期末复习综合测试题（5）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册

必修第一册综合测试题五

一．选择题（共12小题）

1．函数的定义域为　　

A． B．，， 

C．，， D．，，

2．已知全集，2，3，4，5，，集合，3，5，，集合，3，4，，则集合　　

A．， B．， C．，5， D．，3，5，

3．“关于的方程的至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

4．已知命题，．若为假命题，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

5．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　

A． B．，， 

C．， D．

6．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是　　

A． B．， C．， D．

7．函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，且，若关于的方程在区间，内有解，则实数的最小值为　　

A．4 B． C．8 D．

8．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为　　

A．1 B．4 C．1 或4 D．2 或4

二．多选题（共4小题）

9．下列各组对象能构成集合的是　　

A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题 

C．所有有理数 D．小于的正整数

10．已知，，，则　　

A．的最大值为1 B．的最大值为 

C．的最小值为0 D．的最小值为

11．已知函数，则　　

A．是奇函数 

B．在，上单调递增 

C．函数的值域是， 

D．方程有两个实数根

12．如图是函数的部分图象，则　　

A． B． 

C． D．

三．填空题（共4小题）

13．若，，，，则　　．

14．若，则的最小值为　　．

15．函数对一切实数，都有成立，且（1），，若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是　　．

16．已知函数，，则函数的零点个数为　　．

四．解答题（共6小题）

17．设函数．

（1）求的最小正周期；

（2）若函数与的图象关于轴对称，求当，时，的最大值．

18．已知函数．

（1）若是偶函数，求的值；

（2）当时，若关于的方程在，上恰有两个不同的实数解，求的取值范围．

19．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？

20．定义域为的函数，如果对于区间内的任意三个数，，，当时，都有，则称此函数为区间上的“函数”．

（1）请你写出一个在上的“函数”（不需要证明）．

（2）判断幂函数在上是否为“函数”，并证明你的结论．

（3）若函数在区间，，上是“函数”，求实数的取值范围．

21．已知奇函数．

（1）求的值，并求出函数的定义域；

（2）若存在区间，，使得，时，函数的值域为，，求的取值范围．

22．已知命题：“，使得”为假命题．

（1）求实数的取值集合；

（2）设不等式的解集为集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

必修第一册综合测试题五

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．函数的定义域为　　

A． B．，， 

C．，， D．，，

【分析】根据对数函数的性质以及分母不为0，得到关于的不等式组，解出即可．

【解答】解：由题意得：，

解得：且，

故函数的定义域是，，，

故选：．

2．已知全集，2，3，4，5，，集合，3，5，，集合，3，4，，则集合　　

A．， B．， C．，5， D．，3，5，

【分析】进行补集和交集的运算即可．

【解答】解：，2，3，4，5，，，3，5，，，3，4，，

，，，．

故选：．

3．“关于的方程的至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

【分析】关于的方程的至少有一个负数根，列出不等式组，求出的取值范围，由此能求出“关于的方程的至少有一个负数根”的一个充分不必要条件．

【解答】解：关于的方程的至少有一个负数根，

或，

解得．

“关于的方程的至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是．

故选：．

4．已知命题，．若为假命题，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用不等式的解法和函数的恒成立问题和命题的否定求出参数的取值范围．

【解答】解：命题，．则，为真命题，

所以恒成立，即．

故选：．

5．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　

A． B．，， 

C．， D．

【分析】根据一元二次不等式与二次函数的联系即可得解．

【解答】解：不等式的解集为，

所以△，即，

解得．

故选：．

6．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是　　

A． B．， C．， D．

【分析】根据“乘1法”，可得，展开后，结合基本不等式可推出，解此不等式即可．

【解答】解：，且，，，

，

当且仅当即时，等号成立，

不等式恒成立，

，化简得，，

解得，即，

的取值范围是，．

故选：．

7．函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，且，若关于的方程在区间，内有解，则实数的最小值为　　

A．4 B． C．8 D．

【分析】由函数的奇偶性，构造方程可解得，原方程有解可转化为在，有解，换元，，求函数的最小值即可．

【解答】解：，

，

又函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，

，

，

在区间，内有解，

在区间，内有解，

令，，则在，内有解，

又，当且仅当时取等号，

的最小值为．

故选：．

8．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为　　

A．1 B．4 C．1 或4 D．2 或4

【分析】设出扇形的圆心角为，半径为，根据扇形的周长为6 ，面积是2 ，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．

【解答】解：设扇形的圆心角为，半径为，则，

解得或．

故选：．

二．多选题（共4小题）

9．下列各组对象能构成集合的是　　

A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题 

C．所有有理数 D．小于的正整数

【分析】根据集合元素的确定性对四个选项依次判断即可．

【解答】解：拥有手机的人具有确定性，能构成集合，故正确；

数学难题定义不明确，不符合集合的定义，故不正确；

有理数具有确定性，能构成集合，故正确；

小于的正整数具有确定性，能构成集合，故正确；

故选：．

10．已知，，，则　　

A．的最大值为1 B．的最大值为 

C．的最小值为0 D．的最小值为

【分析】结合已知及基本不等式及结论分别检验各选项即可判断．

【解答】解：，，，

，当且仅当时取等号，

，当且仅当时取等号，

，当且仅当时取等号，的最大值，错误；

，即最大值，正确；

，当且仅当时取等号，即最大值，错误；

，

当且仅当且即，时取等号，

故的最小值．

故选：．

11．已知函数，则　　

A．是奇函数 

B．在，上单调递增 

C．函数的值域是， 

D．方程有两个实数根

【分析】根据函数的奇偶性判断，根据函数的单调性判断，结合图象判断，即可．

【解答】解：对于，不是奇函数，故错误；

对于时，在，递增，故正确；

对于，，画出函数和的图象，如图示：

，

显然函数的值域是，，故正确，

和的图象有3个交点，故错误；

故选：．

12．如图是函数的部分图象，则　　

A． B． 

C． D．

【分析】分类讨论的符号，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式．

【解答】解：若，根据函数的部分图象，可得，

，，结合五点法作图可得，故，故满足条件；

若，则，，，结合五点法作图可得，

故，故、也正确，

故选：．

三．填空题（共4小题）

13．若，，，，则　　．

【分析】根据条件即可得出，然后可得出，然后根据两角差的余弦公式即可求出答案．

【解答】解：，

，且，

，

，

，且，

，

．

故答案为：．

14．若，则的最小值为　2　．

【分析】根据对数的基本运算，结合不等式的解法即可得到结论．

【解答】解：，

，且，，

即，

，

当且仅当，即，时取等号，

故答案为：2

15．函数对一切实数，都有成立，且（1），，若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是　　．

【分析】利用赋值法，求得和的解析式，代入方程，化简后利用换元转化为一元二次方程形式，根据一元二次方程根的分布特征，建立不等式组，解出即可得到的取值范围．

【解答】解：函数对一切，，都有，

令，，代入可得，（1），

而（1），

，

令，代入可得，故，则，

代入方程可得，，

化简变形可得，，

令，则上式可化为，，

关于的方程有三个不同的实数解，的图象如下图所示，

结合的图象可知，有两个不等实数根，设为，，且或，，

令，则满足，解得，

或满足，此时无解．

综上，实数的取值范围为．

故答案为：．

16．已知函数，，则函数的零点个数为　18个　．

【分析】根据题中给出的分段函数解析式，判断出它是周期函数和偶函数，然后在同一坐标系中作出函数与函数的图象，将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点个数问题，再利用周期性和奇偶性进行分析，即可得到答案．

【解答】解：因为函数，即，，，

所以函数是以2为周期的偶函数，

当时，在同一坐标系中，函数与函数的图象如图所示，

因为，，，

所以函数与函数的图象有9个交点，

又因为与都是偶函数，

则其图象关于轴对称，所以当时，函数与函数的图象也有9个交点，

所以函数的零点个数为18个．

故答案为：18个．

四．解答题（共6小题）

17．设函数．

（1）求的最小正周期；

（2）若函数与的图象关于轴对称，求当，时，的最大值．

【分析】（1）利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期；

（2）由对称性求得的解析式，再由的范围求得函数最值．

【解答】解：（1）．

的最小正周期为；

（2）函数与的图象关于轴对称，

．

，，，，

，，，．

当，时，的最大值为．

18．已知函数．

（1）若是偶函数，求的值；

（2）当时，若关于的方程在，上恰有两个不同的实数解，求的取值范围．

【分析】（1）直接由偶函数的定义列式求得的值；

（2）由结合方程，得，作出函数的图象，数形结合得答案．

【解答】解：（1）若函数偶函数，则，

即，变形可得，

则有；

（2），

，，都在上单调递减，函数在上单调递减，

又，，

，

，，，

由图象知，当时，方程在，有两个不同的实根，

即方程在区间，上恰有两个不同的实数解，

又，，

故的取值范围是．

19．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？

【分析】设提价后每本杂志的定价为元，推出销售总收入为，列出不等式，转化求解即可．

【解答】解：设提价后每本杂志的定价为元，

则销售总收入为，

即：，

解得，，

所以，每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，

提价后的销售总收入不低于20万元．

20．定义域为的函数，如果对于区间内的任意三个数，，，当时，都有，则称此函数为区间上的“函数”．

（1）请你写出一个在上的“函数”（不需要证明）．

（2）判断幂函数在上是否为“函数”，并证明你的结论．

（3）若函数在区间，，上是“函数”，求实数的取值范围．

【分析】（1）结合所学函数找出符合函数的定义即可；

（2）根据函数定义判断条件是否满足即可得到结论；

（3）根据函数定义，建立条件关系，转化为参数恒成立即可得到结论．

【解答】解：（1），

（2）解：幂函数在上为“函数，证明如下：

证明：设，，，，，，

若时，都有，

则，即斜率存在且不断增大，

而在单调递增的函数，且随着的增大，增加的越来越快，

即是下凸函数，斜率增加的越来越快，

故幂函数在上为“函数”，

（3）因为函数在区间，，上是“函数”，

所以的单调递增区间，，，，

的解，，，

当，时，得恒成立，故，

当，时，得恒成立，故．

21．已知奇函数．

（1）求的值，并求出函数的定义域；

（2）若存在区间，，使得，时，函数的值域为，，求的取值范围．

【分析】（1）由已知，得，即可求出的定义域；

（2）分类讨论，利用函数的单调性，及当，时，的取值范围为，，求的取值范围．

【解答】解：（1）由已知，得，

故，由，解得定义域为，；

（2）当时，在，上单调递减，

故有，而在，上单调递增，

所以又与矛盾，

故，

所以，

故方程在，上有两个不等实根，

即在，上有两个不等实根，

设，则，

，

故．

22．已知命题：“，使得”为假命题．

（1）求实数的取值集合；

（2）设不等式的解集为集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【分析】（1）利用一元二次函数的恒成立问题，即可求出集合；

（2）若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，从而转化为判断集合是集合关系问题．分类讨论求出集合，进而求出取值范围．

【解答】解：（1）由题可知：命题“，使方程”是真命题．

则△，于是可得：（5分）

（2）令，可得或；

若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集．

当时，，不合题意；（7分）

当时，，，所以：；（9分）

当时，，，所以：；（11分）

所以实数的取值范围为：（12分）