专题16 圆锥曲线中的面积问题-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

专题16  圆锥曲线中的面积问题

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线相交于、两点，线段的中点为，垂直平分线与轴相交于点，则与的面积的比值为（    ）

A． B． C． D．

【解析】如图所示：垂直于准线于，作于.

直线斜率为，故，故，，

故，故，故，

.故选：.

2．分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上一动点，关于直线的对称点为关于直线的对称点为N，则当|MN|最大时，为（    ）

A．2 B． C． D．

【解析】由，得，，则，

，连接，，，

当，，共线时，最大，此时，，

由，得，

在△中，由余弦定理可得：，

，即．

．故选：．

3．坐标原点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.若点，则 面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．1

【解析】直线方程为，代入椭圆方程得，，

设，则

，

点到直线的距离为，

所以（），

记，则，

当时，递增，当时，，递减，

所以时，取得唯一的极大值也是最大值．即△MAN面积的最大值为．

故选：A．

4．已知平面内的一个动点P到直线l：x＝的距离与到定点F（，0）的距离之比为，点，设动点P的轨迹为曲线C，过原点O且斜率为k（k＜0）的直线l与曲线C交于M、N两点，则△MAN面积的最大值为（    ）

A． B．2 C． D．1

【解析】设动点到l的距离为d, 由题意得，所以，

化简整理得曲线C的方程为，

若直线l存在斜率，设其方程为，设直线l与曲线C的交点，

将代入曲线中得，，

所以，

又点A到直线l的距离，故的面积，

所以，

（1）当时，，则；

（2）当时，，则；

（3）当时，（当且仅当，即取等号），则；

若直线l不存在斜率， MN=2. 于是的面积，

综上得：的面积的最大值为.故选：A.

5．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，且满足，设的面积为，以，为直径的圆的面积分别为，，则的最小值为（　  　）

A． B． C． D．

【解析】设直线的方程为，根据题意可知，

联立直线和椭圆方程消去，可得：，

，可得，

根据韦达定理：，

由，化简可得，

可得，，，m2＜2，

设到直线距离为，根据点到直线距离公式可得：

则，

由，

，

当且仅当时取等号，这时的最小值为；故选：C．

6．已知双曲线的方程为，其左右焦点分别为，，已知点的坐标为，双曲线上的点满足，则三角形与三角形面积之差为（    ）

A．2 B．1 C． D．4

【解析】如图所示：，，故，.

，则，故关于对称的点在上，设为.

.

在中，根据余弦定理：，

得到：，故.

.故选：.

7．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【解析】不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，

因为，，

所以，

当且仅当，即当时，等号成立，

此时最大，此时的外接圆面积取最小值，

点的坐标为，代入可得，．

所以双曲线的方程为．故选：

8．在平面直角坐标系中，已知抛物线，点是 的准线 上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，则面积的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【解析】设,因为，

则过点的切线均过点，则，即是方程的两根，

则，设直线的方程为，联立，

得，则，即，则，

即的面积的最小值为2；故选B.

9．设是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点在C的左支上，且，则的面积为（    ）

A．8 B． C．4 D．

【解析】由，

不妨设，，

所以，所以点在以为直径的圆上，

即是以为直角顶点的直角三角形，

故，即．又，

所以，

解得：，所以．故选：A

10．在平面直角坐标系中，有定点，，动点满足，记动点的轨迹为，过且斜率为的直线与交于，两点，若，则面积的值为（    ）

A． B． C． D．

【解析】设点，则，，，

故根据得：，整理得：

故过且斜率为的直线方程为：，

设，

曲线与直线联立方程：得：，，

故，，

所以

即：，

所以，即：，解得：

所以，

故过且斜率为的直线方程为：，

所以点到直线的距离为：，

所以面积为.故选：B.

11．已知抛物线的焦点为，过抛物线上两点，分别向抛物线的准线作垂线，垂足为，，且，当直线经过点且点到抛物线准线的距离为4时，直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【解析】因为点到抛物线准线的距离为4，所以，所以，

设抛物线的准线与轴交于点，因为，

所以，

因为，，，

所以，则，

显然直线的斜率存在，不妨设为，则，

与抛物线联立可得：，从而，

所以，解得.故选：B

12．过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【解析】设，，由题意可得直线AB的斜率不为0,

因为直线AB过焦点，所以设直线AB的方程；

联立得，所以，

由抛物线的性质可得过点，的抛物线的切线方程为：

，

联立得，，即.

点到直线的距离，

，当且仅当时取到最小值.故选：C.

二．填空题

13．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，若点，且，则直线的斜率为__________．

【解析】设直线的斜率为，则直线；联立，消去得，，则，，故，；

设直线的倾斜角为，则，故，

故；令，

解得．

14．已知椭圆的短轴长为8，上顶点为A，左顶点为，分别是椭圆的左､右焦点，且的面积为4，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为___________.

【解析】由已知得，故，

∵的面积为，∴，∴，

又，故，

∴，， ∴，

又而，即，

∴当时，最大，为；

当或时，最小，为，即，

∴，即.

即的取值范围为.

15．在抛物线上任取一点(不为原点)，为抛物线的焦点，连接并延长交抛物线于另一点过分别作准线的垂线，垂足分别为记线段的中点为则面积的最小值为______．

【解析】焦点为，设直线方程为，

由

取的中点为，连接，则，，，

，故时面积最小为.

16．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线左支上的点，的周长是9，动点在双曲线的右支上，则面积的取值范围是________.

【解析】∵是双曲线左支上的点，∴.

∵的周长是9，∴.

∵，∴，.

设，则，

解得，.

根据双曲线的对称性，不妨取，则，

∴，∴直线的方程为.

∵直线与渐近线平行，

∴双曲线的右支上任意一点到直线的距离都大于两平行线间的距离，即都大于，

∴.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知抛物线：的焦点为，过点且垂直于轴的直线交抛物线于､两点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线过点且与抛物线交于两点，点在抛物线上，点在轴上，，直线交轴于点，且点在点的右侧，记的面积为，的面积为，求的最小值.

【解析】（1）由已知可得：焦点，

将代入抛物线的方程，可得：，则，解得：，

抛物线的方程为；

（2）设，，，，

令，则，直线过点，直线的方程为，

将其与联立并消去得：，

由根与系数的关系得：，即，，

，为的重心，

，，

，则，

，

，，

则直线的方程为，令得：，即，

点在点的右侧，，即，

，

令，则，

，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.

18．如图所示，､分别是椭圆：()的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆的另一交点为，过作直线的垂线，与圆交于､两点，求四边形面积的最大值.

【解析】（1）当最大时，点与椭圆的上顶点或下顶点重合，

设，则①，

②，

由①②得，，于是，

∴椭圆的标准方程是；

（2）当直线的斜率不存在时，，，

则四边形的面积是，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，､，

将与联立并消去，整理得，

恒成立，则，，

则，

由于直线与直线垂直，且经过点，∴直线的方程为，

∴点到直线的距离为，∴，

则四边形的面积：

，

由于，∴，

于是(当时取得最大值)，

综上可知，四边形面积的最大值为.

19．如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，，，线段（为坐标原点）交椭圆于点，在线段上（不包括端点），连接并延长，交椭圆于另一点，连接并延长，交椭圆于另一点，连接，．记，分别为和的面积．

（1）求的值；

（2）求的最大值．

【解析】（1）因为，所以直线的方程为，

将直线的方程与椭圆的方程联立，可得

解得或

又由题意得点位于第一象限，所以．

因此．

（2）由题意易知直线的斜率一定存在且大于1，故设直线的方程为（），

即，

联立方程，得化简得，

由得，

即，得，故．

设，，则

易知，连接，所以直线的斜率，直线的斜率，

所以

．①

因为点在直线上，所以，又，

所以直线的斜率，直线的斜率，

所以．②

又，③

则由①②③可得，即．

设（），则．

又，所以

又点到直线的距离，

所以．

因此，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值是．

20．已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆的左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，过点作直线的垂线，为垂足．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）①已知直线过定点，求定点的坐标；②点为坐标原点，求面积的最大值．

【解析】（1）由题意得：，解得：，，.

故椭圆的标准方程为 .

（2）①由（1）知：，

设直线方程：，，，，，

联立方程得：，

，，，

又，直线方程为：，

令，则，

直线过定点.

②由①中知：，

又，

所以，

令，，则

令，在单调递减，当时，，

即面积的最大值为.

21．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，以椭圆的短轴为直径的圆过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于，两点，且，求四边形面积的取值范围．

【解析】（1）由题意知，，，又，解得，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）设四边形面积为，则，

①当轴时，，，所以，

②当轴时，，，所以，

③当和都不与轴垂直时，直线斜率存在且不为0，

设，，直线斜率为，则直线斜率为，

，联立方程，消去得：

，

，

，，

所以，（*）

过做直线的平行线和椭圆交于点，，

由对称性知，

在（*）中把换成，得，

所以，

所以，

令，则，所以，

令，则，所以，

因为，所以．

综上所述：四边形面积取值范围是．

22．已知椭圆的一个焦点和抛物线的焦点相同，且椭圆过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于，两点，以，为邻边作平行四边形，点在椭圆上，问平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出结果，若不是，说明理由.

【解析】（1）抛物线的焦点坐标为.

由题意：椭圆的一个焦点坐标为，所以另一个焦点是，.

根据椭圆的定义有所以，

所以所以椭圆.

（2）设，，，，

②代入①整理得，，

，

，，

因为是平行四边形所以，，所以，

，

因为在椭圆上，代入得，

整理得：， 到距离为，

所以，

，

所以平行四边形的面积为定值.