高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理随堂练习题

二项式定理二项式系数的性质  (精练）

A学业基础

一、单选题

1．（山东省日照市2021-2022学年高二上学期期末校际联合考试数学试题）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【详解】

因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.

故选：B

2．（2022·福建宁德·高二期末）已知，若，则自然数（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【详解】

令，得，

令，得，

所以，.

故选：B.

3．（2022·山东济南·高三期末）的展开式中，的系数为（    ）

A．40 B． C．80 D．

【答案】D

【详解】

因为的展开式为

令，所以的系数为.

故选：D.

4．（2022·上海市杨浦高级中学高二期末）的二项展开式中，二项式系数最大的项是第（    ）项.

A．6 B．5 C．4和6 D．5和7

【答案】A

【详解】

因为二项式展开式一共11项，其中中间项的二项式系数最大，

易知当r＝5时，最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第6项.

故选：A

5．（2022·江苏常州·高三期末）已知，则系数中最小的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

展开式第项，

为奇数时，；为偶数时，．AB排除

，．

故选：C

6．（2022·河北·石家庄二中高二期末）若，则（    ）

A．22 B．19

C．－20 D．－19

【答案】C

【详解】

由题意得

所以.

故选：C

7．（2022·广东佛山·高三期末）的展开式中，的系数为（    ）

A．80 B．40 C． D．

【答案】D

【详解】

的展开式中含的项为，

的展开式中含的项为，

所以的展开式中，的系数为，

故选：D

8．（2021·广西玉林·模拟预测（理））二项式的展开式中的项的系数为（    ）

A．240 B．80 C． D．

【答案】C

【详解】

因为二项式的展开式为：，

所以的展开式中含的项为，

则的系数为，

故选：C.

二、填空题

9．（2022·上海·高考真题）在的展开式中，含项的系数为________

【答案】

【详解】

展开式的通项为，

令，可得，因此，展开式中含项的系数为.

故答案为：.

10．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））若的展开式中的系数是，则实数a的值是___________.

【答案】

【详解】

二项式展开式中含的项为，

则，解得，

故答案为：-2

11．（2021·江苏江苏·高三）设，这是有关一种恒等式即对于任意所有成立，则值是_____．

【答案】

【详解】

当时，①

当时，②

①+②得

.

故答案为：.

12．（2022·广东湛江·高三阶段练习）在的展开式中，的系数是___________（用数字作答）.

【答案】240

【详解】

的展开式的通项为：，

当，即时，展开式x的系数为：.

当显然不成立；

故答案为：240

三、解答题

13．（2022·福建宁德·高二期末）在二项式的展开式中，______．给出下列条件：

①若展开式前三项的二项式系数的和等于37；

②若展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7：2；

③所有偶数项的二项式系数的和为128．

试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：

（1）求展开式中x的系数；

（2）写出展开式中二项式系数最大的项（不需要说明理由）．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】

（1）

（2）

（1）

解：因为展开式中第项的二项式系数为，

若选①，则，即，即，即．解得或（舍去）

若选②：则，解得；

若选③：则，解得；

综上可得即为则展开式的通项为，令解得，所以，故展开式中的系数为；

（2）

解：因为展开式中一共含有项，故第5项二项式系数最大，，即展开式中二项式系数最大的项为；

14．（2022·江西上饶·高二期末（理））在二项式展开式中，第3项和第4项的二项式系数比为.

（1）求的值及展开式中的常数项；

（2）求展开式中系数最大的项是第几项.

【答案】

（1），常数项为

（2）5

（1）

二项式展开式的通项公式为，

因为第3项和第4项的二项式系数比为，

所以，化简得，解得，

所以，令，得，

所以常数项为

（2）

设展开式中系数最大的项是第项，则，

，解得，

因为，所以，

所以展开式中系数最大的项是第5项

B应考能力

15．（2021·广西·模拟预测（理））的展开式中的系数为（    ）

A．72 B．60 C．48 D．36

【答案】A

【详解】

的展开式的通项为.

令，得，令，得，舍去；

令，得.

所以的展开式中的系数为，

故选:A.

16．（2021·河南·鹤壁高中高三阶段练习（理））设，则当n=2021时，a除以15所得余数为（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】A

【详解】

∵(3＋1)n＝4n，

∴a＝4n﹣1，

当时，，

而，

故此时除以15的余数为3.

故选：A.

17．（2021·河北·大名县第一中学高三阶段练习）若，则（    ）

A．2 B．0 C． D．

【答案】C

【详解】

由题意得，

∴

.

∵

，

∴.

故选：C.

18．（2021·福建·莆田第二十五中学高三阶段练习）若，则（    ）

A．56 B．448 C． D．

【答案】D

【详解】

由题意，

通项

令可得

故选：D

C新素养 新题型

19．(多选)（2021·福建·莆田第二十五中学高三期中）对任意实数，有.则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【详解】

对任意实数，有 ，

令，可得，故A错误；

所以，故B正确；

令，可得，故C正确；

令，可得，故D正确.

故选：BCD.

20．(多选)（2022·全国·高三专题练习）若，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【详解】

令，，所以A正确；

五项相同的因式相乘，要得到含的项，可以是五个因式中，一个取其他四个因式取2，或两个因式取其他三个因式取2，所以，所以B不正确；

令，则，

所以，所以C不正确；

展开式所有项系数和为，

令，得，

所以，所以D正确.

故选：AD．

21．(多选)（2021·河北·石家庄市第一中学东校区高二期末）对于任意实数，有，则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【详解】

由，其展开式通项公式为，

A：当时，，故，正确；

B：当时，，故，错误；

C：由，则，故当时，，又，则，正确；

D：当时，，正确.

故选：ACD

22．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则___________.___________.

【答案】       

【分析】

令可得：可得的值，求出的项的系数可得的值，即可求解.

【详解】

因为，

令可得：，解得：，

所以展开式中的项为，所以，

故答案为：；.