专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

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专题1 圆锥曲线的轨迹方程问题
轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.本文主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法等
方法1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含x,y的等式，就得到轨迹方程。
直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。
经典例题：
1．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，、，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3
C．在上存在点，使得 D．在上存在点，使得
【答案】ABD
【分析】设点P的坐标，利用，即可求出曲线C的轨迹方程，然后假设曲线C上一点坐标，根据BCD选项逐一列出所满足条件，然后与C的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．
【详解】设点P（x，y），、，由，得，化简得x2+y2+8x＝0，即：（x+4）2+y2＝16，故A选项正确；曲线C的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）的距离为，与圆上的点的距离的最小值为﹣4，最大值为+4，而3∈[﹣4，+4]，故B正确；对于C选项，设M（x0，y0），由|MO|＝2|MA|，得，又 ，联立方程消去y0得x0＝2，解得y0无解，故C选项错误；对于D选项，设N（x0，y0），由|NO|2+|NA|2＝4，得 ，又，联立方程消去y0得x0＝0，解得y0＝0，故D选项正确．
2．（2020·湖南省高三期末）点与定点的距离和它到直线距离的比是常数.
求点的轨迹方程；
【答案】
【分析】根据题意可得，化简即可求出；
【详解】依题意有，化简得：，故的方程为.
【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点是动点轨迹方程的求解.

3．（2021年湖南省高三月考）已知动点P到定点A（5，0）的距离与到定直线的距离的比是，求P点的轨迹方程．
【答案】轨迹方程是.
【分析】利用动点P到定点A（5，0）的距离与到定直线的距离的比是可得方程，化简由此能求出轨迹M的方程．
【详解】由题意，设P（x，y），则，化简得轨迹方程是 ．
故答案为
【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．
由2、3题推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。。

4．（2020·重庆南开中学高三月考）已知点，的坐标分别为，，三角形的两条边，所在直线的斜率之积是．求点的轨迹方程：
【答案】（1）（2）
【分析】本题可以先将点的坐标设出，然后写出直线的斜率与直线的斜率,最后根据、所在直线的斜率之积是即可列出算式并通过计算得出结果；
【解析】设点的坐标为，因为点的坐标分别为、，
所以直线的斜率，直线的斜率，
由题目可知，化简得点的轨迹方程；
【点睛】本题考查轨迹方程问题，处理问题的关键是能够通过“、所在直线的斜率之积是”列出等式以及使用表示出三点的坐标．
5．（2021·四川省成都七中高三期中）设点，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当时，点M的轨迹方程为；
②当时，点M的轨迹方程为；③当时，点M的轨迹方程为.
其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】设,直线，的斜率之积，由直线，的斜率均存在，则，对三个命题进行逐一判断，即可得到答案.
【解析】设,由直线，的斜率均存在，则.
直线，的斜率之积. 当时，有
所以点M的轨迹方程为，所以①不正确.
当时,有，即.
所以点M的轨迹方程为，所以②正确.
当时,即，所以点M的轨迹方程为，所以③不正确.故选：B
【点睛】本题考查轨迹方程的求法，直线斜率公式的应用，考查化简运算能力，属于基础题.
由4、5题推广（圆锥曲线第三定义）：平面内的动点到两定点A和B的斜率之积为e²-1的点的轨迹为椭圆或双曲线。其中点A、B关于原点对称，当01时为双曲线。
注意：上述定义有个小瑕疵就是该动点轨迹不包含A、B两点。
6．（2020·广西南宁市·南宁三中）已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且，则动点的轨迹的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设点，则，利用数量积的坐标计算可得，从而可得正确的选项．
【详解】设点，则，则，，，．
∵，∴，
即，整理得，∴动点的轨迹的方程为.
【点睛】求动点的轨迹方程，一般有直接法和间接法，（1）直接法，就是设出动点的坐标，已知条件可用动点的坐标表示，化简后可得动点的轨迹方程，化简过程中注意变量的范围要求.
（2）间接法，有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.
7．（2021·江西上饶市·高三月考）已知点,圆.
(1)求圆中过点的弦的中点的轨迹方程；(2)点是圆上的动点，求中点的轨迹方程.
【答案】（1） ；（2）
【分析】设圆中过点的弦的中点，根据几何条件得,再根据向量数量积为零得轨迹方程，（2）设,则,再代入圆方程解得轨迹方程.
【详解】圆,则,
设圆中过点的弦的中点,则,所以,
,即 ；
（2）设,则,所以,即
【点睛】本题考查直接法求轨迹以及转移法求轨迹，考查基本分析求解能力，属中档题.
8．（2017·新课标2卷高考真题）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（此题需要新课标地区掌握，新高考地区不考）
【答案】（1）；（2）
【分析】设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；
【详解】设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）
由题设知|OP|=，=.
由|OP|=16得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为.
点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

方法2、相关点法：若轨迹点P（x ,y）与已知曲线上的动点Q（x0, y0）有关联，则可先列出关于x、y, x0、y0的方程组，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0 代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程。
该方法也可拓展到极坐标系下，按相似处理方式完成（第5题）。
注：若线段存在倍分关系，一般情况采用直角坐标系下的相关点处理；若存在旋转变换，一般可在极坐标系下进行相关点处理。
知识储备：重心坐标公式；向量的运算公式；极坐标系的相关运算
1．（2021·天水市高三月考）动点椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.求点的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】设，，，根据题意列出等式，然后根据在椭圆上，代入即得。
【详解】解：令，，则，

即代入可得即
故答案为：
【点睛】本题考查相关点法求轨迹方程，属于基础题。
2．（2021河南省漯河市高三第一次模拟）已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．（1）求的值；（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．
【分析】（1）根据题意，由，可得，解得，再由点，代入即可得解；
（2），设，，根据点M为线段的中点，可得：，由点Q为抛物线C上，代入即可得解，
【解析】（1）由抛物线经过点可得：，
又，可得，解得，；
（2）由（1）知，则，设，，
根据点M为线段的中点，可得：，即，
由点Q为抛物线C上，所以，
整理可得点M的轨迹方程为.
3．（2021·全国高三专题练习）设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且，，则点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，根据，得到，结合，即可求解.
【详解】设，由，可得，
则，解得，因为，可得，即.
4、（2021.绵阳市高三月考）已知P（4,0）是圆内的一点，A,B是圆上两动点，且满足,求矩形的顶点Q的轨迹方程。（提示：先找点R的轨迹）

【解析】设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
又|AR|=|PR|=

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动
设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0
整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
5．（2020·安徽马鞍山·高三期中）已知F1，F2分别为椭圆C：的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，求△PF1F2的重心G的轨迹方程。
【答案】＋3y2＝1(y≠0)
【分析】设P(x0，y0)，G(x，y)，利用三角形的重心的坐标公式可得，将其代入可得结果.
【详解】依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，
则由三角形重心坐标公式可得，即 ，
将其代入得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．
6．（2021·湖北高考模拟）一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．求曲线C的轨迹方程；


【答案】；
【详解】设点，，依题意，

，且，所以，且
即且由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，
于是，故，代入，可得，
即所求的曲线的方程为

相关点法也可拓展到极坐标体系下（此题需要新课标地区掌握，新高考地区不考）
7．（2020·成都高三一模）在平面直角坐标系中，已知是曲线：上的动点，将绕点顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求曲线，的极坐标方程；
【答案】曲线：，曲线：；
【分析】先由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程；再有相关点法得出C2的极坐标方程
【详解】∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ。
设点，；由题意可得，
∵∴，即曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ
【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，属于中档题．

方法3、定义法：运用解析几何中一些常用定义（圆锥曲线的定义），再从曲线定义出发直接写出轨迹方程。
知识储备：圆：（动点到定点的距离为定值）；椭圆：（动点到两定点距离之和为定值）；双曲线：（动点到两定点距离之差为定值）；抛物线：（动点到定点与到定直线的距离相等）
1. （2021届江西省高三模拟）如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．求动圆圆心的轨迹的方程；

【分析】设动圆的半径为，由题动圆与圆内切，与圆外切，则
，由此即可得到动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，进而得到动圆圆心的轨迹的方程；
【详解】设动圆的半径为，∵动圆与圆内切，与圆外切，
∴，且.于是，，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，，
所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．
2. （2020届陕西省咸阳市高三模拟考试）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.求点的轨迹的方程；
【分析】利用订一份法求出点在以、为焦点，长轴长为4的椭圆上，
点的轨迹的方程为．
【详解】：（1）由题意知，线段的垂直平分线交于点，所以，
∴，
∴点在以、为焦点，长轴长为4的椭圆上，，，，
∴点的轨迹的方程为．
3．（2021·黑龙江省高三月考）已知定点，圆，过点的直线交圆于两点，过点作直线交直线于点，求点的轨迹方程；
【答案】；
【分析】由题意可得,则点的轨迹是以点为焦点的椭圆，求出的值，可得点的轨迹方程；
【详解】由题意可得：圆，，可得,
如图：，
易得：,可得，,
则点的轨迹是以点为焦点的椭圆.其中
故点的轨迹方程为；
4．（2021·黑龙江省哈师大附中高二月考）动圆过定点和定圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程。
【答案】
【分析】由题意结合几何关系和双曲线的定义确定轨迹方程即可.
【详解】设动圆M的半径为r，且与定圆C外切于点T，设，由题意得|MB|=|MT|=r，|CT|=2，
∵动圆M与定圆C相外切，∴|MC|-|MB|=|CT|=2（定值）.
又2＜|BC|=4，由双曲线的定义知，动点M的轨迹是以点B、C为焦点，2a=2的双曲线的一支.
又2c=|BC|=4，∴c=2，a=1.∴b2=3.∴动圆圆心M的轨迹方程为.
【点睛】求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．
5.（2021·山西吕梁市·高三一模）在平面直角坐标系中，设点，直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点，，．求动点的轨迹的方程；

【分析】先判断R是线段PF的中点，得到，再判断动点到点F的距离等于到直线l的距离，轨迹是抛物线的一部分，即得结果；
【解析】如图，是线段与轴的交点，直线l和y轴平行，故R是线段PF的中点，
又，故是线段PF的中垂线，所以，
结合知，动点到点F的距离等于到直线l的距离，
故动点的轨迹是开口向右的抛物线，F是焦点，l是准线，依题意动点不能与O重合，
故方程为；
6．（2021.成外高三期末模拟）如图所示，已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程。

【答案】
【解析】延长，与的延长线交于点，连接

是的外角的角平分线，且
在中，且为线段的中点
又为线段的中点，由三角形的中位线定理得：
根据椭圆的定义得：
点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，点的轨迹方程：

4、参数法（交轨法）：如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x，y联系起来．其实某种意来说，交轨法也可看作参数法。
1．（2020·辽宁沈阳·高三三模）已知椭圆，点A，B分别是它的左，右顶点.一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，又当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，则直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，则，因为，，
当时，所以直线的方程为：
直线的方程为：，所以，
又，所以，即，当时，符合上式，
所以直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是.故选：B.
2.（2021甘肃省兰州市高三第一次模拟检测）设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求：动点P的轨迹方程；
【分析】设出直线的方程和点A、B的坐标，联立直线与椭圆的方程，即可求出，然后根据求出点P的坐标，消去参数，即可得到动点P的轨迹方程，再检验当k不存在时，是否也满足方程即可；
【解析】直线l过点，设其斜率为k，则l的方程为．
设，，由题设可得点A、B的坐标是方程组的解．
将①代入②并化简得，所以
于是，，
设点P的坐标为，则消去参数k得，③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点，也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为．
3．（2020·浙江省高三一模）设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于不同两点，线段中点为，射线与抛物线交于点.求点的轨迹方程；

【答案】；
【分析】设直线方程为，代入，消去，运用韦达定理和中点坐标公式，再运用代入法消去，即可得到的轨迹方程；
【解析】设直线方程为，代入得
设，则，，.∴.
设，由消去得中点的轨迹方程为
4．（2021·四川省成都七中高三一模）已知椭圆的离心率为，且经过点．
Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ设O为椭圆的中心，点，过点A的动直线l交椭圆于另一点B，直线l上的点C满足．，求直线BD与OC的交点P的轨迹方程．

【答案】
【分析】（1）利用椭圆C：的离心率为，且经过点M（2，0），可求椭圆的几何量，从而可求椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得B点坐标，结合求出C的坐标，写出BD、OC的直线方程，利用消参法求轨迹.
【解析】因为椭圆的离心率，且，所以.
又.故椭圆的标准方程为.
设直线的方程为（当存在时，由题意），代入，
并整理得.解得，于是，即.
设，则.
由已知得，得，解得，于是.
又，由两点的坐标可得直线的方程为.
又由点坐标可得直线的方程为.
两式相乘，消去参数得.（如果只求出交点的坐标，此步不得分）
又当不存在时，四点重合，此时也满足题意.
故直线与的交点的轨迹方程.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线过定点，正确运用韦达定理是关键．
5．（2021·广东省高三一模）已知是坐标原点，.若点满足，其中，且，求点的轨迹方程.
【答案】
【分析】代入坐标，即可确定C的轨迹方程.
【详解】设，则，，
即，解得
即
【点睛】本题主要考查了由平面向量的坐标运算求参数，求动点的轨迹方程，属于中档题.
6．（2017·新课标3卷高考真题）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．写出C的普通方程；（此题需要新课标地区掌握，新高考地区不考）
【答案】
【解析】消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.
设,由题设，消去k得.所以C的普通方程：.

课后训练
1．（2020·全国高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则设，依题意有，，化简整理得，，即，则圆的面积为．
2．（2020·东湖·江西师大附中高三三模）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，，其中，
，即
关于轴对称
故选：
3．（2021·贵州安顺市）已知是椭圆上任一点，是坐标原点，则中点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先设点和中点，再根据中点坐标公式得到中点的轨迹方程即可.
【详解】设点，中点，因为点是中点，所以，则
又因为点满足椭圆方程，所以,所以，化简得：
所以满足，所以中点的轨迹方程为
4．（2020·云南高三期中）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ）
A．的方程为 B．的离心率为
C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线仅有1条
【答案】AC
【分析】根据已知求得曲线的方程，求得曲线的离心率，其渐近线与圆的位置关系，以及弦长AB，逐一判断选项即可.
【详解】设点，由已知得，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A正确；又离心率，故B不正确；圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，又圆的半径为1，故C正确；直线与曲线的方程联立整理得，
设， ，且，
有，所以，要满足，则需，解得或或，当,此时，而曲线E上，所以满足条件的直线有两条，故D不正确，
5．（2020·江西省吉水中学高三月考）过圆外一点作圆的两条切线，（，为切点），若，则动点的轨迹方程是________.
【答案】
【分析】先设点的坐标为，根据两切线的夹角，确定为正方形，得出，进而可得过轨迹方程.
【详解】设点的坐标为，则，
∵，∴四边形为正方形，∴，
∴，即.故答案为：.
【点睛】本题主要考查求圆的轨迹方程，属于基础题型.
6．（2020·吉林一中高二期中）若动圆过定点且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是_________.
【答案】
【分析】设动圆的半径为，则有，再由两圆外切得到，进而得到，再利用双曲线的定义求解.
【详解】定圆的圆心为 ，与 关于原点对称，设动圆的半径为，则有，
因为两圆外切，所以，即，
所以点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，则，，，
所以轨迹方程为 故答案为：
7．（2020·河北邯郸高三）一条线段的长等于6，两端点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上滑动，P在线段AB上且，则点P的轨迹方程是________.
【答案】
【分析】设，由，得到，代入，即可求解.
【详解】设，则，因为，所以，
所以，即，代入，得，即.
8．（2020·上海奉贤区·高三一模）设平面直角坐标系中，为原点，为动点，，，过点作轴于，过作轴于点，与不重合，与不重合，设，则点的轨迹方程是__________．
【答案】（且）
【分析】设出点的坐标，根据，可以知道点的横坐标和纵坐标之间的关系，由可以求出的坐标，进而根据已知的条件，求出、的坐标，设出点的坐标，通过，可以得到的坐标和的坐标之间的关系，再根据点的横坐标和纵坐标之间的关系，求出点的轨迹方程.
【详解】设点，因为，所以有，因为，所以有
，由题意可知：，，因为与不重合，与不重合，所以且，，设，因为，所以有，而，所以，又因为且，所以且.
9．（2020·四川省泸县第一中学高三三）圆的切线与椭圆交于两点分别以为切点的的切线交于点，则点的轨迹方程为__________．
【答案】 .
【解析】设切点分别为，则过点的切线方程为，即代入，整理化简可得，由题设可得，即，
结合可得，则切线方程为；
同理可得经过点的切线方程为．
设交点，故由题设可得且，
观察这两个等式可以看出经过两点的直线是，
又该直线与相切，则，即，
即交点在曲线运动，应填答案．
点睛：本题的求解思路是先建立经过椭圆与已知圆的切线的交点的切线方程，再运用抽象概括（即特殊到一般的归纳思维）的思想方法得到含交点的坐标的方程，即点的轨迹方程，其求解过程较为繁冗，对运算求解能力及分析问题解决问题的能力要求较高，具有一定的难度．
10．（2020·上饶中学高三期末）已知椭圆 的左右焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为，线段的中点为，则点的轨迹方程为___________.
【答案】
【分析】先利用椭圆的几何性质得到的轨迹方程为：，再根据的坐标与的坐标关系可得的轨迹方程.
【详解】

如图，延长交的延长线于，连接.
因为为的平分线且，故为等腰三角形且，，
所以.
在中，因为，所以，
故的轨迹方程为：.
令，则，所以即，故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及动点的轨迹方程，注意遇到与焦点三角形有关的轨迹问题或计算问题时，要利用好椭圆的定义，另外，求动点的轨迹，注意把要求的动点的轨迹转移到已知的动点的轨迹上去.
11．（2020·四川省泸县第二中学高三月考）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为__________.
【答案】
【分析】根据中为定值,故先化简,再分析满足的距离关系即可.
【详解】设,因为,故
即.故的轨迹是以为焦点,的双曲线的下支.此时.故.故.故答案为：
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义,需要注意为双曲线的下支,属于基础题型.
12.（2021·江西上饶市·高三模拟）在平面直角坐标系中，已知点，是动点，且直线的斜率与直线的斜率之和等于直线的斜率.求动点的轨迹的方程；
【分析】（1）设点的坐标为，利用化简可得出动点的轨迹的方程；
【解析】（1）设点的坐标为，由题意可得，
即，则且.整理可得（且）.
因此，动点的轨迹的方程为（且）；
13．（2021·黑龙江高三期中）在中，，AC，AB边上的中线长之和等于9．
（1）求重心M的轨迹方程；（2）求顶点A的轨迹方程.
【答案】（1）1（y≠0）；（2）1（y≠0）
【分析】（1）由已知得△ABC重心M在以B、C为两个焦点的椭圆，由此能求出△ABC重心M的轨迹方程．
（2）利用代入法，即可求顶点A的轨迹方程．
【详解】（1）如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系
设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，
由重心的性质知|BM||BD|，|CM||CE|，于是|MB|+|MC||BD||CE|＝6
根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆．
2a＝6，2c＝4，∴a＝3，b， 故所求的椭圆方程为1（y≠0）
（2）设A（x，y），则M（x，），代入1（y≠0），
可得出顶点A的轨迹方程为1（y≠0）

【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查代入法，解题时要认真审题，注意椭圆定义的合理运用．
14．（2020·广东省高二期末）已知为圆上的动点，，为定点，
（1）求线段中点M的轨迹方程；（2）若，求线段中点N的轨迹方程.
【答案】（1） (x－1)2＋y2＝1；（2）
【详解】（1）设中点为，由中点坐标公式可知，点坐标为.
∵点在圆上，∴.
故线段中点的轨迹方程为
（2）设的中点为，在中，，
设为坐标原点，连结，则，所以，
所以. 故中点的轨迹方程为
14．（2020·河北省定州一中高三期中）设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积.求点的轨迹方程；
【答案】；
分析：设点的坐标为，表示出两直线的斜率，利用斜率之积等于建立方程，化简即可求出轨迹方程；
【解析】设点的坐标为
因为点坐标为，所以直线的斜率
同理，直线的斜率 由已知有
化简，得点的轨迹方程为
15．（2021·安徽省高三二模）在直角坐标系中，己知点，两动点，且，直线与直线的交点为.求动点的轨迹方程；
【答案】；
分析：写出直线，直线的点斜式方程，两者相乘化简即可得动点的轨迹方程；
【解析】直线的方程：
直线的方程：
上述两式相乘得：，又，于是：
由得，∴
所以动点的轨迹方程：.
16．（2020·河北省衡水中学高三二模）已知动点到两点，的距离之和为4，点在轴上的射影是C，.求动点的轨迹方程；
【答案】（1）.（2）1
【分析】根据椭圆的定义和题设条件，求得点的轨迹方程是，设点坐标为，由所以点的坐标为，代入即可求解.
【详解】设，
因为点到两点的距离之和为4，即
可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以，即，且，则，所以点的轨迹方程是.
设点坐标为，因所以点的坐标为，可得，
化简得点的轨迹方程为.
17．（2020·江西省高三期末）已知圆的圆心为，圆内一条过点的动弦（与轴不重合），过点作的平行线交于点.求出点的轨迹方程；
【答案】（1）；（2）.
【分析】计算得到，得到轨迹为椭圆，计算得到答案.
【详解】由题意可知：，
∵，所以轨迹以，为焦点的椭圆，除去与轴的两个交点
，，所以点的轨迹方程为.
18．（2021·江西省玉山一中高三月考）已知点,圆.
(1)求圆中过点的弦的中点的轨迹方程；(2)点是圆上的动点，求中点的轨迹方程.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）设圆中过点的弦的中点，根据几何条件得,再根据向量数量积为零得轨迹方程，（2）设,则,再代入圆方程解得轨迹方程.
【详解】（1）圆,则,
设圆中过点的弦的中点,则,所以,
,即 ；
（2）设,则,所以,即
【点睛】本题考查直接法求轨迹以及转移法求轨迹，考查基本分析求解能力，属中档题.
19．（2021·四川省高三月考（理））已知曲线的焦点是，、是曲线上不同两点，且存在实数使得，曲线在点、处的两条切线相交于点．求点的轨迹方程；
【答案】；
【分析】由题意知、、三点共线，可设直线的方程为，并设点，，将直线的方程与曲线的方程联立，并列出韦达定理，利用导数求出曲线在点、处的切线方程，将两切线方程联立，求出点的坐标，即可得出点的轨迹方程；
【详解】曲线就是抛物线，它的焦点坐标为．
存在实数使得，则、、三点共线．
当直线斜率不存在时，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与联立消去，整理得，判别式，设，，
则、就是方程的两实根，，．
，，切线斜率，
则曲线在点处的切线方程是，即①．
同理得曲线在点处的切线方程是②．
联立①②得，得，所以点的坐标为.
因此，点的轨迹方程为；
20．（2021·上海市七宝中学高三其他）已知圆，点，点是圆上的动点，的垂直平分线交直线于点求点的轨迹方程；

【答案】；
【分析】连接，则，即，则点的轨迹是以，为左右焦点，的双曲线，求解轨迹方程即可.

【详解】连接，则，即
点的轨迹是以，为左右焦点，，的双曲线.
即，， 点的轨迹方程为：
21．（2019·江苏省高三竞赛）已知椭圆与x轴交于点A、B，过椭圆上动点M(M不与A、B重合)作椭圆的切线l，过点A、B分别作x轴的垂线，与切线l分别交于点C、D.直线CB、AD交于点Q，Q关于M的对称点为P.求点P的轨迹方程.
【答案】.
【分析】设切点坐标，写出切线方程，根据比例关系求出P点坐标，根据M点在椭圆上建立等量关系即可得到P点的轨迹.
【详解】如图，.
设动点，则切线l：.

设，代入l的方程，得.
因为AC∥BD，则Q分CB的比.
所以.
由Q与P关于对称，且，所以，
，
即.则.
由题意，，所以，故点P的轨迹方程为.
【点睛】此题考查求轨迹方程，利用相关点建立等量关系，需要注意考虑剔除不合题意的点，熟练掌握常见二级结论可以减少运算量.
22．（2020·浙江省黄岩中学高三月考）如图，P是抛物线上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q. 若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

【答案】(x≠0)；
【分析】设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M（x0,y0），欲求点M的轨迹方程，即寻找其坐标的关系，可通过另外两点P，Q与中点M的关系结合中点坐标公式求解；
【详解】设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x0,y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.
由，得y′=x.∴过点P的切线的斜率k=x1，
∴直线l的斜率，∴直线l的方程为，②
联立①②消去y，得.
∵M是PQ的中点，∴，
消去x1，得，∴PQ中点M的轨迹方程为(x≠0).
23．（2020·上海高三二模）如图，是圆上的任意一点，、是圆直径的两个端点，点在直径上，，点在线段上，若，求点的轨迹方程。

【答案】
【分析】先求出为,由化为,再有在线段上可得,代入上式解得,进而得出,设,,用表示,代入圆方程即可得出
【详解】由题,,,为

在线段上,可令,
代入可得,
与轴不共线,,即
设, 可得,,
代入可得,整理后得 故答案为：
【点睛】本题考查相关点法求轨迹方程,考查用向量表示三点共线,考查运算能力。
24．（2020·上海高三专题练习）如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为．求轨迹的方程；

【答案】（3x2-y2-3=0（x>1）；
【分析】首先由题意可知，显然，当时，点的坐标为，当时，，可将转化为正切值即斜率之间的关系，从而可以得到，所满足的关系式，即可得到轨迹方程：，即，化简可得，，而点也在曲线，轨迹的方程为；
【解析】（1）设的坐标为，显然有，且，
当时，点的坐标为，
当时，，由，
有，即，
化简可得，，而点也在曲线，
综上可知，轨迹的方程为；
考点：圆锥曲线轨迹；



以下为新课标（新高考地区不做）地区增加练习：
1、（2020届高新区一诊模拟）在平面直角坐标系中，已知是曲线：上的动点，将点绕点逆时针旋转得到，设点的轨迹为曲线.求曲线的极坐标方程；
【答案】先由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程；再有相关点法得出C2的极坐标方程
【分析】由相关点法得出C2的极坐标方程
【详解】∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ。
设点，；由题意可得，
∵∴，即曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ
【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，属于中档题．
2．（2020·成都市·高三期中）在以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，已知点到直线的距离为.（1）求实数的值；（2）设是直线上的动点，点在线段上，且满足，求点轨迹的极坐标方程.
【答案】（1）;（2）.
【分析】（1）分别求出的直角坐标与直线的直角坐标方程，再由点到直线的距离公式列式求得值；
（2）设，，则，结合在直线上即可求得点轨迹的极坐标方程．
【详解】解：（1）由点，得的直角坐标为，由直线，
得，即．则，解得；
（2）直线．设，，则，，
，即点轨迹的极坐标方程为．
【点睛】本题考查轨迹方程，考查极坐标方程，考查学生分析解决问题的能力.
3．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），直线：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）点在直线上，射线交曲线于点，点在射线上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程.
【答案】(1) ， (2)
【解析】（1）利用极坐标与直角坐标之间的关系进行转化；（2）设出Q点极坐标，利用找出轨迹方程，
详解：（1）曲线的极坐标方程为，
直线的极坐标方程为.
（2）设点的极坐标为，易知，，
故代入，得，即，
所以点的轨迹的直角坐标方程为.
点晴：注意极坐标和直角坐标之间的关系，及相互之间如何转化是关键