专题18 圆锥曲线中的定点问题-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

专题18  圆锥曲线中的定点问题

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．点是抛物线上一点，斜率为的直线交抛物线于点，，且，设直线，的斜率分别为，，则（    ）

A． B． C．直线过点 D．直线过点

2．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，则点的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

3．已知直线与抛物线交于不同的两点，，直线，的斜率分别为，，且，则直线恒过定点（    ）

A． B． C． D．

4．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为(　　)

A．(0，1) B．(0，2)

C．(2，0) D．(1，0)

5．直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，若直线，的斜率，满足，则一定过点（ ）

A． B． C．D,

6．已知抛物线的焦点为是抛物线上异于坐标原点的任意一点，过点的直线交轴的正半轴于点，且同在一个以为圆心的圆上，另有直线，且与抛物线相切于点，则直线经过的定点的坐标是（   ）

A． B． C． D．

7．已知点在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点（    ）

A． B． C． D．

8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（    ）

A． B． C． D．

9．已知抛物线，过点引抛物线的两条弦、，分别交抛物线于两点，且，则直线恒过定点坐标为（    ）

A． B． C． D．

10．抛物线内接（为坐标原点）的斜边过定点（    ）.

A． B． C． D．

11．已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（    ）

A． B． C． D．

12．定义：若点在椭圆上，则以为切点的切线方程为：.已知椭圆，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点（    ）

A． B． C． D．

二．填空题

13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”，“股”，“弦”，且“勾＋股=弦”设直线交抛物线于两点，若恰好是的“勾”"股”(为坐标原点)，则此直线恒过定点__________．

14．已知抛物线（）和动直线（，）交于两点，，直角坐标系原点为O，记直线的斜率分别为，，且恒成立，则当k变化时直线l恒经过的定点为_______________.

15．已知抛物线的焦点为，是上一点，且，设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交于点则直线过定点，定点坐标为__________.

16．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线相交于、两点，若以线段为直径的圆过定点，则______．

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知椭圆：，直线l：过椭圆的左焦点F，与椭圆在第一象限交于点M，三角形的面积为，A、B分别为椭圆的上下顶点，P、Q是椭圆上的两个不同的动点

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线的斜率为，直线的斜率为，若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；否则说明理由.

18．已知椭圆经过点，且离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知斜率存在的直线l与椭圆相交于A，B两点，点总满足，证明：直线l过定点.

19．设椭圆，为原点，点是轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两个不同点、，已知关于轴的对称点为，关于原点的对称点为，若、满足，求证：直线经过定点．

20．已知椭圆：.左焦点，点在椭圆外部，点为椭圆上一动点，且的周长最大值为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点､为椭圆上关于原点对称的两个点，为左顶点，若直线､分别与轴交于､两点，试判断以为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.

21．已知椭圆与双曲线有两个相同的顶点，且的焦点到其渐近线的距离恰好为的短半轴的长度．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得平分？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．已知动点P到点的距离与到直线的距离之比为.

（1）求动点的轨迹的标准方程；

（2）过点的直线l交于M，N两点，已知点，直线BM，BN分别交x轴于点E，F.试问在轴上是否存在一点G，使得？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.