2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义13《恒成立问题》（教师版）

2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义13

《恒成立问题》

一         、选择题

1.设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A.<　         B.>        C.a2>2b           D.a>b2

【答案解析】答案为：D；

解析：[A错，例如a=2，b=－时，=，=－2，此时，>；

B错，例如a=2，b=时，=，=2，此时，<；

C错，例如a=，b=时，a2=，2b=，此时a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2，故D正确.]

2.设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）

A．cos（A+B）=cosC                                                                                    B．sin（A+B）=sinC

C．tan（A+B）=tanC                                                                                    D．sin=sin

【答案解析】B

3. “不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)

A.m>         B.0<m<1        C.m>0           D.m>1

【答案解析】答案为：C；

解析：从Δ入手 ，Δ<0即可

4.命题“对任意实数x∈[1,2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是(　　)

A．a≥4         B．a≤4         C．a≥3         D．a≤3

【答案解析】答案为：C；

解析：即由“对任意实数x∈[1,2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”可推出选项，

但由选项推不出“对任意实数x∈[1,2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”．

因为x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，x2－a≤0恒成立，即x2≤a，因此a≥4；

反之亦然．故选C.

5.若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A.(0，＋∞)     B.[－1，＋∞)     C.[－1，1]      D.[0，＋∞)

【答案解析】答案为：B；

解析：当x=0时，不等式1≥0恒成立，

当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－(x+)，

又－(x+)≤－2，当且仅当x=1时，取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，

所以实数a的取值范围为[－1，＋∞).

6.已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则有(　　)

A.m≤－3　       B.m≥－3     C.－3≤m＜0　       D.m≥－4

【答案解析】答案为：A

解析：∵x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，令f(x)=x2－4x，x∈(0,1]，

f(x)图象的对称轴为直线x=2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，

∴当x=1时f(x)取到最小值为－3，∴实数m应满足m≤－3，故选A.

7.若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为(　　)

A.(－3,1)   B.(－∞，－3)∪(1，＋∞)     C.∅    D.(0,1)

【答案解析】答案为：B

解析：x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，所以Δ=4a2－4a＜0，所以0＜a＜1，

所以函数y=ax是减函数，由at2＋2t－3＜1可得t2＋2t－3＞0，

解得t＜－3或t＞1，故选B.

8.若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是(　　)

A.(－∞，7]       B.(－∞，－20]      C.(－∞，0]     D.[－12,7]

【答案解析】答案为：B

解析：令f(x)=x3－3x2－9x＋2，则f ′(x)=3x2－6x－9，

令f ′(x)=0得x=－1或x=3(舍去).

∵f(－1)=7, f(－2)=0, f(2)=－20，

∴f(x)的最小值为f(2)=－20，故m≤－20.

9.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是(　　)

A.(－2,0)∪(2，＋∞)　

B.(－2,0)∪(0,2)

C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D.(－∞，－2)∪(0,2)

【答案解析】答案为：D

解析：∵当x>0时，[]’′<0，

∴φ(x)=在(0，＋∞)为减函数，

又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)在R上单调递增.

∵f(2)=0，∴在(0,2)内恒有f(x)>0；在(2，＋∞)内恒有f(x)<0.

故在(－∞，－2)内恒有f(x)>0；在(－2,0)内恒有f(x)<0.

故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2).

10.当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.[－5，－3]     B.   C.[－6，－2]     D.[－4，－3]

【答案解析】答案为：C.

解析：当x∈(0,1]时，a≥－3()3－4()2＋，令t=，

则t∈[1，＋∞)，a≥－3t3－4t2＋t，令g(t)=－3t3－4t2＋t，

在t∈[1，＋∞)上，g′(t)<0，g(t)单调递减，所以g(t)max=g(1)=－6，因此a≥－6；

同理，当x∈[－2,0)时，得a≤－2.由以上两种情况得－6≤a≤－2，

显然当x=0时也成立，故实数a的取值范围为[－6，－2].

11.若不等式(m＋1)x2-(m-1)x＋3(m-1)<0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)    B．(-∞，-1)    C．(-∞，-)     D．(-∞，-)∪(1，＋∞)

【答案解析】答案为：C；

解析：

①当m=-1时，不等式化为2x-6<0，即x<3，显然不对任意实数x恒成立．

②当m≠-1时，由题意得所以m<-．故选C．

12.若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　 　)

A.(－∞，0)  B.(－∞，4]   C.(0，＋∞)  D.[4，＋∞)

【答案解析】答案为：B.

解析：2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)=2lnx＋x＋(x>0)，

则h′(x)=.

当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，

所以h(x)min=h(1)=4.所以a≤h(x)min=4.

二         、填空题

13.下面四个命题：

①∀x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；

②∃x0∈Q，x=2；

③∃x0∈R，x＋1=0；

④∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.

其中真命题的个数为________.

【答案解析】答案为：0

解析：x2－3x＋2＞0，Δ=(－3)2－4×2＞0，所以当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，所以①为假命题.当且仅当x=±时，x2=2，所以不存在x∈Q，使得x2=2，所以②为假命题.对∀x∈R，x2＋1≠0，所以③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)=x2－2x＋1=(x－1)2≥0，即当x=1时，4x2=2x－1＋3x2成立，所以④为假命题.所以①②③④均为假命题.

14.命题“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，则实数m的取值范围是________.

【答案解析】答案为：[0,12)

解析：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论.

当m=0时，1>0恒成立，所以m=0满足题意；

当m>0时，且Δ=m2－12m<0，即0<m<12时，3mx2＋mx＋1>0恒成立，

所以0<m<12满足题意；当m<0时，3mx2＋mx＋1>0不恒成立.

综上知0≤m<12.

15.不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为________．

【答案解析】答案为：e；

解析：(1)不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，即为f(x)=ex－kx≥0恒成立，即有f(x)min≥0，

由f(x)的导数为f′(x)=ex－k，

当k≤0时，ex＞0，可得f′(x)＞0恒成立，f(x)递增，无最值；

当k＞0时，x＞ln k时f′(x)＞0，f(x)递增；x＜ln k时f′(x)＜0，f(x)递减．

即在x=ln k处取得最小值，且为k－kln k，

由k－kln k≥0，解得k≤e，即k的最大值为e.

16.当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m取值范围是      .

【答案解析】答案为：(－1,2)；

解析：原不等式变形为m2－m＜(0.5)x，

因为函数y=(0.5)x在(－∞，－1]上是减函数，所以(0.5)x≥(0.5)－1=2，

当x∈(－∞，－1]时，m2－m＜(0.5)x恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.

三         、解答题

17.已知函数，x∈[].

(1)求f(x)的最大值和最小值；

(2)若不等式f(x)－m<2在x∈[]上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案解析】解析：

18.设函数f(x)=x3－x2＋6x－a.

(1)对于任意实数x, f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；

(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求a的取值范围.

【答案解析】解：(1)f′(x)=3x2－9x＋6=3(x－1)(x－2)，

由题意可知当x∈(－∞，＋∞)时，f′(x)≥m恒成立，

即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，

所以Δ=81－12(6－m)≤0，解得m≤－，

即m的最大值为－.

(2)因为当x<1时，f′(x)>0；当1<x<2时，f′(x)<0；

当x>2时，f′(x)>0，

所以当x=1时，f(x)取极大值f(1)=－a；

当x=2时，f(x)取极小值f(2)=2－a.

故当f(2)>0或f(1)<0时，f(x)=0仅有一个实根，

解得a<2或a>.

19.已知f(x)=2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5).

(1)求f(x)的解析式；

(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围.

【答案解析】解：(1)∵f(x)=2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，

∴0和5是方程2x2＋bx＋c=0的两个根，由根与系数的关系知，－=5，=0，

∴b=－10，c=0，f(x)=2x2－10x.

(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x2－10x＋t－2≤0恒成立，

∴2x2－10x＋t－2的最大值小于或等于0.

设g(x)=2x2－10x＋t－2，

则由二次函数的图象可知g(x)=2x2－10x＋t－2在区间[－1,1]上为减函数，

∴g(x)max=g(－1)=10＋t，

∴10＋t≤0，即t≤－10.

∴t的取值范围为(－∞，－10].

20.设函数f(x)=(2k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．

(1)求k的值；

(2)若f(1)=－，不等式f(3x－t)＋f(－2x＋1)≥0对x∈[－1，1]恒成立，求实数t的最小值．

【答案解析】解：

(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(0)=2k－1－1=0，解得k=1．

(2)由(1)知f(x)=ax－a－x，因为f(1)=－，

所以a－=－，解得a=或a=－(舍去)，故f(x)=x－x，

则易知函数y=f(x)是R上的减函数，

∵f(3x－t)＋f(－2x＋1)≥0，∴f(3x－t)≥f(2x－1)，

∴3x－t≤2x－1，∴t≥x＋1，

即t≥x＋1在[－1，1]上恒成立，则t≥2，即实数t的最小值是2．

21.已知定义在R上的函数 f(x)=2x－.

(1)若f(x)=，求x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围.

【答案解析】解：(1)当x＜0时， f(x)=0，无解；

当x≥0时， f(x)=2x－，

由2x－=，得2·22x－3·2x－2=0，

将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x=2或2x=－，

∵2x＞0，∴x=1.

(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，

即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0，

∴m≥－(22t＋1)，

∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，

故实数m的取值范围是[－5，＋∞).

22.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Tn为数列{}前n项的和，若λTn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值.

【答案解析】解：(1)设公差为d，由已知得

解得d=1或d=0(舍去)，所以a1=2，所以an=n＋1.

(2)因为=－，

所以Tn=＋＋…＋－=－=，

又λTn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，所以λ≤=2(n+)＋8，

而2(n+)＋8≥16，当且仅当n=2时等号成立.

所以λ≤16，即λ的最大值为16.

23.已知f(x)=ln x－x＋a，x∈(0,2].

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)<a2－3对任意的x∈(0,2]恒成立，求实数a的取值范围.

【答案解析】解：(1)f′(x)=－1，令f′(x)=0，∴x=1.

当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当1<x≤2时，f′(x)<0，f(x)单调递减.

∴f(x)的单调增区间为(0,1)，f(x)的单调减区间为(1,2].

(2)由(1)知x=1时，f(x)取得最大值，即f(x)max=a－1.

∵f(x)<a2－3对任意的x∈(0,2]恒成立，

∴a－1<a2－3，解得a>2或a<－1.

∴a的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).