专题08分段函数及其应用B辑-2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

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2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）专题08分段函数及其应用B辑1．已知函数 若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C解：由题意得：设，易得，可得，与x轴的交点为，①    当，由不等式对任意上恒成立，可得临界值时，相切，此时，，可得，可得切线斜率为2，，，可得切点坐标（3，3），可得切线方程：，切线与x轴的交点为,可得此时，，综合函数图像可得；②    同理，当，由相切，（1）当，，可得，可得切线斜率为-2，，，可得切点坐标（1，3），可得切线方程，可得，综合函数图像可得，（2）当，，相切，可得，此时可得可得切线斜率为-2，，，可得切点坐标,可得切线方程：，可得切线与x轴的交点为，可得此时，，综合函数图像可得，综上所述可得，故选C.2．已知函数与函数有相同的对称中心，若有最大值，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C因为的对称中心为（0，1），则由平移知识可得，.如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，可以判断是函数的极大值点，由图象知当时，有最大值是或；当时，由，因此无最大值，∴所求的取值范围是.3．定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）A． B．C． D．【答案】B因为当时，不等式恒成立，所以，当时， 当时，，当时， ，因此当时，，选B.4．已知函数若关于的方程都有4个不同的根，则的取值范围是(   )A． B． C． D．【答案】C都有4个不同的根，等价于的图象有四个交点，因为，所以，若，则，则；若，则，则；若，则，则；若，则，则；若，则，则；，作出的图象如图，求得，则，由图可知，时，的图象有四个交点，此时，关于的方程有4个不同的根，所以，的取值范围是，故选C .5．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数有零点即有解，即，由题意可知，当时，，当时，，所以当时，，此时的取值范围为；当时，，此时的取值范围为，时，；当时，，此时的取值范围为，时，；当时，，此时的取值范围为，所以当时，有两解，即当时函数有两个零点，因为函数是定义在上的偶函数，所以当时，也有两解，所以函数共有四个零点，故选B。6．已知函数（，且）在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】D由函数的解析式可知函数在区间上单调递增，当时，函数单调递减，由复合函数的单调性法则可知：，且函数在处满足：，解得：，故，方程恰有两个不相等的实数解，则函数与函数的图像有且仅有两个不同的交点，绘制函数的图像如图中虚线所示，令可得：，由可知，，则直线与函数的图像在区间上存在唯一的交点，原问题转化为函数与二次函数在区间上存在唯一的交点，很明显当，即时满足题意，当直线与二次函数相切时，设切点坐标为，亦即，由函数的解析式可得：，故：，则，切点坐标为，从而：，即.据此可得：的取值范围是.故选D.7．已知函数若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A,当且仅当时，，方程有且仅有两个不同的整数解等价于，有两个不同的整数解，即图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标为整数，画出的图象，如图，，由图象可知，当时，即时，图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标0，为整数，所以的取值范围是，故选A.8．已知函数定义在上的函数满足：，当，，则与的大小关系为（   ）A． B．C． D．不能确定【答案】A【解析】由，知函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以函数为偶函数.由，得函数的周期为4.又 ， ，而，，且，所以.故选A.9．设函数，若，则的取值范围是（　）A． B． C． D．【答案】D解：分析题意，可知：∵a为对数的底数，∴a只能取a＞1和0＜a＜1两个范围．又由题意∀x∈R，f（x）＞2，而当0＜a＜1时，f（x）在x≥1时单调递减趋向﹣∞．∴0＜a＜1不满足题意，舍去．∴只有a＞1的情况合适．当a＞1时，函数f（x）在x≥1时的表达式loga（x+3）在x≥1上单调递增，且在x＝1时取最小值f（1）＝loga4＝2loga2．由题意，∀x∈R，f（x）＞2，∴必须有2loga2＞2，即：a＜2．而在x＜1上，∵a＜2．∴f（x）＝（a﹣3）x+3a是递减的一次函数．此时在x趋向于1时，f（x）＝（a﹣3）x+3a趋向于最小值4a﹣3．∴4a﹣3≥2，解得：综上所述，可得：．故选D．10．已知函数， 若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是（      ）A． B． C． D．【答案】A有且只有三个不相等的实数根，等价于与图象有三个交点，画出与图象如图，与相切时，过时，，根据图象可知，时，两图象有三个交点，若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是，故选A.11．已知函数，又函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（   ）A． B．C． D．【答案】A设, 则，画出函数的图象，如图，由图可知，当时，的图象有3个交点，又3个根；当时，的图象有1个交点，有1个根；所以要使函数有个不同的零点，则函数有两个零点：一个零点，另一个零点，因为因为,抛物线开口向上，抛物线开口向上，所以，由函数的图象可得,即,解得，实数的取值范围是，故选A.12．已知函数，又函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（   ）A． B．C． D．【答案】A因为当，所以在 时为单调递减函数当 ，令解得    ，所以在 时为单调递增函数   ，所以在 时为单调递减函数，且所以当时，在时取得最大值为有四个零点，则令，则有两个不等式实数根，一个在 ，一个在令因为所以只需即可满足有两个不等式实数根，一个在 ，一个在即解不等式得 所以t的取值范围为所以选A13．定义在R上的奇函数，当时，则关于x的函数的所有零点之和为（    ）A． B．0 C． D．【答案】A因为当时，，即时，，当时，，当时，，画出时，的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示：则直线与的图象有5个交点，则方程共有5个实根，最左边两根之和为，最右边两根之和为，因为时，，所以，又，所以，所以中间的一个根满足，即，解得，所以所有根的和为，故选A.14．已知函数数列满足：，且是单调递增函数，则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】C因为且是单调递增数列，所以根据指数函数的单调性可得，根据一次函数的单调性可得，由分段函数的单调性结合数列的单调性可得，，综合三种情况解得. 故选C.15．若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得.故选B.16．已知函数，设，若中有且仅有4个元素，则满足条件的整数的个数为　　A．31 B．32 C．33 D．34【答案】D因为，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可，画出的函数图象如图所示，当时，；当时，，即轴左侧的图象在下面，轴右侧的图象在上面，，，，，平移，由图可知，当时， ,符合题意； 时， ,符合题意；时， ,符合题意；时， ,符合题意整数的值为及，共个，故选D.17．若函数（其中是自然对数的底数），且函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（     ）A． B． C． D．【答案】D由，可得，作出函数的图象，而表示过原点且斜率为的直线，由图可知，当时，与有两个不同的交点，满足题意；过原点作的切线，设切点为，因为，所以切线方程为，将代入，得，此时切线的斜率为，也即当时，与相切，由图可知，当时，与有两个不同的交点，满足题意；综上可知，实数的取值范围是．答案选D18．已知函数，则对任意，若，下列不等式成立的是（   ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意及解析式画分段函数图形：有图可以知道该函数图形关于轴对称是偶函数，，且在为单调递增函数，又对任意，若必有，由于为偶函数，等价于与，即，故选D.19．已知函数（且），若函数的图象上有且仅有两个点关于轴对称，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】关于轴对称函数为，时，与的图象有且仅有一个交点，函数的图象上有且仅有两个点关于轴对称，符合题意，当时，要使与的图象有且仅有一个交点，则，综上所述，的取值范围是,，故选D.20．已知函数 ，则函数的零点个数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得：或，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在处有极小值，绘制函数的图象如图所示，观察可得，函数的零点个数为3.本题选择B选项.21．已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（    ）A． B． C． D．【答案】C由题意知即的图象关于点对称，函数的周期为2，则函数，在区间上的图象如图所示：由图形可知函数，在区间上的交点为，易知点的横坐标为-3，若设的横坐标为，则点的横坐标为-，所以方程在区间上的所有实数根之和为 ．
故选C.22．定义函数，若存在实数使得方程无实数根，则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】存在实数使得方程无实数根，等价于值域不为，当时，时，， 时，，值域为，不合题意，排除；当时，时，，时，，值域为，不合题意，排除；当时，时，，时，，值域不为，合题意，排除，故选C.23．设函数.若曲线与函数的图象有4个不同的公共点,则实数的取值范围是（  ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由有，显然，在同一坐标系中分别作出直线和函数的图象，当直线与相切时，求出，当直线与相切时，求得，所以，又当直线经过点时，，此时与有两个交点，一共还是4个交点，符合． ，综上，，选A.    24．已知函数（是自然对数底数），方程有四个实数根，则的取值范围为（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数，当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=-ex-xex=-ex（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（-1，0）时，f′（x）=-ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）在（-∞，0）上有一个最大值为f（-1）= -（-1）e-1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内，一个根在（ ，+∞）内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，
则只需g（ ）＜0，即（）2+t+1＜0，解得：t＜．
所以，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（-∞，）．选B.25．设函数，，若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围为（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，当时，，则，所以，所以，当时，，则，所以，所以，综上可得实数的取值范围是，故选D．26．已知函数满足条件：对于，且，存在唯一的且，使得.当成立时，（  ）A． B． C． D．【答案】A【解析】若对于，存在唯一的，使得，所以在和上单调，则，且，由得，即，即，则，故选D.27．已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：，   则的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】,由二次函数的对称性可得   由 可得，函数有四个不同的零点，等价于的图象与的图象有四个不同的交点，画出的图象与的图象，由图可得，∴∴= 令   ， ∴，故选B.28．定义在上的函数满足，当时，，函数.若对任意，存在，不等式成立，则实数的取值范围是（  ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得函数在[0,1]上的值域为，函数在[1,上是减函数，在上是增函数，所以函数在上的值域为.所以函数在的值域为∪.因为定义在上的函数满足，所以函数在的值域为∪.所以函数在的值域为∪.所以函数f(x)在的最小值为-12.∵函数g（x）=x3+3x2+m，∴=3x2+6x，令3x2+6x＞0，所以x＞0或x＜﹣2，令3x2+6x＜0，所以﹣2＜x＜0，∴函数g（x）=x3+3x2+m，在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）单调递增．在（﹣2，0）单调递减，∴∃t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，∴﹣12≥m﹣16，故实数满足m≤4，故答案为A29．已知函数，.设为实数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（   ）A． B． C． D．【答案】B当时，，∵，∴，∴．当时，单调递增，∴．综上可得．若存在实数，使得成立，则，即，整理得，解得．∴实数的取值范围为．故选B．30．已知函数，关于的方程恰好有三个不同的实数解，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由分段函数画出函数y=f(x)的图像，如下图f(1)=0.5,所以当时，有三个解．由的韦达定理可知，，所以，，令函数，，且，在上单调递减，所以所以在区间上单调递增，，所以，选B.