2022年陕西省西安市莲湖区九年级中考第一次模拟数学试题（word版含答案）

九年级教学质量检测

数  学

注意事项：

1．满分120分，答题时间为120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1．下列各数中，比-1小的数是（    ）

A．-4  B．0  C．-1  D．1

2．如图，该几何体的主视图是（    ）

A．B．C．D．

3．下列式子中，与相等的是（    ）

A．  B．  C．  D．

4．某商店连续7天销售口罩的盒数分别为9，11，13，12，11，11，10．关于这组数据，以下结论错误的是（    ）

A．众数是11  B．平均数是11  C．中位数是12  D．方差是

5．点P的坐标为，A是x轴正半轴上一点，O为原点，则的值为（    ）

A．3  B．  C．  D．

6．如图，直线，一块含45°角的直角三角板的直角顶点恰好在直线a上，若，则∠2的度数是（    ）

A．50°  B．60°  C．70°  D．80°

7．若点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．或

8．已知抛物线，其顶点为D，若点D到x轴的距离为3，则m的值为（    ）

A．0或  B．  C．  D．或

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．计算：______．

10．分解因式：______．

11．我国古代数学著作《算法统宗》中有一道题，大意如下：一支竿子一条索子，索子比竿子长一托（托为我国古代长度计量单位），对折索子来量竿，却比竿子短一托．问：索子与竿子分别长多少托？若设索子长x托，竿子长y托，则可列方程组为______．

12．如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为______．

13．如图，等边△ABC的边长为6，三角形内部有一个半径为1的，若含与△ABC边相切的情况，则点P可移动的最大范围（最大面积）是______．

三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）

14．（本题满分5分）计算：．

15．（本题满分5分）解不等式组：

16．（本题满分5分）解方程：．

17．（本题满分5分）如图所示的是以O为圆心的圆，上有一点A，请用尺规作图法，求作的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（本题满分5分）如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，且，．求证：．

19．（本题满分5分）香香猪肉铺10月五花肉售价约30元/千克，后受市场供需关系影响，五花肉价格逐月上涨，12月五花肉售价约为36.3元/千克，若在此期间五花肉价格每月增长率相同．

（1）求此期间五花肉价格月增长率．

（2）11月某天小刚妈妈用99元在香香猪肉铺买了一些五花肉包饺子，请问她买了多少五花肉？

20．（本题满分5分）2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为、，另一张正面印有雪容融图案的卡片记为B，将三张卡片正面向下洗匀，冬冬同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．

（1）从这三张卡片中随机挑选一张，是“雪容融”的概率是______．

（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，求冬冬同学两次抽出的卡片都是冰墩墩卡片的概率．

21．（本题满分6分）如图，某海轮在港口A处观测到在其北偏东50°有一灯塔P，海轮早上8：00从港口A出发沿北偏东70°的方向航行，11：00到达B处，此时观测到灯塔P在其正西方向，若港口A与灯塔P的距离为40海里，求海轮的航行速度．（结果精确到1海里/时；参考数据：，，）

22．（本题满分7分）为落实《教育部办公厅关于加强义务教育学校作业管理的通知》，进一步减轻中小学生的课业负担，规定中学生每天家庭作业时间少于1.5小时（90分钟），为符合作业管理要求，某校对该校七年级学生一周（7天）“家庭作业时间”（单位：小时）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表，请根据表中的信息回答下列问题．

（1）统计表中m的值为______，n的值为______．

（2）小丽同学说：“我的周家庭作业时间是此次抽样调查所得数据的中位数．”请直接写出小丽同学的周家庭作业时间在哪个范围内．

（3）已知该校七年级学生有700人，试估计该校七年级学生每周“家庭作业时间”符合作业管理要求的人数．

23．（本题满分7分）涛涛同学骑共享单车保持匀速从家到博学书店买书，选好书付好款后，以相同的速度原路骑共享单车返回家中．设涛涛同学距离家的路程为，运动时间为，y与x之间的函数图象如图所示．

（1）______．

（2）在涛涛同学从书店返回家的过程中，求y与x之间的函数关系式．

（3）在涛涛从家里出发的同时，小波同学以60m/min的速度从博学书店匀速步行去涛涛家，当小波同学与涛涛同学在路上相遇时，直接写出涛涛同学的运动时间．

24．（本题满分8分）如图，AB是的直径，点C在上（不与点A，B重合），连接AC，BC过点C作的切线交AB的延长线于点P，过点O作交BC于点D，交PC于点E．

（1）求证：．

（2）若，，求DE的长．

25．（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴分别交于A、B两点，且点A在点B的左侧．

（1）求出点A、B的坐标．

（2）记抛物线的顶点为C，连接AC，BC，当△ABC为等腰直角三角形时，在抛物线上是否存在一点D，使得？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（本题满分10分）问题提出

（1）如图1，在△ABC中，D为BC上一点，且满足，则△ABC形状为______．（请填写序号：①钝角三角形；②直角三角形；③锐角三角形）

问题探究

（2）如图2，四边形ABCD为的内接四边形，，，连接AC、BD，若，则对角线AC的长度为多少？

问题解决

（3）如图3，在四边形ABCD中，，，，以C为圆心，CB长为半径画，M为上的一动点，过点M作，，连接EF．已知，探究：线段EF是否存在最小长度？若存在，请求出EF的最小长度；若不存在，请说明理由．

九年级教学质量检测

数学参考答案

1．A 2．D 3．D 4．C 5．B 6．C 7．B 

8．A

提示：抛物线，故抛物线C的顶点为．

∵点D到x轴的距离为3，

∴．

当时，此方程无解；

当时，解得，．

综上所述，m的值为0或．

9．7 10．  11．  12．

13． 提示：如图，当与△ABC的边相切时，圆心P可移动的范围为，

根据题意可知，即，，，且三边到△ABC三边的距离相等．

过点作，过点作，有，进而有．同理可得，，∴．

∴．

14．解：原式

．

15．解：

解不等式①，得，

解不等式②，得．

所以不等式组的解集为．

16．解：整理，得，

方程两边同时乘以，得，

去括号，得，

移项、合并同类项，得，

系数化为1，得．

检验：当时，，

∴是原方程的解．

17．解：正方形ABCD即为所求，

18．证明：∵，∴．

在△ABC和△BED中，

．

19．解：（1）设五花肉价格月增长率为x，

，解得（舍去），，

答：五花肉价格月增长率为10%．

（2）（元），

（千克），

答：小刚妈妈买了3千克五花肉．

20．解：（1）．

（2）列表如下：

如上表所示，共有9种等可能的结果，冬冬两次抽出的卡片都是冰墩墩卡片的结果有4个，

∴．

21．解：如图，过点P作于点C．

根据题意，在△ABP中，，

∴（海里）．

在Rt△APC中，∵，∴（海里），

∴（海里），

∴海轮的航行速度为（海里/时）．

∴海轮的航行速度约为25海里/时．

22．解：（1）35；0.25．

（2）（单位：小时）．

（3）∵，∴（人）．

答：该校七年级学生每周“家庭作业时间”符合作业管理要求的约为420人．

23．解：（1）14．

（2）设y与x之间的函数关系式为，

将与代入，得，解得，

∴y与x之间的函数关系式为：．

（3）或20min．

24．解：（1）证明：如图，连接OC．

∵AB是的直径，∴，

∴．

∵PC是的切线，∴，

∴．

∵，∴，∴．

∵，∴，∴．

（2）∵，，∴．

∵，∴，∴．

∵，∴．

∵，∴，∴，

∴，∴．

25．（解）：（1）由可得，点A的坐标为，点B的坐标为．

（2）点D的坐标为，．

提示：根据（1）可知，且C为抛物线的顶点，如图，过点C作，则．

∵当△ABC为等腰直角三角形时，，

∴点H的坐标为．

∴，故点C的坐标为．

将点代入中，得，

∴抛物线表达式为．

当时，则有，设点D的坐标为，

过点D作x轴的垂线，进而有，当时，此方程无解；

当时，解得，．

∴点D的坐标为，．

26．解：（1）②．

（2）如图1，连接OB，OD，过点O作．

∵，则AC为的直径，

∴．

又由，可得，

∴在等腰△OBD中，，，

∴，

∴．

（3）如图2，连接AM，取AM的中点O，连接OE，OF．

根据题意可知△AEM与△AFM均为直角三角形，

∴，故A、E、M、F四点在上，故．

由（2）可知，即要使EF最小，只需AM最小即可．

连接AC，MC，AC与的交点为，根据题意可知点M在上，且所对的圆心为C，故．

由，，可知,

∴当点M在点时，满足AM最小，进而可知EF最小．

连接BD，由，可知△BCD为等边三角形，故，即,

∴，，即．

在Rt△ACD中，,

∴，

∴．