专题20 直线与圆锥曲线的位置关系-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

专题20  直线与圆锥曲线的位置关系

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．互相垂直的直线,(不与坐标轴垂直)过抛物线：的焦点，且分别与抛物线交于点,,,，记,的中点分别为,，则线段的中点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【解析】由题意，抛物线：的焦点，

设直线,的方程分别为和，

,,,，

联立得，,，

联立得，,，

,，，

即，即，

的轨迹方程为，故选：A.

2．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（  ）

A． B．

C． D．

【解析】由题设，则线段的中点为，

由三角形重心的性质知，即，解得：

即代入直线，得①.

又B为线段的中点，则，

又为椭圆上两点，，

以上两式相减得，

所以，化简得②

由①②及，解得：，即离心率. 故选：C.

3．已知双曲线，点在双曲线上，点在直线上，的倾斜角，且，双曲线在点处的切线与平行，则的面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【解析】由题意，不妨设在第一象限，

则双曲线在点处的切线方程为，所以，即

又因为，所以联立可得，

所以点到直线的距离，

因为，所以，

所以．

令，则，因为，所以，所以，

可得，

当且仅当，即时，面积取得最大值．故选：D.

4．已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与在第一象限的交点为，直线与交于另一点．若的面积为，则的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【解析】设双曲线的右准线与轴的交点为，则，

设直线与轴正方向的夹角为，

由双曲线的第二定义可得，

，，

，

即，由，①②，

可得整理，③

由①可得，即，④

将④代入③，整理可得，即.故选：D

5．已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，点在第一象限，，为坐标原点，则当四边形的面积取得最小值时，直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【解析】设，，且，易知，

设直线，由，得，

所以，，

.

令，，则，

易知是上的增函数，

且，所以在上为减函数，在上为增函数，所以当时，四边形的面积取得最小值，此时，，直线的方程是.故选：A

6．已知､分别为椭圆：的左､右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【解析】由已知得、，设椭圆上动点，

则利用两点连线的斜率公式可知，，

设直线方程为：，则直线方程为：，根据对称性设，

令得，，即，，则

设与的外接圆的半径分别为，，

由正弦定理得：，，

又，

，

当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为，故选：A

7．已知椭圆:的下顶点为，点是上异于点的一点，若直线与以为圆心的圆相切于点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【解析】

由题意可知，，设，则点满足，

∴.∵，∴，∴，

∴.∵直线与圆相切于点，∴，

∴，即，

将代入上式可得，解得或（舍），

∴，，∴，

，.

又∵，∴，故选：B.

8．已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于，的动点，直线，分别与轴交于点，，则（    ）

A．16 B．9 C．4 D．3

【解析】设动点，，由双曲线方程可得，，

则，，所以直线的方程为，

直线的方程为，由此可得，，

所以.

因为动点在双曲线上，所以，

所以，则.故选：.

9．已知点为抛物线的焦点，若过点的直线交抛物线于、两点，交抛物线的准线于点，且，，则（    ）

A．2 B．1 C．0 D．

【解析】的焦点为，设，，

直线方程为，，

联立方程，整理得，

则，，，

由，，，

，得，，

，，．

10．双曲线上有两点、，为坐标原点，为双曲线焦点，满足，当、在双曲线上运动时，使得恒成立，则离心率取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【解析】设，直线:，

因为，即，

联立，整理得，

，，

，代入得，

所以，整理得，

即由到直线:的距离，

所以距离为一个定值，又，

又，即，

所以，

又，所以，

又，所以，故选：A

11．设A，B分别是双曲线的左右顶点，设过的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的于S，T两点，且，则的面积(     )

A． B． C． D．

【解析】双曲线的左右顶点为，，，

可得直线PA的方程为，PB的方程为，

联立可得，解得或，

代入可得，即有，

联立可得，解得或，

代入，可得，即，

设，由M，N，Q三点共线，可得，即有，

将M，N的坐标代入化简可得，

解得，即，设过Q的直线方程为，

联立双曲线方程，可得，

设，，可得，，

恒成立，

，可得，代入韦达定理可得，

解得，可得

．故选A．

12．过点斜率为正的直线交椭圆于，两点.，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，.则外接圆半径的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【解析】

如图，

先固定直线AB，设，则，其中为定值，

故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑的阿波罗尼斯圆的情况，BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，如图：

接下来寻求半径的表达式，由，

解得，同理，当时有，，

综上，；

当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为，则；

当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，即，

与椭圆方程联立可得，

设，，则由根与系数的关系有，，

，

注意到与异号，故，

设，则，，

当，即，此时，故，

又，综上外接圆半径的最小值为.故选：D．

二．填空题

13．已知抛物线，点，过作抛物线的两条切线，其中为切点，直线与轴交于点则的取值范围是_________．

【解析】设切点，由抛物线，

∴切线，同理切线，

又点是两条切线的交点，所以.

所以直线的方程为，即.

此直线恒过，则.

，消去，得，∴，

∴.，即，

令，则，即，解得，

，即.故答案为：.

14．已知为抛物线：的焦点，过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，过与中点的直线与曲线交于点，则的取值范围是______.

【解析】因为为抛物线：的焦点，

,抛物线,①，

过点且斜率为的直线:,②，

①②联立消去并整理得,

，,

,③，③与①联立消去，,

解得,,

因为分别以OM,ON为底边，高为C,B到直线OM的距离，由于M为BC的中点，所以高相等，=,。

15．已知椭圆的顶点是，，若过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点（异于点），直线与交于点，则__________.

【解析】由题可知椭圆焦点在y轴上，且，，

椭圆方程为， 可知当直线l斜率不存在时，不符合题意，

设直线l的方程为，由于异于点，，则可得，

设，联立直线与椭圆，可得，

，，

直线AC的方程为，直线BD的方程为，

联立直线AC和BD方程可得，

，与异号，

，

 又，

所以与异号，则与同号，

所以，解得，故，

则.

16．已知椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于点两点，（均异于点），若直线的斜率分别为，则的最小值为______________.

【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为，

求得,又,

，，此时；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立椭圆方程得，

在椭圆内，则显然，

设，则，，

，

，

则，

当且仅当，即时等号成立，综上，的最小值为4.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于两点，(点为坐标原点)的面积为2.

（1）求抛物线的方程；

（2）若过点的两直线，的倾斜角互补，直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，与的面积相等，求实数的取值范围.

【解析】（1）因为焦点，所以点的坐标分别为，.

所以，故.故抛物线的方程为.

（2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线.

点，.联立方程可得，消去，可得.

则.因为，

所以，

焦点到直线的距离，

所以.

设直线，与抛物线方程联立可得，

将用替换，可得

由可得，

即，两边平方并化简可得，

所以，解得.

又由且得或，可知，

所以，即，所以，

所以实数的取值范围是.

18．设O为坐标原点，已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P为直线上一点，是底角为的等腰三角形.

（1）求椭圆E的离心率；

（2）若，设不与x轴重合的直线l过椭圆E的右焦点，与椭圆E相交于A､B两点，与圆相交于C､两点，求的取值范围.

【解析】设直线与x轴交于点Q，由是底角为的等腰三角形， ，，在直角中，，，，

利用余弦定义可知，解得：

所以椭圆的离心率为；

（2）由（1）知，，且，则，故，

所以椭圆的方程为：

设不与轴重合的直线的方程为：，设点

联立，化简整理得

其中，，

利用弦长公式可得：

设圆的圆心O到直线的距离为d，则

利用圆的弦长公式可得：

所以

，，

，

所以的取值范围是．

19．已知点，圆：，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若直线：与圆：相切，并与轨迹交于不同的两点，，且，求面积的最大值.

【解析】（1）由圆的方程可知：圆心，半径，

由题意可知：，

动点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，

设：， 则，，即，，

，动点的轨迹的方程为：.

（2），则圆的圆心到的距离，则

联立与得：，

，则，

设、，则，，

，

又，，，

又，，

，解得：，

，

令，，则，

，在上恒增，，

，即面积的最大值.

20．已知抛物线及轴上一点，过点的直线l与抛物线交于两点.

（1）若直线的倾斜角为，且|，求点的横坐标的取值范围；

（2）设，若对给定的点的值与直线位置无关，此时的点称为拋物线的“平衡点”，问抛物线的“平衡点”是否存在？若存在，求出所在“平衡点”坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）设的点的坐标为由题意：直线的方程为：，

代入抛物线得：由得：，

所以

解得所以的取值范围是

（2）设的点的坐标为则直线的方程为：联立.

化为由对称性，不妨设

（i）时，因为所以同号，

所以，

所以，

不论取何值，均与有关，即时，不是“平衡点"

（ii）时，因为，所以异号，

所以

所以

所以仅当时，即时，与无关，所以所求的“平衡点”为

因此仅有焦点一个“平衡点".

21．椭圆的离心率，在上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为短轴端点，过作直线交椭圆于两点(异于)，直线交于点.求证：点恒在一定直线上.

【解析】（1）因为点在C上，所以，

又，，所以，，

故所求椭圆C的方程为.

（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为.

设，，(，).

，

，，且有.

(，)

，

，

故

，故点T恒在一定直线上.

22．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，点在轴上方，当轴时，（为坐标原点）.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）设直线交直线于点，直线交直线于点，则是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【解析】（1）当轴时，点的横坐标代入椭圆的方程，

可得点的纵坐标，由题意知，，，

又当轴时，，，得，且，，

∴椭圆的标准方程为.

（2）为定值，且定值为，理由如下：

由（1）得，，，设，，，

直线的方程为，联立方程可得整理得，

则，，

由，，三点共线可得，①

，，，②

由①②得③

由，，三点共线可得④

由③④可得，

分别将，代入，得

，

将，代入并整理，可得，

，设，同理可得，

由，，三点共线可得，⑤

由③⑤得，，

为定值.