专题22 坐标系与参数方程-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

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专题22  坐标系与参数方程一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知为圆上任一点，其坐标均使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】设圆上任一点P的坐标为，即，，则，即，又因为，所以得到：，则.故选:C.2．设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是（    ）A． B． C． D．2【解析】设，，则有当且仅当时取最小值，即，此时，，的最小值是，故选：D.3．已知为等边三角形，动点在以为直径的圆上，若，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【解析】设的边长为2，不妨以线段的中点为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、，以线段直径的圆的方程为，设点，则，，，由于，则，解得，所以，，因此，的最大值为，故选:C.4．非负实数，满足，的最大值为（    ）A． B．1 C． D．【解析】因为，所以设，则，因为，，故取，所以，因为，所以，所以，所以值域为.故选：B.5．已知圆的方程为，点是圆上的任一点，则不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ）A． B． C． D．【解析】令，，，，令，则，，令，当时，，因为不等式恒成立，所以，即，解得：，所以实数的取值范围为.故选：C6．已知腰长为2的等腰直角ΔABC中，M为斜边AB的中点，点P为该平面内一动点，若，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【解析】以为轴建立平面直角坐标系，则，设，则，，，，∵，∴，设，则，∴，，∴时，取得最小值。故选：C。7．，是：上两个动点，且，，到直线：的距离分别为，，则的最大值是（   ）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】由题设,其中.可以由题得
 ≤5，此时.故选C8．已知点为椭圆上第一象限上的任意一点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与交于点，直线与轴交于点，则的值为（   ）A． B． C． D．【解析】设的坐标为 由 则直线的方程为 令时，则 即 则直线的方程为 令，则 即 故选B9．在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝4上三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）构成正三角形ABC，那么（    ）A．0 B．2 C．3 D．6【解析】因为三角形ABC为正三角形，所以设，，故，故选：D10．已知在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，直线(为参数).若曲线的参数方程为(为参数)，曲线上点的极角为，为曲线上的动点，求的中点到直线距离的最大值为（    ）A．2 B． C． D．【解析】将代入得，即点的极坐标为，所以其直角坐标为，即，又曲线的参数方程为，为曲线上的动点，所以可设，因此的中点的坐标为，由消去参数可得：，因此点到直线距离为：，因为，所以.故选：D.11．设，为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，正方向到正方向的角度为，那么对于任意的点，在下的坐标为，那么它在坐标系下的坐标可以表示为：，.根据以上知识求得椭圆的离心率为（   ）A． B． C． D．【解析】，，，，则，故，可化为，方程表示为椭圆，，化简得：，代入方程得：，，，故，故选12．已知点是单位圆上的动点，点是直线上的动点，定义，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【解析】过作轴，轴的垂线，垂足及其他交点如图所示，则，，由于直线的斜率是，当都在第一象限时，①取x1＝x2∈[0，1]时等号成立，则y1＝，y2＝6﹣2x2＝6﹣2x1，则|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝，令x1＝cos（∈[0，]），则|y1﹣y2|＝6﹣2cos﹣sin＝6﹣（+）≥6﹣；②取y1＝y2∈[0，1] 时等号成立，则x1＝，x2＝3﹣＝3﹣.则|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|x1﹣x2|＝，令y1＝sin（∈[0，]），则|x1﹣x2|＝3﹣﹣cos＝3﹣sin（+）≥3.当中至少有一个点不在第一象限时，明显的取值会比都在第一象限时大，综上可得：|x1﹣x2|+|y1﹣y2|的最小值是3.故选：A.二．填空题13．正方形中，点在以为圆心且与直线相切的圆上运动，若（其中，），则的取值范围是______.【解析】设正方形ABCD的边长为2，以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x,y轴建立如下图所示平面直角坐标系，则点、、、，直线的方程为，即，点到直线的距离为，则以点为圆心且与直线相切的圆的方程为，设点的坐标为，由，得，，所以，，所以的取值范围是.14．已知，当ab取得最小值时，曲线上的点到直线的距离的取值范围是________【解析】由题有,因为,故,当且仅当时取,因为,解得.故曲线方程为.故方程为： ,画出图像有故为双曲线与的渐近线方程.易得曲线上的点到直线的距离.最大值时设椭圆上的点.此时 ,当时取最大值为.点到直线的距离的取值范围是15．已知圆，圆，直线分别过圆心，且与圆相交于两点，与圆相交于两点，点是椭圆上任意一点，则的最小值为___________；【解析】由题意可设：，，则，，同理可得：当时，16．若，则的最小值为___________.【解析】设，，所以，所以，其中满足，所以，所以，所以，即，所以，所以的最小值为.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为．（1）求半圆的参数方程和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴交于点，与轴交于点，点在半圆上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，的面积为，求的值．【解析】（1）半圆的参数方程为（其中为参数，），直线的直角坐标方程为.（2）由题意可知，可设，其中所以点到直线的距离为：,又，.三角形的面积.，又，.18．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的极坐标方程；（2）射线，和曲线分别交于点，，与直线分别交于，两点，求四边形的面积.【解析】（1）曲线的参数方程为，为参数），转换为直角坐标方程为.曲线的直角坐标方程为，根据，整理得，即.（2）射线，和曲线分别交于点，，与直线分别交于，两点，如图所示：所以直线的直角坐标方程为，直线的直线方程为，所以，解得，设直线与轴交于点，将代入，得，即.所以.同理：，解得：，所以，所以.19．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为为参数，曲线上的点的极坐标分别为．（1）过O作线段的垂线，垂足为H，求点H的轨迹的直角坐标方程；（2）求两点间的距离的取值范围．【解析】（1）因为曲线的参数方程为所以曲线的普通方程为． 因为曲线上的点的极坐标分别为，所以点的直角坐标分别为， 代入曲线的方程得，所以，所以两个式子相加得． 由题意可知，所以，所以点H的轨迹是圆， 所以点H的轨迹的方程为． （2）两点间的距离为，设，则， 令函数， 所以，所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 又，所以函数的最大值为13，最小值为， 所以两点间的距离的取值范围是．20．平面直角坐标系中，已知F为椭圆的右焦点，且，过F作两条互相垂直的直线交椭圆分别于A、B与C、D，以F为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求椭圆的极坐标方程与的代数表达式；（2）求的取值范围.【解析】由已知，（1）设，，，以右焦点F为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为，即，其中．设，则，所以，，即，（2）由（1）得，因为，所以且，解得．记，，，当时，，是增函数，所以．即．21．如图，椭圆的两条弦，满足，记直线与直线交于P点.（1）求的最大值；（2）若P点在抛物线上，求四边形面积的最大值.【解析】（1）设，则，则，则，，当取时取到等号，所以的最大值为6；（2）经过坐标变换可得到上图，则新的抛物线解析式， 记四边形面积得面积为，由，取的中点H，作，设，设，则，且，则.由于，则在内，有，得.设，则，且，得，故，记，由于，则的最大值在时取到，此时.22．已知点（）为平面直角坐标系中的点，点S为线段AB的中点，当变化时，点S形成轨迹．（1）求S点的轨迹的方程；（2）若点M的坐标为，是否存在直线交S点的轨迹于P、Q两点，且使点为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设,因为点为的中点，则（），消去得到点的轨迹方程为； （5分）（2）假设存在直线交椭圆于，两点，设，因为为△的垂心，点，故．于是设直线的方程为，由得．由，得， 且,．由题意应有，又，故，得,即,整理得,解得或．经检验，当时，△不存在，故舍去,当时，满足，所求直线存在，的方程为．