专题04 解不等式及不等式恒成立-2023-2024学年度高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版必修第一册）

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专题4 解不等式及不等式恒成立

目录
一、热点题型归纳
【题型一】解一元一次 不等式 1
【题型二】一元二次不等式 2
【题型三】解分式不等式 3
【题型四】绝对值不等式 4
【题型五】不等式的整数解 4
【题型六】不等式组求参 5
【题型七】 恒成立求参：一元二次讨论型 6
【题型八】 恒成立求参：均值型 6
【题型九】恒成立求参：绝对值型 7
【题型十】恒成立：分离常数型 7
【题型十一】恒成立：分类讨论 8
培优第一阶——基础过关练 9
培优第二阶——能力提升练 10
培优第三阶——培优拔尖练 11


【题型一】解一元一次 不等式
【典例分析】
（2021·全国·高一课时练习）设a、b为实数，解关于x不等式：．


【提分秘籍】
基本规律
1.形如，为一次函数,图形为直线，k>0，增，k<0为减，k=0为水平线（常数函数）
2.一元一次不等式，如果一次项系数有参数，需要分类讨论

【变式训练】
1.（2022·全国·高一专题练习）若是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围是______．

2.（2021·全国·高一课时练习）若关于的不等式的整数解共有个，求实数的取值范围．

3.（2022·广东·深圳市第二高级中学高一开学考试）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解是（　　）


A． B． C． D．

【题型二】一元二次不等式
【典例分析】
（2022·全国·高一专题练习）已知不等式的解为，求和的值，并解不等式．


【提分秘籍】
基本规律
一元二次函数知识：
①一般式顶点式：y＝ax2＋bx＋c＝a＋.
②顶点是，对称轴是：x＝－.
③方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式：x＝
是方程的两个根.一元二次不等式的解集为或，也就是我们俗称的“两根之间或者大于大根小于小根”
【变式训练】
1.（2022·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．
(1)当a＝2时，解关于x的不等式；
(2)当a＞0时，解关于x的不等式．

2.（2021·黑龙江·大庆中学高二开学考试）已知关于x的不等式的解集为或．
(1)求a，b的值．
(2)当时，解关于x的不等式．

3.（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式

【题型三】解分式不等式
【典例分析】
（2022·全国·高一专题练习）当时，关于的分式不等式的解区间为________．


【提分秘籍】
基本规律
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解
分式不等式的解法“化商为积，注意分母”：
（1）先化简成右边为零的形式（或），等价于一元二次不等式（或）再求解即可；
（2）先化简成右边为零的形式（或），再利用分子分母同号（或者异号），列不等式组求解即可.


【变式训练】
1.（2022·全国·高一专题练习）解关于的不等式（其中）

2.（2019·福建·厦门双十中学高一开学考试）若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为（    ）
A．10 B．12 C．14 D．9

3.2022·全国·高一课时练习）解关于的不等式．



【题型四】绝对值不等式
【典例分析】
（2022·上海交大附中高三开学考试）不等式的解为______


【提分秘籍】
基本规律
绝对值不等式解法：
分类讨论。讨论点是每个绝对值的对应的零点。

【变式训练】
1.（2021·全国·高一课时练习）若关于x的不等式无实数解，则实数a的取取值范围是_______．

2.（2022·全国·高一专题练习）解关于的不等式：


【题型五】不等式的整数解
【典例分析】
（2022·全国·高一单元测试）设，若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，则（    ）．
A． B．
C． D．

【变式训练】
1.（2023·全国·高三专题练习）满足不等式整数解个数为______．

2.（2022·福建·泉州五中高一开学考试）若关于的不等式组有且只有四个整数解，则实数的取值范围是（    ）.
A． B．
C． D．

3.（2022·浙江·台州市书生中学高一开学考试）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为___________.
【题型六】不等式组求参
【典例分析】
（2022·湖南·长郡中学高一开学考试）整数使得关于的二元一次方程组的解为正整数（均为正整数），且使得关于的不等式组无解，则所有满足条件的的和为（    ）
A．9 B．16 C．17 D．30

【变式训练】
1.（2022·全国·高一专题练习）若关于、的二元一次方程组的解满足不等式，，则的取值范围是（    ）
A． B． C．无解 D．

2.（2022·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式组的解集是．
(1)求的值；
(2)若关于x的方程的解是负数，求m的取值范围．

3.（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（    ）
A． B． C． D．5

【题型七】 恒成立求参：一元二次讨论型
【典例分析】
（2022·黑龙江·哈师大附中高一开学考试）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（  ）
A． B． C． D．


【提分秘籍】
基本规律
一元二次恒成立型：
1. 开口方向。
2. 判别式

【变式训练】
1.（2022·安徽宣城·高二开学考试）关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．

2.（2022·全国·高一单元测试）对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

【题型八】 恒成立求参：均值型
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
利用均值不等式求最小值最大值。

【变式训练】
1.（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5}

2.（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））若对满足的任意正数及任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

3.（2022·全国·高一课时练习）若，不等式有解，则实数m的取值范围是______．
【题型九】恒成立求参：绝对值型
【典例分析】
（2021·全国·高三专题练习）若关于的不等式在（﹣∞，1]上恒成立，则实数的取值范围为
A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．[3，+∞） D．（﹣∞，3]


【提分秘籍】
基本规律
1.分类讨论求最值。
2.利用绝对值公式：||a|-|b|||ab||a|+|b|。

【变式训练】
1.（2021·北京·中央民族大学附属中学高三阶段练习）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．

2.（2021·宁夏·石嘴山市第三中学高二期末（理））已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

3.（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）不等式对任意恒成立，则空数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【题型十】恒成立：分离常数型
【典例分析】
（2022·吉林一中高二期末）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．
【提分秘籍】
基本规律
一元二次型函数恒成立型，注意变量取值范围能否满足分离常数。

【变式训练】
1.（2021·全国·高一专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

2.（2021·河南·信阳高中高一阶段练习）已知函数恒成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．


【题型十一】恒成立：分类讨论
【典例分析】
（安徽省合肥市肥东县高级中学2020-2021学年高一上学期期中）设函数，函数，若存在，使得与同时成立，则实数的取值范围是______．
【提分秘籍】
基本规律
1.“轴动区间定”和“轴定区间动”
2.分类讨论时，要注意开口，判别式，对称轴以及端点值的正负等等

【变式训练】
1.（江苏省无锡市第一中学2019-2020学年高二上学期11月阶段性检测）若对任意的，成立，则实数a的取值范围为______.

2.已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．



分阶培优练


培优第一阶——基础过关练
1.（2022·湖南·衡阳市第六中学高一开学考试）已知是关于的不等式的一个解，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

2.（2022·四川·仁寿一中高一开学考试）解关于的不等式

3.（2022·江苏南通·高一开学考试）不等式的解是（    ）
A． B．
C．且 D．

4.（2022·全国·高一专题练习）以下不等式中，与不等式同解的不等式是（   ）
A． B．
C． D．

5. （2022·全国·高一专题练习）若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是
6.（2022·全国·高一专题练习）已知不等式组解为，则的值为________.

7.（2022·全国·高一课时练习）若关于x的一元二次不等式的解集为，则实数m满足（    ）
A．或 B．
C．或 D．

8.（2021·全国·高一专题练习）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

9.（2019·浙江·高二学业考试）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

10.（2020·四川省泸县第二中学高二期中（理））当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．



培优第二阶——能力提升练
1.（2021·全国·高一课时练习）解关于的不等式：，其中，且．

2.（2022·全国·高一专题练习）解关于的不等式 ．

3.（2021·上海市七宝中学高一阶段练习）不等式的解为___________.

4.（2021·上海·上外附中高一期中）解关于的不等式：．

5.（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.

6.（2022·全国·高一专题练习）已知关于的不等式组．
(1)当时，解此不等式组；
(2)若不等式组的解集中恰含三个奇数，求的取值范围．

7.（2020·浙江·高一期末）命题“恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是（    ）
A．或 B．或 C．或 D．或

8.（2020·宁夏大学附属中学高二期中（理））已知关于的不等式在上恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．.

9.（2020·广东·珠海市第一中学高一阶段练习）若，关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m恒成立，则实数m的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

10.（2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．






培优第三阶——培优拔尖练
1.（2021·全国·高一课时练习）设a为实数，解关于x的不等式组：．

2.（2022·全国·高一专题练习）当a≤0时，解关于x的不等式．

3.（2022·全国·高一专题练习）不等式的解是___________.

4.（2021·全国·高一课时练习）若关于x的不等式与同解，则实数________．


5.（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

6.（2022·全国·高一专题练习）已知：关于x的不等式组．
(1)当时，求该不等式组的解集；
(2)若不等式组有且仅有3个整数解，求a的取值范围．

7.．（2022·全国·高一单元测试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．或

8.（2020·河北·沧州市一中高一阶段练习）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

9.（2022·浙江·高三专题练习）若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为（   ）
A． B． C． D．


10.（2010·福建宁德·高二期末（理））对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是
A． B．[－2，2] C． D．