是解题的关键.

5．A

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

【详解】

0.000043的小数点向右移动5位得到4.3，

所以0.000043用科学记数法表示为4.3×10﹣5，

故选A．

【点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

6．C

【解析】

【分析】分别通分化成同分母的分式相加，再根据同分母分式相加的法则进行计算，最后比较即可．

【详解】

解：P=

=

=

∵ab=1，

∴

=

=

=

∴P=Q，
故选：C．

【点拨】本题考查分式的加减法则的运用和学生的计算能力，解题关键是熟练掌握法则，题目比较好，难度适中．

7．B

【解析】

【分析】设参加旅游的同学共x人，原有人数为（x-2）人，根据每个同学比原来少分摊了4元钱车费，列方程．

【详解】

解：设参加旅游的同学共x人，原有人数为（x-2）人，

由题意得，

故选：B．

【点拨】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．

8．A

【解析】

【分析】分式等于零：分子等于零，且分母不等于零．

【详解】

解：由题意，得
x2-4=0，且x+2≠0，
解得，x=2．
故选A．

【点拨】本题考查分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

9．C

【解析】

【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案．

【详解】

解：分式中的x和y都同时缩小为原来的，那么分式的值不变，故C符合题意；
故选：C．

【点拨】本题考查分式基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．

10．D

【分析】根据零指数幂和负整数幂有意义的条件进行解答．

【详解】

若式子有意义，则x-3≠0且3x-6≠0，
解得：x≠3且x≠2．
故选D．

【点拨】本题主要考查零指数幂和负指数次幂有意义这一个条件．

11．A

【解析】

【分析】对等式右边通分加减运算和，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．

【详解】

．

所以，

解得．

故选A．

【点拨】此题考查了分式的减法，比较灵活，需要熟练掌握分式的加减运算．

12．D

【解析】

【分析】根据分式的运算法则对各选项逐一判断即可.

【详解】

A. ，故该选项错误；

B. ，故该选项错误；

C.=，故该选项错误；

D.==0, 故该选项正确.

故选D.

【点拨】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键.

13．A

【分析】将第一个分式的分子、分母进行因式分解后，再约分即可得解.

【详解】

，

=，

=.

故选A.

【点拨】本题考查分式的乘法，约分是分式乘法的关键.

14．C

【解析】

【分析】根据乘方的运算、绝对值的定义将a、b、c去括号、去绝对值后进行比较即可.

【详解】

a＝，b＝﹣|﹣|＝，c＝（﹣2）3＝﹣8，∴c＜b＜a.故选C.

【点拨】本题主要考查乘方和绝对值的运算，熟练掌握运算法则是解答的关键.

15．a+b

【解析】

【分析】将原式通分相减，然后用平方差公式分解因式，再约分化简即可。

【详解】

解：原式=

=

=

=a+b

【点拨】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16．2，3．

【解析】

【分析】按题意分情况讨论x为整数满足分式的值为整数的取值即可，注意分母不能为0的情况．

【详解】

解：因为x为正整数，分式=1+的值也为整数，所以x-1=1或2，满足条件的有以下情况：

当x=2时，分式值为3；
当x=3时，分式值为2；

故答案为：2，3．

【点拨】本题考查分式的性质，注意分式分母不能为0的隐性条件．解题关键是分类讨论思想，注意不要漏解．

17．-1

【解析】

【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x-7=0，所以增根是x=7，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．

【详解】

解：方程两边都乘（x-3），得
1-2（x-3）=-k，
∵方程有增根，
∴最简公分母x-3=0，即增根是x=3，
把x=3代入整式方程，得k=-1．
故答案为：-1．

【点拨】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

18．2020

【分析】根据运算规则可得：f(3)+ f()=1，据此可推出结果.

【详解】

根据运算规则可得：f(3)+ f()=1，f(2020)＋f()=1，

所以，f(2020)＋f(2019)＋…＋f(1)＋f()＋f()＋…+ f()＋f()＝1×2020=2020

故答案为2020

【点拨】本题考查了分式的加减，找出规律是解题的关键.

19．x＝

【分析】先去分母，再解整式方程即可.

【详解】

解：方程两边乘以2(x-1)，得

2x=3-4(x-1)

解得x＝

检验：当x＝时，2(x-1)≠0，

所以，分式方程的解是x＝.

故答案为x＝

【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握运算步骤是解题的关键.

20．11

【解析】

【分析】根据完全平方公式代入进行计算.

【详解】

∵

∴两边平方:=9，

∴=11.

【点拨】主要考察的是完全平方公式的应用，熟练掌握是解题的关键.

21．72xyz2

【解析】

【分析】根据通分的知识进行计算.

【详解】

12、9、8的最小公倍数为72，
x的最高次幂为1，y的最高次幂为1，z的最高次幂为2，
所以最简公分母为72xyz2.

故答案为72xyz2.

【点拨】主要考察的是你对通分等知识点的理解.

22．

【解析】

【分析】把小括号内分式通分并把分母分解因式，然后根据分式的乘法运算进行计算，再把x=3y代入进行计算即可得解．

【详解】

，

=，

=，

=，

∵x-3y=0，且y≠0，

∴x=3y，

∴原式=．

故答案为．

【点拨】本题考查了分式的化简求值，一般分子、分母能因式分解的先因式分解，本题先计算然后再对分母分解因式更简便．

23．．

【解析】

【分析】原式括号中两项通分，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．

【详解】

(1+)÷

=

=

=，

故答案为.

【点拨】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．

24．1

【解析】

【分析】根据相反数的定义可知，当与互为相反数时，（其中x≠﹣5，x≠2），计算求解即可.

【详解】

∵与互为相反数，∴（其中x≠﹣5，x≠2），解得x＝1.故答案为1.

【点拨】本题主要考查相反数的定义和解分式方程，根据相反数的定义得到（其中x≠﹣5，x≠2）是解题的关键.

25．4

【解析】

【分析】原式第一项利用零指数幂法则化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

【详解】

原式＝1×2+2=2+2=4．

故答案为：4．

【点拨】本题考查了零指数幂和负整数指数幂运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

26．-1

【解析】

【分析】让分子为0，分母不为0列式求解即可．

【详解】

由题意得：，解得：，∴x＝﹣1．

故答案为：﹣1．

【点拨】本题考查了分式值为0的条件．用到的知识点为：分式的值为零，则分子为0，同时要考虑分母不为0这个条件．

27．5

【解析】

原式通分并利用同分母分式的加法法则变形，把已知等式变形后代入计算即可求出值．

解：∵a2-5ab+b2=0，∴a2+b2=5ab，
则原式===5．
故答案为5．

“点拨”此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

28．

【解析】

【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出x，y的值，再代入代数式计算即可．

【详解】∵单项式2ax+1b与﹣3a3by+4是同类项，

∴x+1=3，y+4=1，

∴x=2，y=﹣3．

∴xy=2﹣3=，

故答案为：．

【点拨】本题考查了同类项的定义、负指数幂的计算，熟知同类项定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）以及负指数幂的运算法则是解题的关键.

29．1

【解析】

试题解析：是最简分式.

故答案为：1.

30．（1）      （2）     （3）   （4）

【分析】根据分式的乘除法则、分式的加减法则等等知识进行计算.

【详解】

（1）原式=×4=，

（2）原式=÷--×=

（3）原式===-=

（4）原式：，

=3+

，

两边同除得，=3x-2，

解得x=.

【点拨】本题主要考察的是分式的乘除法则、分式的加减法则等等知识，熟练掌握是本题的解题关键.

31．.

【解析】

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x的值代入计算即可求出值．

【详解】

(x－2＋)÷

=

=

＝.

x＝(π－2019)0－＋()－1＝1－2＋3＝2，

当x＝2时，原式＝＝.

【点拨】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

32．（1）9万元 （2）共有5种进货方案  （3）购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利

【解析】

分析：（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量=去年的销售数量．

    （2）关系式为：公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆．

    （3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；多进B款汽车对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款．

详解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：

    ，

解得：m=9．

    经检验，m=9是原方程的根且符合题意．

    答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；

    （2）设购进A款汽车x辆，则购进B款汽车（15﹣x）辆，根据题意得：

    　99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．

    解得：6≤x≤10．

    ∵x的正整数解为6，7，8，9，10，∴共有5种进货方案；

    （3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：

    W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．

    当a=0.5时，（2）中所有方案获利相同．

    此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利．

点拨：本题考查了分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．

33．降价后每枝玫瑰的售价是2元．

【解析】

分析：设降价后每枝玫瑰的售价是x元，则降价前每枝玫瑰的售价是（x+1）元，根据降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

详解：设降价后每枝玫瑰的售价是x元，则降价前每枝玫瑰的售价是（x+1）元，

根据题意得：

解得：x=2，

经检验，x=2是原分式方程的解，且符合题意．

答：降价后每枝玫瑰的售价是2元．

点拨：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

34．（1）；（2），证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；

（2）根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证.

【详解】（1）观察可知第6个等式为：，

故答案为；

（2）猜想：，

证明：左边====1，

右边=1，

∴左边=右边，

∴原等式成立，

∴第n个等式为：，

故答案为.

【点拨】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键.