初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除综合与测试课后练习题

这是一份初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除综合与测试课后练习题，共20页。
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+abD．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】图1中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积；图2中面积等于上底为2b，下底为2a，高为（a﹣b）的梯形的面积，二者相等，据此可解．
【详解】解：图1阴影部分的面积等于a2﹣b2，
图2梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）
根据两者阴影部分面积相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
比较各选项，只有D符合题意
故选：D．
2．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22B．24C．42D．44
【分析】由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，进而得到ab＝10，由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．
【详解】解：由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，
图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，
所以ab＝10，
由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．
故选：C．
3．已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有（ ）
①长方形ABCD的长宽之比可能为2；
②图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长；
③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形；
④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．
A．②③B．①③C．②③④D．①③④
【分析】假设长方形的长宽比是2，推导出与已知的矛盾，排除①，根据正方形定义和长方形的周长公式判断②③，根据长方形的周长为60，推导出该长方形的面积大于100，从而说明④错误．
【详解】解：如图：
①长方形的长为a+2b，宽为2a+b，若该长方形的长宽之比为2，则a+2b＝2（2a+b），
解得a＝0．这与题意不符，故①的说法不正确；
②四边形AEFG、FHKM、SKWC的周长之和等于长方形ABCD的周长，故②正确；
③当长方形ABCD为正方形时，2a+b＝a+2b，
所以a＝b，所以九部分都为正方形，故③的说法正确；
④当长方形ABCD的周长为60时，即2（2a+b+a+2b）＝60，
整理，得a+b＝10，
∴四边形GHWD的面积为100，长方形ABCD的面积大于100，故④的说法不正确．
综上所述，正确的是：②③．
故选：A．
4．如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形．记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2，则可化简为 ．
【分析】首先表示S1＝a2﹣1，S2＝（a﹣1）2，再约分化简即可．
【详解】解：∵S1＝a2﹣1，S2＝（a﹣1）2，
∴＝＝＝，
故答案为：．
5．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是 ．
【分析】利用正方形ABCD的面积减去空白部分的面积求出阴影部分的面积S1，结合S1＝6S2，求出a与b的比值．
【详解】解：∵S1＝（a+2b）2﹣b2﹣a（a+2b）﹣b2﹣（a+b）2＝2ab+b2，S2＝b2，S1＝6S2，
∴2ab+b2＝6b2，
∴．
故答案为：．
6．已知长方形ABCD，AD＞AB，AD＝10，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当S2﹣S1＝3b时，AB＝ ．
【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再由S2﹣S1＝3b，AD＝10，列出方程求得AB便可．
【详解】解：S1＝（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）＝（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a），
S2＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），
∴S2﹣S1＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）
＝（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）
＝b•AD﹣ab﹣b•AB+ab
＝b（AD﹣AB），
∵S2﹣S1＝3b，AD＝10，
∴b（10﹣AB）＝3b，
∴AB＝7．
故答案为：7．
7．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．
【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）根据S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，将a+b＝10，ab＝20代入进行计算即可；
（3）根据S3＝（a2+b2﹣ab），S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，即可得到阴影部分的面积S3．
【详解】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，
S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；
（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，
∵a+b＝10，ab＝20，
∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；
（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，
∴S3＝×30＝15．
8．如图①所示是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ．（用m、n表示）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．
方法① ；方法② ．
观察图②，请写出（m+n）2、（m﹣n）2、mn这三个代数式之间的等量关系： ．
（2）若a+b＝6，ab＝5，则求a﹣b的值．
【类比探究】利用面积关系，研究方程
提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？
几何建模：
1．将原方程变形为：x（x+2）＝35．
2．如图，画四个长为x+2，宽为x的长方形．
3．分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的长方形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．
即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22
∵x（x+2）＝35
∴（x+x+2）2＝4×35+22
∴（2x+2）2＝144
∵x＞0
∴x＝5
（3）求关于x的一元一次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤．（画图，并注明相关线段的长）
【分析】（1）根据拼图，得出各条边之间的关系即可；
（2）由（1）的结论，代入计算即可；
（3）根据题目中提供的方法画出相应的图形，表示各个部分的面积进而得出答案．
【详解】解：（1）每个小长方形的长为m，宽为n，由图②拼图可知，
阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，
用两种方法表示阴影部分的面积为：
方法①，是边长为（m﹣n）的正方形，因此面积为（m﹣n）2；
方法②，边长为（m+n）的正方形面积减去4个长为m、宽为n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn；
由上述两种方法表示阴影部分的面积可得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
故答案为：m﹣n；（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（2）∵a+b＝6，ab＝5，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝36﹣20
＝16，
∴a﹣b＝4或a﹣b＝﹣4；
答：a﹣b的值为±4；
（3）如图，画4个长为（x+b），宽为b的长方形，拼成如图所示的大正方形，
图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+b）2或四个长x+b，宽x的长方形面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积，即（x+x+b）2＝4x（x+b）+b2，
又∵x（x+b）＝c，
∴（2x+b）2＝4c+b2，
∴2x+b＝±，
又∵x＞0，b＞0，c＞0，
∴x＝，
答：关于x的一元一次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解为x＝．
9．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝ ，S2＝ ；写出利用图形的面积关系所得到的公式：
（用式子表达）．
（2）应用公式计算：．
（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．
【分析】（1）图1中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2﹣b2，图2的长是（a+b），宽为（a﹣b），因此阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），进而得出等式即可；
（2）利用平方差公式将原式转化为即可；
（3）配上因式（2﹣1），然后连续使用平方差公式即可得出答案．
【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为大正方形与小正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由图1和图2中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝
＝
＝
＝；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1
＝（232﹣1）（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264．
10．某校为了改善校园环境，准备在长宽如图所示的长方形空地上，修建横纵宽度均为a米的两条小路，其余部分修建花圃．
（1）用含a，b的代数式表示花圃的面积并化简；
（2）记长方形空地的面积为S1，花圃的面积为S2，若5S2﹣3S1＝10a2，求的值．
【分析】（1）把两条小路平移使花圃的面积变为一个长方形的面积，所以花圃的面积＝（2a+b﹣a）（3a+b﹣a），然后利用展开公式展开合并即可；
（2）利用5S2﹣3S1＝10a2得到b＝3a，则用a表示S1、S2，然后计算它们的比值．
【详解】解：（1）平移后图形为：（四边形ABCD为花圃的面积），
所以花圃的面积＝（2a+b﹣a）（3a+b﹣a）
＝（a+b）（2a+b）
＝2a2+ab+2ab+b2
＝2a2+3ab+b2；
（2）S1＝（2a+b）（3a+b）＝6a2+5ab+b2，
S2＝2a2+3ab+b2；
∵5S2﹣3S1＝10a2，
∴5（2a2+3ab+b2）﹣3（6a2+5ab+b2）＝10a2，
∴b2＝9a2，
∴b＝3a（负值舍去），
∴S1＝6a2+15a2+9a2＝30a2，S2＝2a2+9a2+9a2＝20a2，
∴＝＝．
11．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．
【分析】（1）分别表示出图1阴影部分的面积和图2阴影部分的面积，由二者相等可得等式；
（2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可；②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可．
【详解】解：（1）图1阴影部分的面积为a2﹣b2，图2阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），二者相等，从而能验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴21＝（a+b）×3，
∴a+b＝7；
②（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）
＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
12．图1是由边长分别为a，b的两个正方形拼成的图形，其面积为S1；图2是长、宽分别为a，b的长方形，其面积为S2．
（1）图3是由图1中的图形补成的大正方形，其面积为S3，则S1，S2，S3的数量关系是 ；
（2）在图1边长为a的正方形中放入两个边长为b的小正方形，得到图4所示的图形．若S1＝13，S2＝5，求图4中阴影部分的面积．
【分析】（1）因为整体图形的面积等于各部分面积之和，所以S3＝a2+b2+（a+b）b+（a﹣b）b＝a2+b2+2ab，故S3＝S1+2S2．
（2）因为S阴影部分＝S大正方形﹣S空白部分，所以＝（a﹣b）2．由S1＝13，S2＝5，a＞b＞0，可得（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3．
【详解】解：（1）如图3，
由题意知：，S2＝ab．
∵S3＝a2+b2+（a+b）b+（a﹣b）b
＝a2+b2+ab+b2+ab﹣b2
＝a2+b2+2ab，
∴S3＝S1+2S2．
故答案为：S3＝S1+2S2．
（2）∵S1＝13，S2＝5，a＞b＞0，
∴a2+b2＝13，ab＝5．
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3．
又∵S阴影部分＝S大正方形﹣S空白部分，
∴
＝a2﹣b2﹣2ab+2b2
＝（a﹣b）2
＝3．
13．图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积．
如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．
（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）
（2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示）
附加题：（3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小．
【分析】（1）根据题意，可以用a、b的代数式表示出AB、AD，然后即可计算出长方形窗户ABCD的总面积；
（2）根据题意，可以计算出AE、AG、CF、CP，然后即可计算出窗户透光的面积；
（3）根据题意和图形，可以分别计算出窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积，然后作差比较即可．
【详解】解：（1）由题意可得，
AD＝2a+2b，AB＝a+2b，
∴长方形窗户ABCD的总面积是AD•AB＝（2a+2b）（a+2b）＝2a2+6ab+4b2，
即长方形窗户ABCD的总面积是2a2+6ab+4b2；
（2）由图3可得，
AG＝2b，AE＝a，CF＝2b，CP＝（2a+2b）﹣（2b+b）＝2a﹣b，
则窗户透光的面积是：AG•AE+CF•CP
＝2b•a+2b（2a﹣b）
＝2ab+4ab﹣2b2
＝6ab﹣2b2；
（3）当上面窗户的遮阳帘保持不动，下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，窗户透光的面积是：2b•a+2b（a+b）＝2ab+2ab+2b2＝4ab+2b2，
被遮阳帘遮住的面积是：（2a2+6ab+4b2）﹣（4ab+2b2）
＝2a2+6ab+4b2﹣4ab﹣2b2
＝2a2+2ab+2b2，
（4ab+2b2）﹣（2a2+2ab+2b2）
＝4ab+2b2﹣2a2﹣2ab﹣2b2
＝﹣2a2+2ab
＝2a（b﹣a），
∵b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴2a（b﹣a）＞0，
即窗户的透光的面积大于被遮阳帘遮住的面积．
14．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 ；
（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S2﹣S1，则当a与b满足 时，S为定值，且定值为 ．（用含a或b的代数式表示）
【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式；
（2）由a2+5ab+6b2可得A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片5张；
（3）设DG长为x，求出S1，S2即可解决问题．
【详解】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，
方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）如图，
（3）设DG长为x．
∵S1＝a[x﹣（a+2b）]＝ax﹣a2﹣2ab，S2＝2b（x﹣a）＝2bx﹣2ab，
∴S＝S2﹣S1＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣a2﹣2ab）＝（2b﹣a）x+a2，
由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化，
可知当2b﹣a＝0时，即a＝2b时，S＝a2为定值，
故答案为：a＝2b，a2．