期末复习综合测试题（6）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册

必修第一册综合测试题六

一．选择题（共12小题）

1．函数定义域为　　

A． B． C．， D．，

2．已知全集，集合，，则　　

A． B． C． D．

3．关于的方程有实数解的充要条件是　　

A． B． C． D．

4．若命题“，”是假命题，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

5．不等式的解集为　　

A． B． 

C．，， D．

6．已知实数，，且，则的最小值为　　

A． B． C． D．

7．设是上的偶函数，且当时是单调函数，若满足方程（a）的实数有4个，则实数

的取值范围为　　

A．，， 

B．，，，， 

C． 

D．，，

8．刘徽（约公元225年年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为　　

A． B． C． D．

二．多选题（共4小题）

9．下列说法中不正确的是　　

A．0与表示同一个集合 

B．集合，与表示同一个集合 

C．方程的所有解的集合可表示为，1， 

D．集合 不能用列举法表示

10．已知，为正实数，且，则　　

A．的最大值为 B．的最小值为 

C．的最小值为4 D．的最大值为

11．已知函数，则　　

A．为偶函数 

B．的值域是 

C．方程只有一个实根 

D．对，，，有

12．已知函数，的部分图象如图所示，则　　

A． 

B． 

C．若，则 

D．若，则

三．填空题（共4小题）

13．已知，则　　．

14．已知，，且，则的最小值是　　．

15．已知函数，，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是　　．

16．已知函数若函数恰有8个零点，则的范围为　　．

四．解答题（共6小题）

17．已知函数．

（1）求的最小正周期和单减区间；

（2）求在区间，上的最大值和最小值．

18．已知函数为常数）是奇函数．

（1）求的值；

（2）函数，若函数有零点，求参数的取值范围．

19．某公园欲将如图所示的一块矩形空地进行重新规划，拟在边长为的正方形内种植红色郁金香，正方形的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁金香．现要将以为一边长的矩形改造为绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积，设，．

（1）求与之间的函数关系式；

（2）求的最大值．

20．已知函数，求（1）函数的定义域与值域；（2）函数的单调区间．

21．已知函数．

（1）求的定义域；

（2）求的值域．

22．已知命题：关于的方程有实数根，命题．

（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

必修第一册综合测试题六

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．函数定义域为　　

A． B． C．， D．，

【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．

【解答】解：由题意得：，

解得：，

故选：．

2．已知全集，集合，，则　　

A． B． C． D．

【分析】可求出集合，，然后进行交集和补集的运算即可．

【解答】解：，，，

或，．

故选：．

3．关于的方程有实数解的充要条件是　　

A． B． C． D．

【分析】由，得的取值范围，逐项判断即可求得答案．

【解答】解：因为，

所以关于的方程有实根的充要条件是．

故选：．

4．若命题“，”是假命题，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用特称和全称命题及真值表的应用求出结果．

【解答】解：命题“，”是假命题，

则命题“，”是真命题，

当时，恒成立．

当，解得．

故的取值范围为：．

故选：．

5．不等式的解集为　　

A． B． 

C．，， D．

【分析】先因式分解，再解一元二次不等式即可．

【解答】解：，，

解得．用集合表示为．

故选：．

6．已知实数，，且，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：，，且，

，

则

．

当且仅当且，

即时取等号．

的最小值为．

故选：．

7．设是上的偶函数，且当时是单调函数，若满足方程（a）的实数有4个，则实数

的取值范围为　　

A．，， 

B．，，，， 

C． 

D．，，

【分析】函数是上的偶函数，且当时是单调函数，所以大于零时，函数是一一对应的，故本题转化为有4个根，利用数形结合，可以解出本题．

【解答】解：函数是上的偶函数，且当时是单调函数，所以有4个根，令，图象如下：，，，，

故选：．

8．刘徽（约公元225年年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为　　

A． B． C． D．

【分析】取正60边形，设半径为1，利用等腰三角形的面积计算公式、圆的面积计算公式得出方程，即可得出的近似值．

【解答】解：取正60边形，设半径为1，则，解得．

故选：．

二．多选题（共4小题）

9．下列说法中不正确的是　　

A．0与表示同一个集合 

B．集合，与表示同一个集合 

C．方程的所有解的集合可表示为，1， 

D．集合 不能用列举法表示

【分析】利用元素与集合的关系、集合的性质及其表示法、集合的运算即可判断出．

【解答】解：是一个元素（数，而是一个集合，二者是属于与不属于的关系，因此不正确；

：集合，表示数3，4构成的集合，而表示点集，不正确；

：方程的所有解的集合可表示为，1，，不正确，因为集合的元素具有互异性，不允许重复，因此方程的所有解的集合可表示为，，因此不正确；

：集合含有无穷个元素，不能用列举法表示，因此正确；

故选：．

10．已知，为正实数，且，则　　

A．的最大值为 B．的最小值为 

C．的最小值为4 D．的最大值为

【分析】由不等式可分析选项，由不等式可分析选项，由已知得出，通过恒等变形以及基本不等式可分析，．

【解答】解：对于选项，，即，

又，为正实数，所以，即，当且仅当时，不等式可取等号，故正确；

对于选项，，即，

又，为正实数，所以，当且仅当时，不等式可取等号，故正确；

对于选项，，，

，

当且仅当，即，时，不等式可取等号，故错误；

对于选项，，，

即，

当且仅当，即，时，不等式可取等号，故正确；

故选：．

11．已知函数，则　　

A．为偶函数 

B．的值域是 

C．方程只有一个实根 

D．对，，，有

【分析】根据选项逐次判断即可得答案．

【解答】解：对于，可得的奇函数，错误；

对于，的值域是，正确；

对于：由，显然是方程的一个实数根，当时，可得，即，时，显然方程没有实数根，当时，即方程有一个实数根，错误；

对于：当时，可得是单调递减函数，当时，可得是单调递减函数，所以对，，，有，正确；

故选：．

12．已知函数，的部分图象如图所示，则　　

A． 

B． 

C．若，则 

D．若，则

【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．

【解答】解：根据函数，的部分图象，，

，，故正确．

为其图象的一条对称轴，故有，，，故错误．

为其图象的一条对称轴，故若，则有，故正确，错误，

故选：．

三．填空题（共4小题）

13．已知，则　　．

【分析】利用两角和的正切公式即可得解．

【解答】解：因为，

所以．

故答案为：．

14．已知，，且，则的最小值是　　．

【分析】直接利用对数的运算和函数的关系式的变换的应用和基本不等式的应用求出结果．

【解答】解：已知，，且，

所以，整理得，即，

所以，

当且仅当，时，等号成立，

故答案为：．

15．已知函数，，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是　，　．

【分析】依题意可知，显然不是方程的根，所以，即直线与函数的图象有两个交点，

作出函数的图象，即可数形结合解出．

【解答】解：因为显然不是方程的根，所以方程即为，

直线与函数的图象有两个交点，

因为，作出函数的图象，如图所示：

又因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以，且，

故实数的取值范围是，．

故答案为：，．

16．已知函数若函数恰有8个零点，则的范围为　　．

【分析】利用分段函数的解析式，先作出函数的图象，然后利用换元法将函数恰有8个零点转化为方程在，必有两个不等的实数根，再结合图象分析即可得到答案．

【解答】解：画出函数的图象如图所示，

设，由，得，

因为有8个零点，

所以方程有4个不同的实根，

结合的图象可得在，内有4个不同的实根，

所以方程必有两个不等的实数根，

即在，内有2个不同的实根，

结合图象可知，

则有，解得，

所以的范围为．

故答案为：．

四．解答题（共6小题）

17．已知函数．

（1）求的最小正周期和单减区间；

（2）求在区间，上的最大值和最小值．

【分析】（1）利用平方关系、辅助角公式将函数化简为，根据正弦函数的周期性即可得解；

（2）根据正弦函数的单调性即可得解，需要注意限定了区间，．

【解答】解：．

的最小正周期，令，，解得，，

的单调递增区间为，，．

（2），，

，，可得，，

可得，，即在区间，上的最小值是0，最大值是．

18．已知函数为常数）是奇函数．

（1）求的值；

（2）函数，若函数有零点，求参数的取值范围．

【分析】（1）根据题意，求出函数的定义域，由奇函数的定义域可得，即，变形分析可得答案，

（2）若函数有零点，则直线与曲线有交点，分析的值域，即可得，，，解可得的取值范围，即可得答案．

【解答】解：（1）根据题意，函数，则有，解可得，

即函数的定义域为，，，

根据奇函数的定义，对于，，，则有，

即，化简得：即；

（2）若函数有零点，则直线与曲线有交点，

又由，那么，则的值域为，，；

故由，，，

解得：，

即的取值范围为：，，．

19．某公园欲将如图所示的一块矩形空地进行重新规划，拟在边长为的正方形内种植红色郁金香，正方形的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁金香．现要将以为一边长的矩形改造为绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积，设，．

（1）求与之间的函数关系式；

（2）求的最大值．

【分析】（1）通过求解三角形推出，，，结合面积关系，推出的不等式即可．

（2）令，则，化简函数的解析式，结合函数的单调性求解函数最值即可．

【解答】解：（1）在中，，则，

同理在中，，则，

，，

绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积，

则，，

，．

（2）令，则，

，，

，

易知在上单调递增，

，

答：的最大值为．

20．已知函数，求（1）函数的定义域与值域；（2）函数的单调区间．

【分析】本题第（1）题根据根式的性质及解一元二次不等式可得定义域，根据定义域和换元法经过计算可得值域；第（2）题根据同增异减的方法判断复合函数的单调性．

【解答】解：（1）由题意，可知

由，解得，

故函数的定义域为，；

令，，．则．

，

当，时，有，

．

故函数的值域为，．

（2）由题意，可知

函数，，在，上单调递增，在，上单调递减；

而函数在，上单调递增，

故函数函数在，上单调递增，在，上单调递减．

21．已知函数．

（1）求的定义域；

（2）求的值域．

【分析】（1）由题意知，，解之即可；

（2）将两边平方化简整理后得，，结合的定义域和二次函数的图象与性质即可得解．

【解答】解：（1）由题意知，，解得，

故的定义域为，．

（2）易知，

将两边平方得，

，

的定义域为，，

，，

故的值域为．

22．已知命题：关于的方程有实数根，命题．

（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，即关于的方程无实数根，可得△，解得的取值范围．

（2）若是的必要不充分条件，则由能推出，但是由不能推出．可得：，即可得出实数的取值范围．

【解答】解：（1）命题是真命题，命题是假命题，即关于的方程无实数根，

因此△，解得．

实数的取值范围是．

（2）若是的必要不充分条件，则由能推出，但是由不能推出．

，

，解得．

实数的取值范围是．