一轮大题专练1—导数（恒成立问题1））-2022届高三数学一轮复习

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（1）当时，，求的取值范围；
（2）证明：当时，．
解：（1）当时，，即，即，
设，则，
当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，
（1），则．
实数的取值范围为，；
（2）证明：，
，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
令，则，
易知在单调递增，在单调递减，
，
又两个等号不同时成立，故当时，．
2．已知函数（其中，为的导数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围．
解：（1），则，
又，
函数在处的切线方程为；
（2）令，则，
，
在，上单增，
①当时，，
为增函数，则恒成立，符合题意；
②当时，由在，上单增，且，，
故存在唯一，使得，则当时，，单减，，此时与矛盾，不合题意．
综上所述，实数的取值范围为，．
3．已知函数．
（Ⅰ）当时，试判断函数的单调性；
（Ⅱ）当时，若对任意的，，恒成立，求的取值范围．
解：（Ⅰ）时，，的定义域是，
，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增；
（Ⅱ）恒成立，即，
，，，
故当时，对任意，，恒成立，
令，则，
令，则，
，，，函数在，上单调递增，
显然（1），故当时，，当时，，
故函数在，递减，在递增，
故（1），故，故的取值范围是．
4．已知函数，，．
（1）若，证明：；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）证明：若，则，即证，只需证，
设，则，，
显然在，上恒成立，
在，上单增，
，
在，上单增，
，
，即得证；
（2）令，
依题意，对任意，，恒成立，则，解得，
又在，上恒成立，显然成立，
在上恒成立，即，解得，
故；
下面证明：当时，在，上恒成立，
令，
则，
，（a），
（a）在，上单减，则，
由（1）知，，
故，当且仅当时，取等号，
故在，上恒成立，
综上，实数的取值范围为，．
5．已知函数，．
（Ⅰ）当时，求证：在上单调递增；
（Ⅱ）当时，，求的取值范围．
解：（Ⅰ）证明：当时，，，
则，又在上单调递增，且，且（1），
，，使得，
当时，，当，时，，
在上单调递减，在，上单调递增，
，
，
，，
，
在上单调递增；
（Ⅱ）当时，，问题等价于（记为在，上恒成立，
令，
，
（1），要使式在，上恒成立，则必须（1），，
下面证明当时，在，上恒成立．
，，，
又，
，
当时，在，上单调递增，
（1），即式在，上恒成立，
故的取值范围为，．日期：2021/5/21 12:43:07；用户：尹丽娜；邮箱：3603210371@zz.cm；学号：19839377
6．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．
解：（1）的定义域是，
，
当时，在上恒成立，故在上单调递增；分
当时，令，得，在，上有，在，上有，
在，上是减函数，在，上是增函数分
（2）当时，，即
令，则，
若，由（1）知，当时，在上是增函数，
故有，即，得，
故有．（由（1）可判断，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题）
（当且仅当，即，且时取等号）．
函数在，单调递增，，式成立．分
②若，令．
则，当且仅当时等号成立．
在区间，上单调递增，
，，
，使得，则当时，，即，
函数在区间上单调递减，
，即，式不恒成立．
综上所述，实数的范围是，分