专题02 不等式的恒成立与能成立-2021-2022学年高一数学培优辅导（人教A版必修第一册）

这是一份专题02 不等式的恒成立与能成立-2021-2022学年高一数学培优辅导（人教A版必修第一册），共4页。
不等式恒成立、能成立问题通常利用分离变量转化为求函数的最值．
对于任意,（）恒成立（）；
对于任意,（）恒成立（）.
3. 对于存在,（）能成立（）；
对于存在,（）能成立（）.
【典型例题】
例1 设函数fk(x)＝2x＋(k－1)·2－x(x∈R，k∈Z)．设不等式f0(x)＋mf1(x)≤4的解集为A，若A∩[1,2]≠∅，求实数m的取值范围.
【答案】eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,4)))
【分析】代入得2x－2－x＋m·2x≤4，分离参数m≤eq \f(2－x－2x＋4,2x)，A∩[1,2]≠∅意即“存在x∈[1,2]，上不等式能成立”，故应等价转化为其最大值≥m，考虑用换元法求出其最大值即可.
【解析】等式f0(x)＋mf1(x)≤4，即为2x－2－x＋m·2x≤4，
所以m≤eq \f(2－x－2x＋4,2x)，即m≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x)))2＋4·eq \f(1,2x)－1.
令t＝eq \f(1,2x)，x∈[1,2]，则t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))，
设h(t)＝t2＋4t－1，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))，
则h(t)max＝heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(5,4).
由A∩[1,2]≠∅，即不等式f0(x)＋mf1(x)≤4在[1,2]上有解，则需m≤h(t)max，即m≤eq \f(5,4).
所以实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,4))).
例2 已知函数f(x)＝2x＋2－x,若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
【答案】4
【分析】分离参数，直接转化为最值问题，使用换元法或基本不等式求最值.
【解析】由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.
因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)＞0，
所以m≤eq \f(fx2＋4,fx)对于x∈R恒成立．
而eq \f(fx2＋4,fx)＝f(x)＋eq \f(4,fx)≥2 eq \r(fx·\f(4,fx))＝4，且eq \f(f02＋4,f0)＝4，
所以m≤4，故实数m的最大值为4.
例3 若对于，不等式都成立，则的取值范围是_________.
【答案】
【分析】此题难度并不大，但学生受定式思维的影响，习惯上将视为变量而走入死胡同.事实上，要“变更主元”，“求谁谁是参数，已知谁谁是元”，设，其是关于的一次函数，欲使对于，恒成立，只需其最小值大于0，故只需其端点值都大于0即可.
【解析】设，其是关于的一次函数，
欲使对于，恒成立，
只需，即，解之得或
所以的取值范围是.
【巩固练习】
1. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是_________.
2.已知函数f(x)＝a－eq \f(1,|x|)，若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
3. 已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，则x的取值范围是________．
3. 若二次函数f(x)＝x2－x＋1，若在区间[－1，1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．
4.已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，若f(x)恒为正值，则k的取值范围是________．
5.设函数f(x)＝x2＋ax＋3．
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
(3)设不等式f(x)≥a对于满足1≤a≤3的一切a的取值都成立，求x的取值范围．
【答案与提示】
1.【答案】
【解析】对不等式分离参数得：
设（），则
令，则
函数在区间单减，故，
所以，即实数的取值范围是.
2.【答案】 (－∞，3]．
3. 【答案】(－2， EQ \F(2,3))．
【提示】易知函数f(x)是R上的单增的奇函数，由f(mx－2)＋f(x)＜0得(mx－2)＋x＜0，“变更主元”，设g(m)= (mx－2)＋x为关于“m”的一次函数，则g(－2) ＜0且g(2) ＜0.
3. 【答案】(－∞，－1)
【解析】f(x)＞2x＋m等价于x2－x＋1＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1＞0得，m＜－1．
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
4.【答案】(－∞，－1＋2eq \r(2))
5.【答案】(1)－6≤a≤2； (2) －7≤a≤2； (3) x≤－3或x≥0．
(2)【提示】思路1：(利用二次函数的图象)
注：此方法可改进，由f(2)≥a，f(－2)≥a得－7≤a≤ EQ \F(7,3)．对称轴x＝－ EQ \F(a,2)∈[－ EQ \F(7,6)， EQ \F(7,2)]，可少讨论一种情况．
思路2：(求函数的最值)
注：此方法可改进，由f(2)≥a，f(－2)≥a得－7≤a≤ EQ \F(7,3)，再进行分类讨论．
思路3：(变量分离后，再求函数的最值)．