第29讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布-2022年新高考艺术生40天突破数学90分练习题

第29讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布
一．选择题（共18小题）
1．（2020秋•工农区校级期末）已知随机变量的分布列为　　

0
1



若，则的值为　　
A． B． C． D．
【解析】解：由随机变量的分布列，知：，
，
解得．
故选：．
2．（2020秋•新余期末）已知分布列如图，设，则的数学期望的值是　　


0
1




A． B． C．1 D．
【解析】解：由已知得
，
，
，
．
故选：．
3．（2020春•淮安月考）设是一个离散型随机变量，其分布列为如表，则　　


0
1




A． B． C． D．
【解析】解：根据题意可得，解得，
故选：．
4．（2020春•福建月考）已知服从二项分布：，则　　
A． B． C． D．
【解析】解：因为服从二项分布：，则，
故选：．
5．（2020春•河南月考）若随机变量的分布列如表：



0
1
2
3

0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当时，的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解析】解：由题意可得，
，
，
则，．
故选：．
6．（2020春•城厢区校级期中）设随机变量的概率为分布列如表，则　　

1
2
3
4





A． B． C． D．
【解析】解：，或，
由随机变量的概率为分布列知：


．
故选：．
7．（2021•一模拟）随机变量，则等于　　
A． B． C．6 D．8
【解析】解：由二项分布的概念可知：，，则：，
．
故选：．
8．（2020春•广州期末）已知随机变量，那么随机变量的均值　　
A． B． C．2 D．
【解析】解：随机变量，
．
故选：．
9．（2020春•东城区校级月考）已知随机变量服从二项分布，则　　
A． B． C． D．
【解析】解：随机变量服从二项分布，
．
故选：．
10．（2019秋•重庆期末）设随机变量，若，，则　　
A．3 B．6 C．8 D．9
【解析】解：随机变量，，，
，
解得，．
故选：．
11．（2020秋•相城区月考）已知随机变量服从正态分布，若，则　　
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【解析】解：因为随机变量服从正态分布，
所以，所以，
所以，
所以．
故选：．
12．（2020春•越秀区校级期末）已知随机变量，且，，若，，则　　
A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718
【解析】解：由题意知，，．
所以．
．
所以．
故选：．
13．（2020春•荔湾区期中）设，，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是　　

A．， B．， C．， D．，
【解析】解：由正态分布的图象知，的正态分布曲线的对称轴小于的正态分布曲线的对称轴，即；
再由正态分布曲线的图象方差越小，随机变量的取值越集中，图象越高瘦，
方差越大，随机变量的取值越分散，图象越矮胖，可得．
故选：．
14．（2020春•荔湾区期中）已知某市一次高二测试数学成绩，且，则从该市任取3名高三学生，恰有1名学生成绩不低于110分的概率是　　
A．0.2 B．0.1 C．0.243 D．0.027
【解析】解：因为，所以，
又，
所以，
设从该市任取3名高三学生，恰有1名学生成绩不低于110分的事件为，
则．
故选：．
15．（2020春•黄埔区校级期中）设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是　　
（注：若，则，

A．7539 B．7028 C．6587 D．6038
【解析】解：由题意知，，所以，，；
因为，
所以，
所以，
所以阴影部分的面积为．
所以在正方形中随机投掷10000个点，
落入阴影部分的点的个数估计值是．
故选：．
16．（2020秋•仁寿县校级月考）在某市高二期末质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的数学成绩在该市的排名大约是　　
（参考数据：若，则，
A．1500 B．2180 C．2800 D．6230
【解析】解：由学生的数学成绩服从正态分布，
，，
，
即数学成绩高于108分的学生占总人数的．
．
即她的数学成绩在该区的排名大约是1500名．
故选：．
17．（2020•江西模拟）已知随机变量服从正态分布，若，则　　
A．0.3 B．0.35 C．0.5 D．0.7
【解析】解：根据题意，正态分布，
若，则，
即这组数据对应的正态曲线的对称轴，则，
又由，得．
故选：．
18．（2020春•广东期末）已知随机变量服从正态分布，且，则　　
A． B．0 C．1 D．3
【解析】解：随机变量服从正态分布，
正态分布曲线的对称轴为，
又，，即．
故选：．
二．填空题（共5小题）
19．（2020秋•沈阳期末）韩德君罚篮一次的得分服从参数为0.85的两点分布，则　0.15　．
【解析】解：韩德君罚篮一次的得分服从参数为0.85的两点分布，
．
故答案为：0.15．
20．（2020秋•雁峰区校级期末）已知随机变量的分布列如表：

0
1
3




若随机变量满足，则的方差　9　．
【解析】解：由分布列的性质可知，，所以，
所以数学期望，
方差，
因为，所以，
故答案为：9．
21．（2013春•鼓楼区校级期末）设袋中有8个红球，2个白球，若从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率为　　．
【解析】解：从袋中10个球中任取4个球，共有种取法，则其中恰有3个红球的取法为．
从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率．
故答案为．
22．（2020春•城关区校级月考）设随机变量，则　　．
【解析】解：随机变量，

．
故答案为：．
23．（2020秋•苏州期末）某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为　6　．
【解析】解：考试的成绩服从正态分布．
考试的成绩关于对称，
，
，
该班数学成绩在120分以上的人数为．
故答案为：6．
三．解答题（共26小题）
24．（2020秋•海淀区校级期末）某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同．
（1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；
（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为，求的分布列；
（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）．
【解析】解：（1）设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”为事件，
则从4个球中摸出2个，有种取法，都是红球的取法有种，
则（A）．
（2）可能取0，1，2，3，4，
，
，
，
，
．
所以的分布列为

0
1
2
3
4






（3）根据题意，纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，每次从纸箱中摸出一个小球，取出红球的概率为，
若连续摸取20次，摸到红球次数的期望为，
则摸到15次红球的概率最大．
25．（2020秋•石景山区期末）在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分．随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
分数区间
频数
，
3
，
3
，
16
，
38
，
20
男生评分结果的频数分布表
为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数
，
，
，
，
，
满意度情况
不满意
一般
比较满意
满意
非常满意
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）为进一步改善食堂状况，从评分在，的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为，求的分布列；
（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率．

【解析】解：（Ⅰ）因为，
所以．
（Ⅱ）依题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以随机变量的分布列为：

0
1
2
3





（Ⅲ）设事件 “随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”．
因为样本人数200人，其中男生共有80人，
所以样本中女生共有120人．
由频率分布直方图可知，
女生对食堂“比较满意”的人数共有：人．
由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，．
所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为．
26．（2021•全国模拟）一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．
（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；
（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为，求的分布列及数学期望．
【解析】解：（1）设部件1，2，3需要调整分别为事件，，，
由题意可知（A），（B），（C），
各部件的状态相互独立，
所以部件1，2都不需要调整的概率，
故部件1，2中至少有1个需要调整的概率为．
（2）的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为

0
1
2
3

0.504
0.398
0.092
0.006
．
27．（2020秋•营口期末）某医院已知5名病人中有一人患有一种血液疾病，需要通过化验血液来确定患者，血液化验结果呈阳性的即为患病，呈阴性即没患病．院方设计了两种化验方案：
方案甲：对患者逐个化验，直到能确定患者为止；
方案乙：先将3人的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明患者在此三人中，然后再逐个化验，直到能确定患者为止；若结果呈阴性则在另外2人中选取1人化验．
（1）求方案甲化验次数的分布列；
（2）求甲方案所需化验次数不少于乙方案所需化验次数的概率．
【解析】解：（1）依题知的可能取值为1，2，3，4，
，
，
故方案甲化验次数的分布列为：

1
2
3
4





（2）若乙验两次时，有两种可能：
①验3人结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中，
②先验3人结果为阴性，再从其他两人中验出阳性，
故乙用两次的概率为，
若乙验三次时，只有一种可能：先验3人结果为阳性，再从中逐个验时，第一次为阴性，第二次为阴性或阳性，其概率为，
故甲方案的次数不少于乙次数的概率为．
28．（2017春•成安县期中）某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：
（1）抽到他能答对题目数的分布列；
（2）他能通过初试的概率．
【解析】解：（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为，且、1、2、3，服从超几何分布，
分布列如下：

0
1
2
3





即

0
1
2
3





（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，
这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到

29．（2015春•金台区期末）某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数，
（1）请列出的分布列；
（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．
【解析】解：（1）依题意得，随机变量服从超几何分布，
随机变量表示其中男生的人数，可能取的值为0，1，2，3，4．
．
所以的分布列为：

0
1
2
3
4






（2）由分布列可知至少选3名男生，
即．
30．（2015春•余江县校级期中）某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为．若从该批产品中任意抽取3件，
（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；
（2）求取出的3件产品中次品的件数的概率分布列与期望．
【解析】解：设该批产品中次品有件，由已知，
（2分）
（1）设取出的3件产品中次品的件数为，3件产品中恰好有一件次品的概率为（4分）
（2）可能为0，1，2
（10分）
的分布为：

0
1
2




则（13分）
31．（2016•江门模拟）如图，李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有、两条路线，路线上有、、三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有、两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

【解析】解：（1）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件，包括没有遇到红灯和只遇到红灯一次两种情况．
则，
所以走路线，最多遇到1次红灯的概率为．
（2）依题意，的可能取值为0，1，2．
，，．
随机变量的分布列为：

0
1
2




所以．
（3）设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，所以．
因为，所以选择路线上班最好．
32．（2014春•奉新县校级月考）作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯情况统计如下：
红灯
1
2
3
4
5
等待时间（秒
60
60
90
30
90
（1）设学校规定后（含到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；
（2）设表示该学生上学途中遇到的红灯数，求的值；
（3）设表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量的分布列和数学期望．
【解析】解：（1）由题意知，当1，2，3，5路口同时遇到红灯时，
该同学会迟到，
这名学生迟到的概率：．
（2）由题意知，

．
（3）由题意知，1，2，3，4，5，
，，
，，
，，
随机变量的分布列：

0
1
2
3
4
5







．
33．一袋中有6个黑球，4个白球．
（1）依次取出3个球，不放回，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率；
（2）有放回地依次取出3球，已知第一次取的是白球，求第三次取到黑球的概率；
（3）有放回地依次取出3球，求取到白球个数的分布列．
【解析】解：（1）设 “第一次取到白球”，
“第二次取到白球”， “第三次取到白球”，
则在发生的条件下，袋中只剩6个黑球和3个白球，
则．
（2）每次取之前袋中球的情况不变，
次取球的结果互不影响．
．
（3）取到白球个数，由题意知的可能取值是0，1，2，3
设“摸一次球，摸到白球”为事件，
则（D），．
这三次摸球互不影响，
，，
，．
的分布列为：

34．（2014•濮阳一模）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意，为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示：
幸福感指数
，
，
，
，
，
男市民人数
10
20
220
125
125
女市民人数
10
10
180
175
125
根据表格，解答下面的问题：
（Ⅰ）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；（参考数据：
（Ⅱ）如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．据此，在该市随机调查5对夫妇，求他们之中恰好有3对夫妇二人都幸福的概率．（以样本的频率作为总体的概率）

【解析】解：（Ⅰ）幸福感指数在，，，内的频数分别为和，
因为总人数为1000，
所以，相应的频率组距为：，，
据此可补全频率分布直方图如右图．
所求的平均值为；
（Ⅱ）男市民幸福的概率是，
女市民幸福的概率是，
一对夫妇都幸福的概率是，
故所求的概率为．

35．（2014•旌阳区校级模拟）德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，
课程
初等代数
初等几何
初等数论
微积分初步
合格的概率




（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；
（2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望．
【解析】解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件，，，，
且事件，，，相互独立，
“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：

．
（2）由题设知的所有可能取值为0，1，2，3，，
，
，
，
，
的分布列为：

0
1
2
3





，
．
36．（2020秋•临沂期末）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户每日健步的步数．某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽取了2000人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数（单位：千步，假设每天健步的步数均在3千步至21千步之间）．将样本数据分成，，，，，，，，，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布．
（1）求图中的值；
（2）设该企业正常上班的员工健步步数（单位：千步）近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数（各区间数据用中点值近似计算），取，若该企业恰有10万人正常上班的员工，试估计这些员工中日健步步数位于区间，范围内的人数；
（3）现从该企业员工中随机抽取20人，其中有名员工的日健步步数在13千步至15千步内的概率为，其中，1，2，，20，当最大时，求的值．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．

【解析】解：（1）由，
解得，
（2）
，
，
估计这些员中日健步步数位于区间，范围内的人数约为81860人．
（2）设从该企业中随机抽取20人日健步步数在13千步至15千步内的员工有人，则，
，，1，2，，20，
记，
当时，，则
当时，，则，
所以当时，最大．
37．（2020秋•桃城区校级月考）振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如表：
制造电子产品的件数
，
，
，
，
，
，
工人数
1
3
11

4
1
（1）若去掉，内的所有数据，则件数的平均数减少2到3（即大于等于2．且小于，试求样本中制造电子产品的件数在，的人数的取值范围：（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）
（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数，，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．
附：若，则，．
【解析】解：（1）由题意，当时，计算其他数据的平均数为：
，
故原平均数应满足，解得，．
所以制造电子产品的件数在，的人数取值范围为，；
（2）因为每位工人制造电子产品的件数，，
所以．
所以估计1500人中制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数为．
38．（2020春•渝中区校级月考）新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现．基于目前流行病学调查，潜伏期为天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10000人，答题成绩统计如图所示．
（1）由直方图可认为答题者的成绩服从正态分布，其中，分别为答题者的平均成绩和成绩的方差，那么这10000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）
（2）如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为，求．（精确到
附：①，；
②，则，；
③，．

【解析】解：（1）由题意知：．
依题意服从正态分布，其中，，，
服从正态分布，，，
而，
，
竞赛成绩超过84.8的人数估计为人；
（2）由（1）知，成绩超过56.19的概率为，
而，
．
39．（2020春•烟台期中）某大型电器企业，为了解组装车间职工的生活情况，从中随机抽取了100名职工进行测试，得到频数分布表如表：
日组装个数
，
，
，
，
，
，
人数
6
12
34
30
10
8
（1）现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组装个数少于165的概率；
（2）由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数服从正态分布，近似为这100人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）．
若组装车间有20000名职工，求日组装个数超过198的职工人数；
为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
【解析】解：（1）设至少有1人日组装个数少于165为事件，则．
（2）（个．
又，所以，所以，，
所以．
，
所以日组装个数超过198个的人数为（人，
由正态分布得，日组装个数为185以上的概率为0.5．
设这三人中日组装个数超过185个的人数为，这三人增加的日工资总额为，则，
且，所以，所以．
40．（2020•榆林四模）随着商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕用户的争夺越来越激烈，手机也频频降低身价飞入寻常百姓家．某科技公司为了给自己新推出的手机定价，随机抽取了100人进行调查，对其在下一次更换手机时，能接受的价格（单位：元）进行了统计，得到结果如表．已知这100个人能接受的价格都在，之间，并且能接受的价格的平均值为2350元（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．
分组
一
二
三
四
五
手机价格（元
，
，
，
，
，
频数
10


20
20
（1）现用分层抽样的方法从第一、二、三组中随机抽取6人，将该样本看成一个总体，从中机抽取2人，求其中恰有1人能接受的价格不低于2000元的概率；
（2）若人们对手机能接受的价格近似服从正态分布，其中为样本平均数，为样本方差，求．
附：，若，则，．
【解析】解：（1）因为总人数为100，
所以，所以，
又因为价格的平均值为2350元，
所以，
所以，解得，，
所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，
其中第1，2，3组分别抽取1人，2人，3人．
所以恰有1人能接受的价格不低于2000的概率．
（2）由题意可知，
又
，
所以，
故．
41．（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
若花店一天购进16枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；
若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
【解析】解：（1）当时，；
当时，，得：
（2）可取60，70，80，当日需求量时，，时，，其他情况，
，，，
的分布列为

60
70
80

0.1
0.2
0.7


购进17枝时，当天的利润的期望为
，应购进17枝
42．（2020秋•滁州期末）智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间、生生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式．为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：

经常应用
偶尔应用或者不应用
总计
农村
40


城市
60


总计
100
60
160
从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是．
（1）补全列联表，判断能否有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明理由；
（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取6个学校进行分析，然后再从这6个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有个，求的分布列和数学期望．
附：，．

0.1
0.050
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【解析】解：（1）列联表，

经常应用
偶尔应用或者不应用
总计
农村
40
40
80
城市
60
20
80
总计
100
60
160
（2分）
．（4分）
所以有的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关．（6分）
（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是，所以抽取的6个样本有4个是农村学校，2个是城市学校，从中抽取2个，则的可能取值为0，1，2．（7分）
，，．
所以的分布列为：

0
1
2




（10分）
的数学期望．（12分）
43．（2020秋•阜阳期末）某大型商场国庆期间举行抽奖活动，活动规定：凡是一次性购物满200元的顾客就可以从装有3个红球，5个白球（除颜色外，其他完全相同）的抽奖箱中无放回地摸出3个小球，摸到红球才能中奖，摸到1个红球奖励1元，摸到2个红球奖励4元，摸到3个红球奖励10元．活动第一天有700人次购物满200元，其中有140人次没有参与抽奖活动．
（1）求活动第一天购物满200元的700人次中参与抽奖的频率；
（2）设每次参与抽奖活动所得奖金的金额为元，求的分布列，并求活动第一天该商场投入奖金总金额的数学期望．
【解析】解：（1）活动第一天购物满200元的700人次中参与抽奖的频率为．
（2）的可能取值为0，1，4，10，
，
，
，
，
则的分布列为：

0
1
4
10





所以，
故活动第一天该商场投入奖金总金额的数学期望为元．
44．（2020秋•太原期末）2020年1月，我国各地出现了以武汉为中心的新冠肺炎疫情，在全国人民的共同努力下，3月疫情得到初步控制．下表是某地疫情监控机构从3月1日到3月5日每天新增病例的统计数据．
日期
1
2
3
4
5
新增病例人数
32
25
27
20
16
（1）若3月4日新增病例中有12名男性，现要从这天新增病例中按性别分层抽取5人，再从所抽取的5人中随机抽取2人作流行病学分析，求这2人中至少有1名女性的概率；
（2）该疫情监控机构对3月1日和5日这五天的120位新增病例的洽疗过程，进行了跟踪监测，其中病症轻微的只经过一个疗程治愈出院，病症严重的最多经过三个疗程的治疗痊愈出院，统计整理出他们被洽愈的疗程数及相应的人数如表：
疗程数
1
2
3
相应的人数
60
40
20
已知该地疫情未出现死亡病例，现用上述疗程数的频率作为相应事件的概率，该机构要从被治疔痊愈的病例中随机抽取2位进行病毒学分析，记表示所抽取的2位病例被治愈的疗程数之和，求的分布列及期望．
【解析】解：（1）由题意得3月4日新增病例中有12名男性，8名女性，按性别从中分层抽取5人，其中有3名男性，2名女性，
这2人至少有1名女性的概率；
（2）由题意得所有可能的取值分别为2，3，4，5，6，
，
，
，
，，
的分布列为

2
3
4
5
6






．
45．（2020秋•芜湖期末）“直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型服务方式．某高校学生会调查了该校100名学生2020年在直播平台购物的情况，这100名学生中有男生60名，女生40名．男生中在直播平台购物的人数占男生总数的，女生中在直播平台购物的人数占女生总数的．
（1）填写列联表，并判断能否有的把握认为校学生的性别与2020年在直播平台购物有关？

男生
女生
合计
2020年在直播平台购物



2020年未在直播平台购物



合计



（2）若把这100名学生2020年在直播平台购物的频率作为该校每个学生2020年在直播平台购物的概率，从全校所有学生中随机抽取4人，记这4人中2020年在直播平台购物的人数与未在直播平台购物的人数之差为，求的分布列与期望．

0.05
0.01
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
附：，．
【解析】解：（1）列列联表：

男生
女生
合计
2020年在直播平台购物
40
35
75
2020年未在直播平台购物
20
5
25
合计
60
40
100
．
故没有的把握认为该校学生的性别与220年在直播平台购物有关（5分）
（2）设这4人中2020年在直播平台购物的人数为，
则，1，2，3，4，且，
，故，，0，2，4，
，，，，．
所以的分布列为



0
2
4






，，
即．（12分）
46．（2020秋•沈阳期末）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则将其更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验．设每件产品为不合格品的概率为0.1，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）若取3件该产品，求其中至少有1件不合格品的概率；
（2）已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用，现对一箱产品已检验了20件；
（Ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（Ⅱ）以这一箱产品的检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【解析】解：（1）记“取3件该产品，其中至少有1件不合格品”为事件，
则（A）；
（2）①设表示余下的180件产品中的不合格产品数，
由题意知，而，
所以；
②如果对应该箱余下的产品作检验，则这一箱产品所需的检验费用为元，
由于，
故应该对这箱余下的所有产品作检验．
47．（2020秋•平城区校级期中）某烘焙店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为60元，售价为100元．如果卖不完，则剩余的蛋糕在当日晚间集中销毁．现收集并整理了该店100天生日蛋糕的日需求量（单位：个）如表：
需求量
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
30
20
12
8
将100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．
（1）；若该烘焙店某一天制作生日蛋糕17个，设当天生日蛋糕的需求量为（单位：个），当天出售生日蛋糕获得的利润为（单位：元）．
①试写出关于的表达式；
②求的概率分布列，并计算．
（2）以烘焙店一天出售生日蛋糕获得利润的平均值作为决策依据，你认为烘焙店每天应该制作17个生日蛋糕还是18个？
【解析】解：（1）①当时，，
当时，，

②由①可知的概率分布列为：

480
580
680

0.1
0.2
0.7
故，
（2）由（1）②知，当每天制作17个生日蛋糕时，对应利润的平均值，
与（1）类似地，可以得到当每天制作18个生日蛋糕时，其对应利润为的分布列为：

420
520
620
720

0.1
0.2
0.3
0.4
故，
由于，
故每天应该制作17个生日蛋糕．
48．（2020•泰安模拟）某水果批发商经销某种水果（以下简称水果），购入价为300元袋，并以360元袋的价格售出，若前8小时内所购进的水果没有售完，则批发商将没售完的水果以220元袋的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把水果低价处理完，且当天不再购进）．该水果批发商根据往年的销量，统计了100天水果在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图．

现以记录的100天的水果在每天的前8小时内的销售量的频率作为水果在一天的前8小时内的销售量的概率，记表示水果一天前8小时内的销售量，表示水果批发商一天批发水果的袋数．
（1）求的分布列；
（2）以日利润的期望值为决策依据，在与中选其一，应选用哪个？
【解析】解：（1）由题意知水果在每天的前8小时内的销售量为14，15，16，17的频率分别是0.2，0.3，0.4和0.1，
所以的分布列为：

14
15
16
17

0.2
0.3
0.4
0.1
（2）当时，设为水果批发商的日利润，则的可能取值为760，900，
，，，
当时，设为水果批发商的日利润，则的可能取值为680，820，960，
，，，．
综上可知，当时的日利润期望值大于时的日利润期望值，故选．
49．（2020春•湖北期中）某种工业机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：
方案一：交纳延保金700元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元；
方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元．
某工厂准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得如表：
维修次数
0
1
2
3
台数
5
20
10
15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．
（1）求的分布列；
（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？
【解析】解：（1）由题意的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
，
，
，
，
，
，
，
的分布列为：

0
1
2
3
4
5
6








（2）选择延保方案一，所需要费用元的分布列为：

700
900
1100
1300
1500






（元，
选择延保方案二，所需要费用元的分布列为：

1000
1100
1200




（元，
，该工厂选择延保方案一较合算．