期末复习综合测试题（2）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册

模块一复习测试题二

一．选择题（共10小题）

1．若集合，，则下面结论中正确的是　　

A． B． C． D．

2．已知实数，，则是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．若命题“，，都有 “是假命题，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

4．若函数在区间，上有零点，则的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

5．已知，则的　　

A．最小值是2 B．最小值是4 C．最大值是2 D．最大值是4

6．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的反函数是　　

A． B． C． D．

7．已知为锐角），则　　

A． B． C． D．

8．设函数，，，若，则方程的所有根之和为　　

A． B． C． D．

二．多选题（共4小题）

9．若集合，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

10．下列说法中正确的有　　

A．不等式恒成立 

B．存在，使得不等式成立 

C．若，，则 

D．若正实数，满足，则

11．已知函数，则　　

A．是奇函数 

B．在，上单调递增 

C．函数的值域是， 

D．方程有两个实数根

12．下列选项中，与的值相等的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

三．填空题（共4小题）

13．化简：　　（其中，．

14．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是　　．

15．若，则的最小值为　　．

16．若，则函数的最大值为　　．

四．解答题（共8小题）

17．已知，，且．

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）求的最小值．

18．已知函数，．

（Ⅰ）若，试求函数的最小值；

（Ⅱ）对于任意的，，不等式成立，试求的取值范围；

（Ⅲ）存在，，使方程成立，试求的取值范围．

19．解方程

（1）

（2）

20．设函数．

（1）求的最小正周期；

（2）若函数与的图象关于轴对称，求当，时，的最大值．

21．已知函数的部分图象如图所示．

（Ⅰ）求的解析式及对称中心坐标；

（Ⅱ）先将的图象纵坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值．

22．已知函数．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得函数的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围．

模块一复习测试题二

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．若集合，，则下面结论中正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】利用元素与集合的关系直接求解．

【解答】解：集合，1，2，，

，

．

故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意元素与集合的关系的合理运用．

2．已知实数，，则是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据充分必要条件的定义以及基本不等式的性质判断即可．

【解答】解：，，

，，

，，

故，，

反之，取，，则，

但，故是的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查基本不等式的性质，是一道基础题．

3．若命题“，，都有 “是假命题，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】直接利用命题的否定和一元二次方程的解的应用求出结果．

【解答】解：命题“，，都有 “是假命题，则命题“，，使得 “成立是真命题，

故．

由于，，所以，．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：命题的否定的应用，一元二次方程的根的存在性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

4．若函数在区间，上有零点，则的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

【分析】判断出在区间，上单调递增，得出即即可．

【解答】解：函数，对称轴，

在区间，上单调递增

在区间，上有零点，

即

解得：，

故选：．

【点评】本题考查了二次函数的单调性，零点的求解方法，属于中档题．

5．已知，则的　　

A．最小值是2 B．最小值是4 C．最大值是2 D．最大值是4

【分析】直接利用不等式的基本性质和关系式的恒等变换的应用求出结果．

【解答】解：已知，所以，

故（当时，等号成立）．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：不等式的基本性质，关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

6．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的反函数是　　

A． B． C． D．

【分析】设为的反函数图象上的任意一点，则关于的对称点一点在的图象上，

关于直线的对称点在函数的图象上，代入解析式变形可得．

【解答】解：设为的反函数图象上的任意一点，

则关于的对称点一点在的图象上，

又函数的图象与函数的图象关于直线对称，

关于直线的对称点在函数的图象上，

必有，即，的反函数为：；

故选：．

【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题

7．已知为锐角），则　　

A． B． C． D．

【分析】由，结合已知及两角差的正弦公式即可求解．

【解答】解：为锐角），

，

则，

，

故选：．

【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．

8．设函数，，，若，则方程的所有根之和为　　

A． B． C． D．

【分析】把已知函数解析式利用辅助角公式化积，求得函数值域，再由的范围可知方程有两根，，然后利用对称性得答案．

【解答】解：，，，

，，又，

方程有两根，，

由对称性得，解得．

故选：．

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查函数零点的判定及应用，正确理解题意是关键，是基础题．

二．多选题（共4小题）

9．若集合，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解．

【解答】解：集合，

在中，，故错误；

在中，，故正确；

在中，，故错误；

在中，，故正确．

故选：．

【点评】本题考查了子集、并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

10．下列说法中正确的有　　

A．不等式恒成立 

B．存在，使得不等式成立 

C．若，，则 

D．若正实数，满足，则

【分析】结合基本不等式的一正，二定三相等的条件检验各选项即可判断．

【解答】解：不等式恒成立的条件是，，故不正确；

当为负数时，不等式成立．故正确；

由基本不等式可知正确；

对于，

当且仅当，即，时取等号，故正确．

故选：．

【点评】本题考查基本不等式的应用，要注意应用条件的检验．

11．已知函数，则　　

A．是奇函数 

B．在，上单调递增 

C．函数的值域是， 

D．方程有两个实数根

【分析】根据函数的奇偶性判断，根据函数的单调性判断，结合图象判断，即可．

【解答】解：对于，不是奇函数，故错误；

对于时，在，递增，故正确；

对于，，画出函数和的图象，如图示：

，

显然函数的值域是，，故正确，

和的图象有3个交点，故错误；

故选：．

【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题．

12．下列选项中，与的值相等的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】求出的值．利用二倍角的余弦求值判断；利用两角和的余弦求值判断；利用二倍角的正弦求值判断；利用两角和的正切求值判断．

【解答】解：．

对于，；

对于，；

对于，；

对于，．

与的值相等的是．

故选：．

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数，是基础题．

三．填空题（共4小题）

13．化简：　　（其中，．

【分析】根据指数幂的运算法则即可求出．

【解答】解：

原式，

故答案为：．

【点评】本题考查了指数幂的运算，属于基础题．

14．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是　，0，　．

【分析】先利用分离常数法将函数化为，进而求出的值域，再根据的定义可以求出的所有可能的值，进而得到函数的值域．

【解答】解：，

，，，，

即，

①当时，，

②当时，，

③当时，，

函数的值域是：，0，，

故答案为：，0，．

【点评】本题主要考查了新定义运算的求解，关键是能通过分离常数的方式求得已知函数的值域，是中档题．

15．若，则的最小值为　2　．

【分析】根据对数的基本运算，结合不等式的解法即可得到结论．

【解答】解：，

，且，，

即，

，

当且仅当，即，时取等号，

故答案为：2

【点评】本题主要考查不等式的应用，利用对数的基本运算求出是解决本题的关键，比较基础．

16．若，则函数的最大值为　　．

【分析】直接利用三角函数的性质和关系式的恒等变换的应用及二次函数的性质的应用求出结果．

【解答】解：若，则，

另，

设，，

则，

当且仅当时，等号成立．

故答案为：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，关系式的变换和二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

四．解答题（共8小题）

17．已知，，且．

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）求的最小值．

【分析】（1）由已知得，，解不等式可求，

（2）由题意得，，展开后结合基本不等式可求．

【解答】解：（1），，

，

当且仅当且即，时取等号，

解得，，

故的最大值100．

（2）因为，，且．

所以，

当且仅当且即，时取等号，

所以的最小值．

【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题

18．已知函数，．

（Ⅰ）若，试求函数的最小值；

（Ⅱ）对于任意的，，不等式成立，试求的取值范围；

（Ⅲ）存在，，使方程成立，试求的取值范围．

【分析】（Ⅰ）对式子变形后，利用基本不等式即可求得结果；

（Ⅱ）先由题设把问题转化为：对于任意的，恒成立，

构造函数，，，利用其最大值求得的取值范围；

（Ⅲ）由题设把问题转化为：方程在，有解，解出的范围．

【解答】解：（Ⅰ）当时，（当且仅当时取“ “，

；

（Ⅱ）由题意知：对于任意的，恒成立，

即对于任意的，恒成立，

令，，，

则，解得：，

的取值范围为，；

（Ⅲ）由可得：，

即，

，，

，

解得：，

即的取值范围为，．

【点评】本题主要考查基本不等式的应用、函数的性质及不等式的解法，属于中档题．

19．解方程

（1）

（2）

【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则求解方程的解即可．

（2）利用对数运算法则，化简求解方程的解即可．

【解答】解：（1），可得，（2分）

解得或；（4分）

（2），

可得，

，（2分）

得或，经检验为所求．（4分）

【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，对数方程的解法，考查计算能力．

20．设函数．

（1）求的最小正周期；

（2）若函数与的图象关于轴对称，求当，时，的最大值．

【分析】（1）利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期；

（2）由对称性求得的解析式，再由的范围求得函数最值．

【解答】解：（1）．

的最小正周期为；

（2）函数与的图象关于轴对称，

．

，，，，

，，，．

当，时，的最大值为．

【点评】本题考查型函数的图象和性质，考查三角函数最值的求法，是中档题．

21．已知函数的部分图象如图所示．

（Ⅰ）求的解析式及对称中心坐标；

（Ⅱ）先将的图象纵坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值．

【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出，，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，再根据余弦函数的图象的对称性，得出结论．

（Ⅱ）由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，得出结论．

【解答】解：（Ⅰ）由函数的部分图象知：

，，，

，把点代入得：，

即，． 又，，

．

由图可知是其中一个对称中心，

故所求对称中心坐标为：，．

（Ⅱ）先将的图象纵坐标缩短到原来的，可得的图象，

再向右平移个单位，可得 的图象，

最后将图象向上平移1个单位后得到的图象．

由，，可得增区间是，，

当时，函数的增区间为．

则，当即，时，有最大值为，

当，即时，有最小值为．

【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出、，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，余弦函数的图象的对称性．函数的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．

22．已知函数．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得函数的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围．

【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换，化简的解析式，根据条件，求得的值．

（Ⅱ）根据函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得的范围，可得的范围．

【解答】解：（Ⅰ），

，，

，即，．

（Ⅱ）把图象上所有点横坐标变为原来的倍得到函数的图象，

所以函数的解析式为，

关于的方程在上有解，

等价于求在上的值域，

因为，所以，

所以，故的取值范围为，．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．