高中数学高二 第二章 直线与圆单元测试卷

这是一份高中数学高二 第二章 直线与圆单元测试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆C以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆C的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法判断
2．已知过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－eq \f(1,2)，则|MN|＝( )
A．10 B．180 C．6eq \r(3) D．6eq \r(5)
3．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线eq \r(3)x－y＝3eq \r(3)的倾斜角的2倍，则( )
A．m＝－eq \r(3)，n＝1 B．m＝－eq \r(3)，n＝－3
C．m＝eq \r(3)，n＝－3 D．m＝eq \r(3)，n＝1
4．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋eq \r(5)＝0或2x＋y－eq \r(5)＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋eq \r(5)＝0或2x－y－eq \r(5)＝0
5．已知圆C的圆心是直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为( )
A．x2＋(y＋1)2＝18 B．x2＋(y＋1)2＝3eq \r(2)
C．(x＋1)2＋y2＝18 D．(x＋1)2＋y2＝3eq \r(2)
6．圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0关于直线x－y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则实数a的值为( )
A．0 B．1 C．±2 D．2
7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262—公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果。著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0，且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆。已知O(0,0)，A(3,0)，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点。过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9．若直线过点(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0 C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
10．已知圆C和直线eq \r(3)x－y＝0及x轴都相切，且过点(3,0)，则该圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y－eq \r(3))2＝3 B．(x－3)2＋(y＋3eq \r(3))2＝27
C．(x＋3)2＋(y－eq \r(3))2＝3 D．(x－3)2＋(y－3eq \r(3))2＝27
11．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝37 C．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝eq \f(16,5)
12．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x＋y－8＝0 D．x＋y－10＝0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________。
14．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则圆C的标准方程为________________。
15．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，则m的值为________；动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为 ________。
16．已知点A为直线l：y＝3x上一点，且A位于第一象限，点B(10,0)，以AB为直径的圆与l交于点C(异于A)，若∠CBA≥60°，则点A的横坐标的取值范围为______________。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)已知直线l经过点P(－2,1)，且与直线x＋y＝0垂直。
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为eq \r(2)，求直线m的方程。
(12分)已知点A(5,1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，关于原点的对称点为C(x2，y2)。
(1)求△ABC中过AB，BC边上中点的直线方程； (2)求△ABC的面积。
19．(12分)已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线a过点P(2,3)与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(3)，求直线a的方程。
20．(12分)求圆O：x2＋y2＝36与圆M：x2＋y2－10y＋16＝0的公切线的方程。
21．(12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点。
(1)求k的取值范围； (2)若eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|。
(12分)已知以点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\f(2,t)))(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点。
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程。
第二章测评卷 解析与答案
1.解析 点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝eq \r(5－22＋－7＋32)＝5，故点M在圆C上。答案 B
2．解析 由kMN＝eq \f(a－4,－2－a)＝－eq \f(1,2)，解得a＝10，即M(－2,10)，N(10,4)，所以|MN|＝eq \r(－2－102＋10－42)＝6eq \r(5)。答案 D
3．解析 依题意得，直线eq \r(3)x－y＝3eq \r(3)的斜率为eq \r(3)，所以其倾斜角为60°。所以－eq \f(3,n)＝－3，－eq \f(m,n)＝tan 120°＝－eq \r(3)，解得m＝eq \r(3)，n＝1。答案 D
4．解析 设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，依题意有eq \f(|0＋0＋c|,\r(22＋12))＝eq \r(5)，解得c＝±5，所以所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0。答案 A
5．解析 易求得直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点坐标为(0，－1)，所以圆C的圆心为(0，－1)。设圆C的半径为r，由题意可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|3×0＋4×－1－11|,\r(32＋42))))2＋32＝r2，解得r2＝18，所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝18。答案 A
6．解析 圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))2＋(y＋1)2＝eq \f(a2,4)，表示以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－1))为圆心，以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))为半径的圆。关于直线x－y－1＝0对称的圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－1－0,\f(a,2)－0)×1＝－1，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))＝1，))解得a＝2。答案 D
7．解析 设动点P(x，y)，由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，整理得(x＋1)2＋y2＝4，又点P是圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)上有且仅有的一点，所以两圆相切。 圆(x＋1)2＋y2＝4的圆心坐标为(－1,0)，半径为2，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)的圆心坐标为(2,0)，半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r＋2＝3，得r＝1，当两圆内切时，|r－2|＝3，r>0，得r＝5。答案 A
8．解析 因为⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)。连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为eq \f(1,2)|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小。因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小。又|PA|＝eq \r(|PM|2－|AM|2)＝eq \r(|PM|2－4)，所以只需|PM|最小，此时PM⊥l。因为PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A，C。易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋2＝0，,x－2y＋1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝0，))所以P(－1,0)。因为点M到直线x＝－1的距离为2，所以直线x＝－1过点P且与⊙M相切，所以A(－1,1)。因为点A(－1,1)在直线AB上，故排除B。故选D。答案 D
二、9．解析 当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，把点(1,2)代入，得k＝2，所以此时直线的方程为2x－y＝0；当直线斜率k＝1时，设直线的方程为y＝x＋b，把点(1,2)代入，得b＝1，所以此时直线的方程为x－y＋1＝0；当直线斜率k＝－1时，设直线的方程为y＝－x＋b，把点(1,2)代入，得b＝3，所以此时直线的方程为x＋y－3＝0。答案 ABC
10．解析 设该圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)。由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a2＋b2＝b2，,\f(|\r(3)a－b|,2)＝|b|，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝\r(3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝－3\r(3)，))所以该圆的方程是(x－3)2＋(y－eq \r(3))2＝3或(x－3)2＋(y＋3eq \r(3))2＝27。答案 AB
11．解析 过点A，C的直线方程为eq \f(y＋1,3＋1)＝eq \f(x－6,－2－6)，化为一般式为x＋2y－4＝0，过点A，B的直线方程为x＝－2，过点B，C的直线方程为y＝－1，所以原点O到直线x＋2y－4＝0的距离dAC＝eq \f(4\r(5),5)。原点O到直线x＝－2的距离dAB＝2，原点O到直线y＝－1的距离dBC＝1，所以dAB>dAC>dBC。又|OA|＝eq \r(－22＋32)＝eq \r(13)，|OB|＝eq \r(－22＋－12)＝eq \r(5)，且|OC|＝eq \r(62＋－12)＝eq \r(37)，结合图形可知，若以原点为圆心的圆与△ABC有唯一公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，所以圆的半径为1或eq \r(37)。答案 AB
12．解析 根据题意，圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，其圆心C(3,3)，半径r＝6eq \r(2)，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则圆心到直线的距离为2eq \r(2)，则有d＝eq \f(|6－m|,\r(1＋1))＝2eq \r(2)，变形可得|6－m|＝4，解得m＝2或m＝10，即l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－10＝0。答案 AD
三、13．解析 设M(x，y)，则|y|＝eq \r(x＋42＋y－22)＝10，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－10，,y＝10。))所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10)。答案 (2,10)或(－10,10)
14．解析 因为圆心坐标为(0，m)，直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，圆心和切点的连线与直线2x－y＋3＝0垂直，所以eq \f(m－－1,0－－2)＝－eq \f(1,2)，解得m＝－2，根据两点间的距离公式，可得圆C的半径r＝eq \r(0＋22＋－2＋12)＝eq \r(5)，故圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5。答案 x2＋(y＋2)2＝5
15．解析 因为直线mx－y＝1与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，所以m×1＋(－1)×m(m－1)＝0。解得m＝0或m＝2。动直线l：mx－y＝1过定点(0，－1)，圆C：x2－2x＋y2－8＝0化为(x－1)2＋y2＝9，圆心(1,0)到直线mx－y－1＝0的距离的最大值为eq \r(0－12＋－1－02)＝eq \r(2)，所以动直线l被圆C截得的最短弦长为2eq \r(9－\r(2)2)＝2eq \r(7)。
答案 0或2 2eq \r(7)
16．解析 由题意设A(x0,3x0)(x0>0)，设AB的中点为D，由中点坐标公式可得Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10＋x0,2)，\f(3x0,2)))，所以以AB为直径的圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(10＋x0,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3x0,2)))2＝eq \f(1,4)[(10－x0)2＋9xeq \\al(2,0)]，把y＝3x代入得x＝1，y＝3，所以C(1,3)，因为AB是直径，所以∠ACB＝90°，因此cs∠CBA＝eq \f(BC,BA)，因为∠CBA≥60°，所以cs 90°