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专题02 圆锥曲线与内心问题-2022年高考数学二轮复习圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）
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专题2、圆锥曲线与内心问题
从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．
三角形的内心：三角形三条角平分线的交点。
重要结论：I是的内心 (其中a、b、c为的三条边)；
知识储备：三角形内切圆的半径求法：
（1）任意三角形：（其中为三角形ABC 的周长，为三角形ABC 的面积）；
（2）直角三角形：（其中a，b为直角边，c为斜边）
经典例题：
例1．（2020.浙江高三期中）已知是椭圆上一点，，是椭圆的左，右焦点，点是的内心，延长交线段于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，点是椭圆上一点，过点M作BM垂直直线于点，过点I作垂直直线于点，设的内切圆半径为，则，由三角形面积相等即：得：
又，故得：，所以，由椭圆方程得：，，，所以由与相似，可得：,令，则,可求得：，故选A．
【点睛】本题主要是利用三角形相似将所求的比值转化成三角形相似比问题，即构造两个三角形相似来处理，对于内切圆问题通常利用等面积法列方程．即：即：=++（其中是的内切圆圆心），从而解决问题．
例2、（2020·江西高三期中（理））已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，是的内心，当时（其中，分别为点与内心的纵坐标），椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据内切圆的性质利用等面积法求出内切圆的半径，即可得内切圆圆心的纵坐标，利用条件化简方程，即可求出离心率.
【详解】设，不妨设，如图，设三角形内切圆的半径为r，由三角形内切圆的性质可得:
，解得：，,
因为，所以，解得，所以，故选：C
【点睛】关键点点睛，利用内切圆的性质得到是解题的关键，根据及，建立方程求出离心率，属于中档题.
例3．（2020·浙江温州中学高三）已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为__________．
【答案】
【详解】考查更为一般的问题：设P为椭圆C:上的动点，为椭圆的两个焦点，为△PF1F2的内心，求点I的轨迹方程．
解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，则.
直线IF1与IF2的斜率之积：，
而根据海伦公式，有△PF1F2的面积为
因此有.再根据椭圆的斜率积定义，可得I点的轨迹是以F1F2为长轴，
离心率e满足的椭圆，其标准方程为.
解法二：令，则．三角形PF1F2的面积：，
其中r为内切圆的半径，解得.另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：
从而有．消去θ得到点I的轨迹方程为：.
本题中：，代入上式可得轨迹方程为：.
例4、（2019年绵阳市高三模拟12题）点、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，设的内切圆圆心为，内切圆与三边分别相切于点，
根据圆的切线可知：，，，
又根据双曲线定义 ，
即，
所以，即，
又因为，所以，，
所以点为右顶点，即圆心，
考虑点在无穷远时，直线的斜率趋近于，
此时方程为，
此时圆心到直线的距离为，解得，
因此内切圆半径，所以选择A.
例5、（2020年湖北省高三联考12题）过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．或2
【答案】D
【解析】有两种情况：
（1）若在轴同侧，不妨设在第一象限.如图，
设内切圆的圆心为，则在的平分线上，
过点分别作于，于，
由得四边形为正方形，利用点到直线的距离公式可得，
焦点到渐近线的距离为，
又，所以， 又，所以，
所以，从而可得离心率；
（2）若在轴异侧，不妨设在第一象限如图，易知，，，
因为的内切圆半径为，
所以，
又因为，所以，，
所以，，则，
从而可得离心率.综上，双曲线的离心率为或2.故选：D
例6、（2020年山东省济南市高三二模16题）已知，分别是双曲线的左，右焦点，过点向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点，直线与轴交于点（，在轴同侧），连接，若的内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则的大小为________；双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】如图所示：不妨取渐近线，易知，（否则不能与右支相交）.
则直线为：，即，
设内切圆圆心为，根据对称性知在轴上，
的内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，
故，故，
到直线的距离为：，
设直线：，即
到直线的距离为：，
化简整理得到，解得或，
当时，直线与的交点横坐标为，不满足题意，舍去.
故直线：，故，，
联立方程得到，解得，代入双曲线方程得到：，
化简整理得到：，故.故答案为：；.
【点睛】本题考查了双曲线中直线的位置关系，离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
例7、已知点是双曲线上除顶点外的任意一点，分别为左、右焦点，为半焦距，的内切圆与切于点，则_________.
【答案】
【解析】设圆与的切点为点S，与的切点为点T，
根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等可知：
①当P在双曲线图象的右支时，而根据双曲线的定义可知
①； 而②，
联立①②解得：,所以=b2；
②当P在双曲线图象的左支时，而根据双曲线的定义可知
③； 而④，
联立③④解得：，
综上,可得.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义及其应用，外切圆的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
例8、(2019年成都七中高三模拟16题)已知双曲线的左,右焦点F1，F2,点P在双曲线上左支上动点，则三角形PF1F2的内切圆的圆心为G，若△GPF1与△GF1F2的面积分别为，则取值范围是
解析：如图设切点分别为M，N，Q，
则△PF1F2的内切圆的圆心G的横坐标与Q横坐标相同．
由双曲线的定义，PF1﹣PF2＝2a．
由圆的切线性质PF2﹣PF1＝F2N﹣F1M＝F2Q﹣F1Q＝2a，
∵F1Q+F2Q＝F1F2＝2c，∴F2Q＝c+a，OQ＝a，Q横坐标为﹣a．
双曲线的a＝1，b＝，c＝2，
可设G（﹣1，t），t＞0，设PF1＝m（m＞1），
可得，故答案为：（，+∞）．
例9．（2020.山东省高三期中）双曲线的渐近线与抛物线交于点，若抛物线的焦点恰为的内心，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出圆锥曲线的大致图像，利用抛物线的焦点到渐近线的距离等于到的距离，即可求解.
【详解】作出双曲线与抛物线的大致图像，如图：
双曲线的渐近线方程为：，即，
联立，解得或，当时，则，
所以焦点到的距离为，
焦点到渐近线的距离为，
所以，整理可得，即，整理可得，
两边同除以可得，，
又，即，解得.故选：D
【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查了考生的计算能力，属于中档题.
例10、（2020年河北省石家庄市一模12题）已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】设的内切圆圆心为 ，的内切圆圆心为，边 上的切点分别为 易见 横坐标相等，则
由 即 得 即 ，记 的横坐标为 ，则 ，于是 ，得
同理内心 的横坐标也为 则有轴，
设直线的倾斜角为，则 则
故选D.
例11、（2020年师大附中高三模拟12题）已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A．（1，） B．（1，2） C．（1，2] D．（1，]
【答案】D
【解析】根据条件和三角形的面积公式，求得的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答案．
设的内切圆的半径为，则，
因为，所以,
由双曲线的定义可知，所以，即，
又由，所以双曲线的离心率的取值范围是，故选D．
例12、已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的内切圆半径为( ).
． ． ． ．
解析：由，可得．
由，求得，，所以．①
将代入式①，得，解得，
所以，，则的三边长分别为，，．
设的内切圆半径为，由，解得．故选．
课后训练：
1．（2020·湖北襄阳四中高三（理））椭圆（）的两焦点是、，为椭圆上与、不共线的任意一点，为的内心，延长交线段于点，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接IF1,IF2.在△MF1I中,F1I是∠MF1N的角平分线,根据三角形内角平分线性质定理,，同理可得,故有，
根据等比定理.本题选择B选项.
2．（2020·黑龙江高三期末）如图所示，点P为椭圆上任一点，，为其左右两焦点，的内心为I，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先连PI延长x轴于D，连，，利用角平分线定理得到，再利用和比定理和椭圆的性质，得到，从而得到面积比值.
【详解】解：连PI延长x轴于D，连，．在中有，在中有，
故，故．故选：A
【点睛】本题考查椭圆的性质和角平分线定理解决三角形面积比值，意在考查转化与化归的思想，数形结合分析问题，属于中档题型，本题的难点是角平分线定理的应用.
3．（浙江高三）已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，△的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点距轴的距离为，因为IG∥，则点距轴的距离为，连接，则，
，
所以，所以，所以椭圆方程为．
考点：椭圆的标准方程．
4．（2020·湖南高二期中（理））已知点在椭圆：上，、为左、右焦点，点是内心，连接并延长交线段于，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】连接，在中，是的角平分线，根据三角形角平分线的性质定理得；同理可得，故有，根据等比定理得，所以答案为C．
考点：1、椭圆的定义；2、角平分线的性质．
【技巧点晴】本题考查的是椭圆的定义、角平分线的性质定理、等比定理等的综合知识，属于难题；在解决涉及圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口；由于三角形的内心是三个内角的平分线的交点，根据三角形内角平分线的性质定理，把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系来求解．
5．双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得，结合双曲线的定义和标准方程，即可求解.
【详解】如图，设内切圆的半径为r，
由，得，
整理得.因为P为双曲线右支上一点，
所以，，所以.故选:C.
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线定义和性质的应用，属于基础题.
6．（2020·安徽高二期末）点是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，是的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】设的内切圆的半径为，则由，得：
即：
所以椭圆的离心率．故选B．
考点：椭圆的简单性质．
【思路点晴】本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其计算方法，属基础题；求椭圆的离心率，关键在于找到关于基本量之间的等量关系式，再利用离心率的定义，通过解方程而求得；再建立关系式的过程中，一定要充分注意椭圆定义的应用．
7．设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，，△的内心为I，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，|MF1|+|MF2|=4，而|F1F2|=2，
设圆与MF1、MF2，分别切于点A，B，根据切线长定理就有|F1F2|=|F1A|+|F2B|=2，
所以|MI|cosθ=|MA|=|MB|= ，故选A．
考点：椭圆的定义，椭圆的几何性质，圆的切线长定理。
点评：小综合题，将椭圆的基础知识与圆的知识综合考查，难度不大，注意结合图形特征，寻求解题途径。
8．（2020·湖北高二期中（理））已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点， 为的内心，若，则该椭圆的离心率是
A． B． C． D．
【答案】A
分析：首先根据三角形面积的关系，确定出三角形的三边的关系，结合椭圆的定义，得到，再根据椭圆的离心率的公式求得结果.
【解析】设的内切圆的半径为，根据题意可得，，根据三角形的面积公式，可以求得，整理得，即，故选A.
点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题的条件，结合焦点三角形的特征，求得对应的离心率的大小.
9．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为上一点，若为的内心，且，则的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据为的内心，且得，即，再依次讨论选项即可得答案.
【详解】解：因为为的内心，设内切圆的半径为，所以，
因为，所以，所以，
根据椭圆的定义得：，即.对于A选项，，不满足，故错误；
对于B选项，，不满足，故错误；对于C选项，，不满足，故错误；对于D选项，，满足，故正确.故选：D.
【点睛】本题考查利用椭圆的性质求解椭圆的方程，解题的核心是通过面积关系和椭圆的定义得到，考查分析解决问题的能力，是中档题.
10．（2020·浙江高三月考）已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．与大小不确定
【答案】B
【分析】作出图示，根据的特点分别表示出，，即可判断出的大小关系.
【详解】因为，所以的轨迹是椭圆在第一象限内的部分，如图所示：
因为是的内心，设内切圆的半径为，
所以，所以，所以，
又因为是的重心，所以，
所以，所以，故选：B.
【点睛】本题考查椭圆的定义，其中涉及到三角形的内心和重心问题，对学生分析图形中关系的能力要求较高，难度一般.
11、（2020届绵阳中学二诊模拟12题）设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线,垂足为若的内切圆与轴切于点,且,则C的离心率为
解析：因为F到渐近线的距离为，所以，
则△FOH的内切圆的半径为，
设△FOH的内切圆与FH切于点M，则
由，得，即
即得,由于 解得
12、（2019年成外高三一诊模拟11题）已知双曲线的左、右焦点分别F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的率心率，则
A.|OB|=e|OA| B.|OA|=e|OB| C.|OB|=|OA| D.|OA|与|OB|关系不确定
解析：F1（-c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A
∵|PF1|-|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，
|AF1|-|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，
则|（x+c）-（c-x）|=2a ∴x=a； |OA|=a，
在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，
∴在三角形F1CF2中，有：
OB=CF1=（PF1-PC）=（PF1-PF2）=×2a=a． ∴|OB|=|OA|．故选C．
13、(2019年衡水金卷（一）11题)点P是双曲线的上支上的一点，F1，F2分别为双曲线的上、下焦点，则△PF1F2的内切圆圆心M的坐标一定适合的方程是（ ）
A．y=-3 B．y=3 C．x2+y2=5 D．y=3x2-2
解析：∵双曲线方程为 ∴
设△PF1F2的内切圆分别与PF1、 PF2切于点A、 B ,与F1F2切于点C
则|PA|=|PB| , |FB|=|FC|, |F2A|=|F2C|，
又∵点P在双曲线上支上, ∴|PF2|-|PF1|=2a=6，
即( |F2A|+|PA|)- ( |F1B|+|PB|) =6 ,
化简得|F2A|-|FB|=6 ,即|F2C|-|F1C|=6 ,
而|F1C|+|F2C|=2c=10 ,
设C点坐标为(0,λ) ,由|F2C|-F1C|=6可得(λ+5)-(5-λ) =6，解之得λ=3 ,得C的坐标为(0, 3 )
∵圆M与F1F2切于点C , ∴CM⊥y轴,可得CM所在直线方程为y=3
14、(2018年湖南师大附中高三模拟12题)已知点P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且|F1F2|=，I为三角形PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立，则λ的值为（ ）
A． B． C． D．
解析：设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，
S△IPF1 =|PF1|•r，S△IPF2=|PF2|•r，S△IF1F2=•2c•r=cr，
由题意得：|PF1|•r=|PF2|•r+λcr，故λ=
∵|F1F2|=，∴
∴ ∴
15、如图，已知双曲线（，）的左右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，△的内切圆在边上的切点为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】如下图所示，设与的内切圆相切于，
则，所以，
所以，所以
，所以，即，
由可得，所以该双曲线的离心率，故应选．
16、已知点为双曲线 右支上一点，分别为左右焦点，若双曲线的离心率为，的内切圆圆心为，半径为2，若，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．6
【解析】点为双曲线右支上一点,
分别为左右焦点,的内切圆圆心为,半径为2 ,
因为，所以，
可得，即，
双曲线的离心率为，可得,则，故选C.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率以及双曲线的几何性质，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
17、（2018山东省潍坊市三模11题）点是双曲线右支上一点，分别为左、右焦点.的内切圆与轴相切于点.若点为线段中点，则双曲线离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【解析】设的内切圆圆心为 ，边 上的切点分别为
易见 横坐标相等，则
由即 得 即，记的横坐标为，则，于是 ，得
由点为线段中点，知.
故选B.
点睛：（1）解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等；
（2）在双曲线中，焦点三角形的内切圆圆心与轴的切点为.
18、如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，是轴正半轴上一点，交椭圆于A，若，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，直角三角形的内切圆半径r，
∵|F1F2|，∴10，∴2|AF1||AF2|＝4，
∴14，∴|AF1|+|AF2|＝2a，
∵|F1F2|，∴椭圆的离心率是e．故选：B．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19、（2020年湖北省高三联考改编）过双曲线（）右焦点的直线交两渐近线于、两点，若， 为坐标原点，且内切圆半径为，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【解析】因为，所以双曲线的渐近线如图所示，
设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，
由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得，又，所以，
，所以，
所以，得. .故选：A.
【点睛】本题考查双曲线的性质，考查逻辑思维能力，正确作出图形是解题的关键，属于中档题.
20、（福建省漳州市模拟）已知双曲线C：的左右焦点为，为双曲线C右支上异于顶点的一点，的内切圆与轴切于点，且与点关于直线对称，则双曲线方程为 ．
【解析】设点A（1，0），因为的内切圆与轴切于点（1，0），
则，所以，则．
因为P与点F1关于直线对称，所以且，
联立且解得．
所以双曲线方程为．
21、（2020年浙江省新高考名校联考10题）已知椭圆的左、右焦点分别是，过点作圆的一条切线，切点为，延长交椭圆于点，且，双曲线的左、右焦点分别为是右支上一点，与轴交于点，的内切圆与的切点为，若，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接，在椭圆中，
∵是圆的切线，是切点，∴，．
∵， ∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，又，∴ ①．
在双曲线中，，
由题意知，上式可变为，
由三角形内切圆的性质得，∴，则 ②．
联立①②并解得，∴双曲线的方程为，故选:D．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，三角形内切圆的知识，考查数形结合思想及运算求解能力．
22．点M为椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的内心轨迹方程为____________.
【答案】
【分析】设的内心为，连接交轴于点，由内角平分线性质定理得到，设，再由焦半径公式及内角平分线定理得到，则，然后利用向量关系把的坐标用的坐标表示出来，代入椭圆方程求解.
【详解】如图，设的内心为，连接交轴于点，连接
在中是的角平分线.根据内角平分线性质定理得到.
同理可得.所以，根据等比定理得：
在椭圆中，所以设，则
同理
又，则，可得 所有
由，得，
所以，代入椭圆方程.得，由，则.
所以的内心轨迹方程为： 故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式，内角平分线定理的应用，属于难题.
23．设为椭圆:的两个焦点．为上点，的内心I的纵坐标为，则的余弦值为_____.
【答案】0
【分析】因为的内心I的纵坐标为，所以可知道的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，可得到三角形的面积，接着根据焦点三角形的面积确定，进而求出答案.
【详解】如图，
由题意知的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，
即，
又由焦点三角形的面积，
所以，所以，所以.
【点睛】本题主要考查通过焦点三角形的面积公式，确定的余弦值，熟悉公式的运用是解决本题的关键.
24．设，为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上一点，若的重心和内心的连线与轴垂直，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设的重心和内心分别为，则．设，根据双曲线的定义和圆的切线的性质可得，于是，，所以．然后由点在双曲线上可得，于是可得离心率．
【详解】画出图形如图所示，
设的重心和内心分别为，且圆与的三边分别切于点，由切线的性质可得．不妨设点在第一象限内，
∵是的重心，为的中点，∴，∴点坐标为．
由双曲线的定义可得，
又，∴，∴为双曲线的右顶点．
又是的内心，∴．设点的坐标为，则．
由题意得轴，∴，故，∴点坐标为．
∵点在双曲线上，∴，整理得，
∴．故选A．
【点睛】本题综合考查双曲线的性质和平面几何图形的性质，解题的关键是根据重心、内心的特征及几何图形的性质得到点的坐标，考查转化和计算能力，难度较大．
专题2、圆锥曲线与内心问题
从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．
三角形的内心：三角形三条角平分线的交点。
重要结论：I是的内心 (其中a、b、c为的三条边)；
知识储备：三角形内切圆的半径求法：
（1）任意三角形：（其中为三角形ABC 的周长，为三角形ABC 的面积）；
（2）直角三角形：（其中a，b为直角边，c为斜边）
经典例题：
例1．（2020.浙江高三期中）已知是椭圆上一点，，是椭圆的左，右焦点，点是的内心，延长交线段于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，点是椭圆上一点，过点M作BM垂直直线于点，过点I作垂直直线于点，设的内切圆半径为，则，由三角形面积相等即：得：
又，故得：，所以，由椭圆方程得：，，，所以由与相似，可得：,令，则,可求得：，故选A．
【点睛】本题主要是利用三角形相似将所求的比值转化成三角形相似比问题，即构造两个三角形相似来处理，对于内切圆问题通常利用等面积法列方程．即：即：=++（其中是的内切圆圆心），从而解决问题．
例2、（2020·江西高三期中（理））已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，是的内心，当时（其中，分别为点与内心的纵坐标），椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据内切圆的性质利用等面积法求出内切圆的半径，即可得内切圆圆心的纵坐标，利用条件化简方程，即可求出离心率.
【详解】设，不妨设，如图，设三角形内切圆的半径为r，由三角形内切圆的性质可得:
，解得：，,
因为，所以，解得，所以，故选：C
【点睛】关键点点睛，利用内切圆的性质得到是解题的关键，根据及，建立方程求出离心率，属于中档题.
例3．（2020·浙江温州中学高三）已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为__________．
【答案】
【详解】考查更为一般的问题：设P为椭圆C:上的动点，为椭圆的两个焦点，为△PF1F2的内心，求点I的轨迹方程．
解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，则.
直线IF1与IF2的斜率之积：，
而根据海伦公式，有△PF1F2的面积为
因此有.再根据椭圆的斜率积定义，可得I点的轨迹是以F1F2为长轴，
离心率e满足的椭圆，其标准方程为.
解法二：令，则．三角形PF1F2的面积：，
其中r为内切圆的半径，解得.另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：
从而有．消去θ得到点I的轨迹方程为：.
本题中：，代入上式可得轨迹方程为：.
例4、（2019年绵阳市高三模拟12题）点、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，设的内切圆圆心为，内切圆与三边分别相切于点，
根据圆的切线可知：，，，
又根据双曲线定义 ，
即，
所以，即，
又因为，所以，，
所以点为右顶点，即圆心，
考虑点在无穷远时，直线的斜率趋近于，
此时方程为，
此时圆心到直线的距离为，解得，
因此内切圆半径，所以选择A.
例5、（2020年湖北省高三联考12题）过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．或2
【答案】D
【解析】有两种情况：
（1）若在轴同侧，不妨设在第一象限.如图，
设内切圆的圆心为，则在的平分线上，
过点分别作于，于，
由得四边形为正方形，利用点到直线的距离公式可得，
焦点到渐近线的距离为，
又，所以， 又，所以，
所以，从而可得离心率；
（2）若在轴异侧，不妨设在第一象限如图，易知，，，
因为的内切圆半径为，
所以，
又因为，所以，，
所以，，则，
从而可得离心率.综上，双曲线的离心率为或2.故选：D
例6、（2020年山东省济南市高三二模16题）已知，分别是双曲线的左，右焦点，过点向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点，直线与轴交于点（，在轴同侧），连接，若的内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则的大小为________；双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】如图所示：不妨取渐近线，易知，（否则不能与右支相交）.
则直线为：，即，
设内切圆圆心为，根据对称性知在轴上，
的内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，
故，故，
到直线的距离为：，
设直线：，即
到直线的距离为：，
化简整理得到，解得或，
当时，直线与的交点横坐标为，不满足题意，舍去.
故直线：，故，，
联立方程得到，解得，代入双曲线方程得到：，
化简整理得到：，故.故答案为：；.
【点睛】本题考查了双曲线中直线的位置关系，离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
例7、已知点是双曲线上除顶点外的任意一点，分别为左、右焦点，为半焦距，的内切圆与切于点，则_________.
【答案】
【解析】设圆与的切点为点S，与的切点为点T，
根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等可知：
①当P在双曲线图象的右支时，而根据双曲线的定义可知
①； 而②，
联立①②解得：,所以=b2；
②当P在双曲线图象的左支时，而根据双曲线的定义可知
③； 而④，
联立③④解得：，
综上,可得.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义及其应用，外切圆的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
例8、(2019年成都七中高三模拟16题)已知双曲线的左,右焦点F1，F2,点P在双曲线上左支上动点，则三角形PF1F2的内切圆的圆心为G，若△GPF1与△GF1F2的面积分别为，则取值范围是
解析：如图设切点分别为M，N，Q，
则△PF1F2的内切圆的圆心G的横坐标与Q横坐标相同．
由双曲线的定义，PF1﹣PF2＝2a．
由圆的切线性质PF2﹣PF1＝F2N﹣F1M＝F2Q﹣F1Q＝2a，
∵F1Q+F2Q＝F1F2＝2c，∴F2Q＝c+a，OQ＝a，Q横坐标为﹣a．
双曲线的a＝1，b＝，c＝2，
可设G（﹣1，t），t＞0，设PF1＝m（m＞1），
可得，故答案为：（，+∞）．
例9．（2020.山东省高三期中）双曲线的渐近线与抛物线交于点，若抛物线的焦点恰为的内心，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出圆锥曲线的大致图像，利用抛物线的焦点到渐近线的距离等于到的距离，即可求解.
【详解】作出双曲线与抛物线的大致图像，如图：
双曲线的渐近线方程为：，即，
联立，解得或，当时，则，
所以焦点到的距离为，
焦点到渐近线的距离为，
所以，整理可得，即，整理可得，
两边同除以可得，，
又，即，解得.故选：D
【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查了考生的计算能力，属于中档题.
例10、（2020年河北省石家庄市一模12题）已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】设的内切圆圆心为 ，的内切圆圆心为，边 上的切点分别为 易见 横坐标相等，则
由 即 得 即 ，记 的横坐标为 ，则 ，于是 ，得
同理内心 的横坐标也为 则有轴，
设直线的倾斜角为，则 则
故选D.
例11、（2020年师大附中高三模拟12题）已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A．（1，） B．（1，2） C．（1，2] D．（1，]
【答案】D
【解析】根据条件和三角形的面积公式，求得的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答案．
设的内切圆的半径为，则，
因为，所以,
由双曲线的定义可知，所以，即，
又由，所以双曲线的离心率的取值范围是，故选D．
例12、已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的内切圆半径为( ).
． ． ． ．
解析：由，可得．
由，求得，，所以．①
将代入式①，得，解得，
所以，，则的三边长分别为，，．
设的内切圆半径为，由，解得．故选．
课后训练：
1．（2020·湖北襄阳四中高三（理））椭圆（）的两焦点是、，为椭圆上与、不共线的任意一点，为的内心，延长交线段于点，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接IF1,IF2.在△MF1I中,F1I是∠MF1N的角平分线,根据三角形内角平分线性质定理,，同理可得,故有，
根据等比定理.本题选择B选项.
2．（2020·黑龙江高三期末）如图所示，点P为椭圆上任一点，，为其左右两焦点，的内心为I，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先连PI延长x轴于D，连，，利用角平分线定理得到，再利用和比定理和椭圆的性质，得到，从而得到面积比值.
【详解】解：连PI延长x轴于D，连，．在中有，在中有，
故，故．故选：A
【点睛】本题考查椭圆的性质和角平分线定理解决三角形面积比值，意在考查转化与化归的思想，数形结合分析问题，属于中档题型，本题的难点是角平分线定理的应用.
3．（浙江高三）已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，△的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点距轴的距离为，因为IG∥，则点距轴的距离为，连接，则，
，
所以，所以，所以椭圆方程为．
考点：椭圆的标准方程．
4．（2020·湖南高二期中（理））已知点在椭圆：上，、为左、右焦点，点是内心，连接并延长交线段于，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】连接，在中，是的角平分线，根据三角形角平分线的性质定理得；同理可得，故有，根据等比定理得，所以答案为C．
考点：1、椭圆的定义；2、角平分线的性质．
【技巧点晴】本题考查的是椭圆的定义、角平分线的性质定理、等比定理等的综合知识，属于难题；在解决涉及圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口；由于三角形的内心是三个内角的平分线的交点，根据三角形内角平分线的性质定理，把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系来求解．
5．双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得，结合双曲线的定义和标准方程，即可求解.
【详解】如图，设内切圆的半径为r，
由，得，
整理得.因为P为双曲线右支上一点，
所以，，所以.故选:C.
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线定义和性质的应用，属于基础题.
6．（2020·安徽高二期末）点是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，是的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】设的内切圆的半径为，则由，得：
即：
所以椭圆的离心率．故选B．
考点：椭圆的简单性质．
【思路点晴】本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其计算方法，属基础题；求椭圆的离心率，关键在于找到关于基本量之间的等量关系式，再利用离心率的定义，通过解方程而求得；再建立关系式的过程中，一定要充分注意椭圆定义的应用．
7．设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，，△的内心为I，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，|MF1|+|MF2|=4，而|F1F2|=2，
设圆与MF1、MF2，分别切于点A，B，根据切线长定理就有|F1F2|=|F1A|+|F2B|=2，
所以|MI|cosθ=|MA|=|MB|= ，故选A．
考点：椭圆的定义，椭圆的几何性质，圆的切线长定理。
点评：小综合题，将椭圆的基础知识与圆的知识综合考查，难度不大，注意结合图形特征，寻求解题途径。
8．（2020·湖北高二期中（理））已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点， 为的内心，若，则该椭圆的离心率是
A． B． C． D．
【答案】A
分析：首先根据三角形面积的关系，确定出三角形的三边的关系，结合椭圆的定义，得到，再根据椭圆的离心率的公式求得结果.
【解析】设的内切圆的半径为，根据题意可得，，根据三角形的面积公式，可以求得，整理得，即，故选A.
点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题的条件，结合焦点三角形的特征，求得对应的离心率的大小.
9．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为上一点，若为的内心，且，则的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据为的内心，且得，即，再依次讨论选项即可得答案.
【详解】解：因为为的内心，设内切圆的半径为，所以，
因为，所以，所以，
根据椭圆的定义得：，即.对于A选项，，不满足，故错误；
对于B选项，，不满足，故错误；对于C选项，，不满足，故错误；对于D选项，，满足，故正确.故选：D.
【点睛】本题考查利用椭圆的性质求解椭圆的方程，解题的核心是通过面积关系和椭圆的定义得到，考查分析解决问题的能力，是中档题.
10．（2020·浙江高三月考）已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．与大小不确定
【答案】B
【分析】作出图示，根据的特点分别表示出，，即可判断出的大小关系.
【详解】因为，所以的轨迹是椭圆在第一象限内的部分，如图所示：
因为是的内心，设内切圆的半径为，
所以，所以，所以，
又因为是的重心，所以，
所以，所以，故选：B.
【点睛】本题考查椭圆的定义，其中涉及到三角形的内心和重心问题，对学生分析图形中关系的能力要求较高，难度一般.
11、（2020届绵阳中学二诊模拟12题）设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线,垂足为若的内切圆与轴切于点,且,则C的离心率为
解析：因为F到渐近线的距离为，所以，
则△FOH的内切圆的半径为，
设△FOH的内切圆与FH切于点M，则
由，得，即
即得,由于 解得
12、（2019年成外高三一诊模拟11题）已知双曲线的左、右焦点分别F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的率心率，则
A.|OB|=e|OA| B.|OA|=e|OB| C.|OB|=|OA| D.|OA|与|OB|关系不确定
解析：F1（-c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A
∵|PF1|-|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，
|AF1|-|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，
则|（x+c）-（c-x）|=2a ∴x=a； |OA|=a，
在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，
∴在三角形F1CF2中，有：
OB=CF1=（PF1-PC）=（PF1-PF2）=×2a=a． ∴|OB|=|OA|．故选C．
13、(2019年衡水金卷（一）11题)点P是双曲线的上支上的一点，F1，F2分别为双曲线的上、下焦点，则△PF1F2的内切圆圆心M的坐标一定适合的方程是（ ）
A．y=-3 B．y=3 C．x2+y2=5 D．y=3x2-2
解析：∵双曲线方程为 ∴
设△PF1F2的内切圆分别与PF1、 PF2切于点A、 B ,与F1F2切于点C
则|PA|=|PB| , |FB|=|FC|, |F2A|=|F2C|，
又∵点P在双曲线上支上, ∴|PF2|-|PF1|=2a=6，
即( |F2A|+|PA|)- ( |F1B|+|PB|) =6 ,
化简得|F2A|-|FB|=6 ,即|F2C|-|F1C|=6 ,
而|F1C|+|F2C|=2c=10 ,
设C点坐标为(0,λ) ,由|F2C|-F1C|=6可得(λ+5)-(5-λ) =6，解之得λ=3 ,得C的坐标为(0, 3 )
∵圆M与F1F2切于点C , ∴CM⊥y轴,可得CM所在直线方程为y=3
14、(2018年湖南师大附中高三模拟12题)已知点P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且|F1F2|=，I为三角形PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立，则λ的值为（ ）
A． B． C． D．
解析：设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，
S△IPF1 =|PF1|•r，S△IPF2=|PF2|•r，S△IF1F2=•2c•r=cr，
由题意得：|PF1|•r=|PF2|•r+λcr，故λ=
∵|F1F2|=，∴
∴ ∴
15、如图，已知双曲线（，）的左右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，△的内切圆在边上的切点为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】如下图所示，设与的内切圆相切于，
则，所以，
所以，所以
，所以，即，
由可得，所以该双曲线的离心率，故应选．
16、已知点为双曲线 右支上一点，分别为左右焦点，若双曲线的离心率为，的内切圆圆心为，半径为2，若，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．6
【解析】点为双曲线右支上一点,
分别为左右焦点,的内切圆圆心为,半径为2 ,
因为，所以，
可得，即，
双曲线的离心率为，可得,则，故选C.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率以及双曲线的几何性质，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
17、（2018山东省潍坊市三模11题）点是双曲线右支上一点，分别为左、右焦点.的内切圆与轴相切于点.若点为线段中点，则双曲线离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【解析】设的内切圆圆心为 ，边 上的切点分别为
易见 横坐标相等，则
由即 得 即，记的横坐标为，则，于是 ，得
由点为线段中点，知.
故选B.
点睛：（1）解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等；
（2）在双曲线中，焦点三角形的内切圆圆心与轴的切点为.
18、如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，是轴正半轴上一点，交椭圆于A，若，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，直角三角形的内切圆半径r，
∵|F1F2|，∴10，∴2|AF1||AF2|＝4，
∴14，∴|AF1|+|AF2|＝2a，
∵|F1F2|，∴椭圆的离心率是e．故选：B．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19、（2020年湖北省高三联考改编）过双曲线（）右焦点的直线交两渐近线于、两点，若， 为坐标原点，且内切圆半径为，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【解析】因为，所以双曲线的渐近线如图所示，
设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，
由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得，又，所以，
，所以，
所以，得. .故选：A.
【点睛】本题考查双曲线的性质，考查逻辑思维能力，正确作出图形是解题的关键，属于中档题.
20、（福建省漳州市模拟）已知双曲线C：的左右焦点为，为双曲线C右支上异于顶点的一点，的内切圆与轴切于点，且与点关于直线对称，则双曲线方程为 ．
【解析】设点A（1，0），因为的内切圆与轴切于点（1，0），
则，所以，则．
因为P与点F1关于直线对称，所以且，
联立且解得．
所以双曲线方程为．
21、（2020年浙江省新高考名校联考10题）已知椭圆的左、右焦点分别是，过点作圆的一条切线，切点为，延长交椭圆于点，且，双曲线的左、右焦点分别为是右支上一点，与轴交于点，的内切圆与的切点为，若，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接，在椭圆中，
∵是圆的切线，是切点，∴，．
∵， ∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，又，∴ ①．
在双曲线中，，
由题意知，上式可变为，
由三角形内切圆的性质得，∴，则 ②．
联立①②并解得，∴双曲线的方程为，故选:D．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，三角形内切圆的知识，考查数形结合思想及运算求解能力．
22．点M为椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的内心轨迹方程为____________.
【答案】
【分析】设的内心为，连接交轴于点，由内角平分线性质定理得到，设，再由焦半径公式及内角平分线定理得到，则，然后利用向量关系把的坐标用的坐标表示出来，代入椭圆方程求解.
【详解】如图，设的内心为，连接交轴于点，连接
在中是的角平分线.根据内角平分线性质定理得到.
同理可得.所以，根据等比定理得：
在椭圆中，所以设，则
同理
又，则，可得 所有
由，得，
所以，代入椭圆方程.得，由，则.
所以的内心轨迹方程为： 故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式，内角平分线定理的应用，属于难题.
23．设为椭圆:的两个焦点．为上点，的内心I的纵坐标为，则的余弦值为_____.
【答案】0
【分析】因为的内心I的纵坐标为，所以可知道的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，可得到三角形的面积，接着根据焦点三角形的面积确定，进而求出答案.
【详解】如图，
由题意知的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，
即，
又由焦点三角形的面积，
所以，所以，所以.
【点睛】本题主要考查通过焦点三角形的面积公式，确定的余弦值，熟悉公式的运用是解决本题的关键.
24．设，为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上一点，若的重心和内心的连线与轴垂直，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设的重心和内心分别为，则．设，根据双曲线的定义和圆的切线的性质可得，于是，，所以．然后由点在双曲线上可得，于是可得离心率．
【详解】画出图形如图所示，
设的重心和内心分别为，且圆与的三边分别切于点，由切线的性质可得．不妨设点在第一象限内，
∵是的重心，为的中点，∴，∴点坐标为．
由双曲线的定义可得，
又，∴，∴为双曲线的右顶点．
又是的内心，∴．设点的坐标为，则．
由题意得轴，∴，故，∴点坐标为．
∵点在双曲线上，∴，整理得，
∴．故选A．
【点睛】本题综合考查双曲线的性质和平面几何图形的性质，解题的关键是根据重心、内心的特征及几何图形的性质得到点的坐标，考查转化和计算能力，难度较大．
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