2022届高考数学二轮专题测练-直线与圆

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-直线与圆，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 若两条平行直线 l1 ： x−2y+m=0m>0 与 l2：2x+ny−6=0 之间的距离是 5，则 m+n=
A. 0B. 1C. −2D. −1

2. 过点 1,1 的直线与圆 x−22+y−32=9 相交于 A，B 两点，则 ∣AB∣ 的最小值为
A. 23B. 4C. 25D. 5

3. 圆 x2+y2−4x−4y−10=0 上的点到直线 x+y−14=0 的最大距离与最小距离的差为
A. 36B. 18C. 62D. 52

4. 曲线 x2+y2−6x=0 与直线 y=kx+2 有公共点的充要条件是
A. k∈−34,0B. k∈0,43
C. k∈0,34D. k∈−34,34

5. 已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为
A. x2+y2−2x−3=0B. x2+y2+4x=0
C. x2+y2+2x−3=0D. x2+y2−4x=0

6. 已知圆 C:x2+y−12=2，若点 P 在圆 C 上，并且点 P 到直线 y=x 的距离为 22，则满足条件的点 P 的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

7. 若双曲线 E:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线被圆 x+32+y2=9 所截得的弦长为 3，则 E 的离心率为
A. 2B. 3C. 2D. 233

8. 过点 A3,5 作圆 x−22+y−32=1 的切线，则切线的方程为
A. x=3 或 3x+4y−29=0B. y=3 或 3x+4y−29=0
C. x=3 或 3x−4y+11=0D. y=3 或 3x−4y+11=0

9. 直线 x−3y=0 截圆 x−22+y2=4 所得劣弧所对的圆心角是
A. π6B. π3C. π2D. 2π3

10. 已知圆 x−22+y2=4 的圆心为 C，过原点 O 的直线 l 与圆交于 A，B 两点．若 △ABC 的面积为 1，则满足条件的直线 l 有
A. 2 条B. 4 条C. 8 条D. 无数条

11. 已知直线 l:3x−4y−15=0 与圆 C:x2+y2−2x−4y+5−r2=0r>0 相交于 A，B 两点，若 ∣AB∣=6，则圆 C 的标准方程为
A. x−12+y−22=36B. x−12+y−22=25
C. x−12+y−22=16D. x−12+y−22=49

12. 若双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线被圆 x+32+y2=9 所截得的弦长为 3，则 E 的离心率为
A. 2B. 3C. 2D. 233

13. 过点 A3,5 作圆 x−22+y−32=1 的切线，则切线的方程为
A. x=3 或 3x+4y−29=0B. y=3 或 3x+4y−29=0
C. x=3 或 3x−4y+11=0D. y=3 或 3x−4y+11=0

14. 与 3x+4y=0 垂直，且与圆 x−12+y2=4 相切的一条直线是
A. 4x−3y=6B. 4x−3y=−6C. 4x+3y=6D. 4x+3y=−6

15. 若圆 x2+y2−2x−4y=0 的圆心到直线 x−y+a=0 的距离为 22，则 a 的值为
A. −2 或 2B. 12 或 32C. 2 或 0D. −2 或 0

16. 圆心在曲线 y=1x+1x>−1 上，与直线 x+y+1=0 相切，且面积最小的圆的方程为
A. x2+y−12=2B. x2+y+12=2
C. x−12+y2=2D. x+12+y2=2

17. 圆 C:x+m2+y−12=2 上总存在两个不同点关于直线 2x−y+3=0 对称，则实数 m=
A. −1B. 0C. 1D. 2

18. 已知动点 M 在以 F1，F2 为焦点的椭圆 x2+y24=1 上，动点 N 在以 M 为圆心，半径长为 MF1 的圆上，则 NF2 的最大值为
A. 2B. 4C. 8D. 16

19. 圆 x2+y2−2y−1=0 关于直线 x−y−1=0 对称的圆的方程是
A. x+22+y−12=12B. x−22+y+12=12
C. x+22+y−12=2D. x−22+y+12=2

20. 已知 F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点 M，N，若过 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线，则椭圆的离心率为
A. 3−1B. 2−3C. 22D. 32

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 直线 y=x 被圆 x2+y−22=4 截得的弦长为 ．

22. 直线 y=x+m 被圆 x2+y2=1 所截得的弦长等于 2，则 m= ．

23. 直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C：x2+y2=1 分成长度相等的四段弧，则 a2+b2= ．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2+y2−8x+15=0，若直线 y=kx−2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值为 ．

25. 已知 Ax1,y1，Bx2,y2 为圆 M：x2+y2=4 上的两点，且 x1x2+y1y2=−12，设 Px0,y0 为弦 AB 上一点，且 AP=2PB，则 3x0+4y0−10 的最小值为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 x=6csα,y=sinα（α 是参数），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ−π4=2．
（1）求直线 l 与曲线 C 的普通方程，并求出直线的倾斜角；
（2）记直线 l 与 y 轴的交点为 Q，M 是曲线 C 上的动点，求点 M，Q 的最大距离．

27. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x=1+csθ,y=sinθ（θ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 θ=π4ρ∈R．
（1）求直线 l 与曲线 C1 公共点的极坐标；
（2）设过点 P32,12 的直线 lʹ 交曲线 C1 于 A，B 两点，且 AB 的中点为 P，求直线 lʹ 的斜率．

28. 求适合下列条件的圆的方程．
（1）圆心在直线 y=−4x 上，且与直线 l:x+y−1=0 相切于点 P3,−2；
（2）过三点 A1,12，B7,10，C−9,2．

29. 已知圆 C 过原点 O 和点 A1,3，圆心在直线 y=1 上．
（1）求圆 C 的方程．
（2）直线 l 经过点 O，且 l 被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．

30. 已知圆 C 的方程为 x2+y−42=4，点 O 是坐标原点，直线 l:y=kx 与圆 C 交于 M，N 两点．
（1）求 k 的取值范围；
（2）设 Qm,n 是线段 MN 上的点，且 2OQ2=1OM2+1ON2，请将 n 表示为 m 的函数．
答案
第一部分
1. C【解析】由 l1∥l2，得 12=−2n，解得 n=−4，
即直线 l2：x−2y−3=0，两直线之间的距离为 d=∣m−−3∣12+−22=5，解得 m=2 （ m=−8 舍去），所以 m+n=−2．
2. B【解析】点 1,1 在圆内，故当弦 AB 垂直于圆心与点 1,1 的连线时，长度有最小值，此时弦心距为 1+4=5，半径为 3，故弦长为 29−5=4．
3. C【解析】x2+y2−4x−4y−10=0⇔x−22+y−22=18，圆心 2,2，半径为 32．
圆心到直线 x+y−14=0 的距离为 ∣2+2−14∣2=52，
∴ 直线与圆相离．
∴ 圆上的点到直线的最大距离与最小距离之差为圆的直径，即 62．
4. D【解析】由题，圆 x−32+y2=9 半径为 3，故圆心 3,0 到直线 kx−y+2k=0 距离 d=3k−0+2kk2+1≤3，即 25k2≤9k2+9，解得 −34≤k≤34．
5. D
【解析】设圆 C 的圆心坐标为 a,0，则 d=∣3a+4×0+4∣32+42=2，a=2 或 a=−143（舍），于是圆心为 2,0，所以圆的方程为 x−22+y2=22．
6. C
7. C【解析】由圆 C:x+32+y2=9 可得圆心 −3,0，半径为 3，
双曲线 E:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线为：bx−ay=0，
渐近线被圆 x+32+y2=9 所截得的弦长为：3，圆心到直线的距离为：3ba2+b2，
由弦长公式可得 32=9−9b2a2+b2，可得 a2a2+b2=14，即 c2a2=4．
可得 e=2．
8. A【解析】由圆的一般方程可得圆的圆心与半径分别为：2,3；1，
当切线的斜率存在，设切线的斜率为 k，则切线方程为：kx−y−3k+5=0，
由点到直线的距离公式可得：∣2k−3−3k+5∣k2+1=1，
解得：k=−34，
所以切线方程为：3x+4y−29=0；
当切线的斜率不存在时，直线为：x=3，
满足圆心 2,3 到直线 x=3 的距离为圆的半径 1，
x=3 也是切线方程．
9. D【解析】圆 x−22+y2=4 的圆心为 2,0，圆心到直线的距离 d=∣2−0∣2=1，
而圆的半径等于 2，
设弦所对的劣弧所对的圆心角是 2θ，
则有 csθ=dr=12，可得 θ=π3，
故 2θ=2π3．
10. B
【解析】圆 x−22+y2=4 的圆心为 C2,0，设过原点 O 的直线 l 为 y=kxk≠0，
则圆心 C 到直线 l 的距离为 d=2kk2+1，弦长 AB=222−4k2k2+1，
所以 △ABC 的面积为 S=12×24−4k2k2+1×2kk2+1=1，
整理得 k4−14k2+1=0，解得 k2=7+43 或 k2=7−43，
即 k=±2+3 或 k=±2−3，所以满足条件的直线 l 有 4 条．
11. B【解析】化圆 C:x2+y2−2x−4y+5−r2=0r>0 为 x−12+y−22=r2，
可得圆心坐标为 1,2，半径为 r，
由圆心 1,2 到直线 l:3x−4y−15=0 的距离 d=∣3×1−4×2−15∣32+−42=4，且 ∣AB∣=6，
得 r2=32+42=25，
所以圆 C 的标准方程为 x−12+y−22=25．
12. C【解析】由圆 C:x+32+y2=9 可得圆心 −3,0，半径为 3，
双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线为：bx−ay=0，
渐近线被圆 x+32+y2=9 所截得的弦长为：3，圆心到直线的距离为：3ba2+b2，
由弦长公式可得 32=9−9b2a2+b2，可得 a2a2+b2=14，即 c2a2=4．
可得 e=2，
故选：C．
13. C【解析】由圆的一般方程可得圆的圆心与半径分别为 2,3，1，
当切线的斜率存在，设切线的斜率为 k，则切线方程为 kx−y−3k+5=0，
由点到直线的距离公式可得 2k−3−3k+5k2+1=1，解得 k=34，
所以切线方程为 3x−4y+11=0；
当切线的斜率不存在时，直线为 x=3，
满足圆心 2,3 到直线 x=3 的距离为圆的半径 1，
x=3 也是切线方程．
14. B【解析】设与 3x+4y=0 垂直的直线方程是 4x−3y+C=0．
圆 x−12+y2=4 的圆心坐标是 1,0，半径为 2，
所以圆心到直线 4x−3y+C=0 的距离 d=∣4×1−3×0+C∣42+32=∣4+C∣5=2，解得 C=6 或 C=−14，
所以所求直线的方程为 4x−3y+6=0 或 4x−3y−14=0．
即 4x−3y=−6 或 4x−3y=14．
所以其中一条直线是 4x−3y=−6．
15. C
【解析】把 x2+y2−2x−4y=0 化为标准方程为 x−12+y−22=5，故圆心坐标为 1,2，由圆心到直线 x−y+a=0 的距离为 22，得 22=∣1−2+a∣2，所以 a=2 或 a=0．
16. A
17. C【解析】因为圆 C 上总存在两点关于直线 2x−y+3=0 对称，
所以直线 2x−y+3=0 过圆心 −m,1，
从而 −2m−1+3=0，即 −2m=−2，所以 m=1．
故选C．
18. B
19. D【解析】化圆 x2+y2−2y−1=0 为 x2+y−12=2，
设圆心 0,1 关于直线 x−y−1=0 对称的点为 a,b，
则 a2−b+12−1=0,b−1a=−1 解得 a=2，b=−1．
所以圆 x2+y2−2y−1=0 关于直线 x−y−1=0 对称的圆的方程是 x−22+y+12=2．
故选：D．
20. A
【解析】因为过 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线，
所以 ∠F1MF2=90∘，∣MF2∣=c，
因为 ∣F1F2∣=2c，
所以 ∣MF1∣=3c，由椭圆定义可得 ∣MF1∣+∣MF2∣=c+3c=2a，
所以椭圆的离心率 e=21+3=3−1．
第二部分
21. 22
22. ±1
【解析】设圆心到直线的距离为 d，则 d=m2，
由平面几何知识知，弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形，
所以 222+m22=12，解得 m=±1．
23. 2
【解析】由题意得，直线 l1 截圆所得的劣弧长为 π2，则圆心到直线 l1 的距离为 22，即 ∣a∣2=22⇒a2=1，同理可得 b2=1，则 a2+b2=2．
24. 43
【解析】圆 C 的方程可化为 x−42+y2=1，
所以圆心为 4,0，半径为 1．
由题意知直线 y=kx−2 上至少存在一点 Ax0,kx0−2，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有交点，
所以存在 x0∈R，使得 ACmin≤1+1=2．
又 ACmin 为点 C 到直线 y=kx−2 的距离，
则 ∣4k−2∣1+k2≤2，解得 0≤k≤43，
所以 k 的最大值为 43．
25. 10−52
【解析】由题设可得：AP=x0−x1,y0−y1，PB=x2−x0,y2−y0，
因为 AP=2PB，
所以 x0−x1=2x2−x0,y0−y1=2y2−y0,
即 3x0=x1+2x2,3y0=y1+2y2,
所以 9x02+y02=x1+2x22+y1+2y22=x12+y12+4x22+y22+4x1x2+y1y2．
因为 Ax1,y1，Bx2,y2 为圆 M：x2+y2=4 上的两点，
且 x1x2+y1y2=−12，
所以 9x02+y02=4+4×4−2=18，即 x02+y02=2，
所以点 P 的轨迹为圆 x2+y2=2，
又 3x0+4y0−10=5×3x0+4y0−1032+42，
其几何意义为圆 x2+y2=2 上一点到直线 3x+4y−10=0 的距离的 5 倍，
又因为圆 x2+y2=2 的圆心 0,0 到直线 3x+4y−10=0 的距离
d=−1032+42=2，
所以圆 x2+y2=2 上一点到直线 3x+4y−10=0 的距离的最小值 d−r=2−2，
所以 3x0+4y0−10=5×3x0+4y0−1032+42≥52−2=10−52．
第三部分
26. （1） 由 x=6csα,y=sinα 消去 α 得 C 的普通方程是：x26+y2=1，
由 ρsinθ−π4=2，得 ρsinθ−ρcsθ=2，
将 x=ρcsθ,y=ρsinθ 代入上式，化简得 y=x+2，
直线 l 的倾斜角为 π4．
（2） 在曲线 C 上任取一点 M6csα,sinα，
直线 l 与 y 轴的交点 Q 的坐标为 0,2，
则 ∣MQ∣=6csα−02+2−sinα2=−5sin2α−4sinα+10，
当且仅当 sinα=−25 时，∣MQ∣ 取最大值 3305．
27. （1） 因为曲线 C1 的参数方程为 x=1+csθ,y=sinθ（θ 为参数），
所以曲线 C1 的普通方程为 x−12+y2=1，
因为直线 l 的极坐标方程为 θ=π4ρ∈R，所以直线 l 的普通方程为 y=x，
联立 x−12+y2=1,y=x 解得 x=0,y=0 或 x=1,y=1,
所以直线 l 与曲线 C1 的公共点的极坐标为 0,0，2,π4．
（2） 依题意，设直线 lʹ 的参数方程为 x=32+tcsα,y=12+tsinα（α 为倾斜角，t 为参数），
代入 x−12+y2=1，整理，得：t2+csα+sinαt−12=0，
因为 AB 的中点为 P，所以 t1+t2=0，
所以 csα+sinα=0，即 tanα=−1，所以直线 lʹ 的斜率为 −1．
28. （1） 解法一：
设圆的标准方程为 x−a2+y−b2=r2，
则有 b=−4a,3−a2+−2−b2=r2,a+b−12=r, 解得 a=1,b=−4,r=22.
所以圆的方程为 x−12+y+42=8．
解法二：
过切点且与 x+y−1=0 垂直的直线为 y+2=x−3，与 y=−4x 联立可求得圆心为 1,−4．
所以半径 r=1−32+−4+22=22，
所以所求圆的方程为 x−12+y+42=8．
（2） 设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，
则 1+144+D+12E+F=0,49+100+7D+10E+F=0,81+4−9D+2E+F=0. 解得 D=−2,E=−4,F=−95.
所以所求圆的方程为 x2+y2−2x−4y−95=0．
29. （1） 设圆心坐标为 a,1，
则 OC=a2+1，AC=a−12+1−32=a2−2a+5．
因为 AC=OC，
所以 a2+1=a2−2a+5，
所以 a=2，
所以圆心 C2,1，半径 R=OC=4+1=5，
所以圆 C 的标准方程为 x−22+y−12=5．
（2） 若直线 l 斜率不存在，则 l 方程为 x=0，
此时圆心到直线 l 的距离 d=2，则弦长为 25−4=2，
故此时成立；
若直线 l 斜率不存在，则设 l 方程为 y=kx，
则圆 C 到直线 l 的距离 d=2k−1k2+1=2，
即 2k−12=4k2+1，
即 −4k+1=4，
所以 k=−34，
所以直线 l 方程为 y=−34x．
综上所述直线 l 方程为 y=−34x 或 x=0．
30. （1） 将 y=kx 代入 x2+y−42=4 中，得
1+k2x2−8kx+12=0.*
由 Δ=−8k2−41+k2×12>0，得
k2>3,
所以 k 的取值范围是 −∞,−3∪3,+∞．
（2） 因为点 M，N 在直线 l 上，可设点 M，N 的坐标分别为 x1,kx1，x2,kx2，则
OM2=1+k2x12,ON2=1+k2x22.
又
OQ2=m2+n2=1+k2m2,
由 2OQ2=1OM2+1ON2，得
21+k2m2=11+k2x12+11+k2x22,
即
2m2=1x12+1x22=x1+x22−2x1x2x12x22.
由 * 式可知，
x1+x2=8k1+k2,x1x2=121+k2,
所以 m2=365k2−3．因为点 Q 在直线 y=kx 上，所以
k=nm.
代入 m2=365k2−3 中并化简，得
5n2−3m2=36.
由 m2=365k2−3 及 k2>3，可知
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